专题11 阅读材料型【重难点培优：知识梳理+五大题型+压轴真题】-2024-2025学年八年级数学下册人教版

专题11 阅读材料型重难点题型分类 【题型1：二次根式中的阅读材料题】 【题型2：勾股定理中的阅读材料题】 【题型3：平行四边形中的阅读材料题】 【题型4：一次函数中的阅读材料题】 【题型5：压轴真题】 二次根式中的阅读材料题题型1 1．阅读下列解题过程： ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写出式子； (2)观察上面的解题过程，请直接写出式子； (3)利用上面所提供的解法，请求：的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．阅读下列分母有理化的过程： （Ⅰ）； （Ⅱ）； 请完成下列问题： (1)仿照上述解题过程计算：=__________；=__________；（注意结果化简） (2)观察上面解题过程，请直接写出的结果为_________； (3)通过完成问题（1）（2），你得到的结论是： ； (4)试利用上面所提供的思路，解方程：． 【详解】（1）解：； 故答案为：， ． （2） （3）①可以利用平方差公式进行分母有理化； ②相邻两个自然数的算术平方根的和（或差）等于这两个自然数的算术平方根的差（或和）的倒数； ③，等等.（结论合理、正确就行） 故答案为：可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）． （4）解： 3．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小： （填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为__________；当时，的最大值为_________； (2)当时，求的最小值； (3)如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为2，的面积为3，求四边形面积的最小值． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为4； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，的最大值为； 故答案为：4；； （2）解：当时， ∵， ∴当，即时， 的最小值是：． （3）解：设的面积为a， ∵， ∴， ∴． ∴四边形的面积：， ∵， ∴当，即时，四边形的面积的最小值为：． 5．阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 勾股定理中的阅读材料题题型2 1．材料阅读：小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 发现： （1）如图①，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则； 类比： （2）如图②，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 拓展： （3）如图③，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时， 过点C作，交的延长线于点G，若，，连接，补全图形，求的面积． 【详解】解：（2）， 理由：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ． （3）补图如图所示． 由（2）同理可得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．综合与实践 问题情景：在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，在等腰中，，，点D是的中点，点E是直线上一个动点，过点D作，交直线于点F． 初步探究： （1）如图①，当点E在线段上时，请判断线段，的数量关系：________． 类比探究： （2）如图②，当点E在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 拓展延伸： （3）如图③，在四边形中，，平分，以D为顶点作，交于点F，交于点E，若，求四边形的面积．（备注：所对的直角边等于斜边的一半） 【详解】（1）． 理由如下∶如图①， 连接， ，，是的中点， ，， 和是等腰三角形，即， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）当点E在线段的延长线上时，（1）中的结论仍然成立， 理由如下： 如图②，连接， ，，是的中点， ，， 和是等腰三角形， 即，， ，， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （3）如图③，作于，于， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ，， ， ． 3．【问题背景】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，我们可以利用几何图形来论证代数结论． 【提出问题】 （）观察几何图形，找出可以用来推出的等式，将其代码填在下面相应横线上． ．             ． ．             ． 上图中图①对应______，图②对应______，图③对应______，图④对应______； 【解决问题】 （）如图⑤是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记与的面积之和为，与的面积之和为． ①当是边的中点时，则的值为______； ②当不是边的中点时，①中的结论是否仍成立?若成立，写出推理过程； 【详解】解：（）图①对应的等式为，图②对应的等式为，图③对应的等式为，图④对应的等式为， 故答案为：，，，； （）①当是边的中点时， 设，则， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：； ②仍成立，理由如下： 设，，则，， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 4．问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取3） (1)如图1，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图2．请在图2中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是_______cm；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径_______．（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图3所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度． 路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如下表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 5 11 4 10 3 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是__________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径为与圆柱的高度的数量关系． 【详解】（1）解：图中画出蚂蚁爬行的最短路径为： 展开后，半圆长为， 根据勾股定理，此时最短路程为 ∵， 由此可知，蚂蚁爬行的最短路径为路线Ⅱ； 故答案为：，Ⅱ； （2）解：， ∵． ∴表格中表示的大小关系是， 故答案为：，； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 5．阅读与理解 下面是小丽同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格和无刻度直尺作图 正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的线段叫做格点线段．利用正方形网格和无刻度直尺可以做格点线段的中点和垂线．如图，正方形网格是由边长为1的小正方形组成，已知是格点线段，可以用如以下方法构造的中点和垂线． 构造中点：如图1，在网格上取格点，使得，且，连接交的于点．点即为的中点．理由如下： ∵，， 在和中，， （依据1） （依据2）， 即点是的中点． 构造垂线：如图2，在网格上取格点，使得，且，连接即为的垂线．理由如下：… 任务： (1)上述材料中的依据1是指___________，依据2是指___________． (2)请你帮小丽将“构造垂线”中的理由补充完整． (3)如图3，在给定的网格区域内，利用网格和无刻度直尺构造，使得． 【详解】（1）解：上述材料中的依据1是指角边角 （）， 依据2是指全等三角形的对应边相等 （2）解：令 与 交于点 ， 在 和 中 ， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：如图，取格点，连接，，交于点，作射线，则 即为所求； 理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴. 平行四边形中的阅读材料题题型3 1．阅读下列材料，并完成相应的任务 数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法——数形结合法 【例题】求的最小值 【分析】，将x和3分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长．（依据） 任务： (1)直接写出材料中的依据为：_________； (2)写出求解长的解题过程； (3)按照材料中例题的方法，直接写出的最小值为_________． 【详解】（1）解：材料中的依据为：两点之间线段最短； （2）解：如图：作交的延长线于， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； （3）解：，将x和分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长， 作交的延长线于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，E ∵，，， ∴，， ∴； ∴的最小值为． 2．【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形． 同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着过对边中点的两条线段和剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，使点B，C，D与A重合，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． ①图3是将剪开拼成矩形的一种方法的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为_______；与的位置关系为_________； ②如图4，请你再设计一种将剪开拼成与其面积相等的矩形的方法．仿照图3用虚线在左图中画出剪切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图． 【实践与应用】 （2）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形． 【详解】解：（1）①如图，根据剪切和拼接操作方法可知，，， ， 为的中位线． ． 又∵四边形是矩形． ， 和的位置关系为． 故答案为：①；； ②如图，D，E分别是的中点，，．再由可推出，，沿和从剪下和，然后拼接在和． （2）第一种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，．沿虚线和剪开四边形，把和分别拼接到①、②、③和④处即可． ． 第二种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，沿虚线和剪开四边形形成四个四边形①、②、③和④，再如图中所示拼接即可． ． 3．【教材呈现】 将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短，而是如图所示的连法最短（即用线段、、、、把四个顶点连接起来）．已知如图1：，． （1）由图1可知，线段和的位置关系为：______； 【问题探究】 （2）某数学兴趣小组发现，图1所示图形______（是／不是）轴对称图形，于是他们如图2构造了，发现是______三角形，请结合以上结论，猜想线段与的数量关系，并证明． 【问题解决】 （3）在第（2）问的基础上，若，求最短连法的线段和，即的值． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：图1所示图形是轴对称图形， 如图2构造了，发现是等边三角形， 猜想线段，理由如下： 由（1）得，， ， ， ， 同理， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ，， ， 故答案为：是，等边； （3）解：是等边三角形，同（2）可知：是等边三角形， ， 由（2）知：， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 的值为． 4．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ． 同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654∼1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 任务： (1)填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______． (2)如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论． (3)请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数． 【详解】（1）证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（三角形的中位线定理） 分别为的中点， ． ， 同理：， 四边形是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 故答案为：三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下： 分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为 ． （3）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 5．阅读材料：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段将这个三角形分割成两个小的等腰三角形；那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”： (1)在中，，，是中线，则_______（填“是”或“不是”）的两分线； (2)如图，在中，，平分，．求证：是的两分线； (3)图中①、②均是可两分三角形，请利用量角器和直尺画出①、②的两分线，并标出分成的等腰三角形顶角的度数； (4)已知是可两分三角形，且，为钝角，请直接写出所有可能的度数． 【详解】（1）解：∵中，，，是中线， ∴， ∴与都是等腰三角形， ∴是的两分线； 故答案为：是； （2）证明：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴与都是等腰三角形， ∴是的两分线； （3）解：“两分线”如图所示， （4）解：如图中，当是“两分线”时，如果， 则； 如果，， 则； 如果，， 则（不合题意舍去）；    如图中，当是“两分线”时，，，则，    符合条件的的度数为或或． 6．下面是小宇同学的数学小论文，请你仔细阅读并完成相应的任务． 折叠正方形 在数学活动时折叠的本质是图形的轴对称，通过轴对称进行图形的变换可以构造形式多样的几何图形，利用轴对称的知识研究问题也是常用的方法．如图1，四边形是正方形，点是边上的一点，，将沿着折叠得到，连接交于点，过点作于点．则有．理由如下： 方法一：由折叠可知： 是的垂直平分线（依据1）， ∴， ∵，∴，∴ ∵四边形是正方形，∴ ∴，∴ ∵， ∴（依据2） ∴ 方法二： 任务： (1)材料中的依据1是指 ；依据2是指 ； (2)请你帮助小宇同学写出方法二； (3)如图2，把材料中的图形延长交的延长线于点，其余条件保持不变，若，求的长度． 【详解】（1）解：材料中的依据1是指轴对称的性质；依据2是指角平分线的性质； 故答案为：轴对称的性质；角平分线的性质；． （2）理由：∵将沿着折叠得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∵将沿着折叠得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 一次函数中的阅读材料题题型4 1．阅读材料： 通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．有这样一个问题：如图，直线的表达式为，直线与轴、轴交于两点，若直线与直线关于轴对称，求直线的表达式．下面是小明的解题思路． 第一步：求出直线与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为； 第二步：在平面直角坐标系中，作出直线； 第三步：求点关于轴的对称点的坐标为； 第四步：由点，点，利用待定系数法，可得直线的表达式． (1)参考小明的解题思路和结论，解决问题：直线关于轴对称的直线的表达式为________； (2)如图，若过点且平行于轴的直线叫做直线，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式； (3)如图，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 【详解】（1）解：由得，当时，当时，， ∴与轴交点坐标为，， ∴与轴对称的点坐标为，， 设直线关于轴对称的直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线关于轴对称的直线的表达式为， 故答案为：； （2）解：∵直线与的交点坐标为， ∴点关于的对称点坐标为， 设直线的解析式为， 则 ，解得， ∴直线的表达式为； （3）解：由得，当时，，当时，， ∴，， ∴两点的坐标关于直线的对称点分别为，， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线 的表达式为． 2．阅读下列一段文字，回答问题． 在平面直角坐标内有两点连接，则线段的中点坐标为，例如，点，则线段的中点坐标为即． (1)已知点，则线段的中点坐标为______． (2)如图，直线与坐标轴分别交于两点，点坐标为，线段是的中线，求的长 【详解】（1）解：， 线段的中点坐标为即， 故答案为∶ ； （2）解：过点作轴于E， ， ∵直线与坐标轴分别交于A，B两点 ∴当时，；当时，   ，               中点D的坐标为即， ， 的坐标为， ， 在中，，由勾股定理得， 则 ． 3．综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 【问题解决】 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … (1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图像，根据图像发现容器内盛水量与滴水时间，符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； (2)根据以上判断，求关于的函数关系式． 【详解】（1）解：关于的函数图像如图所示， 根据图像发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的一次函数， 故答案为：一次； （2）设一次函数解析式为，将点代入， 可得，解得， ∴一次函数解析式为． 4．数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 该超市购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图2所示．辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为米，且每增加一辆购物车，长度增加米． 信息2 该超市购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次只能转运列购物车列，且长度最多为米，直立电梯一次性最多能转运列长度均为米的购物车列． 问题解决 任务1 若辆购物车按图的方式叠放，形成购物车列的长度为米，则______；（用含的代数式表示） 任务2 该超市直立电梯一次最多能转运购物车数量； 任务3 若该超市需转运辆购物车，单独使用直立电梯和单独使用扶手电梯均需要次，求这辆购物车按图的方式叠放，形成购物车列的长度的最大值． 【详解】任务：根据题意，得. 故答案为：； 任务：当时，得， 解得， （辆)； 答：该超市直立电梯一次最多能转运购物车数量辆； 任务：当时，得， 解得， 该超市直立电梯一次最多能转运购物车数量辆， 根据题意单独使用直立电梯需要次，可知； 根据题意，得， 解得， 当最大时，最大， 当时，； 答：形成购物车列的长度的最大值为 5．【背景阅读】 图1中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是一种传统的木制凳子，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．其中，榫眼的设计很有讲究，其形状为长方形，且长与宽分别与凳面的长与宽平行；木工先沿凳面的一条对称轴画一条线（如图2中虚线），再以这条线为基准向两边各取相同的长度，以确定榫眼的位置，其结构设计体现了数学的对称美． 【数据收集】 某校八年级数学兴趣小组通过测量收集了一类板凳的数据，如图2，设凳面宽度为，凳面一端两个榫眼的内侧距离为，下表为其中的部分数据： 凳面宽度 … 130 145 155 181.5 … 凳面一端两个榫眼的内侧距离 … 38.8 n 48.8 59.4 … 【数据分析】 该数学兴趣小组以对应的一组x，y的值分别作为一个点的横、纵坐标，并在平面直角坐标系中描出了相应的多个点，发现这些点都在同一条直线上． 【建模应用】 （1）求y与x之间满足的函数关系式，并求出表格中n的值； （2）当板凳凳面一端两个榫眼的内侧距离刚好等于凳面宽度的时，求该板凳的凳面宽度． 【详解】解∶(1)由题意可知，x与y之间为一次函数关系，设x与y之间的函数关系式为 (k、b为常数，且) 将，和，分别代入， 得， 解得， 与y之间的函数关系式为， 当时，， 的值为44.8． (2)根据题意，得， 解得． 答∶该板凳的登面宽度为． 压轴真题题型5 1．（23-24八年级下·四川泸州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：．善于思考的小明进行了以下探索； 设（其中a、b、m、n均为整数），则有，∴，．这样，小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)请你利用探索结论，找出一组正整数a、b、m、n，填空：_____+_____=（_____+____； (2)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得_______， _______； (3)若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值． 【详解】（1）解：∵当，时，则，， ∴， ∴这一组正整数，，，， 故答案为：9，4，1，2（答案不唯一）； （2）解：∵， ∴，， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵a、b、m、n均为正整数， ∴，时，， ，时，， m=4，时，， 综上，a为49或16或19． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ； （3）解：选①， ∵， ∴， 同理， 两式得， ∴； 选②，∵ ． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）由，得；如果a，b是两个正数，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当，式子的最小值为______； (2)已知，当x多大时，分式有最大值，最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线于点O，，，的面积为，的面积为，当最大时，求四边形的面积． 【详解】（1）解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为8． （2）解：， ∵， ∴，， 令，，则由，得， ∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为， ∴当时，有最大值，且最大值为， 即当时，有最大值． （3）解：∵四边形的对角线于点O， ∴，， ， ， 根据题意得：，， ∴，，当且仅当，时，等号成立， ∴当，时，有最大值， ∵，， ∴此时，， ∴，， ∴此时 ． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）【阅读材料：】如图①，中，各个内角均小于，在内找一点O，使，此时；最小；这个点O称为的费马点，的值称为的费马距离；（费马，17世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在的外侧作等边、等边，连接交于点O，这个交点O就是的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明，…进而得出，第二步，连接，并在线段上取一点Q，使；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接． （1）证明：； （2）当时，求的费马距离． 【详解】解：作图原理：证明：第一步： ∵等边、等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 第二步：如图②，连接，在线段上取一点Q，使， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （1）证明：由第二步可知：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点D作交延长线于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的费马距离为． 5．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）【发现问题】 小红在做题时遇到了下面的问题，请你帮小红完成下面的证明． （1）如图①，在和中，，，和的周长都等于12．求证：． 【提出问题】 小红于是想知道：两个直角三角形若满足一组直角边对应相等，并且周长也相等，那么这两个直角三角形全等吗？ 如图②，在和中，，，和的周长相等． 求证：． 【解决问题】 下面是小红对这个问题的探究过程． （2）根据小红的探究，请将下列过程补充完整； 设，的周长＝的周长＝，． 在中，根据勾股定理，得关于的方程______． 解得；同理可得．由此可得．又，根据______，可以知道． 小红进一步思考，除了可以用上面严谨的推理过程验证自己的猜想，也可以模仿教科书里利用“尺规作图”的方式来验证； 小红在作图时遇到了困难，偶然的机会，她阅读到下面方框的材料，受到了启发． 如图③，在和中，分别延长，至，，使得，，连接，． （3）如图④，已知线段，．用直尺和圆规求作一个，使，，的周长为．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【详解】解：（发现问题）设， ∵，和的周长都等于12， ∴， 在中，根据勾股定理，得： ，即，解得； 同理可得：设，可得． 由此可得． ∵， ∴； （解决问题） （2）（I）设，的周长的周长，． ∴， 在中，根据勾股定理，得： ， ∴， 解得； 同理可得：． 由此可得．又， 根据，可以知道． 故答案为：，； （II）∵，且和的周长相等， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，即为所求； 6．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图1，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图1中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图1用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为． 故答案为：；； （2）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， ， ； （3）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， 正方形的面积． 7．（24-25八年级上·福建漳州·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度． 先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题： (1)直接写出代数式的最小值； (2)若，均为正数，且，求的最小值； (3)若，求的值． 【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于点， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 所以代数式的最小值为5． （2）解：由题意，构造如下图形：（其中，点在线段上）， 则，， ∴可将问题转化为求线段的最小值， ∴的最小值为线段的长度， 过点作，交延长线于点， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 所以代数式的最小值为10． （3）解：由题意，构造如下图形： 其中，，，，于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 所以的值为． 8．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）阅读与思考 小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务． 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”． 下面是上述命题的证明． 已知：如图1，在中，． 求证：． 证明：如图2，由于，故在边上截取，连接． ，，（依据1） 是的外角，，（依据2） ，． ，，． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________． (2)如图3，在四边形中，，．请猜想和的关系，并证明你的结论． (3)如图4，在四边形中，，连接、相交于点，且，点在边上，．求证：． 【详解】（1）解：如图2，由于，故在边上截取，连接． ， ，（等边对等角） 是的外角， ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ， ． ， ， ． 故答案为：等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （2）证明：如图，连接， ， ， 由于， 在边上截取，连接． ， 是的外角， ， ， ． ， ， ． （3）证明：过A作，交的延长线于N， ， 四边形是平行是边形，， ，， ， ， 为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ． 9．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到E，使得．连接．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到． (1)请你按材料中的分析写出证明过程； (2)上述证明方法中主要体现的数学思想是　　　； A．转化思想    B．类比思想    C．数形结合思想    D．从一般到特殊思想 (3)如图3，点C是线段上一点，，点E是线段上一点，分别连接，，点F，G分别是和的中点，连接．若，则　　　． 【详解】（1）证明：如解图①，延长到点，使得 连接，， 图① 是斜边上的中线， ， 又， 四边形是平行四边形， 又 平行四边形是矩形， ， ， ； （2）由上述证明方法中主要体现的数学思想是转化思想， 故答案为：A （3）解：如解图②，连接并延长到点，使，连接，，连接并延长到点，使，连接，，延长交于点，连接， 则四边形，四边形，四边形都为矩形， 四边形，四边形均为矩形， 在 中，由勾股定理得： 点，分别是，的中点，四边形，四边形都是矩形， 点，分别是，的中点， 是的中位线， 的长为。 10．（24-25九年级上·河北保定·期中）阅读下列材料，并回答相关问题． 老师的问题：如图，在矩形中，求作正方形，使得点，分别在，上． 小明的作法：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接． 老师补充的问题：如图，，分别为，的中点，，分别为，的中点，且，求的长． (1)在小明的作法中，______．（填“”“”或“”） (2)证明小明所作的四边形为正方形．（可直接使用（1）中的结论） (3)解答老师补充的问题． 【详解】（1）解：根据小明的作法可知： ∴； 故答案为：． （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形， ∵ ∴四边形为正方形． （3）解：如图所示，连接并延长交于点，在上截取， ∴四边形是矩形， ∴ ∵四边形是正方形，， ∴ ∵，分别为，的中点，，分别为，的中点， ∴，， ∴，，， 在中， ∵分别为的中点， ∴ 11．（24-25八年级上·山西太原·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 有理点与无理点 平面直角坐标系是重要的数学工具，借助坐标系，可以将“数”这一代数对象赋予“点”的几何特征．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标都是有理数，则称这个点为“有理点”；如果一个点的横、纵坐标中至少有一个是无理数，则称这个点为“无理点”． 如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径画弧，与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点，，作直线．易知图中点是“有理点”，点，都是“无理点”． 任务： (1)填空：上述材料中点的坐标为______，点的坐标为______； (2)已知直线的函数表达式为．小文认为直线上除，两点外的其余各点都是“有理点”．请你判断他的观点是否正确，并说明理由； (3)在轴上是否存在点，使的面积等于面积的2倍？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， 由题意知，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：小文的观点不正确，理由如下； 当时，， ∴为直线的一点，为无理点， ∴小文的观点不正确； （3）解：∵的面积等于面积的2倍， ∴， ∴点的坐标为或， ∴在轴上存在点，点的坐标为或． 12．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 杆秤是我国传统的计重工具，也可算作华夏“国粹”．它制作轻巧、经典，使用也极为便利，作为商品流通的度量工具，活跃在大江南北，代代相传．天地间有杆秤，人们不断赋予秤的文化内涵，公平公正的象征，天地良心的标尺，一桩桩交易就在秤砣与秤盘的此起彼伏间完成． 【查阅资料】 自制杆秤 原理 杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，称重时根据被称物的轻重，使砣与砣绳在秤杆上移动以保持平衡．根据平衡时砣绳所对应的秤杆上的刻度，即可读出被称物的质量示值．精确的杆秤必须满足秤砣的质量×每增加1千克的刻度间的距离=提纽与秤盘悬挂点的距离． 制作步骤 步骤1准备材料 秤杆、秤砣、秤盘、秤纽、刻度标记 步骤2制作秤杆 根据需要称量的最大重量和精度，选择合适的秤杆长度和直径．在秤杆上确定支点位置，通常位于秤杆的中间或稍偏一端．在秤杆上刻制刻度，根据杠杆原理，确定每个刻度的位置． 步骤3安装秤盘和秤纽 在秤杆的一端安装秤盘，确保秤盘稳固且能自由摆动．在秤杆的另一端或适当位置安装秤纽． 步骤4校准秤杆 使用已知重量的物体进行校准，确保秤杆在不同重量下的读数准确．根据校准结果调整秤砣的重量或刻度标记的位置，以达到所需的精度． 【建立模型】如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数，表中为校准秤杆时若干次称重所记录的一些数据． （厘米） （斤）   【解决问题】 （1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对数是错误的？以坐标的形式表达出来．______； （2）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤钩所挂物重y增加______斤； （3）根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题． ①y与x之间的函数表达式； ②当秤钩所挂物重是6.2斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？ 【详解】解：（1）把表中数据描点如下： 观察图象可知：由于是的一次函数，没有位于直线上，所以，这组数据错误， 故答案为：； （2）根据表中数据当时，，当时，，由此可得： 当每增加厘米时，秤杆所挂物重增加了斤． 故答案为： （3）①是的一次函数， 设与的函数关系式为 根据表中数据有当时，，当时，， ， 解得， 与的函数关系式为． ②当时，， 解得． 答：秤钩所挂物重是9斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米． 13．（24-25八年级上·广东佛山·期中）【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法，可以把几何关系转化成代数关系． 【初步运用】（1）某年广东省数学中考卷的填空压轴题：如图1，边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分（直角梯形）的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） 解题思路： ①如图2，以直线为轴，以直线为轴，以点为原点建立直角坐标系． ②由题意得，点坐标为，点坐标为，点坐标为________，点坐标为． ③点和点的坐标求出直线的关系式为_________． ④为点的横坐标为6，且点在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点坐标，从而得到线段和线段的长，从而求出阴影部分直角梯形的面积为_________． 【迁移探究】（2）如图，长方形中，，，，，点是边上的一点，交于点．请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （3）在题（2）建立的直角坐标系基础下，点是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由→→→的方向移动，点是点在运动过程中关于轴的对称点．请问在点的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请直接写出此时点的坐标、若不存在，请说明理由． （4）在题（2）建立的直角坐标系基础下，把沿着直线折叠，点的对应点为点，请直接写出点的坐标． 【详解】解：（1）如图，以直线为轴，以直线为轴，以点为原点建立直角坐标系． 则，，，， 设直线的解析式为，把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：，，8； （2）如图，以直线为轴，以直线为轴，以点为原点建立直角坐标系． ∵，，， ∴，，，， 则直线的解析式为，直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴， ∴； （3）存在． ∵，， ∴， 当点在边上时，如图， ∵是一个等腰三角形，， ∴， ∵点、关于轴对称， ∴， ∴， ∴； 当点在边上时，，， 且， 此时不可能为等腰三角形； 当点在边上时，如图，作的垂直平分线交的延长线于点， 设，把的中点坐标代入得：， 解得：， ∴的垂直平分线的解析式为， 当时，， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （4）由折叠得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点、到的距离相等， ∴， ∴直线的解析式为， 设，如图， 则， ∴， 解得：（舍去），， ∴点的坐标为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 阅读材料型重难点题型分类 【题型1：二次根式中的阅读材料题】 【题型2：勾股定理中的阅读材料题】 【题型3：平行四边形中的阅读材料题】 【题型4：一次函数中的阅读材料题】 【题型5：压轴真题】 二次根式中的阅读材料题题型1 1．阅读下列解题过程： ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写出式子； (2)观察上面的解题过程，请直接写出式子； (3)利用上面所提供的解法，请求：的值． 2．阅读下列分母有理化的过程： （Ⅰ）； （Ⅱ）； 请完成下列问题： (1)仿照上述解题过程计算：=__________；=__________；（注意结果化简） (2)观察上面解题过程，请直接写出的结果为_________； (3)通过完成问题（1）（2），你得到的结论是： ； (4)试利用上面所提供的思路，解方程：． 3．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小： （填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 4．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为__________；当时，的最大值为_________； (2)当时，求的最小值； (3)如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为2，的面积为3，求四边形面积的最小值． 5．阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 勾股定理中的阅读材料题题型2 1．材料阅读：小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 发现： （1）如图①，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则； 类比： （2）如图②，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 拓展： （3）如图③，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时， 过点C作，交的延长线于点G，若，，连接，补全图形，求的面积． 2．综合与实践 问题情景：在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，在等腰中，，，点D是的中点，点E是直线上一个动点，过点D作，交直线于点F． 初步探究： （1）如图①，当点E在线段上时，请判断线段，的数量关系：________． 类比探究： （2）如图②，当点E在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 拓展延伸： （3）如图③，在四边形中，，平分，以D为顶点作，交于点F，交于点E，若，求四边形的面积．（备注：所对的直角边等于斜边的一半） 3．【问题背景】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，我们可以利用几何图形来论证代数结论． 【提出问题】 （）观察几何图形，找出可以用来推出的等式，将其代码填在下面相应横线上． ．             ． ．             ． 上图中图①对应______，图②对应______，图③对应______，图④对应______； 【解决问题】 （）如图⑤是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记与的面积之和为，与的面积之和为． ①当是边的中点时，则的值为______； ②当不是边的中点时，①中的结论是否仍成立?若成立，写出推理过程； 4．问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取3） (1)如图1，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图2．请在图2中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是_______cm；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径_______．（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图3所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度． 路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如下表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 5 11 4 10 3 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是__________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径为与圆柱的高度的数量关系． 5．阅读与理解 下面是小丽同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格和无刻度直尺作图 正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的线段叫做格点线段．利用正方形网格和无刻度直尺可以做格点线段的中点和垂线．如图，正方形网格是由边长为1的小正方形组成，已知是格点线段，可以用如以下方法构造的中点和垂线． 构造中点：如图1，在网格上取格点，使得，且，连接交的于点．点即为的中点．理由如下： ∵，， 在和中，， （依据1） （依据2）， 即点是的中点． 构造垂线：如图2，在网格上取格点，使得，且，连接即为的垂线．理由如下：… 任务： (1)上述材料中的依据1是指___________，依据2是指___________． (2)请你帮小丽将“构造垂线”中的理由补充完整． (3)如图3，在给定的网格区域内，利用网格和无刻度直尺构造，使得． 平行四边形中的阅读材料题题型3 1．阅读下列材料，并完成相应的任务 数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法——数形结合法 【例题】求的最小值 【分析】，将x和3分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长．（依据） 任务： (1)直接写出材料中的依据为：_________； (2)写出求解长的解题过程； (3)按照材料中例题的方法，直接写出的最小值为_________． 2．【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形． 同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着过对边中点的两条线段和剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，使点B，C，D与A重合，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． ①图3是将剪开拼成矩形的一种方法的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为_______；与的位置关系为_________； ②如图4，请你再设计一种将剪开拼成与其面积相等的矩形的方法．仿照图3用虚线在左图中画出剪切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图． 【实践与应用】 （2）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形． 3．【教材呈现】 将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短，而是如图所示的连法最短（即用线段、、、、把四个顶点连接起来）．已知如图1：，． （1）由图1可知，线段和的位置关系为：______； 【问题探究】 （2）某数学兴趣小组发现，图1所示图形______（是／不是）轴对称图形，于是他们如图2构造了，发现是______三角形，请结合以上结论，猜想线段与的数量关系，并证明． 【问题解决】 （3）在第（2）问的基础上，若，求最短连法的线段和，即的值． 4．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ． 同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654∼1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 任务： (1)填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______． (2)如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论． (3)请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数． 5．阅读材料：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段将这个三角形分割成两个小的等腰三角形；那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”： (1)在中，，，是中线，则_______（填“是”或“不是”）的两分线； (2)如图，在中，，平分，．求证：是的两分线； (3)图中①、②均是可两分三角形，请利用量角器和直尺画出①、②的两分线，并标出分成的等腰三角形顶角的度数； (4)已知是可两分三角形，且，为钝角，请直接写出所有可能的度数． 6．下面是小宇同学的数学小论文，请你仔细阅读并完成相应的任务． 折叠正方形 在数学活动时折叠的本质是图形的轴对称，通过轴对称进行图形的变换可以构造形式多样的几何图形，利用轴对称的知识研究问题也是常用的方法．如图1，四边形是正方形，点是边上的一点，，将沿着折叠得到，连接交于点，过点作于点．则有．理由如下： 方法一：由折叠可知： 是的垂直平分线（依据1）， ∴， ∵，∴，∴ ∵四边形是正方形，∴ ∴，∴ ∵， ∴（依据2） ∴ 方法二： 任务： (1)材料中的依据1是指 ；依据2是指 ； (2)请你帮助小宇同学写出方法二； (3)如图2，把材料中的图形延长交的延长线于点，其余条件保持不变，若，求的长度． 一次函数中的阅读材料题题型4 1．阅读材料： 通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．有这样一个问题：如图，直线的表达式为，直线与轴、轴交于两点，若直线与直线关于轴对称，求直线的表达式．下面是小明的解题思路． 第一步：求出直线与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为； 第二步：在平面直角坐标系中，作出直线； 第三步：求点关于轴的对称点的坐标为； 第四步：由点，点，利用待定系数法，可得直线的表达式． (1)参考小明的解题思路和结论，解决问题：直线关于轴对称的直线的表达式为________； (2)如图，若过点且平行于轴的直线叫做直线，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式； (3)如图，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 2．阅读下列一段文字，回答问题． 在平面直角坐标内有两点连接，则线段的中点坐标为，例如，点，则线段的中点坐标为即． (1)已知点，则线段的中点坐标为______． (2)如图，直线与坐标轴分别交于两点，点坐标为，线段是的中线，求的长 3．综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 【问题解决】 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … (1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图像，根据图像发现容器内盛水量与滴水时间，符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； (2)根据以上判断，求关于的函数关系式． 4．数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 该超市购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图2所示．辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为米，且每增加一辆购物车，长度增加米． 信息2 该超市购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次只能转运列购物车列，且长度最多为米，直立电梯一次性最多能转运列长度均为米的购物车列． 问题解决 任务1 若辆购物车按图的方式叠放，形成购物车列的长度为米，则______；（用含的代数式表示） 任务2 该超市直立电梯一次最多能转运购物车数量； 任务3 若该超市需转运辆购物车，单独使用直立电梯和单独使用扶手电梯均需要次，求这辆购物车按图的方式叠放，形成购物车列的长度的最大值． 5．【背景阅读】 图1中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是一种传统的木制凳子，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．其中，榫眼的设计很有讲究，其形状为长方形，且长与宽分别与凳面的长与宽平行；木工先沿凳面的一条对称轴画一条线（如图2中虚线），再以这条线为基准向两边各取相同的长度，以确定榫眼的位置，其结构设计体现了数学的对称美． 【数据收集】 某校八年级数学兴趣小组通过测量收集了一类板凳的数据，如图2，设凳面宽度为，凳面一端两个榫眼的内侧距离为，下表为其中的部分数据： 凳面宽度 … 130 145 155 181.5 … 凳面一端两个榫眼的内侧距离 … 38.8 n 48.8 59.4 … 【数据分析】 该数学兴趣小组以对应的一组x，y的值分别作为一个点的横、纵坐标，并在平面直角坐标系中描出了相应的多个点，发现这些点都在同一条直线上． 【建模应用】 （1）求y与x之间满足的函数关系式，并求出表格中n的值； （2）当板凳凳面一端两个榫眼的内侧距离刚好等于凳面宽度的时，求该板凳的凳面宽度． 压轴真题题型5 1．（23-24八年级下·四川泸州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：．善于思考的小明进行了以下探索； 设（其中a、b、m、n均为整数），则有，∴，．这样，小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)请你利用探索结论，找出一组正整数a、b、m、n，填空：_____+_____=（_____+____； (2)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得_______， _______； (3)若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）由，得；如果a，b是两个正数，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当，式子的最小值为______； (2)已知，当x多大时，分式有最大值，最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线于点O，，，的面积为，的面积为，当最大时，求四边形的面积． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）【阅读材料：】如图①，中，各个内角均小于，在内找一点O，使，此时；最小；这个点O称为的费马点，的值称为的费马距离；（费马，17世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在的外侧作等边、等边，连接交于点O，这个交点O就是的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明，…进而得出，第二步，连接，并在线段上取一点Q，使；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接． （1）证明：； （2）当时，求的费马距离． 5．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）【发现问题】 小红在做题时遇到了下面的问题，请你帮小红完成下面的证明． （1）如图①，在和中，，，和的周长都等于12．求证：． 【提出问题】 小红于是想知道：两个直角三角形若满足一组直角边对应相等，并且周长也相等，那么这两个直角三角形全等吗？ 如图②，在和中，，，和的周长相等． 求证：． 【解决问题】 下面是小红对这个问题的探究过程． （2）根据小红的探究，请将下列过程补充完整； 设，的周长＝的周长＝，． 在中，根据勾股定理，得关于的方程______． 解得；同理可得．由此可得．又，根据______，可以知道． 小红进一步思考，除了可以用上面严谨的推理过程验证自己的猜想，也可以模仿教科书里利用“尺规作图”的方式来验证； 小红在作图时遇到了困难，偶然的机会，她阅读到下面方框的材料，受到了启发． 如图③，在和中，分别延长，至，，使得，，连接，． （3）如图④，已知线段，．用直尺和圆规求作一个，使，，的周长为．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 6．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图1，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图1中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图1用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 7．（24-25八年级上·福建漳州·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度． 先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题： (1)直接写出代数式的最小值； (2)若，均为正数，且，求的最小值； (3)若，求的值． 8．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）阅读与思考 小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务． 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”． 下面是上述命题的证明． 已知：如图1，在中，． 求证：． 证明：如图2，由于，故在边上截取，连接． ，，（依据1） 是的外角，，（依据2） ，． ，，． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________． (2)如图3，在四边形中，，．请猜想和的关系，并证明你的结论． (3)如图4，在四边形中，，连接、相交于点，且，点在边上，．求证：． 9．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到E，使得．连接．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到． (1)请你按材料中的分析写出证明过程； (2)上述证明方法中主要体现的数学思想是　　　； A．转化思想    B．类比思想    C．数形结合思想    D．从一般到特殊思想 (3)如图3，点C是线段上一点，，点E是线段上一点，分别连接，，点F，G分别是和的中点，连接．若，则　　　． 10．（24-25九年级上·河北保定·期中）阅读下列材料，并回答相关问题． 老师的问题：如图，在矩形中，求作正方形，使得点，分别在，上． 小明的作法：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接． 老师补充的问题：如图，，分别为，的中点，，分别为，的中点，且，求的长． (1)在小明的作法中，______．（填“”“”或“”） (2)证明小明所作的四边形为正方形．（可直接使用（1）中的结论） (3)解答老师补充的问题． 11．（24-25八年级上·山西太原·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 有理点与无理点 平面直角坐标系是重要的数学工具，借助坐标系，可以将“数”这一代数对象赋予“点”的几何特征．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标都是有理数，则称这个点为“有理点”；如果一个点的横、纵坐标中至少有一个是无理数，则称这个点为“无理点”． 如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径画弧，与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点，，作直线．易知图中点是“有理点”，点，都是“无理点”． 任务： (1)填空：上述材料中点的坐标为______，点的坐标为______； (2)已知直线的函数表达式为．小文认为直线上除，两点外的其余各点都是“有理点”．请你判断他的观点是否正确，并说明理由； (3)在轴上是否存在点，使的面积等于面积的2倍？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 12．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 杆秤是我国传统的计重工具，也可算作华夏“国粹”．它制作轻巧、经典，使用也极为便利，作为商品流通的度量工具，活跃在大江南北，代代相传．天地间有杆秤，人们不断赋予秤的文化内涵，公平公正的象征，天地良心的标尺，一桩桩交易就在秤砣与秤盘的此起彼伏间完成． 【查阅资料】 自制杆秤 原理 杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，称重时根据被称物的轻重，使砣与砣绳在秤杆上移动以保持平衡．根据平衡时砣绳所对应的秤杆上的刻度，即可读出被称物的质量示值．精确的杆秤必须满足秤砣的质量×每增加1千克的刻度间的距离=提纽与秤盘悬挂点的距离． 制作步骤 步骤1准备材料 秤杆、秤砣、秤盘、秤纽、刻度标记 步骤2制作秤杆 根据需要称量的最大重量和精度，选择合适的秤杆长度和直径．在秤杆上确定支点位置，通常位于秤杆的中间或稍偏一端．在秤杆上刻制刻度，根据杠杆原理，确定每个刻度的位置． 步骤3安装秤盘和秤纽 在秤杆的一端安装秤盘，确保秤盘稳固且能自由摆动．在秤杆的另一端或适当位置安装秤纽． 步骤4校准秤杆 使用已知重量的物体进行校准，确保秤杆在不同重量下的读数准确．根据校准结果调整秤砣的重量或刻度标记的位置，以达到所需的精度． 【建立模型】如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数，表中为校准秤杆时若干次称重所记录的一些数据． （厘米） （斤）   【解决问题】 （1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对数是错误的？以坐标的形式表达出来．______； （2）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤钩所挂物重y增加______斤； （3）根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题． ①y与x之间的函数表达式； ②当秤钩所挂物重是6.2斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？ 13．（24-25八年级上·广东佛山·期中）【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法，可以把几何关系转化成代数关系． 【初步运用】（1）某年广东省数学中考卷的填空压轴题：如图1，边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分（直角梯形）的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） 解题思路： ①如图2，以直线为轴，以直线为轴，以点为原点建立直角坐标系． ②由题意得，点坐标为，点坐标为，点坐标为________，点坐标为． ③点和点的坐标求出直线的关系式为_________． ④为点的横坐标为6，且点在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点坐标，从而得到线段和线段的长，从而求出阴影部分直角梯形的面积为_________． 【迁移探究】（2）如图，长方形中，，，，，点是边上的一点，交于点．请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （3）在题（2）建立的直角坐标系基础下，点是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由→→→的方向移动，点是点在运动过程中关于轴的对称点．请问在点的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请直接写出此时点的坐标、若不存在，请说明理由． （4）在题（2）建立的直角坐标系基础下，把沿着直线折叠，点的对应点为点，请直接写出点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$