3.6.2直线和圆的位置关系(2) 学案 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

3.6.2直线和圆的位置关系（2） 【学习目标】 1. 理解并掌握圆的切线的判定定理及运用. 2. 三角形的内切圆和内心的概念及性质. 【知识回顾】 圆的切线的性质：圆的切线 于经过切点的 . 【预习探究】 1. 切线的判定定理：过半径外端且 于半径的直线是圆的切线. 几何语言： 2. 圆的切线的三个判定方法：  （1）与圆有 公共点的直线是圆的切线；  （2）与圆心的距离 的直线是圆的切线；  （3）经过 外端并且垂直于这条 的直线是圆的切线. 3. 切线的其他重要结论： （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过 ; （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过 . 4.三角形的内切圆及内心 （1）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ； （2）三角形内切圆的圆心叫做三角形的 ； （3）三角形的内心到三角形的 的距离 ； （4）三角形的内心就是三角形的三条 . 【新知精析】 ★题型一 切线的判定 例1. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD于D，DC交AB于E． 求证：CD是⊙O的切线； 例2. 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线． 针对训练： 1. 如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若tanC=,DE=，求⊙O的半径长． 2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，P为AC上一点，PC，PD分别与直线AB交于M，N，延长DC至点E，使得∠CPE=∠PDC． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）若OM∙ON=6，求AB的长． ★题型二 三角形的内切圆及内心 例3. 如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12． 求⊙O的半径r． 针对训练： 3. 如图，△ABC中，A、B，C三点的坐标分别为A（0，8），B（–6，0），C（15，0）．若△ABC内心为D，则点D的坐标 ． 【拓展培优】 ★题型三 切线性质与判定的综合运用 例4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D，连接BD．点E为⊙O上一点，且CE=CB，连接EO并延长交CB的延长线于点F． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD∙AC=36,BF=4，求AC的长． 针对训练： 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，点E是AB上一点，以BE为直径的分别交AC、BC于点D、F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2），求cos∠CDB. 【思维特训】 如图1，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点C，AD⊥CD于点D，交⊙O于点E． （1）若4AB＝5AD，求证：AE＝3DE； （2）如图2，在（2）的条件下，CF交⊙O于点F，若AB＝10，∠ACF＝45°，求CF的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$