6 直线和圆的位置关系(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

参考答案与提示 ∠AHO. ∵∠BOP＝∠AOH ， ∴△AOH∽△POB. ∴ OP OA = OB OH . ∴ 即 OP · OH=OA · OB. ∴ （ 5x+1 ）· 3x=5x · 5x. ∴x＝ 3 10 . ∴OE＝ 3 2 . ∴⊙O 半径的长为 3 2 ． 22. （ 1 ） 证明： ∵ 直线 l 与 ⊙O 相切于点 A ， AB 是 ⊙O 的直径， ∴AB⊥CD. ∴∠BAC＝∠BAD＝90°. ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠AFB＝90°. ∵∠BAF+∠ABD＝90° ， ∠CDB+∠ABD＝90° ， ∴∠BAF＝∠CDB. （ 2 ） 解： 在 Rt△ABD 中， ∵AB＝2r＝12 ， AD＝9 ， ∴BD= AB 2 +AD 2 姨 =15. 在 Rt△ABC 中 ， ∵AB＝12 ， AC＝12 ， ∴BC＝ AB 2 +AC 2 姨 ＝12 2 姨 . ∵ ∠ABF＝∠DBA ， ∠AFB＝∠BAD ， ∴△BAF∽△BDA. ∴ BF AB = AB BD ， 即 BF 12 = 12 15 . 解得 BF＝ 48 5 . ∵∠BEF＝∠BAF ， ∠BAF＝∠CDB ， ∴∠BEF＝∠CDB. ∵∠EBF＝∠DBC ， ∴△BEF∽△BDC. ∴ EF CD = BF BC ， 即 EF 21 = 48 5 12 2 姨 . 解得 EF＝ 42 2 姨 5 . ∴EF 的长为 42 2 姨 5 ． 6 直线和圆的位置关系 （第 2 课时） 1． 相离 2. 115 3. 16 cm 4. 30° 或 90° 5. C 6. D 7. B 8. 解： 是 . 理由： 如图， 连接 OD. ∵AD∥OC ， ∴∠COD=∠ADO ， ∠DAO=∠COB. ∵AO=OD ， ∴∠ADO= ∠DAO ， ∴∠COD=∠COB. ∵OD=OB ， CO=CO ， ∴△COD≌△COB ， ∴∠CDO=∠CBO. ∵BC 与 ⊙O 相切 ， ∴ ∠CBO=90° ， ∴∠CDO=90° ， ∴CD 是 ⊙O 的切线 . 9. 解： AC 与 ⊙O 相切 . 理由： 方法 1 ： 如图 1 ， 连接 OD ， OA, 过点 O 作 OE⊥AC 于点 E. ∵⊙O 与腰 AB 相切 于点 D, ∴OD⊥AB. ∵AB=AC , O 是 BC 的中点， ∴AO 平分 ∠BAC. ∴OD=OE. ∵OD 是 ⊙O 的半径， OE⊥AC ， ∴AC 是 ⊙O 的切线 . 方法 2 ： 如图 2 ， 连接 OD ， 过点 O 作 OE⊥AC 于点 E. ∵⊙O 与腰 AB 相切于点 D, ∴OD⊥AB. ∴ ∠BDO=∠CEO=90°. ∵AB=AC , O 为 BC 的中点， ∴∠B=∠C ， OB=OC. ∴△BOD≌△COE. ∴OD=OE. ∵OD 是 ⊙O 的半 径， OE⊥AC ， ∴AC 是 ⊙O 的切线 . 10. 解： （ 1 ） 是 . 理由： 如图， 连接 OA. ∵∠AOC=2∠B ， ∠B=∠D=30° ， ∴∠AOC=60°. ∴∠OAD=90°. ∴AD 是 ⊙O 的切线 . （ 2 ） ∵OA=OC ， ∠AOC=60° ， ∴△AOC 是等边三角形 .∴OA=AC=6.∵∠OAD=90° ， ∠D=30° ， ∴AD=6 3 姨 . 鄢 11. 解： （ 1 ） 画图略 . △ABC 的外心是斜边 AB 的中点， 内心在 △ABC 的内部 . （ 2 ） ∵△ABC 的三边分别为 3 cm ， 4 cm ， 5 cm ， 由勾股定理逆定理知 △ABC 为直角三角形 . 设内切圆的半径为 r cm ， 则 1 2 ×3r+ 1 2 ×4r+ 1 2 ×5r= 1 2 ×3×4. 解得 r=1. （ 3 ） ∵ 内切圆圆心为 O ， 连接 AO ， 设 AC ， BC ， AB 与 ⊙O 相切于点 M ， E ， F ， 则 CM=OM= r=1 cm. ∴AM=2 cm. ∵OF=OM ， OA=OA ， ∴Rt△AMO≌Rt△AFO. ∴AF=AM=2 cm. ∵ 点 D 是 Rt△ABC 的外心 ， ∴AD= 5 2 cm ， ∴DF= 5 2 －2= 1 2 （ cm ） . ∴OD＝ OF 2 +DF 2 姨 = 5 姨 2 （ cm ） . 12. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 AE ， OD. ∵∠ACB=90° ， ∴AE 是 ⊙O 的直径 . ∵O 是 AE 的中点， 点 D 为 AB 的中点 ， ∴OD 是 △ABE 的中位线 . ∴DO∥BE. ∴∠ODF= ∠DFB. ∵DF⊥BC ， ∴∠DFB=90°. ∴∠ODF=90° ， 即 DF⊥DO. ∴DF 为 ⊙O 的切线 . （ 2 ） 解： ∵∠ACB=90° ， AC=3 ， BC=9 ， ∴AB= AC 2 +BC 2 姨 =3 10 姨 . ∵ 点 D 为 AB 的中 点， ∴BD= 1 2 AB= 3 2 10 姨 . ∵AE 是直径， ∴∠ADE=90°. ∴∠BDE=90°. ∴∠BDE=∠ACB. 又 ∵∠B=∠B ， ∴△BDE∽△BCA. ∴ BD BC = DE CA ， 即 3 2 10 姨 9 = DE 3 . ∴DE= 10 姨 2 . 13. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 AE ， ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠AEB＝90°. ∴∠1+∠2＝90°． ∵AB＝AC ， ∴2∠1＝∠CAB． ∵∠BAC＝2∠CBF ， ∴∠1＝∠CBF. ∴∠CBF+∠2＝90° ， 即 ∠ABF＝90°. ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴ 直线 BF 是 ⊙O 的 切线 . （ 2 ） 解： 如图， 过点 C 作 CH⊥BF 于点 H． ∵sin∠CBF＝ 3 姨 3 ， 第 8 题答图 第 9 题答图 第 10 题答图 O A B C D A B D C O A B D C O O A D C B 图 1 图 2 E E E F O A B C D 第 12 题答图 第 13 题答图 E B O A D C F H 2 1 219 九年级下册 （北师大版）数学 ∠1＝∠CBF ， ∴sin∠1＝ 3 姨 3 . ∵ 在 Rt△AEB 中， ∠AEB＝90° ， AB＝3 ， ∴BE＝AB · sin∠1＝3× 3 姨 3 ＝ 3 姨 . ∵AB＝AC ， ∠AEB＝90° ， ∴BC＝2BE＝2 3 姨 . ∵sin∠CBF＝ CH BC ＝ 3 姨 3 ， ∴CH＝2. ∵CH∥AB. ∴ CF AF ＝ CH AB ， 即 CF CF+3 ＝ 2 3 . ∴CF＝6. ∴AF＝AC+CF＝9. ∴BF＝ AF 2 -AB 2 姨 ＝6 2 姨 ． 14. 解： （ 1 ） 直线 DF 与 ⊙O 相切 . 理由如下： 如图， 连接 OE ， 作 OG⊥DF ， 垂足 为 G ， ∵AC 与 ⊙O 相切， E 为切点， ∴OE⊥AC. ∴∠OEC=90°. ∵ 点 O ， D 分别为 AB ， BC 的中点， ∴OD 是 △ABC 的中位线 . ∴OD∥AC. ∴∠ODG=∠CFD ， ∠ODC=∠C=90°. ∴ 四边 形 ODCE 为 矩 形 . ∴DC=OE. 在 △ODG 和 △DFC 中 ， ∵∠OGD =∠C =90° ， DF =DO ， ∠ODG=∠CFD ， ∴△ODG≌△DFC. ∴OG=DC=OE. ∵OG⊥DF ， OE 是 ⊙O 的半径， ∴DF 与 ⊙O 相切 . （ 2 ） 设 OE=r ， 由 （ 1 ） 可知 BD=DC=OE=r ， ∵OD∥AC ， ∴∠BOD=∠A= 30°. 在 Rt△OBD 中， DO=DF= BD tan 30° = 3 姨 r. 在 Rt△DCF 中， ∵DF 2 =CF 2 +CD 2 ， ∴ （ 3 姨 r ） 2 = （ 2 姨 ） 2 +r 2 . 解得 r=1. ∴⊙O 的半径为 1. 15. （ 1 ） 解： ∵∠BAE=∠CAD ， ∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD ， 即 ∠EAD=∠BAC. 又 ∵∠ADE=∠ACB ， AD=AC ， ∴△ADE≌△ACB （ ASA ） . ∴AE=AB. ∵AB=8 ， ∴AE=8. （ 2 ） 证明： 如图， 连接 BO 并延长交 ⊙O 于点 F ， 连接 AF. ∵BF 是 ⊙O 的直径， ∴∠BAF= 90°. ∴∠AFB+∠ABF=90°. ∵∠AFB=∠ACB ， ∴∠ACB+∠ABF=90°. ∵AD=AC ， AE=AB ， ∴ ∠ACB=∠ADC ， ∠AEB=∠ABE. 又 ∵∠BAE=∠CAD ， 2∠ACB=180°-∠CAD ， 2∠ABE= 180°-∠BAE ， ∴∠ACB=∠ABE ， ∴∠ABE+∠ABF=90° ， 即 ∠OBE=90°. ∵OB 为半径， ∴EB 是 ⊙O 的切线 ． 16. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 OC ， ∵ 点 C 是B B E 的中点， ∴B B C =C B E . ∴∠BAC＝ ∠CAE. ∵OC＝OA ， ∴∠OCA＝∠OAC. ∴∠OCA＝∠CAD. ∴OC∥AD. ∵AE⊥CD ， 即 ∠ADC＝90° ， ∴∠OCF＝∠ADC＝90° . ∵OC 是 ⊙O 的半径 ， ∴CD 是 ⊙O 的切线 . （ 2 ） 解： ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠ABC＝60° ， ∴∠BAC＝30°. ∴∠CAD＝ ∠BAC＝30°. ∵∠D＝90° ， CD＝ 3 姨 ， ∴AD＝ 3 姨 CD＝3. ∵∠F＝180°-∠D-∠BAD＝30°. ∴AF＝2AD＝6． 17. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 OD ， OA ， 作 OH⊥AB 于点 H. ∵△ABC 为等腰三 角形， O 是底边 BC 的中点， ∴AO⊥BC ， AO 平分 ∠BAC. ∵AC 与 ⊙O 相切于点 D ， ∴OD⊥AC ， 而 OH⊥AB ， ∴OH＝OD. ∴OH 为 ⊙O 的半径 . ∴AB 是 ⊙O 的切线 . （ 2 ） 解： 由 （ 1 ） 知 OD⊥AC ， 即 ∠CDO=90°. 在 Rt△OCD 中， CD＝4 ， OC＝OF+CF＝ OD+2 ， OD 2 +CD 2 ＝OC 2 ， ∴OD 2 +4 2 ＝ （ OD+2 ） 2 . ∴OD＝3. ∴OC＝5. ∴sin∠DOC＝ DC OC ＝ 4 5 . ∵∠DOA+∠OAC=90° ， ∠DOA+∠DOC=90° ， ∴∠OAC=∠DOC. ∴sin∠OAC＝sin∠DOC＝ 4 5 ． 18. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 OD ， ∵AB 为 ⊙O 的直径， ∴∠BCA＝∠BDA＝90°. ∵AB= AB ， BC＝BD ， ∴Rt△BCA≌Rt△BDA （ HL ） . ∴∠CBA＝∠DBA. ∵DO＝BO ， ∴∠DBA＝ ∠BDO. ∴∠CBA＝∠BDO. ∵∠ADE＝∠CBA ， ∴∠ADE＝∠DBA＝∠BDO. ∵∠BDO+∠ADO＝ ∠BDA＝90° ， ∴∠EDO＝∠ADE+∠ADO＝90°. ∵OD 为 ⊙O 的半径， ∴ED 是 ⊙O 的切线 . （ 2 ） 解： ∵BO＝4 ， ∴AB＝2OB＝8. ∴EB＝AE+AB＝AE+8. ∵tan∠CBA＝ 1 2 ， ∠CBA＝∠DBA ， ∴tan∠DBA＝ 1 2 . 在 Rt△ABD 中， tan∠DBA＝ AD BD ＝ 1 2 ， ∴ 设 AD＝a ， BD＝2a. ∵∠ADE＝ ∠DBA ， ∠E＝∠E ， ∴△EAD∽△EDB. ∴ ED EB = AE ED = AD BD ， 即 ED AE+8 = AE ED = a 2a . ∴AE＝ 1 2 ED. ∴2ED＝ 1 2 ED+8. ∴ED＝ 16 3 ． * 7 切线长定理 1. 3 2. 94 3. 2 4. 13 5. 24 6. B 7. C 8. A 9. B 10. 解： （ 1 ） ∵PA ， PB 是 ⊙O 的切线， ∴AP=BP. ∵∠P=60° ， ∴∠PAB=60°. ∵AC 是 ⊙O 的直径， ∴∠PAC= 90° . ∴∠BAC=90°－60°=30°． （ 2 ） 如图， 连接 BC. ∵AC 是 ⊙O 的直径， ∴∠ABC=90°. 在 Rt△ABC 中， OA=2 ， ∠BAC=30° ， ∴AB=AC · cos∠BAC= 2 ３ 姨 . 由 （ 1 ） 得 AP=BP ， ∠APB=60° ， ∴△APB 是等边三角形 . ∴AP＝AB＝2 ３ 姨 . 11． 解： OE∥AC ， OE= 1 2 AC. 理由如下： 如图， 连接 BD ， DO． ∵ED ， EB 是 ⊙O 的切线， ∴ED=EB. 又 ∵OD= 第 14 题答图 F O A B C D E G A E B C D O 第 15 题答图 F O A D C E BF 第 16 题答图 O A D B E F C A C B O E D 第 17 题答图 第 18 题答图 H 220 九年级下册 （北师大版）数学 中考链接 真题演练 15. （ 2024 ·包头） 如图， 四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形， 点 O 在四边形 ABCD 内部， 过点 C 作 ⊙O 的切线交 AB 的延长线于 点 P ， 连接 OA ， OB． 若 ∠AOB=140° ， ∠BCP=35° ， 则 ∠ADC 的度数 为 . 16. （ 2024 ·凉山州） 如图， ⊙M 的圆心为 M （ 4 ， 0 ）， 半径为 2 ， P 是直线 y=x+4 上的一个动点， 过点 P 作 ⊙M 的切线， 切点为 Q ， 则 PQ 的最小值为 . 17. （ 2024 ·山西） 如图， 已知 △ABC ， 以 AB 为直径的 ⊙O 交 BC 于点 D ， 与 AC 相切于 点 A ， 连接 OD． 若 ∠AOD=80° ， 则 ∠C 的度数为 （ ） A． 30° B． 40° C． 45° D． 50° 18. （ 2024 ·福建） 如图， 已知点 A ， B 在 ⊙O 上， ∠AOB=72° ， 直线 MN 与 ⊙O 相切， 切 点为 C ， 且 C 为 A A B 的中点， 则 ∠ACM 等于 （ ） A． 18° B． 30° C． 36° D． 72° 19. （ 2024 ·南通） 如图， 在 △ABC 中， ∠ACB＝90° ， O 为 AC 边上一点， 以点 O 为圆心， OC 为半径作 ⊙O 与 AB 相切于点 D ， 连接 CD． （ 1 ） 求证： ∠ABC＝2∠ACD. （ 2 ） 若 AC＝8 ， BC＝6 ， 求 ⊙O 的半径 ． O A D C B P 第 15 题图 O M x QP y y=x+4 O D A C B O A C B M N 第 16 题图 第 17 题图 第 18 题图 O A C B D 第 19 题图 82 圆 第三章 20. （ 2024 ·辽宁样题） 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， 以 AC 为直径的 ⊙O 交 BC 于点 D ， 交 BA 的延长线于点 E ， 连接 CE ， DE. （ 1 ） 求证： BD=CD. （ 2 ） 若 BD=20 ， tan∠EDC= 24 7 ， 求 AC 的长 . 21. （ 2024 ·北京） 如图， AB 是 ⊙O 的直径， 点 C ， D 在 ⊙O 上， OD 平分 ∠AOC． （ 1 ） 求证： OD∥BC. （ 2 ） 延长 DO 交 ⊙O 于点 E ， 连接 CE 交 OB 于点 F ， 过点 B 作 ⊙O 的切线交 DE 的延长 线于点 P． 若 OF BF = 5 6 ， PE＝1 ， 求 ⊙O 半径的长 ． 22. （ 2024 ·陕西） 如图， 直线 l 与 ⊙O 相切于点 A ， AB 是 ⊙O 的直径， 点 C ， D 在 l 上， 且位于点 A 的两侧， 连接 BC ， BD ， 分别与 ⊙O 交于点 E ， F ， 连接 EF ， AE ， AF． （ 1 ） 求证： ∠BAF=∠CDB. （ 2 ） 若 ⊙O 的半径 r=6 ， AD=9 ， AC=12 ， 求 EF 的长 ． O A C D B 第 21 题图 第 22 题图 O A B D C E 第 20 题图 AC D E F B O l 83 九年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， ⊙O 为 △ABC 的外接圆， BC 为直径， 点 Ｅ 在 AB 上， 过点 E 作 EF⊥BC 于点 F ， 点 G 在 FE 的延长线上， 且 GA=GE． （ 1 ） AG 是 ⊙O 的切线吗？ 为什么？ （ 2 ） 若 AC=6 ， AB=8 ， BE=3 ， 求线段 OE 的长 ． 【分析】 要证 AG 是 ⊙O 的切线， 需连接半径 OA ， 证 ∠GAO=90° ， 即 ∠BAO+∠GAE=90°. 为此要借助与 ∠BAO ， ∠GAE 相等的其他角以及这些角之间的互余关系 得到 . 【解答】 （ 1 ） AG 是 ⊙O 的切线 . 理由如下： 如图， 连接 OA. ∵OA=OB ， ∴∠B=∠BAO. 又 ∵EF⊥BC ， ∴∠BFE=90°. ∴∠B+∠BEF=90°. ∵GA=GE ， ∴∠GAE=∠GEA. ∵∠GEA=∠BEF ， ∴∠BAO+∠GAE=90° . ∴GA⊥AO. 又 ∵OA 为半径， ∴AG 是 ⊙O 的切线 . （ 2 ） 如图 ， 过点 O 作 OH⊥AB 于点 H ， ∵BC 为直径 ， ∴∠BAC= ∠BHO=90° ， ∴OH∥AC. ∴ OB OC = BH AH =1. ∴OH= 1 2 AC=3 ， BH= 1 2 AB= 1 2 ×8=4． 又 ∵BE=3 ， ∴EH=BH－BE=1. 在 Rt△EOH 中， 由勾股定理得 OE= 10 姨 . 【点拨】 此题考查了切线的判定 . 判断一条直线是否为圆的切线的基本题型有两类： 第一 类是直线和圆没有公共点， 解题策略是过圆心作已知直线的垂线段， 证明所作的垂线段等于 圆的半径； 第二类是直线和圆有公共点， 解题策略是连接过公共点的半径 （如果没连接）， 证连接半径与直线垂直 . 而证明垂直的方法有下列几种： 第一， 利用两角的互余关系； 第二， 利用三角形全等； 第三， 利用平行线的性质； 第四， 利用勾股定理的逆定理 . 基础巩固 达标闯关 1. 在 △ABC 中， ∠C=90° ， AC=3 ， BC=4 ， 以点 C 为圆心， 以 2.2 为半径作 ⊙C ， 它与直 线 AB 的位置关系为 . 2. 如图， 已知 ⊙O 是 △ABC 的内切圆， 且 ∠ABC= 50° ， ∠ACB=80° ， 则 ∠BOC= °． 3. 如图， 已知 AB ， AC 分别是 ⊙O 的直径和弦， D 为B B C 的中点， DE 垂直 AC 的延长线于点 E ， 连接 BC ， 若 DE=6 cm ， CE=2 cm ， 则弦 AC 的长为 . 6 直线和圆的位置关系 （第 2课时） A C O E F G B 例题图 A C O E F G B H 例题答图 第 3 题图第 2 题图 A B C O A B C D O E 84 圆 第三章 4. 如图， ∠BAC=60° ， O 为 AB 上一点， 以 O 为圆心、 OA 的一半为半径作 圆， 则 AC 绕 A 点逆时针旋转 时与 ⊙O 相切 . 5. 三角形的内心是 （ ） A. 三角形三边垂直平分线的交点 B. 三角形三边中线的交点 C. 三角形三个内角平分线的交点 D. 三角形三条高所在直线的交点 6. 如图， △ABC 的内切圆 I 分别与三边切于 D ， E ， F 三点， 若 ∠DIE=∠DIF=135° ， 则 △ABC 是 （ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 如图， ⊙O 与 △ABC 三边相切于点 D ， E ， F ， 若 ∠B=40° ， 则 ∠DFE 的度数是 （ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 40° 8. 如图， AB 为 ⊙O 的直径， 直线 BC 与 ⊙O 相切于点 B ， 过点 A 作 AD∥OC 交 ⊙O 于点 D ， 连接 CD. CD 是 ⊙O 的切线吗？ 为什么？ 9. 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， O 是底边 BC 的中点， ⊙O 与腰 AB 相切于点 D ， 请判断 AC 与 ⊙O 的位置关系 , 并说明理由 . （请至少用两种方法） O A B C 第 4 题图 第 6 题图 D I F A E B C O A F C E B D 第 7 题图 O A B C D 第 8 题图 第 9 题图 A B D C O 85 九年级下册 （北师大版）数学 能力提升 综合拓展 10. 如图， 已知 △ABC 内接于 ⊙O ， 点 D 在 OC 的延长线上， ∠B=∠D=30°. （ 1 ） AD 是 ⊙O 的切线吗？ 为什么？ （ 2 ） 若 AC=6 ， 求 AD 的长 . * 11. 如图， 已知 △ABC 的三边分别为 3 cm ， 4 cm ， 5 cm ， 设 △ABC 的内心为点 O ， 外 心为点 D. （ 1 ） 请你画出三角形的内切圆和外接圆， 然后观察总结 △ABC 的内心和外心的位置 . （ 2 ） 依据上述条件， 能求 △ABC 内切圆的半径吗？ 若能， 那么半径是多少？ 若不能， 请 说明理由 . （ 3 ） 试求出 △ABC 内心与外心的距离 . 12. 如图， 已知 △ABC 中， ∠ACB=90° ， AC＜BC ， 点 D 为 AB 的中点， 过点 D 作 BC 的垂 线， 垂足为点 F ， 过点 A ， C ， D 作 ⊙O 交 BC 于点 E ， 连接 CD ， DE． （ 1 ） 求证： DF 为 ⊙O 的切线 . （ 2 ） 若 AC=3 ， BC=9 ， 求 DE 的长 ． O A D C B 第 10 题图 AC B 第 11 题图 第 12 题图 B E F O A C D 86 圆 第三章 13. 如图， 在 △ABC 中， AB＝AC ， 以 AB 为直径的 ⊙O 分别交 AC ， BC 于点 D ， E ， 点 F 在 AC 的延长线上， 且 ∠BAC＝2∠CBF. （ 1 ） 求证： BF 是 ⊙O 的切线 . （ 2 ） 若 ⊙O 的直径为 3 ， sin∠CBF＝ 3 姨 3 ， 求 BC 和 BF 的长 . 14. 如图， 在 △ABC 中， ∠C=90° ， 点 O ， D 分别为 AB ， BC 的中点， 作 ⊙O 与 AC 相切 于点 E ， 在 AC 边上取一点 F ， 使 DF=DO． （ 1 ） 判断直线 DF 与 ⊙O 的位置关系， 并说明理由 . （ 2 ） 若 ∠A=30° ， CF= 2 姨 ， 求 ⊙O 的半径 ． 中考链接 真题演练 15. （ 2024 ·济宁） 如图， △ABC 内接于 ⊙O ， D 是 BC 上一点， AD=AC． E 是 ⊙O 外一点， ∠BAE=∠CAD ， ∠ADE=∠ACB ， 连接 BE． （ 1 ） 若 AB=8 ， 求 AE 的长 . （ 2 ） 求证： EB 是 ⊙O 的切线 ． 第 15 题图 第 13 题图 E B O A D C F 第 14 题图 F O A B C D E A E B C D O 87 九年级下册 （北师大版）数学 16. （ 2024 ·东营） 如图， △ABC 内接于 ⊙O ， AB 是 ⊙O 的直径， 点 E 在 ⊙O 上， 点 C 是 B B E 的中点， AE⊥CD ， 垂足为点 D ， DC 的延长线交 AB 的延长线于点 F． （ 1 ） 求证： CD 是 ⊙O 的切线 . （ 2 ） 若 CD＝ 3 姨 ， ∠ABC＝60° ， 求线段 AF 的长 ． 17. （ 2024 ·武汉） 如图， △ABC 为等腰三角形， O 是底边 BC 的中点， 腰 AC 与半圆 O 相切于点 D ， 底边 BC 与半圆 O 交于 E ， F 两点 ． （ 1 ） 求证： AB 与半圆 O 相切 . （ 2 ） 连接 OA ， 若 CD＝4 ， CF＝2 ， 求 sin∠OAC 的值 ． 18. （ 2024 ·兰州） 如图， △ABC 内接于 ⊙O ， AB 为 ⊙O 的直径， 点 D 为 ⊙O 上一点， BC＝BD ， 延长 BA 至点 E ， 使得 ∠ADE＝∠CBA． （ 1 ） 求证： ED 是 ⊙O 的切线 . （ 2 ） 若 BO＝4 ， tan∠CBA= 1 2 ， 求 ED 的长 ． 第 16 题图 第 17 题图 第 18 题图 O A D C E BF O A D B E F C A C B O E D 88