第13章 立体几何初步 易错训练与压轴训练（3易错+5压轴）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第二册）

第13章 立体几何初步 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一 混淆斜二测画法中长度有变有不变 1 易错题型二 忽略异面直线所成角的范围 4 易错题型三 椎体体积漏乘 7 压轴题型一　异面直线所成角最值（范围）问题 11 压轴题型二 线面角的最值（范围）问题 18 压轴题型三二面角的最值（范围）问题 26 压轴题型四 线面角的探索性问题 33 压轴题型五二面角的探索性问题 38 02 易错题型 易错题型一 混淆斜二测画法中长度有变有不变　 例题1：（23-24高一下·陕西）已知四边形用斜二测画法画出的直观图为直角梯形，如图所示，，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】根据图形把斜二测图形转化为实际图形，再计算周长即可. 【详解】由题意可知，如图所示，过点作， 垂足为，则四边形的高为 ， 故四边形的周长为. 故选：A. 例题2：（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为 ． 【答案】 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法还原原图形，得出三角形的高，再由斜二测画法可得，即可由面积公式得解. 【详解】如图，所以， 又为正三角形，则，故， 所以. 故答案为：. 巩固训练 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是 .    【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的规则，与 轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度不变；与 轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度减半，分别求出 的长度，即可求出原三角形的周长. 【详解】因为为以为斜边的等腰直角三角形，， 所以， 根据直观图画出原图如下，则有，， 所以， 那么原三角形周长是. 故答案为：.    2．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1)图形见解析 (2)， 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得； （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高， 且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 易错题型二 忽略异面直线所成角的范围　 例题1：（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 【分析】连接，取的中点，连接，，由题意可知，即异面直线与所成角为或其补角，结合余弦定理求解即可. 【详解】 连接，取的中点，连接，， 因为为棱的中点，所以， 即异面直线与所成角为或其补角， 在中，，，， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：. 例题2：（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】记的中点为，连接，在等腰三角形中即可得解. 【详解】记的中点为，连接， 因为为棱的中点，所以， 易知， 所以为等腰三角形，为锐角， 所以即为异面直线与所成角， 记的中点为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 巩固训练 1．（23-24高二下·江苏·期中）在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等角定理的应用、余弦定理解三角形、求异面直线所成的角 【分析】借助等角定理与中位线的性质构造辅助线，可得与直线和夹角相等的角，借助正四面体的性质得出对应边长，结合余弦定理计算即可得解. 【详解】连接，取中点，连接， 由为，故，故直线和夹角等于直线和夹角， ，， ， 则， 故线和夹角的余弦值为. 故选：A. 2．（23-24高二下·江苏扬州·期中）在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 【分析】正方体中，直线与所成角，等于直线与所成角，利用余弦定理即可求出. 【详解】正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，则有， 直线与所成角，等于直线与所成角， 设正方体棱长为2，则，，， ， 中，，所以 . 所以直线与所成角为. 故选：A. 易错题型三 椎体体积漏乘　 例题1：（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知三棱锥中，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则动点D的轨迹长度为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、立体几何中的轨迹问题、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先根据外接球的体积为，求得半径，再根据三棱锥的体积为，求得点D到平面的距离，得到点D在平行于平面的平面上，然后求得球心到平面的距离，进而得到球心到点D所在的平面的距离，得到点D的轨迹是圆求解. 【详解】如图所示： 设外接球的半径为R，则由外接球的体积为，得，解得， 因为， 所以，则， 设点D到平面的距离为，则，解得， 所以点D在平行于平面的平面上， 因为，所以， 所以的外接圆的圆心为的中点，则外接圆的半径为， 所以外接球的球心到平面的距离为， 所以球心到点D所在的平面的距离为：， 所以点D的轨迹是以为半径的圆， 所以动点D的轨迹长度为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据三棱锥的体积和底面的面积，得到动点D到平面的距离，进而得到点D在平行于平的平面上，再由点D到平面的距离为定值，得到点D的轨迹是圆而得解. 例题2：（24-25高三上·四川·期中）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，，，则四棱锥的体积为 ． 【答案】/ 【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】先过点P作底面，构造三角形结合余弦定理得出，再应用四棱锥体积公式计算即可 ． 【详解】设E，F分别为AB，CD的中点，连接EF，AO，过点P作，垂足为O，点O在EF上, 因为，所以,底面为正方形,所以所以, 平面,平面,平面, 平面,平面, 设，因为，，所以． ，，． 在中，，所以，解得， 所以．故四棱锥的体积为． 故答案为：. 巩固训练 1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据球的表面积求出球的半径，结合圆锥的底面半径以及三角形相似可求得边长之间的关系，再利用勾股定理可得到圆锥的高，即可求得圆锥的体积. 【详解】设为圆锥顶点，为底面直径，为底面中心，则圆锥内最大球的球心在高上． 设该球与母线相切于点，如图所示： 则易得，所以， 设该球的半径为，则，解得， 所以，所以． 又，结合得， 又， 所以，解得， 所以圆锥的体积． 故选：A． 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算、求线面角 【分析】将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 03 压轴题型 压轴题型一　异面直线所成角最值（范围）问题 例题1：（23-24高一下·江苏徐州·期末）在矩形中，，，将沿对角线折起，使到，形成三棱锥，则异面直线与所成角的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据题意，可知初始状态时直线与直线所成的角为，由于，可得异面直线与不垂直，翻折过程中当平面与平面重合时，与所成锐角为异面直线与所成角的临界值，求出.，即可得到答案. 【详解】由题可知， 四边形是矩形，， 所以初始状态时直线与直线所成的角为， 已知矩形中，，， ， 翻折过程中，如下图， 因为，所以，则与平面不垂直， 因为，， 所以异面直线与不垂直， 翻折过程中，当平面与平面重合时，与所成锐角为异面直线与所成角的临界值，如下图： 因为矩形中，,，， ，所以，同理，所以，即异面直线与所成角的临界值为,所以异面直线与所成角的范围为； 故选：C 例题2：（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求异面直线所成的角、求线面角 【分析】根据正方体的几何性质，作出平面，找到线线角的平面角，即可求解. 【详解】如图所示，连接，交平面于点. 设正方体的棱长为a，根据正方体的性质可得，平面， 则平面与平面平行或重合，在线段上取点P，使， 则为满足题意的其中一个直线， 正方体绕体对角线旋转的过程可认为是正方体不动，绕体对角线旋转，， ，所以BC与直线所成的角即与直线所成的角， 可得当P在线段上时，与直线所成的角最小， 由正方体的性质可得，则， 所以 . 故选：B. 例题3：（2024·四川成都·模拟预测）点P是棱长为3的正四面体ABCD的面ABC内一动点，，设异面直线DP与BC所成的角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】作平面于， 是的中心，，，计算出下在四面体的高是，，从而平面内，在以为圆心，为半径的圆上，运动时，是圆锥的母线，平移到圆锥底面圆直径位置，利用圆锥的性质，这个角的最小值是圆锥轴截面底角，由此可计算正弦值． 【详解】如图1，作平面于，∵是正四面体，∴是的中心， ，， 易知，∴， 所以平面内，在以为圆心，为半径的圆上，运动时，是圆锥的母线， 如图2，把圆锥平移到四面体外部，不妨设，是圆锥底面圆的一条直径， 母线与所成角的最小值是圆锥轴截面底角，． 所以异面直线DP与BC所成的角的正弦的最小值是． 故选：A． 　　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　　　图2 【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是找到在平面 内点的轨迹．所形成的空间图形，把平移到圆直径位置，母线与底面直径所成角的最小值就是轴截面底角，由此可得结论． 巩固训练 1．（23-24高一下·黑龙江·期中）在如图所示的长方体中点为棱的中点，若为底面内一点，满足面，设直线与直线所成角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】先根据面面平行找出与平面平行的平面，确定底面内一点所在线段上，然后将直线与直线所成角转化为直线与直线所成角， 再在直角三角形中，通过线段的最值即可得到的最值，从而得到的取值范围. 【详解】取中点，取中点，连接，，，，，. 在长方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，分别为，的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 因为，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，分别为，的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面， 所以平面平面. 所以底面内满足满足面的点在线段上， 又因为， 所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角. 在线段上任取一点，连接，， 因为底面，底面，所以， 所以为直角三角形， ， 在中，，，， 因为点在线段上，所以当时，的长度最小， 此时可利用等面积法，解得， 所以的最小值为， 当点和点重合时的长度最长为， 所以的最大值为，所以的取值范围是. 故选：C. 2．（23-24高二上·山东枣庄）在四面体中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角、线面垂直证明线线垂直 【解析】取中点，中点，根据长度关系和线面垂直的判定定理可证得平面，从而确定点在平面内的轨迹，根据轨迹可确定取最小值时点位置，根据长度关系可求得最小值. 【详解】取中点，连接，，取中点，连接， ，，，，， 由，平面，，平面， 平面，， ，，又平面，， 平面，又平面，， 又，，， 点在平面内的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 作直径，则当与或重合时，取得最小值， . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查异面直线所成角的正弦值的求解，解题关键是能够根据垂直关系和长度关系确定动点在平面内的轨迹，从而根据轨迹确定取最小值时动点的位置. 3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）如图，在中，，将绕边翻转至，使平面平面，是的中点，设是线段的动点，则当与所成角取得最小值时，线段等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】由题意可将三棱锥放在棱长为2的正方体中如图所示，当时，与所成的角取得最小值，利用相似计算得到答案. 【详解】由题意可将三棱锥放在棱长为2的正方体中如图所示， 延长交正方体的棱于点，连接，则均为其所在正方体棱上的中点， 过点作的垂线，垂足为点，则平，所以， 又因为，，所以平面， 则为在平面内的投影， 则当时，与所成的角取得最小值， 此时由得，则， 在中，易得，所以. 故选：C． 【点睛】本题考查了异面直线夹角的最值，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥放在棱长为2的正方体中是解题的关键. 压轴题型二 线面角的最值（范围）问题　 例题1：（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的正切值t构成的集合是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】求线面角 【分析】记的中点分别为，先证平面平面，从而可知点F在线段GH上，然后作出所求角即可求解. 【详解】记的中点分别为，连接， 设，由正方体性质可知，， 又分别为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面， 由正方体性质知，，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以点F在线段GH上， 由正方体性质可知，平面， 所以即为与平面所成角，， 易知，当F为的中点时，取得最小值， 当F与（或）重合时，取得最大值，即， 所以. 故选：D 例题2：（2024·江苏盐城·三模）动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、求线面角、立体几何中的轨迹问题 【分析】根据线面位置关系和余弦定理以及同角三角函数基本关系式即可求解. 【详解】    连接， 容知，, 所以平面平面, M与平面的距离保持不变， 点M的移动轨迹为三角形的三条边， 当M为中点时，直线与平面所成角正弦值最大，    取的中点， 设正方体的棱长为2， 所以， ， ， 所以, 所以为直角三角形，    所以直线与平面所成角正弦值为, 当M为C点时，直线与平面所成角的正弦值最小， 此时，，，    所以， . 直线与平面所成角正弦值的取值范围是， 故选：A. 例题3：（23-24高一下·福建福州）如图，在直三棱柱中，D为棱AB的中点，E为侧棱的动点，且．    (1)是否存在实数，使得∥平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)设，，，求DE与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)存在； (2) 【知识点】证明线面平行、补全线面平行的条件、求线面角 【分析】（1）解法一：连接，，设，，则利用平行关系和比例关系可证得∥，然后由线面平行的判定定理可证得结论；解法二：连接交于点，连接GD，利用三角形中位线定理和平行四边形性质可证得四边形为平行四边形，则∥，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）过点作∥交于点，由已知先证得平面，再可得平面，则为DE与平面所成角，然后在中求解即可. 【详解】（1）解法一：存在实数，使得∥平面． 理由如下： 如图，连接，，设，， 因为，∥，， 所以，∥，所以， 因为为AB的中点，∥，， 所以，∥，所以， 所以，所以∥， 又因为平面，平面，所以∥平面；    解法二：存在实数，使得∥平面．理由如下： 如图，连接交于点，连接GD，在直三棱柱中，四边形为矩形，所以点为的中点， 因为为棱AB的中点，所以∥，， 又因为∥，， 所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥， 又因为平面，平面， 所以∥平面；    （2）因为，，，所以，所以， 过点作∥交于点，则，， 又因为，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为DE与平面所成角， 设，在中，， 所以， 即DE与平面所成角的正弦值的取值范围为．    巩固训练 1．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】连接相交于点，由平面，得是直线与平面所成的角，设正方体的棱长为2，则，设，则，进而得的表达式，由的范围可得答案. 【详解】如图，连接相交于点，连接，则是的中点， ∵平面，平面，∴， 又，，平面， ∴平面， 则是直线与平面所成的角， 设正方体的棱长为2，则，设， 所以，， 所以， 因为，所以， 所以，即. 故选：A． 2．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知中，，点是边上的动点.若平面，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求线面角 【分析】根据题意得PQ的最小值为，的最小值是，即A到BC的距离为，则，结合图形找出的外接圆圆心与三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积． 【详解】三棱锥中，平面设直线PQ与平面ABC所成角为， 又的最大值是，所以，解得， 即PQ的最小值为，的最小值是，即A到BC的距离为， 如下图，直角三角形△ABQ中，所以，又， 所以重合，则，则的外接圆圆心M为AB的中点，    又平面从而外接球的球心O为PB的中点， 外接球的半径， 三棱锥的外接球的表面积． 故答案为：． 3．（2024·江苏盐城·三模）某同学在劳技课上设计了一个球形工艺品，球的内部有两个内接正五棱锥，两正五棱锥的底面重合，若两正五棱锥的侧棱与底面所成的角分别为、，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求线面角 【分析】由平面，得到侧棱与底面所成的角，设， 分别在直角和中，求得，结合，即可求得取值最小值. 【详解】如图所示，设另个正五棱锥外接球的半径为，球心到底面的距离为， 又由平面，所以和分别为侧棱与底面所成的角，设， 分别在直角和中， 可得， 所以， 又由，所以当当时，取值最小值，最小值为. 故答案为：.    压轴题型三二面角的最值（范围）问题　 例题1：（2024·江苏·二模）正三棱锥和正三棱锥Q-ABC共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为，，则当最大时，（    ） A． B． C．-1 D． 【答案】D 【知识点】求二面角、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由题意可得球心在，设与的交点为， 于M，为两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为，设外接球的 半径为,球心到平面的距离为,可得，，进而计算可求最大时，的值. 【详解】由题意可得球心在，设与的交点为， 于M， 由题意可得， 所以为两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为， 所以，，设外接球的 半径为,球心到平面的距离为, 则， 设的边长为，由正三角形的性质， 所以，， , 所以 所以 ，所以，故当时，最大， 此时. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用正切函数的单调性求三角函数的值的最大值以确定角的最大值，表示三角函数是解本题的关键. 例题2：（23-24高二上·浙江台州）如图，已知棱长都为2的正三棱柱，是中点，是中点，是棱上的动点，则二面角的正切值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求二面角、求点面距离 【分析】本题直接求出二面角的正切值的范围，再给出判断即可. 【详解】解：由题意可知点M是CC1上的动点，在棱长为2的正三棱柱中，二面角是锐二面角，所以随着点M是CC1上的移动，二面角的正切值是单调的，所以当点与、重合时，二面角的正切值取最值. 当点与重合时，在平面内过点作交于点；在平面内过点作交于点，连接，如下图，则是二面角的平面角且. 此时：，，所以二面角的正切值为, 当点与重合时，在平面内过点作交于点；在平面内过点作交于点，连接，如下图，则是二面角的平面角且. 此时：，，所以二面角的正切值为 综上所述：二面角的正切值的范围是：， 对照选项，可得不在内， 故选：D 【点睛】本题考查二面角的正切值的取值范围，是偏难题. 例题3：（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知三棱锥的顶点，，，均在半径为的球面上，平面，，，则二面角的正切值最小为 ． 【答案】/ 【知识点】基本不等式求积的最大值、多面体与球体内切外接问题、求二面角 【分析】设三棱锥的外接球的半径为，，，根据条件，将三棱锥放置到长方体中，从而可得，过作交于，根据条件可得到为二面角的平面角，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】设三棱锥的外接球的半径为，，， 因为平面，，且，将三棱锥放置到如图所示的长方体中， 由长方体的性质知， 又，得到，所以， 过作交于，连接， 因为平面，平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 又由，得，当且仅当时，等号成立， 所以， 则，即二面角的正切值最小为， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于根据条件将三棱锥放置到长方体中，从而得到，其中，，再利用二面角的定义进行求解即可. 巩固训练 1．（2024·江西·模拟预测）如图，将边长为1的正以边为轴逆时针翻转弧度得到，其中，构成一个三棱锥．若该三棱锥的外接球半径不超过，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、多面体与球体内切外接问题、解余弦不等式 【分析】作辅助线，则即为三棱锥的外接球球心，翻折的角即为的大小，设，结合题意分析可知，结合题意分析求解即可. 【详解】取线段的中点，线段上靠近点的三等分点，的中点， 连接，则为正的外心，，可知为线段的中垂线， 在平面内过作的垂线交于，连接，    则即为三棱锥的外接球球心，翻折的角即为的大小． 设，则，，，，， 可得， 化简得， 又因为，即，解得， 结合，可得，则，所以． 故选：C． 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； 2.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解． 2．（2024高二·浙江·专题练习）高为1的正三棱锥的底面边长为，二面角与二面角之和记为，则在从小到大的变化过程中，的变化情况是（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D 【知识点】求二面角、余弦定理解三角形 【解析】先求得、，以及正三棱锥为正四面体时，的值，由此确定正确选项. 【详解】设二面角为，二面角为，当时，正三棱锥趋向于变为正三棱柱，；当时，正三棱锥趋向变为平面，.当正三棱锥为正四面体时，且，，所以. 当从小变大时，要经过从变为小于的角，然后变为的过程，所以只有D选项符合. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查利用极限的观点研究面面角的问，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题. 3．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）如图，在正方体中，，是棱上任一点，若平面和平面所成的角为，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】分类讨论点的位置，当异于时，先作二面角的平面角，并设，进而转化为关于的函数，最后求出该函数的最小值即可 【详解】如下图所示： 当与重合时，可得：； ②当异于时，延长交于点，连接，则为平面与平面的交线，由平面，平面，可得： 过作于点，连接，可得：平面 可得： 故为平面与平面所成的角，即 设，可得：，， 可得： 当且仅当，即为的中点时取等号. 综上，的最小值为 故答案为： 【点睛】求二面角方法： （1）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角； （2）通过向量法：建立空间直角坐标系，然后求出两个平面的法向量，进而根据法向量表示出二面角； 压轴题型四 线面角的探索性问题　 例题1：（23-24高二上·江苏苏州·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.    (1)求证：； (2)已知为线段上一点，若与平面所成角的正切值为，试确定点位置；并求此时二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点， 【知识点】求二面角、线面垂直证明线线垂直、由线面角的大小求长度 【详解】（1）因为，，，， 所以四边形是直角梯形，且，， 故，即. 又平面，平面，所以. 又，且平面，所以平面， 又平面，所以； （2）过点作于点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面， 则为与平面所成的角. 设，则，，， 由得 解得或（舍去），所以为的中点. 过点作于点，连接， 因为平面，平面，所以， 又，平面，故平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，，所以， 即为的中点，且此时二面角的大小为.    例题2：（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点Q是PC的中点．在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面所成的角为？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？    【答案】存在； 【知识点】由线面角的大小求长度、求线面角 【分析】假设点F存在，直线与平面所成的角为时，利用线面角的定义，求的长，检验点F是否在线段上. 【详解】假设线段上存在点F，使直线与平面所成的角为， 因为平面，平面，则， 又底面是矩形，则， 又平面，，则平面，即平面，    故就是直线与平面所成的角， 又平面，平面，则， 则，故， 故当时，在线段上是存在点F，使直线与平面所成的角为； 综上，存在F点，使直线与平面所成的角为，． 巩固训练 1．（23-24高一下·安徽滁州）如图，在四棱锥中，DA⊥平面ABE，，，，F是DE的中点.    (1)证明：平面ABE； (2)若，直线DE与平面ABE所成角为，求直线CF与直线DB所成角的余弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、由线面角的大小求长度 【分析】（1）取中点，连接，，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）连接，得到，证明为直角三角形，则得到余弦值. 【详解】（1）如图，取中点，连接，， 因为是的中点，所以且， 又. 所以且. 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面平面. 所以平面. （2）由（1）可知即为直线与直线所成角或其补角， 连接，因为平面，平面，所以， 所以即为直线与平面所成角，所以, 所以，所以三角形为正三角形. 所以， 则， 所以为直角三角形，所以. 故直线与直线所成角的余弦值为.    2．（23-24高一下·江苏连云港）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是边长为2的正三角形，平面，是的中点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求侧面与侧面所成二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求二面角、由线面角的大小求长度、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据线面垂直的性质得出.然后根据线面垂直的判定定理可得出平面，进而得出证明； （2）取的中点，连接，，根据已知可推得是直线与平面所成的角，，进而得出，.设平面与侧面交线为，根据线面平行的性质定理得出，然后根据定义法得出是侧面与侧面所成二面角的平面角.在中，即可得出答案. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 又因为是正三角形，是的中点，所以. 又，平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. （2）取的中点，连接，，      因为是的中点，，所以. 又，，平面，平面， 所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 则. 因为是边长为2的等边三角形， 所以， 所以， 所以. 又,所以. 设平面与侧面交线为， 因为，平面，平面， 所以平面. 又因为平面，平面平面， 所以，所以. 取的中点，连接，，则，. 又因为，，平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以，所以. 又因为，平面，平面，平面平面， 所以是侧面与侧面所成二面角的平面角. 在中，，， 所以， 所以侧面与侧面所成二面角的大小为. 压轴题型五二面角的探索性问题　 例题1：（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，．    (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求异面直线与所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、由二面角大小求线段长度或距离、求异面直线所成的角、求二面角 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直判断定理证明即可； （2）先应用二面角余弦值求出,再求异面直线所成角的正切即得. 【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面，平面， 得平面， 又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又，平面，平面，所以平面． （2）如图，    在正三角形内，过点作，垂足为，∴， ∵，侧面底面，面面，面， ∴底面，底面，则， 过作，垂足为，连接，， ，平面，则平面，而平面，∴， 则即为二面角的平面角，即 ∴， ∴ 在中，，∴， 由，，得四边形为平行四边形，∴， 由，得为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为． 例题2：（2024·广东江苏·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、由二面角大小求线段长度或距离、证明面面垂直 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【详解】（1）（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 巩固训练 1．（23-24高一下·浙江金华·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面． (1)证明：； (2)若平面，求三棱锥的体积； (3)若二面角的平面角为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)2 【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）只需结合已知证明平面即可，再利用线面垂直的性质即可得证； （2）利用转换法，可知只需求出即可，再结合解三角形知识即可求解； （3）找出二面角的平面角，再结合解三角形知识即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，， 平面， 平面， 又平面， （2） 平面，平面，平面平面（其中点是的交点亦是中点）， ，可知N为中点， 而，，， 所以， 因为，， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以， 所以， 在三角形中，，由余弦定理有， 结合，解得， . （3） 由题意知平面，过点N作平行线交于点H， 面，再作（K为垂足）， 为二面角的平面角，， 由（2）可知，所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形也是等腰直角三角形， 从而， 在三角形中，， 所以， 而，所以， 不妨设，， 则且，， . 2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、证明线面垂直、证明面面垂直、求线面角 【分析】（1）根据线面垂直的性质于判定定理可证平面，结合面面垂直的判断定理即可证明； （2）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又由且， 所以四边形为平行四边形， 则，所以， 又 平面， 所以平面， 由平面，所以平面平面； （2）由平面，平面，所以， 又， 平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（1）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 立体几何初步 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一 混淆斜二测画法中长度有变有不变 1 易错题型二 忽略异面直线所成角的范围 2 易错题型三 椎体体积漏乘 3 压轴题型一　异面直线所成角最值（范围）问题 3 压轴题型二 线面角的最值（范围）问题 5 压轴题型三二面角的最值（范围）问题 6 压轴题型四 线面角的探索性问题 8 压轴题型五二面角的探索性问题 10 02 易错题型 易错题型一 混淆斜二测画法中长度有变有不变　 例题1：（23-24高一下·陕西）已知四边形用斜二测画法画出的直观图为直角梯形，如图所示，，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 例题2：（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为 ． 巩固训练 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是 .    2．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 易错题型二 忽略异面直线所成角的范围　 例题1：（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 例题2：（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高二下·江苏·期中）在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏扬州·期中）在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角为（ ） A． B． C． D． 易错题型三 椎体体积漏乘　 例题1：（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知三棱锥中，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则动点D的轨迹长度为（    ） A．8 B． C． D． 例题2：（24-25高三上·四川·期中）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，，，则四棱锥的体积为 ． 巩固训练 1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 03 压轴题型 压轴题型一　异面直线所成角最值（范围）问题 例题1：（23-24高一下·江苏徐州·期末）在矩形中，，，将沿对角线折起，使到，形成三棱锥，则异面直线与所成角的范围为（    ） A． B． C． D． 例题2：（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（   ） A． B． C． D． 例题3：（2024·四川成都·模拟预测）点P是棱长为3的正四面体ABCD的面ABC内一动点，，设异面直线DP与BC所成的角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高一下·黑龙江·期中）在如图所示的长方体中点为棱的中点，若为底面内一点，满足面，设直线与直线所成角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东枣庄）在四面体中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）如图，在中，，将绕边翻转至，使平面平面，是的中点，设是线段的动点，则当与所成角取得最小值时，线段等于（    ） A． B． C． D． 压轴题型二 线面角的最值（范围）问题　 例题1：（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的正切值t构成的集合是（    ） A．B． C． D． 例题2：（2024·江苏盐城·三模）动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3：（23-24高一下·福建福州）如图，在直三棱柱中，D为棱AB的中点，E为侧棱的动点，且．    (1)是否存在实数，使得∥平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)设，，，求DE与平面所成角的正弦值的取值范围． 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知中，，点是边上的动点.若平面，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为 . 3．（2024·江苏盐城·三模）某同学在劳技课上设计了一个球形工艺品，球的内部有两个内接正五棱锥，两正五棱锥的底面重合，若两正五棱锥的侧棱与底面所成的角分别为、，则的最小值为 . 压轴题型三二面角的最值（范围）问题　 例题1：（2024·江苏·二模）正三棱锥和正三棱锥Q-ABC共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为，，则当最大时，（    ） A． B． C．-1 D． 例题2：（23-24高二上·浙江台州）如图，已知棱长都为2的正三棱柱，是中点，是中点，是棱上的动点，则二面角的正切值不可能是（    ） A． B． C． D． 例题3：（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知三棱锥的顶点，，，均在半径为的球面上，平面，，，则二面角的正切值最小为 ． 巩固训练 1．（2024·江西·模拟预测）如图，将边长为1的正以边为轴逆时针翻转弧度得到，其中，构成一个三棱锥．若该三棱锥的外接球半径不超过，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024高二·浙江·专题练习）高为1的正三棱锥的底面边长为，二面角与二面角之和记为，则在从小到大的变化过程中，的变化情况是（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 3．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）如图，在正方体中，，是棱上任一点，若平面和平面所成的角为，则的最小值为 ． 压轴题型四 线面角的探索性问题　 例题1：（23-24高二上·江苏苏州·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.    (1)求证：； (2)已知为线段上一点，若与平面所成角的正切值为，试确定点位置；并求此时二面角的大小. 例题2：（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点Q是PC的中点．在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面所成的角为？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？    巩固训练 1．（23-24高一下·安徽滁州）如图，在四棱锥中，DA⊥平面ABE，，，，F是DE的中点.    (1)证明：平面ABE； (2)若，直线DE与平面ABE所成角为，求直线CF与直线DB所成角的余弦值. 2．（23-24高一下·江苏连云港）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是边长为2的正三角形，平面，是的中点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求侧面与侧面所成二面角的大小. 压轴题型五二面角的探索性问题　 例题1：（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，．    (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求异面直线与所成角的正切值． 例题2：（2024·广东江苏·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 巩固训练 1．（23-24高一下·浙江金华·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面． (1)证明：； (2)若平面，求三棱锥的体积； (3)若二面角的平面角为，求． 2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$