6 直线和圆的位置关系(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

参考答案与提示 5 确定圆的条件 1. D 2. C 3. C 4. C 5. A 6. 画图略 提示： 任意画线段 AB ， 以 AB 为直径作半圆 O ， 过点 O 作 AB 的垂线， 交半圆 O 于点 C ， 连接 AC ， BC ， 则 △ABC 即为所求 . 理由： ∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°. 又 ∵OC⊥AB ， OA=OB ， ∴AC=BC. ∴△ABC 是等 腰直角三角形 . 7. 画图略 提示： 图 1 、 图 2 都是作 AB 的垂直平分线， 交直线 m 于点 O ， 以 O 为圆心， 以 OA 为半径作 ⊙O ， 则 ⊙O 即为所求作的圆； 在图 3 中， ∵ 直线 m 是 AB 的垂直平分线， ∴ 直线 m 上的任意一点 O 到 A ， B 的距 离都相等， ∴ 满足条件的 ⊙O 有无数个 . 8. 解 ： B ， E ， C 三点在以 D 为圆心 、 DB 长为半径的圆上 ． 理由 ： ∵AD 为直径 ， ∴∠ABD=∠ACD=90° . ∵BD=CD ， ∴ B B D =C B D . ∴AB B D -B B D =AC B D -D B C ， 即Ａ B Ｂ =A B C ， ∴AB=AC. 又 ∵AD=AD ， ∴△ABD≌△ACD. ∴ ∠BAD=∠CAD. 又 ∵∠CAD=∠CBD ， ∴∠BAD=∠CBD. ∵BE 平 分 ∠ABC ， ∴∠CBE =∠ABE. 又 ∵∠DBE = ∠CBD+∠CBE ， ∠DEB=∠BAD+∠ABE ， ∴∠DBE=∠DEB. ∴DB=DE. ∴DB=DE=DC. ∴B ， E ， C 三点在以 D 为 圆心、 DB 长为半径的圆上 ． 9. 解： （ 1 ） 在弧上任取三点构造三角形， 作其中两边的垂直平分线， 交点就是圆心 O. 画图略 . （ 2 ） 过 O 作 OC⊥AB 于点 D ， 交弧 AB 于点 C ， 连接 OB ， ∴BD= 1 2 AB= 1 2 ×16=8 （ cm ） ． 由题意可知 CD=4 cm． 设半径为 x cm ， 则 OD= （ x－4 ） cm． 在 Rt△BOD 中， 由勾股定理得 OD 2 +BD 2 =OB 2 . ∴ （ x－4 ） 2 +8 2 =x 2 . ∴x=10. 即这个圆形截面的半径为 10 cm． 10. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 DF ， EF ， ∵∠BAC＝90° ， ∴FC 是 ⊙O 的直径 . ∴OA＝OD ， OF＝OC. ∴ 四边形 AFDC 为 平行四边形 . ∵∠BAC＝90° ， ∴ 四边形 AFDC 为矩形 . ∴AF∥CD ， 即 MF∥CD. ∵F 是A B E 的中点， ∴A B F ＝E B F . ∴∠ADF＝ ∠EDF. ∵OF＝OD ， ∴∠ADF＝∠OFD. ∴∠OFD＝∠EDF. ∴FC∥DM. ∴ 四边形 CFMD 为平行四边形 . （ 2 ） 解： ∵ 四边 形 AFDC 为矩形， 四边形 CDMF 为平行四边形， A B F =E B F ， ∴CD＝AF＝FM＝EF. ∵CD＝ 2 5 AB ， ∴CD＝ 2 5 （ 2CD+BM ） . ∴CD＝2BM. ∵BM∥CD ， ∴∠B＝∠DCE ， ∠BME＝∠CDE. ∴△BEM∽ △CED. ∴ BM CD ＝ BE EC ＝ 1 2 . ∴EC＝2BE. 设 BM＝a ， 则 CD＝2a ， BF＝3a ， EF＝2a. 在 Rt△BEF 中 ， BE＝ BF 2 -EF 2 姨 ＝ 5 姨 a. ∴EC＝2 5 姨 a . 在 Rt△CEF 中， FC＝ EF 2 +EC 2 姨 ＝2 6 姨 a. 在 Rt△FAC 中， sin∠ACF＝ AF FC ＝ 2a 2 6 姨 a ＝ 6 姨 6 ． 11. （ 1 ） 证明： ∵FA＝FE ， ∴∠FAE＝∠AEF. ∵∠FAE 与 ∠BCE 都是B B F 所对的圆周角， ∴∠FAE＝∠BCE. ∵∠AEF＝ ∠CEB ， ∴∠CEB＝∠BCE. ∵CE 平分 ∠ACD ， ∴∠ACE＝∠DCE. ∵AB 是 ⊙O 的直径 ， ∴∠ACB＝90° ， ∴∠CEB+ ∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°. ∴∠CDE=90°. ∴CD⊥AB. （ 2 ） 解： 由 （ 1 ） 知， ∠BEC＝∠BCE ， ∴BE＝BC. ∵AF＝EF ， FM⊥AB ， ∴MA＝ME＝2 ， AE＝4. ∴OA＝OB＝AE-OE＝3. ∴BC＝BE＝OB-OE＝2. 在 △ABC 中， AB＝6 ， BC＝2 ， ∠ACB＝90° ， ∴AC= AB 2 -BC 2 姨 ＝ 6 2 -2 2 姨 ＝４ 2 姨 . 6 直线和圆的位置关系 （第 1 课时） 1. 16 cm 2. 3 4 3. 3 姨 2 cm 4. 105° 或 15° 5. D 6. B 7. D 8. 解： 连接 OA ， OB. ∵PA ， PB 分别切 ⊙O 于点 A ， B ， ∴∠PAO=∠PBO=90°. 又 ∵∠AOB=2∠ACB=130° ， ∴∠P=360°－180°－130°=50°. 9. 解： （ 1 ） 相等 . 理由： ∵CD 是 ⊙O 的切线， ∴∠OCD=90°. ∵∠ACD=120° ， ∴∠ACO=30° . ∵OA=OC ， ∴∠CAO=30° ， ∴∠CDO=180°－120°－30°=30° . ∠CAO= ∠CDO. ∴CA=CD. （ 2 ） 设 CO 为 x ， ∵∠CDO=30° ， ∠OCD=90° ， BD=10 ， ∴x= 1 2 （ x+10 ）， ∴x=10 ， ∴ 半径为 10. 10. 解： （ 1 ） ∵OA=OC ， ∴∠A=∠ACO. ∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A. ∵∠D=2∠A ， ∴∠D=∠COD. ∵PD 切 ⊙O 于点 C ， ∴∠OCD=90°. ∴∠D=∠COD=45°. （ 2 ） ∵∠D=∠COD ， CD=2 ， ∴OC=OB=CD=2. 在 Rt△OCD 中， 由勾股 定理得 2 2 +2 2 = （ 2+BD ） 2 ， 解得 BD=2 2 姨 －2． 11. （ 1 ） 证明： 如图， 取B B F 的中点 M ， 连接 OM ， OF ， ∵B B F ＝2B B E ， ∴B B M ＝M B F ＝ B B E . ∴∠COB＝ 1 2 ∠BOF. ∵∠A＝ 1 2 ∠BOF ， ∴∠COB＝∠A. （ 2 ） 解： 如图， 连接 BF ， ∵CD 为 ⊙O 的 切 线 ， ∴AB⊥CD. ∴∠OBC ＝∠ABD ＝90° . ∵∠COB ＝∠A ， ∴ △OBC∽△ABD. ∴ OB AB ＝ BC BD ， 即 3 6 ＝ 4 BD . 解 得 BD ＝8. 在 Rt△ABD 中 ， AD ＝ AB 2 +BD 2 姨 ＝ 6 2 +8 2 姨 ＝10. ∵AB 是 ⊙O 的直径 ， ∴∠AFB＝90° . ∵∠BDF＝∠ADB ， 第 10 题答图 O M D F A B C E O C P A B 第 8 题答图 第 11 题答图 O D F A B C E M 217 九年级下册 （北师大版）数学 ∴Rt△DBF∽Rt△DAB. ∴ DF DB ＝ DB DA ， 即 DF 8 ＝ 8 10 ， 解得 DF＝ 32 5 ． 12. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 OC ， ∵CF 是 ⊙O 的切线， ∴∠OCF＝90°. ∴∠OCA+∠ACF＝ 90°. ∵OE＝OC ， ∴∠E＝∠OCE. ∵AE 是 ⊙O 的直径， ∴∠ACE＝90°. ∴∠OCA+∠OCE＝90° ， ∴∠ACF＝∠OCE＝∠E. ∵∠B＝∠E ， ∴∠ACF＝∠B. （ 2 ） 解： ∵∠ACF＝∠B ， ∠F＝∠F ， ∴△ACF∽△CBF. ∴ CF BF ＝ AF CF ＝ AC BC . ∵AF＝2 ， CF＝4 ， ∴ 4 BF = 2 4 . ∴BF＝8. ∴BC＝AB＝8-2＝6 ， AC＝3. ∵AD⊥BC ， ∴∠ADB＝∠ACE＝90°. ∵∠B＝∠E ， ∴△ABD∽△AEC. ∴ AB AE ＝ AD AC ， 即 AE·AD＝AB · AC＝6×3＝18． * 13. （ 1 ） 证明： 如图 1 ， 作 DF⊥BC 于点 F ， 连接 DB ， ∵AP 是 ⊙O 的切线， ∴∠PAC＝90° ， 即 ∠P+∠ACP＝90°. ∵AC 是 ⊙O 的直径 ， ∴∠ADC ＝90° ， 即 ∠PCA +∠DAC ＝90° . ∴∠P ＝ ∠DAC＝∠DBC. ∵∠APC＝∠BCP ， ∴∠DBC＝∠DCB. ∴DB＝DC. ∵DF⊥BC ， ∴DF 是 BC 的垂直平分线 . ∴DF 经过点 O. ∵OD＝OC ， ∴∠ODC＝∠OCD. ∵∠BDC＝2∠ODC ， ∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠ACD ， 即 ∠BAC=2∠ACD. （ 2 ） 解： 如图 2 ， ∵ 由 （ 1 ） 知， DF 经过点 O ， DF 是 BC 的垂直平分 线 ， ∴FC＝ 1 2 BC＝3. 在 △DEC 和 △CFD 中 ， ∠ECD＝∠FDC ， ∠CED＝ ∠DFC ， DC=DC ， ∴△DEC≌△CFD （ AAS ） . ∴DE＝FC＝3. ∵∠ADC＝90° ， DE⊥AC ， ∴∠ADC＝∠AED=∠DEC=90° . ∴∠DAE＝∠EDC. ∴△ADE∽ △DCE. ∴DE 2 ＝AE · EC. ∴EC＝ DE 2 AE ＝ 9 2 . ∴AC＝2+ 9 2 ＝ 13 2 . ∴⊙O 的半径为 13 4 ． 14. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 OP ， 延长 BO 与 ⊙O 交于点 C ， 则 OP＝OB＝OC. ∵AP 与 ⊙O 相切于点 P ， ∴∠APO=90° . ∴∠PAO+∠AOP＝90° . ∵MO⊥CN ， ∴∠AOC=90° . ∴ ∠AOP+∠POC=90° . ∴∠PAO＝∠POC. ∵OP＝OB ， ∴∠OPB＝∠PBO. ∴∠POC=∠OPB+ ∠PBO=2∠PBO. ∴∠PAO＝2∠PBO. （ 2 ） 解： 如图， 延长 BO 与 ⊙O 交于点 C ， 连接 PC ， 过点 P 作 PD⊥OC 于点 D， 在 Rt△AOP 中， OP=5 ， AP＝ 20 3 ， ∴AO＝ AP 2 +OP 2 姨 ＝ 25 3 . ∵∠POC＝∠PAO ， ∠PDO=∠APO＝90° ， ∴Rt△POD∽Rt△OAP. ∴ PD PO = PO OA = OD AP ， 即 PD 5 = 5 25 3 = OD 20 3 . ∴PD＝3 ， OD＝4. ∴CD=OC-OD=1. 在 Rt△PDC 中 ， PC＝ PD 2 +CD 2 姨 ＝ 10 姨 . ∵CB 为 ⊙O 的直径 ， ∴ ∠BPC＝90°. ∴BP＝ BC 2 -PC 2 姨 ＝ 100-10 姨 ＝3 10 姨 . 15. 105° 16. 2 7 姨 17. D 18. A 19. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 OD ， ∵AB 为 ⊙O 的切线， ∴OD⊥AB. ∴∠ODA＝∠ODB＝ 90°. 又 ∵∠ACB＝90° ， ∴∠ABC+∠COD＝180°. ∵∠AOD+∠COD＝180° ， ∴∠ABC＝∠AOD. ∵∠AOD＝2∠ACD ， ∴∠ABC＝2∠ACD. （ 2 ） 解 ： 设 ⊙O 的半径为 r ， 则 OD＝OC＝r ， OA＝8-r. 在 Rt△ACB 中 ， ∵∠ACB＝90° ， AC＝8 ， BC＝6 ， ∴AB＝ 6 2 +8 2 姨 ＝10. ∵∠OAD＝ ∠BAC ， ∠ADO＝∠ACB ， ∴△AOD∽△ABC. ∴ OD BC = AO AB ， 即 r 6 = 8-r 10 . 解得 r＝3. ∴⊙O 的 半径为 3． 20. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 AD ， ∵AC 为 ⊙O 的直径， ∴∠ADC=90°. 又 ∵AB= AC ， ∴BD=CD. （ 2 ） 解： ∵AC 为 ⊙O 的直径， ∴∠AEC=90°. ∵E E C =E E C ， ∴∠EAC= ∠EDC ， ∴tan∠EAC=tan∠EDC= 24 7 . 设 EC=24x ， AE=7x ， ∴ 由勾股定理， 得 AC= 25x. ∴AB=AC=25x. ∴BE=AB+AE=32x. 在 Rt△BCE 中， tanB= EC BE = 3 4 . 在 Rt△ABD 中， tanB= AD BD ， ∴AD=BD · tanB=20× 3 4 =15. ∴AB= AD 2 +BD 2 姨 =25. ∴AC=AB=25. 21. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 AC 交 OD 于点 H ， ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°. ∵AO＝ CO ， OD 平分 ∠AOC ， ∴∠AHO=90°. 又 ∵∠ACB=90°. ∴OD∥BC. （ 2 ） 解： ∵OE∥BC ， ∴∠OEF= ∠BCF ， ∠EOF=∠CBF. ∴△OEF∽△BCF ， ∴ OE BC = OF BF = 5 6 . 设 OE＝5x ， BC＝6x ， ∵AO＝BO=CO ， OD 平分 ∠AOC ， ∴AH＝CH. ∴OH＝ 1 2 BC＝3x. ∵PB 是 ⊙O 的切线 ， ∴∠OBP＝90. ∴∠PBO＝ O D F A B C E 第 12 题答图 第 13 题答图 图 2图 1 A E O C P D B O A P D C B F F 第 14 题答图 O M N P A B D C 第 19 题答图 O A C B D O A B D C E 第 20 题答图 第 21 题答图 O A C D B P E H F 218 参考答案与提示 ∠AHO. ∵∠BOP＝∠AOH ， ∴△AOH∽△POB. ∴ OP OA = OB OH . ∴ 即 OP · OH=OA · OB. ∴ （ 5x+1 ）· 3x=5x · 5x. ∴x＝ 3 10 . ∴OE＝ 3 2 . ∴⊙O 半径的长为 3 2 ． 22. （ 1 ） 证明： ∵ 直线 l 与 ⊙O 相切于点 A ， AB 是 ⊙O 的直径， ∴AB⊥CD. ∴∠BAC＝∠BAD＝90°. ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠AFB＝90°. ∵∠BAF+∠ABD＝90° ， ∠CDB+∠ABD＝90° ， ∴∠BAF＝∠CDB. （ 2 ） 解： 在 Rt△ABD 中， ∵AB＝2r＝12 ， AD＝9 ， ∴BD= AB 2 +AD 2 姨 =15. 在 Rt△ABC 中 ， ∵AB＝12 ， AC＝12 ， ∴BC＝ AB 2 +AC 2 姨 ＝12 2 姨 . ∵ ∠ABF＝∠DBA ， ∠AFB＝∠BAD ， ∴△BAF∽△BDA. ∴ BF AB = AB BD ， 即 BF 12 = 12 15 . 解得 BF＝ 48 5 . ∵∠BEF＝∠BAF ， ∠BAF＝∠CDB ， ∴∠BEF＝∠CDB. ∵∠EBF＝∠DBC ， ∴△BEF∽△BDC. ∴ EF CD = BF BC ， 即 EF 21 = 48 5 12 2 姨 . 解得 EF＝ 42 2 姨 5 . ∴EF 的长为 42 2 姨 5 ． 6 直线和圆的位置关系 （第 2 课时） 1． 相离 2. 115 3. 16 cm 4. 30° 或 90° 5. C 6. D 7. B 8. 解： 是 . 理由： 如图， 连接 OD. ∵AD∥OC ， ∴∠COD=∠ADO ， ∠DAO=∠COB. ∵AO=OD ， ∴∠ADO= ∠DAO ， ∴∠COD=∠COB. ∵OD=OB ， CO=CO ， ∴△COD≌△COB ， ∴∠CDO=∠CBO. ∵BC 与 ⊙O 相切 ， ∴ ∠CBO=90° ， ∴∠CDO=90° ， ∴CD 是 ⊙O 的切线 . 9. 解： AC 与 ⊙O 相切 . 理由： 方法 1 ： 如图 1 ， 连接 OD ， OA, 过点 O 作 OE⊥AC 于点 E. ∵⊙O 与腰 AB 相切 于点 D, ∴OD⊥AB. ∵AB=AC , O 是 BC 的中点， ∴AO 平分 ∠BAC. ∴OD=OE. ∵OD 是 ⊙O 的半径， OE⊥AC ， ∴AC 是 ⊙O 的切线 . 方法 2 ： 如图 2 ， 连接 OD ， 过点 O 作 OE⊥AC 于点 E. ∵⊙O 与腰 AB 相切于点 D, ∴OD⊥AB. ∴ ∠BDO=∠CEO=90°. ∵AB=AC , O 为 BC 的中点， ∴∠B=∠C ， OB=OC. ∴△BOD≌△COE. ∴OD=OE. ∵OD 是 ⊙O 的半 径， OE⊥AC ， ∴AC 是 ⊙O 的切线 . 10. 解： （ 1 ） 是 . 理由： 如图， 连接 OA. ∵∠AOC=2∠B ， ∠B=∠D=30° ， ∴∠AOC=60°. ∴∠OAD=90°. ∴AD 是 ⊙O 的切线 . （ 2 ） ∵OA=OC ， ∠AOC=60° ， ∴△AOC 是等边三角形 .∴OA=AC=6.∵∠OAD=90° ， ∠D=30° ， ∴AD=6 3 姨 . 鄢 11. 解： （ 1 ） 画图略 . △ABC 的外心是斜边 AB 的中点， 内心在 △ABC 的内部 . （ 2 ） ∵△ABC 的三边分别为 3 cm ， 4 cm ， 5 cm ， 由勾股定理逆定理知 △ABC 为直角三角形 . 设内切圆的半径为 r cm ， 则 1 2 ×3r+ 1 2 ×4r+ 1 2 ×5r= 1 2 ×3×4. 解得 r=1. （ 3 ） ∵ 内切圆圆心为 O ， 连接 AO ， 设 AC ， BC ， AB 与 ⊙O 相切于点 M ， E ， F ， 则 CM=OM= r=1 cm. ∴AM=2 cm. ∵OF=OM ， OA=OA ， ∴Rt△AMO≌Rt△AFO. ∴AF=AM=2 cm. ∵ 点 D 是 Rt△ABC 的外心 ， ∴AD= 5 2 cm ， ∴DF= 5 2 －2= 1 2 （ cm ） . ∴OD＝ OF 2 +DF 2 姨 = 5 姨 2 （ cm ） . 12. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 AE ， OD. ∵∠ACB=90° ， ∴AE 是 ⊙O 的直径 . ∵O 是 AE 的中点， 点 D 为 AB 的中点 ， ∴OD 是 △ABE 的中位线 . ∴DO∥BE. ∴∠ODF= ∠DFB. ∵DF⊥BC ， ∴∠DFB=90°. ∴∠ODF=90° ， 即 DF⊥DO. ∴DF 为 ⊙O 的切线 . （ 2 ） 解： ∵∠ACB=90° ， AC=3 ， BC=9 ， ∴AB= AC 2 +BC 2 姨 =3 10 姨 . ∵ 点 D 为 AB 的中 点， ∴BD= 1 2 AB= 3 2 10 姨 . ∵AE 是直径， ∴∠ADE=90°. ∴∠BDE=90°. ∴∠BDE=∠ACB. 又 ∵∠B=∠B ， ∴△BDE∽△BCA. ∴ BD BC = DE CA ， 即 3 2 10 姨 9 = DE 3 . ∴DE= 10 姨 2 . 13. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 AE ， ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠AEB＝90°. ∴∠1+∠2＝90°． ∵AB＝AC ， ∴2∠1＝∠CAB． ∵∠BAC＝2∠CBF ， ∴∠1＝∠CBF. ∴∠CBF+∠2＝90° ， 即 ∠ABF＝90°. ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴ 直线 BF 是 ⊙O 的 切线 . （ 2 ） 解： 如图， 过点 C 作 CH⊥BF 于点 H． ∵sin∠CBF＝ 3 姨 3 ， 第 8 题答图 第 9 题答图 第 10 题答图 O A B C D A B D C O A B D C O O A D C B 图 1 图 2 E E E F O A B C D 第 12 题答图 第 13 题答图 E B O A D C F H 2 1 219 九年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 1 如图， ∠O=30° ， C 为 OB 上一点， 且 OC=6 ， 以点 C 为圆心， 半径为 3 的圆与 OA 有怎样的位置关系？ 请说明理由 . 【分析】 可根据圆心 C 到直线 OA 的距离与半径 3 的数量关系进 行判断 ． 【解答】 直线 OA 与 ⊙C 相切 . 理由如下： 如图， 过点 C 作 CD⊥ AO 于点 D. ∵∠O=30° ， OC=6 ， ∴DC=3. ∴ 以点 C 为圆心、 半径为 3 的圆与 OA 相切 . 【点拨】 本题主要考查了直线与圆的位置关系 . 如果设圆的半径 为 r ， 圆心到直线 l 的距离为 d ， 那么直线 l 和圆的位置关系有三种： 当 d＜r 时， 直线 l 和圆 相交； 当 d=r 时， 直线 l 和圆相切； 当 d＞r 时， 直线 l 和圆相离 ． 例题 2 如图， AB 是 ⊙O 的直径， CD 与 ⊙O 相切于点 C ， 与 AB 的延长线交于点 D ， DE⊥AD 且与 AC 的延长线交于点 E． （ 1 ） 求证： DC=DE. （ 2 ） 若 tan∠CAB= 1 2 ， AB=3 ， 求 BD 的长 ． 【分析】 （ 1 ） 利用切线的性质， 结合余角的性质得出 ∠DCE=∠E ， 进而得出 DC=DE. （ 2 ） 设 BD=x ， 则 AD=AB+BD=3+x ， OD=OB+BD=1.5+x ， 利用正切值和勾股定理建立方 程， 求出 BD 的长 ． 【解答】 （ 1 ） 证明： 如图， 连接 OC. ∵CD 是 ⊙O 的切线， ∴∠OCD= 90°. ∴∠ACO+∠DCE=90°. 又 ∵ED⊥AD ， ∴∠EDA=90°. ∴∠EAD+∠E= 90°. ∵OC=OA ， ∴∠ACO=∠EAD. ∴∠DCE=∠E. ∴DC=DE. （ 2 ） 解： 设 BD=x ， 则 AD=AB+BD=3+x ， OD=OB+BD= 3 2 +x. 在 Rt△EAD 中 ， ∵tan∠CAB= 1 2 ， ∴ED= 1 2 AD= 1 2 （ 3+x ）， 由 （ 1 ） 知， DC= 1 2 （ 3+x ） . 在 Rt△OCD 中， OC 2 +CD 2 = DO 2 ， 则 3 2 2 & 2 + 1 2 （ 3+x x ( ） 2 = 3 2 + 2 & x 2 . 解得 x 1 =-3 （舍去）， x 2 =1 ， 即 BD=1． 【点拨】 此题主要考查切线的性质与三角函数值等相关知识的综合运用 , 而连接过切 点的半径应用切线的性质， 得到直角三角形是解题的关键 . 解题策略是构造直角三角形 或相似三角形， 利用勾股定理、 直角三角形边角关系或线段的比例关系， 建立方程模型 转化为代数问题解决 . 例题 1 图 A BO C 6 直线和圆的位置关系 （第 1课时） 例题 1 答图 A BO D C 例题 2 图 E A B D C O 例题 2 答图 E A B D C O 78 圆 第三章 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 以 O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦 AB 是小圆的切线， 若大圆的半径为 10 cm ， 小圆的半径为 6 cm ， 则弦 AB 的长为 . 2. 如图， PA 是 ⊙O 的切线， A 为切点， PO 交 ⊙O 于点 B ， PA=8 ， OB=6 ， 则 tan∠APO= . 3. 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， ∠A=30° ， BC=1 cm ， 若以点 C 为圆心作圆弧与 AB 相切， 则这条弧的半径等于 . 4. 在 △ABC 中， AB=4 cm ， AC=2 2 姨 cm ， 若以 A 为圆心、 2 cm 为半径的圆与直线 BC 相切于点 D ， 则 ∠BAC 的度数为 . 5. 如果直线 m 与 ⊙O 最多有一个公共点， 那么圆心到 m 的距离 d 与半径 r 的关系为 （ ） A. d＜r B. d=r C. d≤r D. d≥r 6. 如图， PA 与 ⊙O 相切于点 A ， PO 交 ⊙O 于点 B ， 若 PA=6 ， PB=4 ， 则 ⊙O 的半径为 （ ） A. 5 4 B. 5 2 C. 2 D. 5 7. 已知平面内有 ⊙O 和点 A ， B ， 若 ⊙O 的半径为 2 cm ， 线段 OA=3 cm ， OB=2 cm ， 则 直线 AB 与 ⊙O 的位置关系为 （ ） A． 相离 B． 相交 C． 相切 D． 相交或相切 8. 如图， PA ， PB 切 ⊙O 于点 A ， B ， 点 C 是 ⊙O 上一点， 且 ∠ACB=65° ， 则 ∠P 等于多 少度？ 第 1 题图 O A B O A B P 第 2 题图 第 3 题图 B C A O B A P 第 6 题图 O C P A B 第 8 题图 79 九年级下册 （北师大版）数学 9. 如图 ， AB 是 ⊙O 的直径 ， AC 是弦 ， CD 切 ⊙O 于点 C ， 交 AB 的延长线于点 D ， ∠ACD=120° ， BD=10. （ 1 ） CA 与 CD 相等吗？ 为什么？ （ 2 ） 求 ⊙O 的半径 . 能力提升 综合拓展 10. 如图， AB 为 ⊙O 的直径， PD 切 ⊙O 于点 C ， 交 AB 的延长线于点 D ， 且 ∠D=2∠CAD ， 连接 OC. （ 1 ） 求 ∠D 的度数 . （ 2 ） 若 CD=2 ， 求 BD 的长 ． 11. 如图， AB 是 ⊙O 的直径， 点 E ， F 在 ⊙O 上， 且B B F ＝2B B E ， 连接 OE ， AF ， 过点 B 作 ⊙O 的切线， 分别与 OE ， AF 的延长线交于点 C ， D． （ 1 ） 求证： ∠COB＝∠A. （ 2 ） 若 AB＝6 ， CB＝4 ， 求线段 FD 的长 ． A D BO C P 第 10 题图 O B D A C 第 9 题图 O D F A B C E 第 11 题图 80 圆 第三章 12. 如图， △ABC 是 ⊙O 的内接三角形， 过点 C 作 ⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 F ， AE 是 ⊙O 的直径， 连接 EC． （ 1 ） 求证： ∠ACF＝∠B. （ 2 ） 若 AB＝BC ， AD⊥BC 于点 D ， FC＝4 ， FA＝2 ， 求 AD · AE 的值 ． * 13. 如图 1 ， 四边形 ABCD 内接于 ⊙O ， AC 是 ⊙O 的直径， 过点 A 的切线与 CD 的延长 线相交于点 P ， 且 ∠APC＝∠BCP. （ 1 ） 求证： ∠BAC＝2∠ACD. （ 2 ） 过图 1 中的点 D 作 DE⊥AC ， 垂足为 E （如图 2 ）， 当 BC＝6 ， AE＝2 时， 求 ⊙O 的半径 . 14. 在古代， 智慧的劳动人民已经会使用 “石磨”， 其原理为在磨盘的边缘连接一个固定 长度的 “连杆”， 推动 “连杆” 带动磨盘转动， 将粮食磨碎， 物理学上称这种动力传输工具 为 “曲柄连杆机构” ． 小李受此启发设计了一个 “双连杆机构”， 设计图如图 1 ， 两个固定长度的 “连杆” AP ， BP 的连接点 P 在 ⊙O 上， 当点 P 在 ⊙O 上转动时， 带动点 A ， B 分别在射线 OM ， ON 上滑 动， OM⊥ON． 当 AP 与 ⊙O 相切时， 点 B 恰好落在 ⊙O 上， 如图 2． 请仅就图 2 的情形解答下 列问题 ． （ 1 ） 求证： ∠PAO＝2∠PBO. （ 2 ） 若 ⊙O 的半径为 5 ， AP＝ 20 3 ， 求 BP 的长 ． O D F A B C E 第 12 题图 第 13 题图 O A C P D B O A C P D B E 图 2图 1 O M N P A B O M N P A B 图 1 图 2 第 14 题图 81