1 圆-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

参考答案与提示 ∵OC＝2 ， ∴n＝2OC＝4． ∵ 点 P （ m ， 4 ） 在抛物线 y＝x 2 +x-2 上， ∴m 2 +m-2＝4. ∴m 1 ＝-3 ， m 2 ＝2 （舍去） ． ∴ 点 P 坐标为 （ -3 ， 4 ） ． 5 二次函数与一元二次方程 （第 2 课时） 1. -1 3 2. －3.3 3. C 4. B 5. C 6. 解： （ 1 ） 将点 P （ －3 ， 7 ） 和 Q （ 1 ， 7 ） 分别代入二次函数 y=2x 2 +bx+c ， 得 2×9-3b+c=7 ， 2×1+b+c=7 7 . 解得 b=4 ， c=1 7 . （ 2 ） 抛物线开口向上， 顶点在 x 轴下方， 因此有实数根， 解得 x=-1± 2 姨 2 . （ 3 ） 由题意将抛物线 y=2x 2 +bx+c 向上平 移 k （ k 是正整数） 个单位长度， 使平移后的图象与 x 轴无交点， ∴ 设 y=2x 2 +4x+1+k. ∵ 方程 2x 2 +4x+1+k=0 没有实 数根， ∴Δ＜0 ， 即 16－8 （ 1+k ） ＜0. ∴k＞1. ∵k 是正整数， ∴k 的最小值为 2． 7. 解： （ 1 ） y=240x 2 +180x+45. （ 2 ） 由题意得 240x 2 +180x+45=195 ， 整理得 8x 2 +6x－5=0 ， 解得 x 1 =0.5 ， x 2 = －1.25 ( 不合题意， 舍去） . ∴ 宽 0.5 m ， 长 1 m. 8. 解： （ 1 ） ①y=300x-600 ②y=-12x 2 +420x-600 （ 2 ） 当 x≤10 时， y 最大 =300×10-600=2 400 ， ∵3 000＞2 400 ， ∴x>10. 由题意得 -12x 2 +420x-600=3 000 ， 解得 x 1 =15 ， x 2 =20． 答： 每辆次轿车的停车费为 15 元或 20 元时， 商场可 实现 3 000 元日净收入 . （ 3 ） 当 x≤10 时， 停车 300 辆次， 最大日净收入 y=300×10-600=2 400 （元）； 当 x>10 时， y=-12x 2 +420x-600=-12 （ x-17.5 ） 2 +3 075 ， ∵-12＜0 ， ∴ 当 x=17.5 时， y 有最大值 . ∵ 停车费 x 只取整数， ∴ 当 x=17 或 18 时， y 最大 . 又 ∵ 商场要求此停车场要吸引顾客， 使每天轿车停放的辆次较多， ∴ 当 x=17 时， y 最大值 = 3 072 （元） ． 答： 每辆次轿车的停车费定价为 17 元时， 最大日净收入是 3 072 元 ． 9. 35 3 m 10. （ 4 ， 1 ） 提示： 作点 A 关于对称轴的对称点 A′ ， 将点 A′ 向下平移 3 个单位长度， 得到 A″ ， 连接 A″B ， 交对称轴于点 C ， 此时 AD+BC 的值最小， AD+BC=A″B. 在 y= 1 2 x 2 -4x+6 中， 令 x=0 ， 则 y=6. ∴ 点 A （ 0 ， 6 ） . 令 y=0 ， 则 1 2 x 2 -4x+6=0. 解得 x=2 或 x=6. ∴ 点 B （ 2 ， 0 ） . ∵ 抛物线的对称轴为直线 x=- -4 2× 1 2 =4 ， ∴A′ （ 8 ， 6 ） . ∴A″ （ 8 ， 3 ） . 设直线 A″B 的表达式为 y=kx+ b ， 将 A″ （ 8 ， 3 ）， B （ 2 ， 0 ） 的坐标代入表达式， 得 8k+b=3 ， 2k+b=0 7 . 解得 k= 1 2 ， b=-1 7 . ∴ 直线 A″B 的表达式为 y= 1 2 x-1. 当 x=4 时， y=1 ， ∴C （ 4 ， 1 ） . 11. D 12. B 13. 解： （ 1 ） ∵ 二次函数 y 1 =2x 2 +bx+c 过点 A （ 1 ， 0 ）， B （ 2 ， 0 ）， ∴y 1 =2 （ x－1 ）（ x－2 ）， 即 y 1 =2x 2 -6x+4． ∴ 抛物线 的对称轴为直线 x=－ b 2a = 3 2 ． （ 2 ） 把 y 1 =2 （ x－h ） 2 －2 化成一般式得， y 1 =2x 2 －4hx+2h 2 -2． ∴b=－4h ， c=2h 2 －2． ∴b+c= 2h 2 -4h-2=2 （ h-1 ） 2 －4． 把 b+c 的值看作是 h 的二次函数， 则该二次函数开口向上， 有最小值 . ∴ 当 h=1 时， b+c 的 最小值是 －4． （ 3 ） 由题意得 ， y=y 1 －y 2 =2 （ x－m ）（ x－m－2 ） － （ x－m ） = （ x－m ）［ 2 （ x－m ） －5 ］ ． ∵ 函数 y 的图象经过点 （ x 0 ， 0 ）， ∴ （ x 0 －m ）［ 2 （ x 0 －m ） －5 ］ =0． ∴x 0 －m=0 或 2 （ x 0 －m ） －5=0 ， 即 x 0 －m=0 或 x 0 －m= 5 2 ． 第三章 圆 1 圆 1. 无数 无数 2. 点 P 在 ⊙O 外 3. 0＜OP＜3 4. 12 5. 3<r<5 6. 3 或 73 姨 7. C 8. B 9. B 10. C 11. 解： 如图， 连接 EM ， FM. ∵BE ， CF 是 △ABC 的高， ∴△BCE 和 △BCF 是直 角三角形 . ∴EM= 1 2 CB ， FM= 1 2 CB. 又 ∵M 是 BC 的中点， ∴CM=BM= 1 2 CB. ∴EM=FM= CM=BM. ∴B ， C ， E ， F 在以点 M 为圆心的同一个圆上 . 12. 解 ： （ 1 ） 点 A 在圆外 ， 点 C 在圆上 ， 点 B 在圆内 . 理由 ： ∵ ∠A=30° ， CD⊥AB ， ∴DE=DC ， AD= ３ 姨 DC＞DE ， DB= ３ 姨 ３ DC＜DE. （ 2 ） ∵BC=1 ， ∠DCB= ∠A=30° ， ∴DC= ３ 姨 ２ . ∴AD= ３ 2 . ∴ 点 A 距 ⊙D 的最短距离 = AD－DC= 3- ３ 姨 2 . 13. 解： （ 1 ） 以点 P 为圆心， 分别以 0.6 cm 和 1.2 cm 为半径画圆， 两圆之间的 圆环部分即为所求作的图形 （不包含边界） . （ 2 ） 画线段 AB=3 cm ， 以点 A 为圆心， 以 2 cm 为半径画圆， 再 以点 B 为圆心， 以 1.6 cm 为半径画圆， 则 ⊙A ， ⊙B 公共部分 （相交部分） 即为所求作图形 . 画图略 . 14. 解： 相等 . 如图， 连接 OC ， OD. ∵OC=OD ， ∴∠OCD=∠ODC. ∴∠OCA=∠ODB. 又 ∵AC=BD ， OC=OD ， ∴ △OAC≌△ODB. ∴OA=OB. 第 10 题答图 O x A y B C D A′ A″ A C B E F M 第 11 题答图 213 九年级下册 （北师大版）数学 * 15. 解： 如图， 连接 OD. ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴OD= 1 2 AB. ∵AB=2DE ， ∴DE=OD. ∴∠DOE=∠E=18°. ∴∠OCD= ∠ODC=36°. ∴∠AOC=∠OCD+∠E=54°. 16. 解： 如图， 设 OA 交 ⊙O 于点 C ， 连接 BC ， ∵ 点 A′ ， B′ 分别是点 A ， B 的反演点， ∴OA′ · OA=OB′ · OB=r 2 . 而 r=4 ， OA=8 ， ∴OA′=2. ∵OB=r=4 ， ∴OB′=4 ， 即点 B 和 B′ 重合 . ∵∠BOA=60° ， OB=OC ， ∴△OBC 为等边三角形 . 而点 A′ 为 OC 的中点， ∴B′A′⊥OC. 在 Rt△OA′B′ 中， sin∠A′OB′= A′B′ OB′ ， ∴A′B′=4sin 60°=2 ３ 姨 . 2 圆的对称性 1. 120 2. 3 3 姨 2 3. A 4. B 5. C 6. B 7. 解： ∵Ｂ & Ｃ ＝Ｃ & Ｄ ＝Ｄ & Ｅ ， ∠COD=35° ， ∴∠EOD=∠BOC=∠COD=35°. ∴∠EOB=105°. ∴∠AOE=180°－∠EOB=75°. 8. 解： 相等 . 理由： 如图， 连接 OM ， ON. ∵M ， N 分别是 AB ， AC 的中点， ∴OM⊥AB ， ON⊥CD. ∴∠AMO= ∠CNO=90°. 又 ∵AB=CD ， ∴OM=ON. ∴∠OMN=∠ONM. ∴∠AMO－∠OMN=∠CNO－∠ONM ， 即 ∠AMN=∠CNM. 9. 解： 成立 . 理由： 如图， 过点 O 作 OM⊥DF 于点 M ， ON⊥BE 于点 N. 由垂径定理得 DM= 1 2 DF ， BN= 1 2 BE. 又 ∵DF=BE ， ∴DM=BN. 又 ∵OD=OB ， ∴Rt△ODM≌Rt△OBN. ∴∠D=∠B. 10. 解： 如图， 连接 OC. ∵D ， E 分别为 ⊙O 半径 OA ， OB 上的点， AD=BE ， OA=OB ， ∴OD=OE. ∵C 是Ａ & Ｂ 的中 点， ∴Ａ & C =B & C . ∴∠AOC=∠BOC. 又 ∵OC=OC ， ∴△DCO≌△ECO. ∴CD=CE． 11. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 OC. ∵∠AOB=120° ， C 是Ａ & B 的中点， ∴Ａ & C =B & C ， ∠AOC=∠BOC=60°. ∵OA=OC ， ∴ △ACO 是等边三角形 . ∴OA=AC ， 同理 OB=BC ， ∴OA=AC=BC=OB. ∴ 四边形 AOBC 是菱形 . ∴AB⊥OC ， AB 平分 ∠OAC. （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知 △ACO 是等边三角形 ， ∴OA=AC ， ∠AOC=∠OAC=60° . ∵OA=AP ， ∴AP=AC. ∴ ∠APC=30°. ∴△OPC 是直角三角形 . 又 ∵ 半径 R=1 ， ∴AC=1 ， OP=2. ∴PC= 3 姨 . 12. C 13. 证明： （ 1 ） ∵Ａ & Ｂ =C & D ， ∴Ａ & Ｂ +B & C =C & D +B & C ， 即Ａ & C =B & D ， ∴AC=BD. （ 2 ） ∵∠A＝∠D ， ∠B＝∠C ， ∴ △ABE∽△DCE. * 3 垂径定理 1. 2 21 姨 2. 26 寸 3. 25π 4. 7 cm 或 3 cm 5. B 6. D 7. B 8. C 9. 解： 如图， 过点 O 作 OE⊥AB 于点 E ， 则 CE=DE= 1 2 CD=3 cm ， AE=BE= 1 2 AB=5 cm. ∴AC=AE－CE= 2 cm. 10. 解： 如图， 过点 O 作 OD⊥AC 于点 D ， 则 AD=DC. ∵∠AOB=90° ， ∠ADO=90° ， ∠A=∠A ， ∴△AOD∽△ABO. ∴ OA AB = AD OA . ∴OA 2 =AB · AD. 又 ∵AB=13 ， OB=12 ， 由 勾股定理得 OA 2 =AB 2 －OB 2 =25. ∴25=13AD. ∴AD= 25 13 . ∴AC=2AD= 50 13 . 11. 解： 如图， 过点 O 作 OF⊥CD 于点 F ， 连接 OC ， 则 CF=DF. ∵AE=1 ， EB=5 ， ∴AO=3 ， EO=2. 在 Rt△EFO 中， ∵∠DEB=60° ， EO=2 ， FO= 3 姨 ， OC=OA=3 ， 由勾股定理得 CF 2 =CO 2 － 第 11 题答图 A B C O P 第 16 题答图 O A B A′ C （ B′ ） 第 15 题答图 B E D O A C 第 10 题答图第 9 题答图第 8 题答图 A B M N O C D O CA F E B D M N O E D A B C 第 10 题答图第 9 题答图 B A D O C O A C B D E 第 11 题答图 O C D E A B F 第 14 题答图 A C D B O 214 圆 第三章 圆 圆的定义 及性质 圆的相关概念 性 质 圆的对称性 圆是中心对称图形， 对称中心为圆心 圆心角、 弧、 弦之间关系定理 垂径定理 圆 周 角 与 圆 心 角 圆周角与它所对弧、 所对圆心角的关系 直径所对的圆周角是直角 90°的圆周角所对的弦是直径 圆周角定理 确定圆的条件 （三角形的外接圆与三角形的外心） 圆的有关计算 弧长、 扇形的面积 圆内接正多边形 （中心角、 边心距） 圆内接四边形的对角互补 （四边形的外接圆） 点在圆内 点在圆外 点在圆上 点与圆的位置关系 作圆的内接正方形和正六边形 过不在同一直线上的三点作圆 作三角形的外接圆和内切圆 利用尺规作图 直线与圆的位置关系 知识网络 圆第三章 直线与圆相交 直线与圆相离 直线与圆相切 切线的性质 切线的判定 三角形的内切圆与三角形的内心 切线长定理 53 九年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 1 有下列四个说法： ① 半径确定了， 圆就确定了； ② 直径是弦； ③ 弦是直径； ④ 半圆是弧， 但弧不一定是半圆 . 上述四个说法哪些是真命题？ 哪些是假命题？ 请说明理由 . 【分析】 根据确定圆的条件以及弦、 弧的定义即可判断 . 【解答】 ②④ 是真命题， ①③ 是假命题 . 理由如下： 确定圆的条件有两个， 即圆心与半径， 所以 ① 是假命题； 因为直径是圆内最长的弦， 所 以 ② 是真命题； 根据弦的定义， 连接圆上任意两点的线段即是弦， 只有过圆心的弦才是直 径， 所以 ③ 是假命题； 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 每一条弧都叫半圆， 所以半圆是弧， 比半圆大的弧是优弧， 比半圆小的弧是劣弧， 不是所有的弧都是半圆， 所以 ④ 是真命题 . 综上所述， ②④ 是真命题， ①③ 是假命题 . 【点拨】 本题考查确定圆的条件， 弦、 直径、 弧与半圆的概念， 解题的关键是掌握确定圆 的两个条件， 即圆心和半径， 理解弦、 直径、 弧和半圆的概念， 知道直径是最长的弦， 半圆 是特殊的弧 . 例题 2 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， AC=6 ， AB=10 ， CD 是斜边上的中线， 以 AC 为直径作 ⊙O ， 设线段 CD 的中点为 P ， 请判断点 P 与 ⊙O 的位置关系， 并说明理由 . 【分析】 可先求出点 P 与圆心的距离 d ， 再与 ⊙O 的半径 r 进行比 较， 根据 d 与 r 的数量关系进行判断 . 【解答】 点 P 在 ⊙O 内 . 理由如下： ∵AC=6 ， AB=10 ， CD 是斜边 AB 上的中线， ∴AD=5. ∵ 点 O 是 AC 的中点， 点 P 是 CD 的中点， ∴OP 是 △CAD 的中位线， OC=OA= 1 2 AC=3. ∴OP= 1 2 AD=2.5. ∵OP＜OA ， ∴ 点 P 在 ⊙O 内 . 【点拨】 本题考查了点和圆的位置关系 . 解题的关键是抓住半径 r 与点到圆心的距离 d 之 间的数量关系， 即当 d>r 时， 点在圆外； 当 d=r 时， 点在圆上； 当 d<r 时， 点在圆内 . 基础巩固 达标闯关 1. 在平面上， 以点 O 为圆心， 可以画 个圆； 以线段 AB 的长为半径， 可以画 个圆 . 2. ⊙O 的半径为 5 cm ， 点 O 到点 P 的距离为 29 姨 cm ， 则点 P 与 ⊙O 的位置关系是 . 3. 已知 ⊙O 的直径为 6 ， 若点 P 在 ⊙O 的内部， 那么线段 OP 的取值范围是 . A D B O P C 例题 2 图 1 圆 54 圆 第三章 4. 在如图所示的 12×12 的网格图形内部任意画一个圆， 则所画的圆最多能经过 169 个格 点中的 个格点 ． 5. 如图， 在矩形 ABCD 中， AB=4 ， AD=3 ， 以顶点 D 为圆心作半径为 r 的圆， 若要求另 外三个顶点 A ， B ， C 中至少有一个点在圆内， 且至少有一个点在圆外， 则 r 的取值范围是 . 6. 在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， BC=3 ， AC=4 ， 点 P 在以 C 为圆心， 5 为半径的圆上， 连 接 PA ， PB. 若 PB=4 ， 则 PA 的长为 . 7. 下列说法错误的是 （ ） A． 圆有无数条直径 B． 连接圆上任意两点之间的线段叫做弦 C． 过圆心的线段是直径 D． 能够重合的圆叫做等圆 8. 已知点 C 在线段 AB 上 （点 C 与点 A ， B 不重合）， 过点 A ， B 的圆记为圆 O 1 ， 过点 B ， C 的圆记为圆 O 2 ， 过点 C ， A 的圆记为圆 O 3 ， 则下列说法中正确的是 （ ） A． 圆 O 1 可以经过点 C B． 点 C 可以在圆 O 1 的内部 C． 点 A 可以在圆 O 2 的内部 D． 点 B 可以在圆 O 3 的内部 9. 如图， 在网格 （每个小正方形的边长均为 1 ） 中选取 9 个格点 （格线的交点称为格 点）， 如果以点 A 为圆心， r 为半径画圆， 选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个点在圆内， 则 r 的取值范围为 （ ） A． 2 2 姨 ＜r＜ 17 姨 B． 17 姨 ＜r≤3 2 姨 C． 17 姨 ＜r＜5 D． 5＜r＜ 29 姨 10. 如图， ⊙M 的半径为 2 ， 圆心 M 的坐标为 （ 3 ， 4 ）， 点 P 是 ⊙M 上的任意一点 ， PA⊥PB ， 且 PA ， PB 与 x 轴分别交于 A ， B 两点， 若点 A 、 点 B 关于原点 O 对称， 则 AB 的 最小值为 （ ） A． 3 B． 4 C． 6 D． 8 第 4 题图 第 5 题图 A B C D M P y x A O B 第 9 题图 A 第 10 题图 55 九年级下册 （北师大版）数学 11. 如图， BE ， CF 是 △ABC 的高， M 为 BC 的中点 ． 试说明点 B ， C ， E ， F 在以点 M 为 圆心的同一个圆上 ． 能力提升 综合拓展 12. 如图， 已知 Rt△ABC 中， ∠BCA=90° ， CD⊥AB ， 垂足为 D ， ∠A=30° ， E 是 AC 的 中点， 以点 D 为圆心， DE 为半径作圆 . （ 1 ） 判断 A ， B ， C 三点与 ⊙D 的位置关系， 并说明理由 . （ 2 ） 若 BC=1 ， 能否求出点 A 距 ⊙D 的最短距离？ 13. 作图说明满足下列要求的图形： （ 1 ） 与定点 P 的距离大于 0.6 cm ， 且小于 1.2 cm 的点组成的图形 . （ 2 ） 已知 AB=3 cm ， 与点 A 的距离小于或等于 2 cm ， 且与点 B 的距离小于或等于 1.6 cm 的所有点组成的图形 . A C B E F M 第 11 题图 第 12 题图 A E C B D 56 圆 第三章 14. 如图， 已知 AB 交 ⊙O 于点 C ， D ， 且 AC=BD. 你认为 OA 与 OB 相等吗？ 为什么？ * 15. 如图， AB 是 ⊙O 的直径， CD 是 ⊙O 的弦， AB ， CD 的延长线交于点 E. 已知 AB= 2DE ， ∠E=18° ， 求 ∠AOC 的度数 . 16. 如图 1 ， ⊙O 的半径为 r （ r>0 ）， 若点 P′ 在射线 OP 上， 满足 OP′ · OP=r 2 ， 则称点 P′ 是 点 P 关于 ⊙O 的 “反演点” . 如图 2 ， ⊙O 的半径为 4 ， 点 B 在 ⊙O 上， ∠BOA=60° ， OA=8 ， 若点 A′ ， B′ 分别是点 A ， B 关于 ⊙O 的反演点， 求 A′B′ 的长 . A C D B O 第 14 题图 O P′ P O A B 图 1 第 16 题图 图 2 B E D O A C 第 15 题图 57