精品解析：上海市上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年第二学期 高二年级数学第一次质量监测 满分150分 时间120分钟 出卷人：王绍蒙 审核：郭卫华 一、填空题（共12题，1~6题每题4分，7~12题每题5分，满分54分） 1. 椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程得到，的值，然后由求得的值，进而求得离心率． 【详解】根据椭圆的方程可得：，，故 ，所以椭圆的离心率 ． 【点睛】本题主要考查根据椭圆标准方程求出，，，由椭圆的几何性质求离心率，属于基础题． 2. 抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】将已知点代入抛物线方程求得，结合抛物线定义求解即可. 【详解】由题意，解得，所以抛物线的准线为， 故所求为. 故答案为：. 3. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于的等式和不等式，解之即可. 【详解】因为直线与直线相互平行， 则，解得. 故答案为：. 4. 参数方程（为参数）的普通方程是_______. 【答案】 【解析】 【分析】消参，可得普通方程. 【详解】由已知， 即， 即， 化简可得， 故答案为：. 5. 直线与的夹角为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线方程可得各直线斜率，进而可得倾斜角之间的关系，从而得夹角. 【详解】直线的斜率，即倾斜角满足， 直线的斜率，即倾斜角满足， 所以， 所以， 又两直线夹角的范围为， 所以两直线夹角为， 故答案为：. 6. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程. 【详解】设双曲线：， 将代入可得， 故双曲线：. 故答案为：. 7. 已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于，两点，若是正三角形，则该椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据是正三角形，且直线与椭圆长轴垂直，得到是正三角形的高，．在△中，设，可得，所以，用勾股定理算出，得到椭圆的长轴，焦距，即可求出椭圆的离心率； 【详解】 是正三角形， ， 直线与椭圆长轴垂直， 是正三角形的高，， △中，设，， ， 因此，椭圆的长轴，焦距 椭圆的离心率为． 故答案为：. 8. 若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出直线过定点，判断点在圆内，当直线时直线与圆相交弦长最短，再由弦长公式计算可得. 详解】直线，则， 令，解得，所以动直线恒过点， 又圆的圆心为，半径， 所以， 所以点在圆内， 所以当直线时直线与圆相交的弦长最短， 最短弦长为. 故答案为： 9. 设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和圆的性质，转化成三点一线，即可求出最小值. 【详解】根据题意，抛物线的准线为，设点到准线的距离为，则， 设圆心为点，则点到准线的距离为5， 结合图象可知，则 当且仅当点与点重合，三点共线且点在之间时，等号成立. 故答案为：4. 10. 如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意求得点轨迹，根据轨迹判断计算的取值范围. 【详解】设为椭圆的右焦点，连接，如图所示： 、分别为、的中点，，为直径，， ， 所以点轨迹是以为圆心为半径的圆，在圆内，且， 所以，，， 即的取值范围为. 故答案为：. 11. 已知点在椭圆上运动，的左、右焦点分别为、．以为圆心，半径为的圆交线段、于、两点（其中为正整数）．设的最大值为，最小值为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设点，则，计算得出、、，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的表达式，令，利用函数单调性可求得当时，、的表达式，再利用常用数列的极限可求得结果. 【详解】在椭圆中，，，，则点、， 因为在椭圆上运动，设点，则， ， 同理可知，由已知可得， ，， 所以，， ， 令，， 当时，记，则， 任取、且，即，所以，， 则， ，故函数在上为增函数， 此时，，， 所以，，因此，. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 12. 在平面直角坐标系xOy中，点M不与原点О重合，称射线OM与的交点N为点M的“中心投影点”，曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是_______ 【答案】 【解析】 【分析】可作出对应曲线的图象，结合图形，求出题中“中心投影点”构成的曲线长度对应圆中的圆心角，从而求出其“中心投影点”构成的曲线的长度. 【详解】曲线的渐近线方程为： ，设渐近线与圆的交点分别为,如下图 则曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线为圆弧 由题意，所以 所以,则 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知圆，圆则两个圆的位置关系为（ ） A 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心距确定两圆位置关系. 【详解】由已知圆心，半径， 圆心，半径， 则， 所以两圆相内切， 故选：D. 14. 如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线方程为，与双曲线联立消去得，，因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根，所以，即可求出答案. 【详解】依题意知，直线的斜率存在，设为，双曲线的中心为， 因为直线经过双曲线的中心，所以设直线方程为， 由，消去得，， 因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根， 所以，即，解得或， 所以直线l的斜率的取值范围是：. 故选：B. 15. 已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线定义得到圆心轨迹，设，再结合向量的坐标表示得到，即可求解； 【详解】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为， 设，则由动点满足， 故选：A 16. 在平面直角坐标系中， 动点到两个定点，的距离之积等于，则下列命题中正确的个数是（ ） ①曲线关于轴对称； ②的最大值为； ③的最小值为； ④的最大值为 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】利用直接法可得轨迹方程，再根据曲线的对称性可判断①；由基本不等式可判断③；化简轨迹方程可得，即，由可得，利用换元法结合二次函数性质可判断②④. 【详解】由已知， 代入点，则，成立，①正确； 则，当且仅当，即点时，等号成立，③错误； 化简，可得， 即， 又， 即，解得，即， 设，则，， 所以，即，②错误； 且，即， 即，④正确； 综上所述正确的个数为， 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知圆，直线． （1）当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）直线与圆交于、两点，弦长求直线的方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径列出等式求解即可； （2）由弦长求得圆心到直线的距离，进而可求解； 【小问1详解】 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得：， 所以直线的方程： 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 则， 所以， 所以，解得：， 所以直线的方程： 18. 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 【答案】（1）； （2）不能，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据条件计算双曲线焦点坐标，结合渐近线方程可得结果. （2）利用点差法计算直线的方程，与双曲线方程联立可得无交点，故点N不能是线段的中点. 小问1详解】 由题意得，椭圆焦点坐标为. ∵双曲线渐近线方程为， ∴，解得， ∴双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 假设点N能是线段的中点，设，则， 由得 ， ∴， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即， 由得， ∵，∴直线与双曲线无交点， ∴点N不能是线段的中点. 19. 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）．考察范围到A、B两点的距离之和不超过10km的区域． （I）求考察区域边界曲线的方程： （II）如图4所示，设线段是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍．问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？ 【答案】（I）；（II）5年 【解析】 【详解】解：（I）设边界曲线上点的坐标为，则由知， 点在以为焦点，长轴长为的椭圆上，此时短半轴长为， 所以考察区域边界曲线(如图)的方程为为. （II）易知过点的直线方程为，因此点到直线的距离为 设经过年，点恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得 ， 解得，即经过5年，点恰好在冰川边界线上. 20. 已知椭圆的离心率，左顶点为A，下顶点为B，C是线段的中点，其中. （1）求椭圆方程； （2）记椭圆的左右焦点分别为、，M为椭圆上的点，若的面积为，的面积为，若，求的取值范围； （3）过点的动直线与椭圆有两个交点P、Q，在y轴上是否存在点T使得恒成立.若存在，求出这个T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，T点纵坐标的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设，由，得到，再利用即可得到结果. （3）设该直线方程为：，设，，，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用k,t表示，再根据可求的t范围. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为， 所以，即，其中c为半焦距，，则， 所以，，， ，解得， 故，，故椭圆方程为. 【小问2详解】 设，由，有， 故而，所以， 所以. 又，所以的取值范围是. 【小问3详解】 ①若过点的动直线的斜率不存在， 则，或，，此时. ②若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设，，，， 化简整理可得， 故， ，. ，， 故 . 恒成立，故，解得， 若恒成立.结合①②可知，. 故T点纵坐标的取值范围为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 21. 矩阵乘法运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点. （1）若平面上的点在矩阵的作用下变换成点，求点的坐标； （2）双曲线在矩阵作用下变换成新的双曲线，且双曲线可以成为函数的图象，求出一个满足条件的矩阵，并写出对应转化后函数的方程. （3）圆锥曲线经过矩阵变换成标准方程，求出变化矩阵，并判断该曲线的形状. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设点，根据变换可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标； （2）不妨设矩阵为，设点在双曲线上，点在矩阵的变换后的点为，根据矩阵变换得出，代入，可得出，取，代入曲线方程化间即可； （3）设矩阵为，可得出，代入曲线方程，化简可得出，取，化简即可得解. 【小问1详解】 设点，平面上的点在矩阵的作用下变换成点， 则，解得，即点. 【小问2详解】 不妨设矩阵为， 设点在双曲线上，点在矩阵的变换后的点为，则点在函数的图象上， 则， 所以，，解得， 因为点在双曲线上，则， 即， 整理可得， 因为方程表示为一个函数， 则，不妨取， 则曲线方程为，变形可得. 【小问3详解】 不妨设矩阵为， 设点在双曲线上，点在矩阵的变换后的点为， 则， 所以，，解得， 因为点在曲线上，则， 即， 化简得， 若圆锥曲线经过矩阵变换成标准方程，则， 不妨取，则变换后的曲线方程为， 化为标准方程即为，该曲线为椭圆. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年第二学期 高二年级数学第一次质量监测 满分150分 时间120分钟 出卷人：王绍蒙 审核：郭卫华 一、填空题（共12题，1~6题每题4分，7~12题每题5分，满分54分） 1. 椭圆的离心率为______. 2. 抛物线过点，则点到抛物线准线距离为______． 3. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是________. 4. 参数方程（为参数）的普通方程是_______. 5. 直线与的夹角为________． 6. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的方程为________. 7. 已知是椭圆两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于，两点，若是正三角形，则该椭圆的离心率为________． 8. 若动直线，圆，则直线与圆相交最短弦长为__________． 9. 设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为________. 10. 如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为________. 11. 已知点在椭圆上运动，的左、右焦点分别为、．以为圆心，半径为的圆交线段、于、两点（其中为正整数）．设的最大值为，最小值为，则__________． 12. 在平面直角坐标系xOy中，点M不与原点О重合，称射线OM与的交点N为点M的“中心投影点”，曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是_______ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知圆，圆则两个圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 14. 如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（ ） A B. C. D. 15. 已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中， 动点到两个定点，距离之积等于，则下列命题中正确的个数是（ ） ①曲线关于轴对称； ②的最大值为； ③的最小值为； ④的最大值为 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知圆，直线． （1）当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）直线与圆交于、两点，弦长求直线的方程 18. 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 19. 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）．考察范围到A、B两点的距离之和不超过10km的区域． （I）求考察区域边界曲线的方程： （II）如图4所示，设线段是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍．问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？ 20. 已知椭圆的离心率，左顶点为A，下顶点为B，C是线段的中点，其中. （1）求椭圆方程； （2）记椭圆的左右焦点分别为、，M为椭圆上的点，若的面积为，的面积为，若，求的取值范围； （3）过点的动直线与椭圆有两个交点P、Q，在y轴上是否存在点T使得恒成立.若存在，求出这个T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由. 21. 矩阵乘法运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点. （1）若平面上的点在矩阵的作用下变换成点，求点的坐标； （2）双曲线在矩阵作用下变换成新的双曲线，且双曲线可以成为函数的图象，求出一个满足条件的矩阵，并写出对应转化后函数的方程. （3）圆锥曲线经过矩阵变换成标准方程，求出变化矩阵，并判断该曲线的形状. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $