3 垂径定理-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

圆 第三章 自主导学 典例精析 例题 1 如图， AB ， CD 是半径为 5 的 ⊙O 的两条弦， AB=8 ， CD= 6 ， MN 是直径， AB⊥MN 于点 E ， CD⊥MN 于点 F ， P 为 EF 上的任意一 点， 连接 PA ， PC ， 求 PA+PC 的最小值 . 【分析】 A ， B 两点关于 MN 对称， 因而 PA+PC=PB+PC ， 即当 B ， C ， P 在一条直线上时 PA+PC 的值最小， BC 的值就是 PA+PC 的最小值 . 【解答】 如图， 连接 OA ， OB ， OC ， BC ， 作 CH⊥AB 于点 H． 根据垂径 定理， 得 BE= 1 2 AB=4 ， CF= 1 2 CD=3. ∴OE= OB 2 -BE 2 姨 = 5 2 -4 2 姨 =3 ， OF= OC 2 -CF 2 姨 = 5 2 -3 2 姨 =4. ∴CH=EF=OE+OF=3+4=7 ， BH=BE+EH=BE+CF=4+3= 7. 在 Rt△BCH 中， 根据勾股定理得 BC=7 2 姨 ， ∴PA+PC 的最小值为 7 2 姨 ． 【点拨】 此题是运用垂径定理的对称性和轴对称性质研究几何图形的最小值问题的典型 题目， 解决此类问题的基本策略是首先确定对称轴， 找到与最小值相关联的点及对称点， 将 求图形的最小值问题转化为求两点之间最短线段问题， 最后利用勾股定理、 等腰三角形性 质、 垂径定理等知识求出最短线段长 . 例题 2 如图， 某窗户由矩形和弓形组成， 已知弓形的跨度 AB= 3 m ， 弓形的高 EF=1 m ， 现计划安装玻璃， 请帮安装师傅求出 A A B 所在 ⊙O 的半径 r． 【分析】 根据垂径定理可得 AF= 1 2 AB ， 再表示出 AO ， OF ， 然后利用 勾股定理建立关于 r 的方程， 问题可解 . 【解答】 ∵ 弓形的跨度 AB=3 ， EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB. ∴AF= 1 2 AB= 3 2 . ∵A A B 所在 ⊙O 的半径为 r ， 弓形的高 EF=1 ， ∴AO=r ， OF=r-1. 在 Rt△AOF 中， AO 2 =AF 2 +OF 2 ， 即 r 2 = 3 2 A 2 2 + （ r-1 ） 2 . 解得 r= 13 8 ． 答： A A B 所在⊙O 的半径为 13 8 m． 【点拨】 本题考查垂径定理与勾股定理的综合运用， 解题策略是通过作辅助线应用垂径 定理， 将圆心到弦的垂线段、 弦的一半放到同一个直角三角形中， 再利用勾股定理建立方 程解决问题 ． F A B C D NM O PE 例题 1 图 * 3 垂径定理 例题 2 图 例题 1 答图 F A B C D NM O PE H A B O E F 61 九年级下册 （北师大版）数学 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶， 其底部是圆球形 ． 球的半径为 5 cm ， 瓶内液体的最大深度 CD=3 cm ， 则截面圆中弦 AB 的长为 . 2. “圆材埋壁” 是我国古代数学名著 《九章算术》 中的一个问题： 今有圆材， 埋在壁 中， 不知大小 ． 以锯锯之， 深一寸， 锯道长一尺 ． 问径几何 . 转化为现在的数学语言表达就 是： 如图， CD 为 ⊙O 的直径， 弦 AB⊥CD ， 垂足为 E ， CE=1 寸， AB=10 寸， 则直径 CD 的 长度为 . 3. 如图所示， 小区内有个圆形花坛 O ， 点 C 在弦 AB 上， AC=3 ， BC=5 ， OC= 10 姨 ， 则这个花坛的面积为 （结果保留 π ） . 4. 若两条平行弦与圆心的距离分别为 2 cm 和 5 cm ， 则平行弦之间的距离为 . 5. 如图， OA ， OB ， OC 都是 ⊙O 的半径， AC ， OB 交于点 D． 若 AD=CD=8 ， OD=6 ， 则 BD 的长为 （ ） A． 5 B． 4 C． 3 D． 2 6. 如图， 已知 ⊙O 的半径为 10 ， ⊙O 的一条弦 AB=16 ， 若 ⊙O 内的一点 P 恰好在 AB 上 （不与 A ， B 重合）， 则线段 OP 的取值范围是 （ ） A． 5≤OP≤8 B． 5≤OP＜8 C． 6≤OP≤10 D． 6≤OP＜10 7. 赵州桥是当今世界上建造最早， 保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥 ． 如图， 主桥 拱呈圆弧形， 跨度约为 37 m ， 拱高约为 7 m ， 则赵州桥主桥拱半径 R 约为 （ ） A． 20 m B． 28 m C． 35 m D． 40 m 8. 小张同学只用一张宽为 7 cm 的矩形纸条和刻度尺， 测量一次 性纸杯杯口的直径 ． 设计了如下方法： 如图， 将纸条拉直并紧贴杯 口， 纸条的上下边沿分别与杯口相交于 A ， B ， C ， D 四点， 然后利 用刻度尺量得 AB=8 cm ， CD=6 cm ， 则计算纸杯的直径是 （ ） A． 5 cm B． 8 cm C． 10 cm D． 10.2 cm O A C B D C D A B E O 第 2 题图 第 5 题图 第 7 题图 7 m 37 m R R O O C A B D 第 1 题图 O A B C 第 3 题图 O A B P 第 6 题图 A B C D 7 第 8 题图 62 圆 第三章 9. 如图， 在以 O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦 AB 交小圆于点 C ， D ， AB=10 cm ， DC=6 cm ， 求 AC 的长 . 能力提升 综合拓展 10. 如图， 在 ⊙O 中， AO⊥OB 于点 O ， AB 交 ⊙O 于点 C ， 已知 OB=12 ， AB=13 ， 求 AC 的长 . 11. 如图， ⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ， 已知 AE=1 ， EB=5 ， ∠DEB=60° ， 求 CD 的长 . 12. 如图， 在 ⊙O 中， 弦 AB 的长是半径 OA 的 3 姨 倍， Ｃ 是A A B 的中点， AB ， OC 相交于 点 P ， 判断四边形 OACB 的形状， 并说明理由 . B A D O C 第 9 题图 O A C B 第 10 题图 O A B C P 第 12 题图 O C D E A B 第 11 题图 63 九年级下册 （北师大版）数学 13. 圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断， 既美观又实用， 彰显出中国元素 的韵味 ． 如图是一款拱门的示意图， 其中 C 为 AB 的中点， D 为拱门最高点， 线段 CD 经过圆 心， 已知拱门的半径为 1.5 m ， 拱门最下端 AB＝1.8 m． （ 1 ） 求拱门最高点 D 到地面的距离 . （ 2 ） 现需要给房间内搬进一个长和宽为 2 m 、 高为 1.2 m 的桌子， 已知搬桌子的两名工 人在搬运时所抬高度相同， 且高度为 0.5 m ， 判断搬运该桌子时是否能够通过拱门 ． （参考数 据： 5 姨 ≈2.236 ） 中考链接 真题演练 14. （ 2024 ·长沙） 如图， 在 ⊙O 中， 弦 AB 的长为 8 ， 圆心 O 到 AB 的距离 OE=4 ， 则 ⊙O 的半径长为 （ ） A． 4 B． 4 2 姨 C． 5 D． 5 2 姨 15. （ 2024 ·新疆） 如图， AB 是 ⊙O 的直径， CD 是 ⊙O 的弦， AB⊥CD ， 垂足为 E． 若 CD=8 ， OD=5 ， 则 BE 的长为 （ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 16. （ 2024 ·凉山） 数学活动课上， 同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径， 小 李的解决方案是在工件圆弧上任取两点 A ， B ， 连接 AB ， 作 AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于 点 D ， 交 A A B 于点 C ， 测出 AB=40 cm ， CD=10 cm ， 则圆形工件的半径为 （ ） A． 50 cm B． 35 cm C． 25 cm D． 20 cm 第 13 题图 O A B C D O A E B O A D E C B A B C D 第 15 题图第 14 题图 第 16 题图 64 九年级下册 （北师大版）数学 * 15. 解： 如图， 连接 OD. ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴OD= 1 2 AB. ∵AB=2DE ， ∴DE=OD. ∴∠DOE=∠E=18°. ∴∠OCD= ∠ODC=36°. ∴∠AOC=∠OCD+∠E=54°. 16. 解： 如图， 设 OA 交 ⊙O 于点 C ， 连接 BC ， ∵ 点 A′ ， B′ 分别是点 A ， B 的反演点， ∴OA′ · OA=OB′ · OB=r 2 . 而 r=4 ， OA=8 ， ∴OA′=2. ∵OB=r=4 ， ∴OB′=4 ， 即点 B 和 B′ 重合 . ∵∠BOA=60° ， OB=OC ， ∴△OBC 为等边三角形 . 而点 A′ 为 OC 的中点， ∴B′A′⊥OC. 在 Rt△OA′B′ 中， sin∠A′OB′= A′B′ OB′ ， ∴A′B′=4sin 60°=2 ３ 姨 . 2 圆的对称性 1. 120 2. 3 3 姨 2 3. A 4. B 5. C 6. B 7. 解： ∵Ｂ & Ｃ ＝Ｃ & Ｄ ＝Ｄ & Ｅ ， ∠COD=35° ， ∴∠EOD=∠BOC=∠COD=35°. ∴∠EOB=105°. ∴∠AOE=180°－∠EOB=75°. 8. 解： 相等 . 理由： 如图， 连接 OM ， ON. ∵M ， N 分别是 AB ， AC 的中点， ∴OM⊥AB ， ON⊥CD. ∴∠AMO= ∠CNO=90°. 又 ∵AB=CD ， ∴OM=ON. ∴∠OMN=∠ONM. ∴∠AMO－∠OMN=∠CNO－∠ONM ， 即 ∠AMN=∠CNM. 9. 解： 成立 . 理由： 如图， 过点 O 作 OM⊥DF 于点 M ， ON⊥BE 于点 N. 由垂径定理得 DM= 1 2 DF ， BN= 1 2 BE. 又 ∵DF=BE ， ∴DM=BN. 又 ∵OD=OB ， ∴Rt△ODM≌Rt△OBN. ∴∠D=∠B. 10. 解： 如图， 连接 OC. ∵D ， E 分别为 ⊙O 半径 OA ， OB 上的点， AD=BE ， OA=OB ， ∴OD=OE. ∵C 是Ａ & Ｂ 的中 点， ∴Ａ & C =B & C . ∴∠AOC=∠BOC. 又 ∵OC=OC ， ∴△DCO≌△ECO. ∴CD=CE． 11. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 OC. ∵∠AOB=120° ， C 是Ａ & B 的中点， ∴Ａ & C =B & C ， ∠AOC=∠BOC=60°. ∵OA=OC ， ∴ △ACO 是等边三角形 . ∴OA=AC ， 同理 OB=BC ， ∴OA=AC=BC=OB. ∴ 四边形 AOBC 是菱形 . ∴AB⊥OC ， AB 平分 ∠OAC. （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知 △ACO 是等边三角形 ， ∴OA=AC ， ∠AOC=∠OAC=60° . ∵OA=AP ， ∴AP=AC. ∴ ∠APC=30°. ∴△OPC 是直角三角形 . 又 ∵ 半径 R=1 ， ∴AC=1 ， OP=2. ∴PC= 3 姨 . 12. C 13. 证明： （ 1 ） ∵Ａ & Ｂ =C & D ， ∴Ａ & Ｂ +B & C =C & D +B & C ， 即Ａ & C =B & D ， ∴AC=BD. （ 2 ） ∵∠A＝∠D ， ∠B＝∠C ， ∴ △ABE∽△DCE. * 3 垂径定理 1. 2 21 姨 2. 26 寸 3. 25π 4. 7 cm 或 3 cm 5. B 6. D 7. B 8. C 9. 解： 如图， 过点 O 作 OE⊥AB 于点 E ， 则 CE=DE= 1 2 CD=3 cm ， AE=BE= 1 2 AB=5 cm. ∴AC=AE－CE= 2 cm. 10. 解： 如图， 过点 O 作 OD⊥AC 于点 D ， 则 AD=DC. ∵∠AOB=90° ， ∠ADO=90° ， ∠A=∠A ， ∴△AOD∽△ABO. ∴ OA AB = AD OA . ∴OA 2 =AB · AD. 又 ∵AB=13 ， OB=12 ， 由 勾股定理得 OA 2 =AB 2 －OB 2 =25. ∴25=13AD. ∴AD= 25 13 . ∴AC=2AD= 50 13 . 11. 解： 如图， 过点 O 作 OF⊥CD 于点 F ， 连接 OC ， 则 CF=DF. ∵AE=1 ， EB=5 ， ∴AO=3 ， EO=2. 在 Rt△EFO 中， ∵∠DEB=60° ， EO=2 ， FO= 3 姨 ， OC=OA=3 ， 由勾股定理得 CF 2 =CO 2 － 第 11 题答图 A B C O P 第 16 题答图 O A B A′ C （ B′ ） 第 15 题答图 B E D O A C 第 10 题答图第 9 题答图第 8 题答图 A B M N O C D O CA F E B D M N O E D A B C 第 10 题答图第 9 题答图 B A D O C O A C B D E 第 11 题答图 O C D E A B F 第 14 题答图 A C D B O 214 参考答案与提示 OF 2 ， ∴CF= 6 姨 ， ∴CD=2 6 姨 . 12. 解 ： 四边形 OACB 是菱形 . 理由 ： ∵C 是Ａ " Ｂ 的中点 ， OC 是半径 ， ∴OC⊥AB ， AC=BC ， AP=BP . ∵AB= 3 姨 OA ， ∴AP= 1 2 AB= 3 姨 2 OA. 在 Rt△AOP 中， ∵sin∠AOP= AP OA = 3 姨 2 ， ∴∠AOP=60°. 又 ∵OA=OC ， ∴ △OAC 为等边三角形 . ∴OA=AC=CB=OB. ∴ 四边形 OACB 为菱形 . 13. 解 ： （ 1 ） 如图 ， 连接 AO． ∵CD⊥AB ， CD 经过圆心 O ， ∴AC＝CB＝0.9 m. ∴OC＝ AO 2 -AC 2 姨 = 1.5 2 -0.9 2 姨 ＝1.2. ∴CD＝OD+OC＝1.5+1.2＝2.7 （ m ） . ∴ 拱门最高点 D 到地面的距离为 2.7 m. （ 2 ） 如图， 设 MN 为桌子的宽度 2 m ， EF 为桌子抬高 0.5 m 时桌底经过的平面， MN ， EF 分别交 CD 于点 P ， Q ， 连接 OM ， 则 MN∥EF. 由题意得 MP=NP=1 m ， OM=1.5 m ， CQ=0.5 m ， ∴OQ=OC-CQ=1.2-0.5=0.7 （ m ） . 在 Rt△OMP 中， OP 2 +PM 2 =OM 2 ， 即 OP 2 +1 2 =1.5 2 ， 解得 OP= 5 姨 2 ≈1.118 （负值已舍去）， ∴OP>OQ ， ∴EF>MN=2 m ， 且 PQ=OQ+OP=0.7+1.118≈ 1.82 （ m ） . ∵1.82>1.2 ， ∴ 搬运该桌子时能够通过拱门 . 14. B 15. B 16. C 4 圆周角和圆心角的关系 （第 1 课时） 1. 42° 或 138° 2. 150° 3. B 4. D 5. 解： 如图， 连接 OD ， OC. ∵D 是Ａ " Ｃ 的中点， ∴∠AOD= 1 2 ∠AOC. 又 ∵∠B= 1 2 ∠AOC ， ∴∠AOD= 1 2 ∠AOC=∠B=40°. ∵OA=OD ， ∴∠A=∠ADO. ∵∠A+∠ADO +∠AOD =180° ， ∴∠A=70°. 6. 解： ∵∠COB=30° ， ∠COB=2∠D ， ∴∠D=15° . 又 ∵∠APD=∠D+∠ABD ， ∠APD= 60° ， ∴∠ABD =45°. 7. 解： AC=AE. 理由： ∵B " Ｃ ＝D " E ， ∴B " C +B " D =D " E +B " D . ∴C " D =B " E . ∴C " D 和B " E 所对的圆周角相等， 即∠DEC= ∠BCE． ∴ AC=AE． 8. 解 ： EF∥AB. 理由 ： ∵AC=EF ， ∴Ａ " Ｃ ＝Ｅ " Ｆ . ∴Ｅ " Ｃ ＝Ａ " Ｆ . ∴∠E=∠CAE. ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴∠BAE= ∠CAE. ∴∠E=∠BAE. ∴EF∥AB. 9. 解 ： ∵OA=OC ， ∠COD=60° ， ∠CAB= 1 2 ∠BOC ， ∴∠OCA=∠OAC=30° . ∵AC=AD ， ∴∠ACD=∠ADC= 75° ， ∴∠OCE=∠ACD－∠OCA=45°. 在 Rt△OCE 中， ∵∠COE=∠OCE=45° ， OC=2 ， ∴OE= 2 姨 . 10. （ 1 ） 证明： ∵∠ADC＝∠G ， ∴AC " ＝AD " . ∵AB 为 ⊙O 的直径， ∴BC " ＝BD " . ∴∠1＝∠2. （ 2 ） 解： 如图， 连接 DF ， CB ， 由 （ 1 ） 知AC " ＝AD " ， BC " ＝BD " ， ∴∠ABC＝∠ABD ， BC＝BD. ∴BE⊥CD ， CE＝DE. ∴AB 是 DC 的垂直平分线 . ∴FD＝FC＝10. ∵ 点 C ， F 关于 DG 对称， ∴DC＝ DF＝10. ∴DE＝5. ∵tan∠1＝ 2 5 ， ∴EB＝DE · tan∠1＝2. ∵∠1＝∠2 ， ∴tan∠2＝ 2 5 . ∴AE＝ DE tan∠2 ＝ 25 2 . ∴AB＝AE+EB＝ 29 2 . ∴⊙O 的半径长为 29 4 ． 11. （ 1 ） 解： 如图， 连接 OD ， OC ， ∴OD＝OC. ∵M 是 CD 的中点， CD＝12 ， ∴DM＝ 1 2 CD＝ 6 ， OM⊥CD ， ∠OMD＝90°. 在 Rt△OMD 中， ∵OM＝3 ， DM＝6 ， ∴OD＝ OM 2 +DM 2 姨 = 3 2 +6 2 姨 = 3 5 姨 . ∴⊙O 的半径长为 3 5 姨 . （ 2 ） 证明： 如图， 连接 AC ， 延长 AF 交 BD 于点 G ， ∵AB⊥CD ， CE＝EF ， ∴AB 是 CF 的垂直平分线 . ∴AF ＝AC ， 即 △ACF 是等 腰 三 角 形 . ∴ ∠FAE＝∠CAE. ∵B " C ＝B " C ， ∴∠CAE＝∠CDB . ∴∠FAE＝∠CDB. 在 Rt△BDE 中， ∠CDB+ ∠B＝90° ， ∴∠FAE+∠B＝90°. ∴∠AGB＝90°. ∴AG⊥BD ， 即 AF⊥BD． 12. 55° 13. 90° 14. 90° 15. A 16. B 17. B 18. D 19. D 20. （ 1 ） 证明： ∵∠ACB= 1 2 ∠AOB ， ∠BAC= 1 2 ∠BOC ， ∠ACB＝2∠BAC ， ∴∠AOB＝2∠BOC. （ 2 ） 解： 如图， 过点 O 作半径 OD⊥AB 于点 E ， 连接 BD ， ∴AE＝BE. ∵∠AOB＝2∠BOC ， ∠DOB＝ 1 2 ∠AOB ， ∴∠DOB＝∠BOC ， ∴BD＝BC． ∵AB＝4 ， BC= 5 姨 ， ∴BE＝2 ， DB= 5 姨 . 在 Rt△BDE 中， ∠DEB＝90° ， DE= BD 2 -BE 2 姨 =1. 在 Rt△BOE 中， ∠OEB＝90° ， ∵OB 2 ＝ （ OB-1 ） 2 + 2 2 ， 解得 OB= 5 2 ， ∴⊙O 的半径是 5 2 ． 第 10 题答图 A B C D EF O 1 2 G O A B C M D F E G 第 11 题答图 O A B C D M N P Q E F 第 13 题答图 第 5 题答图 B O C A D 第 20 题答图 O A B C D E 215