2.1.3两角和与差的正切公式教学设计-2024-2025学年高一下学期数学湘教版(2019)必修第二册

课 题 2.1.3　两角和与差的正切公式 主 备 人 审 核 备课日期 2025年3月14日 课 型 新授课 教学目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 核心素养 数学运算、数学抽象、逻辑推理. 教学重点 两角和与差的正切公式探究与证明，及简单应用. 教学难点 两角和与差的正切公式的运用. 教学策略 与方法 启发引导、归纳总结、抽象概括 教学过程 教 学 内 容 师生活动 设计意图 复习回顾 导入新课 请同学们回顾两角和与差的余弦公式、正弦公式. 提出问题，学生回答. 引入新课 探究新知 形成概念 问题1　同角三角函数中的商数关系是什么？ 提示　=tan α. 问题2　你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？ 提示　tan(α+β)=== =. 用-β来代替tan(α+β)中的β即可得到tan(α-β). 问题3　根据两角和与差的正切公式的特点，你能写出几种公式的变形形式吗？ 知识梳理 1.两角和的正切公式：tan(α+β)=，α，β，α+β≠kπ+(k∈Z)，简记T(α+β)； 2.两角差的正切公式：tan(α-β)=，α，β，α-β≠kπ+(k∈Z)，简记T(α-β) 注意点： 公式的结构特征及符号特征 (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和； (2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 教师提问， 学生回答. 教师提问， 学生推导并回答，教师总结. 教师提问， 引导学生归纳. 让学生回顾同角三角函数中的商数关系. 引导学生推导两角和与差的正切公式及变形公式，培养学生逻辑推理的核心素养. 强调正切公式的结构特征及符号特征. 精讲点拨 迁移应用 例1　(1)(课本例7)已知tan α=分别求下列各式的值. ①tan；②tan. 学生独立完成，教师点评. 让学生进一步熟练掌握两角和与差的 教学过程 教 学 内 容 师生活动 设计意图 精讲点拨 迁移应用 答案：tan=-. tan=. (2)(课本例8)利用两角和(差)的正切公式，求的值. 答案：=. 反思感悟　利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式： T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换. (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用： 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1=tan”“=tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值. 跟踪训练1　化简求值： (1)； (2)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°. 答案：(1)- . 例2　已知sin α=α∈tan(π-β)=则tan(α-β)的值为(　A　) A.- B. C. D.- 延伸探究　若本例条件不变，求tan(α+β)的值. 答案：tan(α+β)===-2. 反思感悟　(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解. （2）关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小. 跟踪训练2　如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为.求： (1)tan(α+β)的值； (2)α+2β的大小. 答案：(1)tan(α+β)=-3， (2) α+2β=. 教师引导分析讲解，归纳方法. 学生完成,教师点评. 教师引导分析并讲解，归纳方法. 学生完成,教师点评. 正切公式. 让学生掌握利用两角和与差的正切公式解决给值求值，给值求角问题，提升学生数学运算，逻辑推理的核心素养. 教学过程 教 学 内 容 师生活动 设计意图 精讲点拨 迁移应用 例3　(1)(课本P76习题2.1T10改编)已知tan α，tan β是方程x2+5x-6=0的两根，则tan(α+β)的值为　　　　　. 答案：　- (2)(课本例9)美国纽约时报广场有一块以中国元素为主要内容的显示屏，已知屏幕顶端与底端离地面的距离分别约为87 m与67 m,求行人在地面上离屏幕水平距离100 m处观看屏幕时视角的正切值(结果精确到0.001，计算过程中忽略人的高度). 反思感悟　当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围. 跟踪训练3　在斜△ABC中，若C=45°，则(1-tan A)(1-tan B)等于(　D　) A.1 B.-1 C. D.2　 教师引导分析并讲解，归纳方法. 让学生掌握利用两角和与差的正切公式解决综合问题. 达标检测 评价反馈 1.已知tan α=-则tan等于(　D　) A.- B.-7 C. D.7 2.已知tan α=2，tan β=3，则tan(α+β)等于(　C　) A.1 B.5 C.-1 D.-5 3.已知α，β都是锐角，tan α=tan β=则α+β的值为(　C　) A. B. C. D.　 4.计算：=　　　　. 答案　1 学生独立完成，教师点评. 检测学习效果. 归纳总结 拓展升华 1.知识清单： (1)两角和与差的正切公式的推导. (2)公式的正用、逆用、变形用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：公式中加减符号易记错. 师生共同归纳总结本节所学知识和方法。 形成知识体系。 作业设计 题卡作业3. 普通班适量删减。 板书设计 2.1.3　两角和与差的正切公式 1.两角和与差的正切公式. 2.两角和与差正切公式的变形. 例1…… 例2…… 例3…… 教后反思 签 审 ( 137 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$