热点04 二次函数（12大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点•重点•难点】专练（广东专用）

热点04 二次函数 中考广东数学中《二次函数》部分主要考向分为五类： 一、二次函数图象与性质（每年1~2道，3~6分） 二、二次函数图象与系数的关系（每年1~2题，3~64分） 三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，3~6分） 四、二次函数的试卷应用（每年1题，3~9分） 二次函数是广东数学必考的一个重要知识点，主要是出在选择题的压轴题，解答题的方程应用和其他知识点交汇的压轴大题；最常考察的是二次函数的的最值。此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。 考向一：二次函数的图象与性质 【题型01 二次函数的图象与性质】 1. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：； 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。 1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东潮州·模拟预测）关于二次函数，下列说法错误的是（         ） A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 3．（2024·广东·模拟预测）关于二次函数 ，以下说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．有最小值 D．与y轴交点为 4．（2024·广东湛江·模拟预测）若点，在抛物线上，则 ．（填“<”或“>”或“=”） 5．（2024·广东东莞·模拟预测）已知抛物线经过点和，则 （填“>” “<”或“=”）． 6．（2024·广东东莞·一模）已知点都在函数的图象上，则的大小关系为 ． 【题型02 二次函数y＝ax2+bx+c图像和性质】 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1．（2025·陕西西安·一模）已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）已知二次函数的与的部分对应值如表： x 0 2 y 5 0 下列结论：抛物线的开口向上；抛物线的对称轴为直线；当时，；抛物线与轴的两个交点间的距离是；若是抛物线上两点，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·一模）若二次函数的图象开口向下，顶点在轴正半轴上，则二次函数表达式为 ．（写出一个即可） 4．（2025·广东深圳·一模）已知点，在二次函数的图像上，则、的大小关系是： 5．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数 （）的图象过 ，四个点， 则大小关系为 ． 【题型03 二次函数的对称和最值问题】 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 1．（2023·广东惠州·二模）已知抛物线经过点和点，则该抛物线的对称轴为（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 2．（2023·广东广州·模拟预测）已知二次函数在时有最小值，则 ． 3．（2023·广东阳江·二模）已知二次函数在时，y取得的最大值为15，则a的值为 ． 4．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）已知是二次函数图象上的两点，则当时，二次函数的值是 ． 5．（2023·广东潮州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)若，求t； (2)若，写出m，n，c的大小关系； (3)设点，（）在抛物线上，若，求t的取值范围及的取值范围． 考向二：二次函数图象与系数的关系 【题型04 二次函数图象与系数的关系】 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 1．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①该抛物线与x轴的另一个交点在点和之间；②；③；④关于x的一元二次方程有实数根．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．（2024·广东珠海·模拟预测）二次函数的图象如图所示，与x轴左侧交点为，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③； ④（m为实数）． 其中结论正确的为（　　） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 3．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论： ；；；，其中正确结论是 ． 5．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示．有下列结论．①；②；③；④；⑤．其中，正确结论的是 ． 6．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，下列五个结论：①；②；③；④ (m为任意实数)；⑤．其中，正确结论的序号是 ． 【题型05 二次函数图象共存问题】 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 1．（2023·广东东莞·二模）当时，与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·广东东莞·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（　　） A．B．C．D． 3．（2024·广东珠海·三模）已知二次函数的图象如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 4．（2024·广东广州·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ） A．B． C． D． 【题型06 待定系数法求二次函数的表达式】 1.二次函数解析式的表示方法 （1） 一般式：（，，为常数，）； （2） 顶点式：（，，为常数，）； （3） 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2.二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法． 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便． 一般来说，有如下几种情况： （1） 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2） 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 1．（2024·广东江门·二模）若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式： ． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式． 3．（2025·广东深圳·一模）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点． (1)则 ， ； (2)该二次函数图象的顶点坐标为 ； (3)在所给坐标系中画出该二次函数的图象； (4)根据图象，当时，y的取值范围是 ． 4．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，一条抛物线和直线l交于点O、B，其中O是平面直角坐标系的原点，B点坐标是，在抛物线上． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)在直线l下方的抛物线上有一点P，当的面积取得最大值时，求此时P点的坐标． 5．（2025·广东深圳·一模）已知二次函数． (1)若函数图象经过点，解决下列问题： ①求该二次函数的表达式； ②若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标． (2)设点，是该函数图象上的两点，若，求证：． 考向三：二次函数与方程、不等式 【题型07 抛物线与x轴交点问题】 1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点； 2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。 1．（2024·广东梅州·一模）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是(　　) A．和3 B．和5 C．和3 D．和4 2．（2025·广东深圳·一模）已知二次函数的图像与轴分别交于点，，与一次函数的图像分别交于点，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 3．（2023·广东深圳·三模）若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 4．（22-23九年级上·广东江门·期中）抛物线与轴的交点坐标为 ． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）探究问题1： （1）若二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围． （2）变式：若二次函数（m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ． 等价转化：若二次函数 （m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ． 探究问题2： （3）若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，求m的取值范围． 6．（2024·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线． (1)若抛物线与直线只有一个交点． ①求a与b之间的关系式； ②将直线向上平移t个单位，与抛物线两个交点横坐标分别为、，当时，随x的增大而减小，求t的最小整数值； (2)若抛物线与直线有二个交点，，且满足，此时设抛物线对称轴为直线，求m的取值范围． 【题型08 二次函数与不等式】 1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，函数与的图象相交于点及，当（    ）时，式子． A． B． C．或 D． 2．（2023·广东·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，函数与的图象如图所示，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 4．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，二次函数与x轴交点坐标为，，当时，x的取值范围是 考向四：二次函数实际应用 【题型09 二次函数的实际应用】 二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 1．（2025·广东清远·模拟预测）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团   圆和完 美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个． (1)普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ (2)若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 2．（2025·广东·模拟预测）广东某镇盛产的荔枝远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克元的该荔枝，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售．当每千克售价为元时，每天售出荔枝；当每千克售价为元时，每天售出荔枝，通过分析销售数据发现：每天销售荔枝的数量与每千克售价(元)满足一次函数关系， (1)请直接写出与的函数关系式； (2)超市将该荔枝每千克售价定为多少元时，每天销售该荔枝的利润可达到元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 3．（2024·广东·模拟预测）科学研究表明：一般情况下，在一节的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间满足关系；以后，学生的注意力指数y与时间的图象呈抛物线形，到第时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束． (1)当时，注意力指数y为 ，8min以后，学生的注意力指数y与时间x(min)的函数关系式是 ； (2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长（精确到）？ (3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题(精确到；参考数据)？ 4．（2024·广东·模拟预测）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C 到的距离是， 以所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系． (1)根据题意，填空： ①顶点C 的坐标为 ； ②点B 的坐标为 (2)求抛物线的解析式． (3)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系，且当点C到水面的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？ 5．（2024·广东揭阳·模拟预测）如图是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机，是其弹射出口，能将羽毛球以固定的方向和速度大小弹出羽毛球在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状如图所示设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为（米）与地面的高度为（米），与的部分对应数据如表所示． （米） （米） (1)求关于的函数表达式，并求出羽毛球的落地点到发球机点的水平距离． (2)为了训练学员的后场应对能力，需要改变球的落地点，可以通过调整弹射出口的高度来实现此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米，则发球机的弹射口高度应调整为多少米？ 【题型10 二次函数与其他函数综合问题】 二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 1．（2025·广东·模拟预测）年，第十五届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举行（简称“珠海航展”），某网络经销商购进了一批以这次博览会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式． (2)设每月获得的利润为（元），那么销售单价定为多少元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大？并求出最大利润． 2．（2024·广东广州·三模）第135届春季广交会于2024年4月15日—5月5日在琶洲广交会展馆举行．某公司用5万元研发的一批文创产品，在本届广交会中参展销售．已知生产这种产品的成本为3元/件，在销售过程中发现；销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．设公司销售这种文创产品的利润为W（万元）． (1)求出y（万件）与销售价格x（元/件）的函数解析式； (2)求出这种文创产品的利润W（万元）与x（元/件）的函数解析式，并求出当售价定多少时，利润最大？是多少？ 3．（2024·广东河源·二模）综合与实践 中式建筑中的窗户将对称美发挥得淋漓尽致．小明在旅游中看到了如图所示的八边形窗户，发现它既是轴对称图形又是中心对称图形，这个八边形窗户各个角都相等．图是从图中抽象出来的几何图，其中，，．八边形的周长为．设 ，．               (1)八边形的一个内角的度数为 ． (2)求关于的函数解析式． (3)当等于多少时，这个八边形窗户外框透过的光线最多？ 考向五：二次函数性质的综合应用 【题型11 二次函数与几何图象中的动点问题】 ①合理建立直角坐标系，把已知数据转化为点的坐标； ②根据题意，把所求问题转化为求最值或已知x的范围就y的值的问题。 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 1．（2024·广东深圳·二模）在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，，，和分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，．点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（    ） 点的运动速度为； 点的坐标为； 线段段的函数解析式为； 曲线段的函数解析式为； 若的面积是四边形的面积的，则时间． A． B． C． D． 【题型12 二次函数压轴类型】 1.二次函数性质的综合应用 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 1．（2024·广东清远·模拟预测）如图，直线与x轴、y 轴分别交于点B，A，抛物线经过点A，B，其顶点为C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积； (3)点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标． 2．（2024·广东梅州·一模）如图1，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且．点P为抛物线第二象限上一动点． (1)直接写出该二次函数的表达式为 ； (2)连接，求四边形面积的最大值； (3)如图2，连结交于点H，过点P作y轴的平行线交于点Q．当为等腰三角形时，求出点P的坐标． 3．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，点C为y轴正半轴一点，． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)点P为该抛物线在第一象限上的点（不与点B、C重合），求面积的最大值及此时点P的坐标： (3)点M是y轴上的动点，当时，求M的坐标． 5．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其中，，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)将沿直线平移，平移后的三角形为（其中点与点不重合），点是坐标平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 6．（2024·广东惠州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点． (1)求的值及抛物线的解析式． (2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标； (3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为． ①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（2025·广东清远·一模）若点，，在二次函数（）的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·模拟预测）关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．函数图象的对称轴是直线 B．函数的有最小值，最小值为 C．点在函数图象上，当时， D．函数值y随x的增大而增大 3．（2024·广东东莞·一模）如图，是二次函数的图象，根据图象信息分析下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4．（2024·广东河源·一模）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 5．（2024·广东梅州·一模）如图，在等腰梯形中，，，，点沿从点出发向点匀速移动．过点作，交折线于点，记的面积为，则关于时间的函数图像大致是（    ） A．B．C．D． 二、填空题 6．（2024·广东广州·二模）二次函数图象过点对称轴为直线，则 ． 7．（2024·广东惠州·模拟预测）函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为 ． 8．（2024·广东东莞·三模）若点在抛物线上，则的大小关系为 （用“”连接）． 9．（2025·广东·模拟预测）小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时， ． 10．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴于点 ，，交轴于点 ，作平行四边形，边交抛物线于点，连接，若的面积是，则的值为 ． 三、解答题 11．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求该二次函数的解析式． 12．（2024·广东东莞·模拟预测）抛物线与直线交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D． (1)求点B和点D的坐标； (2)如图，连接，P为x轴负半轴上的一点，当时，求点P的坐标． 13．（2024·广东广州·二模）为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是元．超市规定每箱售价不得少于元且不得多于元，根据以往经验发现：当售价定为每箱元时，每天可以卖出箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出箱． (1)如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为多少元？ (2)当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润y（元）最大？最大利润是多少？ 14．（2024·广东·模拟预测）综合运用：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点D，点E为抛物线上的点，且在的上方，作轴，交于点M．    (1)求抛物线的解析式； (2)当 时，求点E的坐标； (3)在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点C，D，B，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 15．（2024·广东深圳·模拟预测）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 16．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标； (3)如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点04 二次函数 中考广东数学中《二次函数》部分主要考向分为五类： 一、二次函数图象与性质（每年1~2道，3~6分） 二、二次函数图象与系数的关系（每年1~2题，3~64分） 三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，3~6分） 四、二次函数的试卷应用（每年1题，3~9分） 二次函数是广东数学必考的一个重要知识点，主要是出在选择题的压轴题，解答题的方程应用和其他知识点交汇的压轴大题；最常考察的是二次函数的的最值。此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。 考向一：二次函数的图象与性质 【题型01 二次函数的图象与性质】 1. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：； 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。 1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 2．（2025·广东潮州·模拟预测）关于二次函数，下列说法错误的是（         ） A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 【答案】A 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，由表达式得到二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，进而得到当时，y随x增大而减小，由此即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，最小值为， ∴A选项错误，符合题意； 当时，，则图象与y轴的交点坐标为，故B选项正确； ∴当时，y随x增大而减小，故C选项正确； ∵对称轴为轴，故D选项正确． 故选：A． 3．（2024·广东·模拟预测）关于二次函数 ，以下说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．有最小值 D．与y轴交点为 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可． 【详解】解：， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，函数值最小为，当时，， ∴抛物线与y轴交点为； 故只有选项B错误； 故选B． 4．（2024·广东湛江·模拟预测）若点，在抛物线上，则 ．（填“<”或“>”或“=”） 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据，且，利用二次函数的性质可求解． 【详解】解：，对称轴为y轴， ∴当时函数值随自变量的增大而增大； ∵， ， 故答案为：． 5．（2024·广东东莞·模拟预测）已知抛物线经过点和，则 （填“>” “<”或“=”）． 【答案】> 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】将和代入中，求出和，再进行比较即可． 本题考查二次函数的图像上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键． 【详解】∵抛物线经过点和， ， ， ． 故答案为：> 6．（2024·广东东莞·一模）已知点都在函数的图象上，则的大小关系为 ． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数解析式得到对称轴为y轴，且离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到y轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点都在函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 【题型02 二次函数y＝ax2+bx+c图像和性质】 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1．（2025·陕西西安·一模）已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，增减性，图象的开口方向． 先求出该二次函数的对称轴，开口方向，点的对称点，根据对称性增减性即可进行分析解答． 【详解】解：∵ ， ∴函数图象开口向下， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵当时，y随x的增大而增大， ， ∴． 故答案为：B． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）已知二次函数的与的部分对应值如表： x 0 2 y 5 0 下列结论：抛物线的开口向上；抛物线的对称轴为直线；当时，；抛物线与轴的两个交点间的距离是；若是抛物线上两点，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的一般式，二次函数的对称性、增减性以及待定系数法，是解题关键． 先根据表格数据列出关于a，b，c的方程组，求出二次函数表达式，再据此分析各个结论是否正确． 【详解】解：依题，把分别代入，得： ， 解得：， ∴该二次函数的表达式为， ∵ ∴抛物线的开口向上 ①正确； 抛物线的对称轴为直线， ②错误； 令，即，解得或，由抛物线开口向上可知，当时，， 当时，该结论错误。 ③错误； 抛物线与轴的两个交点间的距离是， ④正确； 若是抛物线上两点，则， ⑤正确， 综上，①④⑤正确，共3个正确， 故选：B． 3．（2025·广东深圳·一模）若二次函数的图象开口向下，顶点在轴正半轴上，则二次函数表达式为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查的是二次函数的性质．根据二次函数的开口向下可知该二次函数的二次项系数小于0，再由顶点位于y轴正半轴上，可知常数项是正数，由此可得出符合条件的二次函数的解析式． 【详解】解：∵二次函数的开口向下， ∴该二次函数的二次项系数小于0， ∵顶点在y轴的正半轴上， ∴该函数的一次项系数为0，常数项大于0， ∴符合条件的二次函数的解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2025·广东深圳·一模）已知点，在二次函数的图像上，则、的大小关系是： 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算和时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， ∴， 故答案为： 5．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数 （）的图象过 ，四个点， 则大小关系为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．先求函数对称轴，则、、、的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断的大小． 【详解】解∵二次函数 ， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴各个点到对称轴的距离越近越小， ∵，且， ∴， 故答案为：． 【题型03 二次函数的对称和最值问题】 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 1．（2023·广东惠州·二模）已知抛物线经过点和点，则该抛物线的对称轴为（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】根据A、B两点的纵坐标相同可知A、B两点关于对称轴对称，据此即可求出答案． 【详解】解：∵抛物线经过点和点， ∴抛物线对称轴为直线， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握利用二次函数的对称性求解函数的对称轴是解题的关键． 2．（2023·广东广州·模拟预测）已知二次函数在时有最小值，则 ． 【答案】3或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】将一般式化为顶点式，求出对称轴，分和，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ①，抛物线开口向上，时有最小值， ∴时，有最小值， 解得：； ②，抛物线开口向下， ∵对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 又时有最小值， ∴时，有最小值， 解得：； 故答案为：3或． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 3．（2023·广东阳江·二模）已知二次函数在时，y取得的最大值为15，则a的值为 ． 【答案】4 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出时，的值，再根据二次函数的性质得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为，顶点，当时，， ∵，开口向上， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵当时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15， ∴当时，， ∴， 解得：或（舍去）， 故a的值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答． 4．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）已知是二次函数图象上的两点，则当时，二次函数的值是 ． 【答案】3 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点一定满足该函数的解析式． 根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入函数关系式求得． 【详解】解：是二次函数图象上的两点， 关于对称轴对称， 即：， 将代入得： 即：， 故答案为：3 5．（2023·广东潮州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)若，求t； (2)若，写出m，n，c的大小关系； (3)设点，（）在抛物线上，若，求t的取值范围及的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）由题意，根据m=n得出A、B两点关于对称轴对称，再由中点坐标公式可得解． （2）依据抛物线的对称性，把三点A、C、B的对称点放在对称轴的同侧，再利用函数的增减性即可得解． （3）由题意得，将A、B两点代入解析式，进而结合，即可求出t的取值范围，又根据A、E关于对称轴对称，借助t的范围即可求出x0的范围． 【详解】（1）解：∵，，在抛物线上，抛物线的对称轴为． ∴点A与点B关于抛物线的对称轴为对称． ∴． 即； （2）解：由题意，作图，    ∴； （3）由题意，由抛物线的对称轴为，得， ∴． ∴． ∵，在抛物线上， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵点与是对称点， ∴． ∴． ∴． 综上可得，，． 考向二：二次函数图象与系数的关系 【题型04 二次函数图象与系数的关系】 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 1．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①该抛物线与x轴的另一个交点在点和之间；②；③；④关于x的一元二次方程有实数根．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与一元二次方程，二次函数的对称性，掌握二次函数的图象及性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．根据二次函数的对称性可判断①，根据该抛物线与x轴的另一个交点在点和，并结合图像可知，当时，，可判断②，根据抛物线的顶点坐标为，可得抛物线与直线有唯一一个交点，进而可得方程有两个相等的实数根，由可判断③，由抛物线顶点坐标得到，即可得到直线与抛物线没交点，即一元二次方程没实数根，进而可得判断④． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与x轴的一个交点在点和之间， 该抛物线与x轴的另一个交点在点和，故①不符合题意； 该抛物线与x轴的另一个交点在点和， 当时，，故②符合题意； 抛物线的顶点坐标为， 抛物线与直线有唯一一个交点， 方程有两个相等的实数根， ， ，故③符合题意； 抛物线的开口向下，顶点坐标为， ， 直线与抛物线没有交点， 一元二次方程没有实数根，故④不符合题意； 综上所述，正确的结论是②③， 故选：． 2．（2024·广东珠海·模拟预测）二次函数的图象如图所示，与x轴左侧交点为，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③； ④（m为实数）． 其中结论正确的为（　　） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线开口方向，对称轴位置，以及与轴交点位置，可判断①结论；由抛物线对称轴得到，再结合当时，，可判断②结论；根据平方差公式展开，可判断③结论；根据抛物线的最小值，可判断④结论． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴， ，、异号，， ， ，①结论正确； 抛物线对称轴是直线， ， ， 由图象可知，当时，， ，②结论错误； 由图象可知，当时，， ， 又， ，③结论错误； 当时，为最小值， ， ，④结论正确， 故选：A． 3．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由图象可知，则可判断①符合题意；由抛物线的对称轴为直线，，可得，，得到点，点，当时，，即，可判断②符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④不符合题意，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：观察图象，可知， ∴，故①符合题意； ∵该抛物线的对称轴为直线，， ∴，， ∴点，点， ∴当时，，即，故②符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； 当时，函数有最大值， 由，可得， 若m为任意实数，则，故④不符合题意， 综上，符合题意的有3个， 故选：C． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论： ；；；，其中正确结论是 ． 【答案】①②④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及过特殊点时系数a、b、c所满足的关系，结合不等式的性质逐个进行判断即可． 【详解】解：①∵由抛物线的开口向下， ， ∵对称轴位于y轴的左侧， ∴a、b同号，即． ， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ， ， ∴①正确； ②如图，当时，， ∴②正确； ③对称轴为，即， ， ，即， ∴③错误； ④当时，， 又， ，即． ∴④正确， 综上所述，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 5．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示．有下列结论．①；②；③；④；⑤．其中，正确结论的是 ． 【答案】①②③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 抛物线有两个交点，，①正确；抛物线开口、对称轴和y轴的交点可以判断出，，，②正确；③利用对称轴，即，替换掉，把代入函数，可得；③正确；④把代入后得到，其对应的值小于0，故④正确；把代入后相乘可得到，所以⑤错误． 【详解】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此，故①正确； 抛物线开口向上，因此， 对称轴为，a、b异号，因此， 抛物线与y轴交在负半轴，因此，所以，故②正确； 由图象可知，当时，，又对称轴，即：，所以，故③正确； 当时，，因此④正确； 当时，，当时，， 所以，即，也就是，故⑤错误， 综上所述，正确结论有：①②③④． 故答案为：①②③④． 6．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，下列五个结论：①；②；③；④ (m为任意实数)；⑤．其中，正确结论的序号是 ． 【答案】②④⑤ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据开口向下，对称轴为直线，图象与y轴正半轴相交，判定， ，，即可判定①；根据抛物线与x轴有两个交点，得，即可判定②；求出抛物线与x轴另一交点为，再代入得，则，即可判定③；根据抛物线的最值为，即可判定④；把代入代入抛物线解析式得，则，则 ，即可判定⑤． 【详解】解：由函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，图象与y轴正半轴相交， ∴， ，， ∴ ∴．故①错误． 由函数图象可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴．故②正确． ∵抛物线对称轴为直线，与x轴交点， ∴抛物线与x轴另一交点为， 把代入抛物线解析式得， ∴，故③错误； ∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∵当 （m为任意实数）时，， ∴， ∴，故④正确； 把代入代入抛物线解析式得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，故⑤正确； ∴正确的有②④⑤． 故答案为：②④⑤． 【题型05 二次函数图象共存问题】 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 1．（2023·广东东莞·二模）当时，与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意，，即a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，、则a、b同号， 当时，则，抛物线开口向上，过原点、一次函数过一、二、三象限； 此时，没有选项符合， 当时，则，抛物线开口向下，过原点、一次函数过二、三、四象限； 此时，D选项符合， 故选：D． 2．（2024·广东东莞·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合判断．先根据二次函数图象求出，，再根据一次函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 3．（2024·广东珠海·三模）已知二次函数的图象如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象开口方向与对称轴判断出的正负情况，再根据二次函数图象与轴的交点判断出的正负情况，然后根据一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系判断出两图象的大致情况即可得解． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴， ， 二次函数图象与轴交于正半轴， ， 一次函数过第一、三、四象限，反比例函数位于第一、三、象限， 纵观各选项，只有B选项符合． 故选：B． 4．（2024·广东广州·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】先根据二次函数的图象开口向上和对称轴可知，由抛物线交的正半轴，可知，然后利用排除法即可得出正确答案．本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 【详解】解：二次函数的图象开口向上， ， ， ， ， 的图象必在二，四象限， 抛物线与轴相交于正半轴， ， ， 的图象经过一，二，四象限， 故A、B、C错误，D正确； 故选：D． 【题型06 待定系数法求二次函数的表达式】 1.二次函数解析式的表示方法 （1） 一般式：（，，为常数，）； （2） 顶点式：（，，为常数，）； （3） 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2.二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法． 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便． 一般来说，有如下几种情况： （1） 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2） 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 1．（2024·广东江门·二模）若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，结合抛物线经过点，得到，选择，得到解析式为． 本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，灵活选择数值计算即可． 【详解】∵二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴解析式为． 故答案为：． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．设一般式，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 根据题意得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为． 3．（2025·广东深圳·一模）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点． (1)则 ， ； (2)该二次函数图象的顶点坐标为 ； (3)在所给坐标系中画出该二次函数的图象； (4)根据图象，当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点和代入函数解析式进行计算即可． （2）根据（1）中所求，的值，得出函数解析式即可解决问题． （3）根据题意，画出二次函数图象即可． （4）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：将点和代入得， ， 解得． 故答案为：，； （2）解：由（1）知， 抛物线的解析式为， 所以抛物线的顶点坐标为． 故答案为：； （3）解：二次函数图象如图所示， （4）解：由函数图象可知， 因为， 当时，；当时，， 所以的取值范围是：． 故答案为：． 4．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，一条抛物线和直线l交于点O、B，其中O是平面直角坐标系的原点，B点坐标是，在抛物线上． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)在直线l下方的抛物线上有一点P，当的面积取得最大值时，求此时P点的坐标． 【答案】(1) (2)18 (3)P点坐标是 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到：待定系数法、一次函数表达式的确定、轴对称、最值问题，综合性强，难度大． （1）把，，代入，用待定系数法即可求解； （2）求直线l的表达式是：；过点A作轴交直线l于点D，求的面积和即可； （3）过点P作轴交直线l于点M，则：M点的横坐标和P点的横坐标一样，设，则，则，求 即可，进而可求坐标． 【详解】（1）解：设抛物线对应的函数表示式为， 依题，它经过，，， 则： ， 解得：， ∴抛物线对应的函数表示式为； （2）解：因为直线l经过原点，设直线l的表达式：， 把代入， 得：， ， ∴直线l的表达式是：； 过点A作轴交直线l于点D， 则：D点的横坐标和A点的横坐标一样，都是3， ∴在中，令，则， ， ，的高均为3， ∴； （3）解：过点P作轴交直线l于点M，则：M点的横坐标和P点的横坐标一样， 设，则，则： ； ∴当时，取得最大值， 此时，， P点坐标是． 5．（2025·广东深圳·一模）已知二次函数． (1)若函数图象经过点，解决下列问题： ①求该二次函数的表达式； ②若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标． (2)设点，是该函数图象上的两点，若，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、配方法的应用 【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数图像的性质、配方法的应用等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）①直接将代入求得a即可解得；②先根据平移表示出B、C两点的坐标，然后根据二次函数图像的对称性和二次函数的性质即可解答； （2）由可得，则有，，再用表示出可得，然后运用配方法解答即可． 【详解】（1）解：①将代入可得， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； ②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为：， ∴， 解得：， 把代入， 得，即． （2）证明：∵设点，是该函数图象上的两点， ∴ ∴，， ∴ ， ∵， ∴，即． 考向三：二次函数与方程、不等式 【题型07 抛物线与x轴交点问题】 1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点； 2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。 1．（2024·广东梅州·一模）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是(　　) A．和3 B．和5 C．和3 D．和4 【答案】B 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式是关键；将关于x的一元二次方程a变形为由方程的解为，，即可得出或，由此解答问题． 【详解】解：因为抛物线经过点、 所以方程的解为，， ∵整理变形为， ∴或， 解得或 所以一元二方程的解为，． 故选：B． 2．（2025·广东深圳·一模）已知二次函数的图像与轴分别交于点，，与一次函数的图像分别交于点，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，令，求出点，的坐标，再由二次函数与一次函数的解析式联立方程组求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式计算即可．解题的关键是求出，，三点的坐标． 【详解】解：对于一次函数， 当时，得：， 解得：， ∵二次函数的图像与轴分别交于点，， 当时，得：， 解得：或， ∴，， ∵二次函数的图像与一次函数的图像分别交于点，， ∴， 解得：或， ∴， ∴， ∴的面积是． 故选：C． 3．（2023·广东深圳·三模）若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象与x轴的交点问题，分与两种情况，当时，该函数为一次函数，与x轴有交点；当时，若函数图象与x轴有交点，则对应的一元二次方程中，由此可解． 【详解】解：当时，函数为，与x轴有交点； 当时，若函数图象与x轴有交点，则对应的一元二次方程中， 即， ∴， ∴且， 综上，函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是． 故选D． 4．（22-23九年级上·广东江门·期中）抛物线与轴的交点坐标为 ． 【答案】或 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】把带入抛物线的表达式求解即可． 【详解】解：当时，， ， 或， ， ∴抛物线与轴的交点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴的交点坐标，解题的关键是熟练掌握求抛物线与x轴的交点坐标的方法． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）探究问题1： （1）若二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围． （2）变式：若二次函数（m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ． 等价转化：若二次函数 （m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ． 探究问题2： （3）若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）；； ；（3） 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数与直线的交点问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与直线的交点问题是解题的关键． （1）二次函数的图象与x轴有两个交点，则，即可求出m的取值范围； （2）联立两个函数解析式可得，即，根据两个函数图象有两个交点得到，即可求出m的取值范围．由，可得，从而问题可等价转化为：若二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点，； （3）所求问题等价于二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点时m的取值范围，结合函数与的图象即可解答． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个公共点， ∴． ∴； （2）变式：由方程组得， 即， ∵二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点， ∴． ∴． 由，可得 ∴等价转化：若二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点，此时． 故答案为：；；． （3）由题意，令， ∴． ∴二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点等价于二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点． 由题意，（）． 作图如下．    ∵二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点， 结合图象，可得， ∴． 6．（2024·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线． (1)若抛物线与直线只有一个交点． ①求a与b之间的关系式； ②将直线向上平移t个单位，与抛物线两个交点横坐标分别为、，当时，随x的增大而减小，求t的最小整数值； (2)若抛物线与直线有二个交点，，且满足，此时设抛物线对称轴为直线，求m的取值范围． 【答案】(1)①② (2) 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）①由根的判别式得，即可求解； ②由平移得，可得方程 ，由根的判别式得，由求根公式得，由二次函数的增减性得 ，即可求解； （2）由，得当时，，当时，，由此可得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线与直线只有一个交点， ∴方程有相等实数根， ∴， ∴， 整理，得； ②将直线向上平移t个单位， ， ， 整理得：， ， 由①得：， ， ， ， ， ①， 当时，随x的增大而减小， ， ， ， 整理得：， ②， 由①②得：， t取最小整数， ； （2）解：抛物线与直线有两个交点， 此方程有两个实根、， 且满足，， 当时，， 当时，， ∴， ， ， ①， ②， ①②得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与直线交点问题，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求根公式，二次函数的性质等；理解利用二次函数图象解一元二次方程的解法，掌握二次函数的性质，一元二次方程根的个数与判别式的关系是解题的关键． 【题型08 二次函数与不等式】 1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，函数与的图象相交于点及，当（    ）时，式子． A． B． C．或 D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了图象法解不等式，数形结合是解题的关键． 根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可求解． 【详解】解： ∵二次函数与一次函数的图象相交于点及， ∴能使成立的x的取值范围即使得的取值范围，结合图象得：． 故选：D． 2．（2023·广东·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】根据交点确定不等式的解集、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当时，x的取值范围． 【详解】∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 由图象可知，当时，x的取值范围是或． 故选：D． 3．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，函数与的图象如图所示，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、根据交点确定不等式的解集、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】由图象可得，，，，抛物线与直线的交点坐标为，，则，进而可判断A的正误；根据二次函数当时，，可判断B的正误；将代入，可判断C的正误；根据当时，，判断D的正误即可． 【详解】解：由图象可得，，，，抛物线与直线的交点坐标为，， ∴， ∴，A错误，故不符合要求； 当时，，即，B错误，故不符合要求； 将代入得，，即，C正确，故符合要求； 当时，，即，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与不等式，二次函数与一次函数综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，二次函数与x轴交点坐标为，，当时，x的取值范围是 【答案】/ 【知识点】根据交点确定不等式的解集、抛物线与x轴的交点问题 【分析】写出图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数与不等式的关系，利用了转化及数形结合的数学思想． 考向四：二次函数实际应用 【题型09 二次函数的实际应用】 二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 1．（2025·广东清远·模拟预测）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团   圆和完 美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个． (1)普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ (2)若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元 (2)当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用， （1）设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元，根据“用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个”列出分式方程求解即可； （2）设售价定为元，利润为元，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质求解即可； 解题的关键：（1）正确理解题意，列出方程；（2）正确列出函数关系式． 【详解】（1）解：设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元， 依题意，得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解且符合题意， ∴（元）， 答：普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元； （2）设售价定为元，利润为元， 依题意，得：， ∵ ∴二次函数的图像开口向下，函数有最大值， ∴当时，有最大值，最大值为元， 答：当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元． 2．（2025·广东·模拟预测）广东某镇盛产的荔枝远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克元的该荔枝，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售．当每千克售价为元时，每天售出荔枝；当每千克售价为元时，每天售出荔枝，通过分析销售数据发现：每天销售荔枝的数量与每千克售价(元)满足一次函数关系， (1)请直接写出与的函数关系式； (2)超市将该荔枝每千克售价定为多少元时，每天销售该荔枝的利润可达到元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)每千克售价定为元时，利润可达到元； (3)当每千克售价定为元时，每天获利最大，最大利润为元． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）该函数经过点，，利用待定系数法求出与的函数关系式即可； （2）设超市将该荔枝每千克售价定为元每千克时，利润最大，根据利润销量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程求出荔枝的售价，把不符合题意的解舍去； （3）设利润为，可以列出关于的函数解析式为，根据二次函数的图象与性质可知抛物线开口向下，对称轴为，可知当时，所获得的利润最大，把代入函数解析式求出最大利润． 【详解】（1）解：根据题意可知，该函数经过点，， 设与的函数关系式为， 将代入， 得到：， 解得：， 与的函数关系式为； （2）解：设超市将该荔枝每千克售价定为元每千克时，利润最大， 根据题意可得：， ， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，， 售价不低于成本价且不超过每千克元， 每千克售价定为元时，利润可达到元； （3）解：设利润为， ， 函数开口向下， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值， 此时， 当每千克售价定为元时，每天获利最大，最大利润为元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、一元二次方程的应用．解决本题的关键是利用二次函数的图象与性质求出最大利润． 3．（2024·广东·模拟预测）科学研究表明：一般情况下，在一节的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间满足关系；以后，学生的注意力指数y与时间的图象呈抛物线形，到第时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束． (1)当时，注意力指数y为 ，8min以后，学生的注意力指数y与时间x(min)的函数关系式是 ； (2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长（精确到）？ (3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题(精确到；参考数据)？ 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】求自变量的值或函数值、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意把代入，得到，即可解答．根据顶点式写出抛物线表达式，将，代入即可得到解析式； （2）根据对两个函数列出不等式，求解即可； （3）设出未知数，根据条件列出方程，解方程即可． 本题考查是二次函数的应用，解题关键是利用顶点式求出解析式，利用条件列出不等式，求出根据和当时对应的函数值相同求出t的值． 【详解】（1）解：根据题意，把代入可得：， ∵以后，学生的注意力指数y与时间的图象呈抛物线形，第时学生的注意力指数y达到最大值92， ∴可设抛物线的解析式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴， 故答案为：84，； （2）解：由学生的注意力指数不低于80，即， 当时，由可得：； 当时，则，即， 整理得：，解得：， ∴（分钟）， 答：在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟； （3）解：设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题， 由于， 要使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大， 则当和当时对应的函数值相同， 即， 整理得： 解得：（不合题意，舍去） ∴ 答：教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C 到的距离是， 以所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系． (1)根据题意，填空： ①顶点C 的坐标为 ； ②点B 的坐标为 (2)求抛物线的解析式． (3)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系，且当点C到水面的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？ 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，构建二次函数模型解决实际问题是解题的关键． （1）求出、、的长即可解决问题． （2）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把坐标代入即可求解； （3）水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为，把代入所给二次函数关系式，求得的值，相减即可得到禁止船只通行的时间． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴，， 故答案为：和； （2）解：由（1）知，，， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （3）解：水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为(米) ，， ， ∴， 解得：，， (小时)， ∴需小时禁止船只通行． 5．（2024·广东揭阳·模拟预测）如图是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机，是其弹射出口，能将羽毛球以固定的方向和速度大小弹出羽毛球在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状如图所示设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为（米）与地面的高度为（米），与的部分对应数据如表所示． （米） （米） (1)求关于的函数表达式，并求出羽毛球的落地点到发球机点的水平距离． (2)为了训练学员的后场应对能力，需要改变球的落地点，可以通过调整弹射出口的高度来实现此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米，则发球机的弹射口高度应调整为多少米？ 【答案】(1)，米 (2)米 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）由表格信息可知，抛物线的顶点为，可设抛物线的解析式为：，将点代入可求出关于的函数表达式，令抛物线解析式的，即可求出羽毛球的落地点到发球机点的水平距离； （2）根据题意可设抛物线的解析式为：，根据题意可知该抛物线过点，进而求出抛物线解析式，将代入解析式计算，即可求解． 【详解】（1）解：由表格信息可知，抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为：， 其图像过点， ， 解得：， 关于的函数表达式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 故羽毛球的落地点到发球机点的水平距离为米； （2）抛物线的形状和对称轴位置都不变， 可设抛物线的解析式为：， 要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米， 当时，， ， 解得：， ， 当时，， 发球机的弹射口高度应调整为米． 【题型10 二次函数与其他函数综合问题】 二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 1．（2025·广东·模拟预测）年，第十五届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举行（简称“珠海航展”），某网络经销商购进了一批以这次博览会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式． (2)设每月获得的利润为（元），那么销售单价定为多少元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)销售单价定为元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大，最大利润为元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式． （1）根据题意用待定系数法求出每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）根据利润单件利润销量列出函数解析式，由二次函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为：， 将，代入得： ， 解得， 每月的销售量件与销售单价元之间的函数关系式为； （2）解：由题意得： ， ， 当时，有最大值，最大值为． 答：销售单价定为元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大，最大利润为元． 2．（2024·广东广州·三模）第135届春季广交会于2024年4月15日—5月5日在琶洲广交会展馆举行．某公司用5万元研发的一批文创产品，在本届广交会中参展销售．已知生产这种产品的成本为3元/件，在销售过程中发现；销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．设公司销售这种文创产品的利润为W（万元）． (1)求出y（万件）与销售价格x（元/件）的函数解析式； (2)求出这种文创产品的利润W（万元）与x（元/件）的函数解析式，并求出当售价定多少时，利润最大？是多少？ 【答案】(1) (2)定价为7元时，利润最大，最大为11万元 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数)、求反比例函数解析式 【分析】（1）分，两种情形解答即可； （2）根据两种解析式，分别计算利润，比较大小后定结论即可． 本题考查了待定系数法，反比例函数的性质，构造二次函数求最值，熟练掌握待定系数法，构造法求最值是解题的关键． 【详解】（1）当时，设，代入，得， 此时解析式为； 当时，设直线的解析式为， 根据题意，得，解得， 故解析式， 综上所述，． （2）当时，根据题意，得：， 当时，W最大，此时（万元）； 当时，根据题意，得：， 当时，W最大，此时（万元）； ， 综上所述， 故定价为7元时，利润最大，最大为11万元． 3．（2024·广东河源·二模）综合与实践 中式建筑中的窗户将对称美发挥得淋漓尽致．小明在旅游中看到了如图所示的八边形窗户，发现它既是轴对称图形又是中心对称图形，这个八边形窗户各个角都相等．图是从图中抽象出来的几何图，其中，，．八边形的周长为．设 ，．               (1)八边形的一个内角的度数为 ． (2)求关于的函数解析式． (3)当等于多少时，这个八边形窗户外框透过的光线最多？ 【答案】(1) (2) (3)当时，这个八边形窗户外框透过的光线最多 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、图形问题(实际问题与二次函数)、多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形的内角以及内角和、一次函数的应用、二次函数的应用及性质、等腰直角三角形的判定与性质，理解题意、数形结合是解题的关键． （1）根据“这个八边形窗户各个角都相等”，结合多边形的内角和公式，计算出八边形的一个内角的度数即可； （2）根据题意得出，，，根据“八边形的周长为”，得出，整理得出关于的函数解析式即可； （3）分别延长、、、，交于点，设这个八边形的面积为，证明构造的四个角落的小三角形是全等的等腰直角三角形，列出关于的二次函数关系式，根据二次函数性质，求出出取得最大值时，的值即可． 【详解】（1）解：∵该多边形是八边形， ∴它的内角和， 又∵这个八边形窗户各个角都相等， ∴八边形的一个内角的度数， 故答案为：； （2）解：∵，，，八边形的周长为，，， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：如图，分别延长、、、，交于点，设这个八边形的面积为， ∵八边形的一个内角的度数为， ∴每个外角， 又∵， ∴构造的四个角落的小三角形是全等的等腰直角三角形，斜边为，则直角边为， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴当时，这个八边形窗户外框透过的光线最多． 考向五：二次函数性质的综合应用 【题型11 二次函数与几何图象中的动点问题】 ①合理建立直角坐标系，把已知数据转化为点的坐标； ②根据题意，把所求问题转化为求最值或已知x的范围就y的值的问题。 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 1．（2024·广东深圳·二模）在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了求二次函数解析式．在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解， 【详解】解：在中，，，则， 当时，，解得：（负值已舍去）， ∴， ∴抛物线经过点， ∵抛物线顶点为：， 设抛物线解析式为：， 将代入，得：，解得：， ∴， 当时，，（舍）或， ∴， 故选：B． 2．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，，，和分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意分别求出各种情况下的函数关系式，依照关系式判断图象即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，作， ∴， ∵点是中点， ∴，， 当时，点在上，点在上，， ∴； 如图，当时，点在上，点在上， ∵， ∴，，， ∴ ； 如图，当时，点都在上， ∴， 综上判断选项的图象符合题意， 故选：． 3．（2024·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，．点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（    ） 点的运动速度为； 点的坐标为； 线段段的函数解析式为； 曲线段的函数解析式为； 若的面积是四边形的面积的，则时间． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】公式法解一元二次方程、动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、解直角三角形的相关计算 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形，面积求法和待定系数法求函数解析式，结合函数图象得出当秒时，，此时的面积为，进而求出为即可得出点的速度，进而求出的长即可，进而判断，当点在上时，如图，于点，根据三角形的面积公式可表达此时的，进而判断；过点作于点，画出图形可得出，，，则，求出即可面积可判断；首先得出的面积，分两种情形分别列出方程即可解决问题进而判断；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】由题意可得出：当时间为秒时，的面积的函数关系式改变，则在上运动秒， 当时间为秒时，，此时的面积为， ∴为， ∴点的运动速度为：，故正确； 当运动到秒时，函数关系式改变，则， 过作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， 由，则， ∴， ∴，故错误； 当点在上时，如图，于点， ∴，故正确； 如图，，，过点作于点， 由得， 则， ∴， 即曲线段的函数解析式为：，故正确； ∵， ∴， 当 时，，时，或（舍去）， 当 时，，解得或 （舍去）， ∴或，的面积是四边形的面积的，故错误， 综上可知， 故选：． 【题型12 二次函数压轴类型】 1.二次函数性质的综合应用 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 1．（2024·广东清远·模拟预测）如图，直线与x轴、y 轴分别交于点B，A，抛物线经过点A，B，其顶点为C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积； (3)点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)2.25， 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得：，求出直线的解析式为，得出与轴的交点的横坐标，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）设，则，，表示出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， 由题意得：， 解得：， ∴抛物线的函数解析式； （2）解：由（1）可得：， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴； （3）解：∵点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D， ∴设，则，， ∴， ∴当时，有最大值，为，此时，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的图象与性质、二次函数综合—线段问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．（2024·广东梅州·一模）如图1，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且．点P为抛物线第二象限上一动点． (1)直接写出该二次函数的表达式为 ； (2)连接，求四边形面积的最大值； (3)如图2，连结交于点H，过点P作y轴的平行线交于点Q．当为等腰三角形时，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为 (3)点P的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、面积问题(二次函数综合) 【分析】对于（1），先求出点C的坐标，再根据可得点A的坐标，然后根据关系式得出答案； 对于（2），先求出直线的表达式，即可表示出，进而表示出四边形面积，再根据二次函数图像的性质配方讨论极值即可； 对于（3），由（2）点，则点，可得直线的表达式为：，再联立上式和直线的表达式得：，然后表示点H的坐标，再根据直线和x轴正半轴的夹角为开始讨论：当时，判断是否成立，接下来表示出，；当时，根据等腰三角形的性质可得，求出解；当时，可得，求出解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， 则点， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 故答案为：； （2）解：如图2，过点P作轴，交于点Q， 由点A、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则四边形面积， ∵， 故四边形面积存在最大值， 当时，四边形面积的最大值为； （3）解：由（2）点，则点， 对于抛物线的表达式为：， 当时，， ∴． 将点B、P的坐标代入直线的表达式 解得， 直线的表达式为：， 联立上式和直线的表达式得：， 解得：，则点H的坐标为：， ∵， ∴， ∴直线和x轴正半轴的夹角为． 如果，由可得，则，则，故不存在. 由点Q，H的横坐标可知， 再根据P，Q的纵坐标可知； 当时，则点H在的中垂线上，则， ∴， 解得：（舍去）或， 即点； 当时，即， 解得：（舍去）或， 即点． 综上，点P的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形，求二次函数关系式，等腰三角形的性质和判定，求一次函数的关系式，求二次函数的极值，理解用坐标的差表示线段的长是解题的关键． 3．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值是2，此时的P点坐标是 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）运用待定系数法解答即可； （2）求出直线l的解析式，设点P的坐标为，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ． 把A，B两点坐标代入解析式，得 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， 直线l的解析式为； 轴， 设点P的坐标为，则， ． ∴当时，有最大值是2， 当时，， ， 的最大值是2，此时的P点坐标是． （3）解：，， ． ∵在中，， ． 轴，， ． 在中，，． ， ． 在中，，， ， ．此时最大， ， 的最大值是． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，点C为y轴正半轴一点，． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)点P为该抛物线在第一象限上的点（不与点B、C重合），求面积的最大值及此时点P的坐标： (3)点M是y轴上的动点，当时，求M的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点 (3)点M的坐标为：或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）由交点式可设抛物线的表达式为：，将的坐标代入即可求解； （2）过点P作轴交于点H，由待定系数法可求直线的表达式为，设点，由即可求解； （3）①当在轴的负半轴上时，延长，过点M作于点H，由角的和差得，由等腰三角形的性质得，设，由正切函数得，即可求解；②当在轴的正半轴上时，在上取，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 抛物线经过点和点， 可设抛物线的表达式为： ， ， 解得：， ， 则抛物线的表达式为：； （2）解：如图，过点P作轴交于点H， 设直线的表达式为：，则有 ， 解得， 直线的表达式为， 设点， 则点， ， ， 当时， 则面积的最大值为， ， ； （3）解：①当在轴的负半轴上时， 如图，延长，过点M作于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， 解得：， 则， 在中， ， 即点M的坐标为； ②当在轴的正半轴上时， 如图，在上取， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ； 综上所述：点M的坐标为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，待定系数法，正切函数，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；掌握二次函数在图形面积最值的求法，正切函数，相似三角形的判定及性质，并能根据题意作出恰当的辅助线和点的位置不同进行分类讨论是解得关键． 5．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其中，，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)将沿直线平移，平移后的三角形为（其中点与点不重合），点是坐标平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为、、或 【知识点】一次函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、利用平移的性质求解、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，，则，当时，最大，此时最大，即可求解； （3）根据题意可设，得到，，，分三种情况讨论：①，②，③，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点， 设抛物线解析式为， 抛物线过， ， ， 此抛物线解析式为； （2）过点作轴交于点，如下图所示， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，， 则， ，， 当时，最大，此时最大， ； （3）根据题意可设， ，， ，，， ①，即， ，， ，， ②，即， ， ，， ③，即， （不合题意，舍去）， 综上所述，满足条件的点坐标有、、或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，菱形的性质，平移的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 6．（2024·广东惠州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点． (1)求的值及抛物线的解析式． (2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标； (3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为． ①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)①当时，线段有最大值为4；②存在，或 【知识点】求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）由（1）可得，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论； （3）①由点，坐标可得出直线的解析式，由此可表达点，的坐标，进而表达的长度，结合二次函数的性质可得出结论； ②根据题意需要分两种情况，当时，当时，分别求出的值即可． 【详解】（1）直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将点的坐标为，点的坐标为，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 的坐标为， 将点的坐标代入解析式可得，， 解得或（舍去） 的坐标为； （3）①由（1）可知，直线的解析式为：； 点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 设线段的长度为， 则 ， 当时，线段有最大值为4； ②存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，由（2）可知，，此时； 当时，过点作轴交抛物线于点， 令， 解得（舍或， 即， 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论． 一、单选题 1．（2025·广东清远·一模）若点，，在二次函数（）的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点到对称轴的距离大小关系求解．解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【详解】解：（）， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ， 故选：D． 2．（2024·广东广州·模拟预测）关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．函数图象的对称轴是直线 B．函数的有最小值，最小值为 C．点在函数图象上，当时， D．函数值y随x的增大而增大 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．由于，由此可以确定二次函数的对称轴、顶点坐标，最大或最小值及图象的增减性． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，故A不正确； 函数有最大值，最大值为，故B不正确 当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小，故D不正确； 当时，，故C正确． 故选：C． 3．（2024·广东东莞·一模）如图，是二次函数的图象，根据图象信息分析下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．根据所给函数图象可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性对所给结论依次判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知， ，， 所以．故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则．故②正确． 因为抛物线与轴有两个不同的交点， 所以， 则．故③正确． 因为时，函数值小于零，且抛物线的对称轴为直线， 所以时，函数值小于零， 则， 又因为， 所以．故④正确． 故选：D． 4．（2024·广东河源·一模）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【知识点】角度问题(二次函数综合)、等腰三角形的性质和判定、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先利用待定系数法求出抛物线解析式为，直线的解析式为，则，再证明等腰直角三角形得到，所以，则利用轴可设，当时，，然后方程确定点坐标，从而得到的长． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 等腰直角三角形， ， ， ， 轴， 设， 当时，， 解得，， 点坐标为，或，， ． 故选：D． 5．（2024·广东梅州·一模）如图，在等腰梯形中，，，，点沿从点出发向点匀速移动．过点作，交折线于点，记的面积为，则关于时间的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用平行四边形的判定与性质求解、y=ax²+bx+c的图象与性质、动点问题的函数图象 【分析】分三种情况：当点在线段上；当点在线段上；当点在线段上．分别用含表示出每一种情况的即可． 【详解】解：根据题意知：点的速度为，运动时间为，则， 过点作于点， ∵， ∴， ∵在等腰梯形中，，，， ∴， 设， 当点在线段上， ，， ∴的面积：， ∵，， ∴， 此时关于时间的函数图像是开口向上且经过原点并位于第一象限的抛物线的一部分； 当点在线段上， 在中，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积：， 此时关于时间的函数图像是正比例函数图像的一部分； 当点在线段上， 则， ∴， ∴的面积： ， ∵，， ∴， 此时关于时间的函数图像是开口向下的抛物线的一部分； 综上所述，关于时间的函数图像大致是选项D所表示的图像， 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像，等腰梯形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，二次函数的定义及图像，正比例函数的定义及图像等知识点，运用了分类讨论的思想．明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 二、填空题 6．（2024·广东广州·二模）二次函数图象过点对称轴为直线，则 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 依据题意可得：由抛物线过，从而可得对称轴是直线计算即可． 【详解】解：由题意可得： ∵抛物线过， ∴对称轴是直线， 解得：． 故答案为：． 7．（2024·广东惠州·模拟预测）函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为， 故答案为：． 8．（2024·广东东莞·三模）若点在抛物线上，则的大小关系为 （用“”连接）． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数比较函数值大小，涉及二次函数图象与性质，由二次函数图象与性质得到抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越大，求出到对称轴距离，比较距离大小即可得到函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：由可知，抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越大， 点到对称轴的距离为；点到对称轴的距离为；且， ， 故答案为：． 9．（2025·广东·模拟预测）小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时， ． 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过点作于点，交于点，求出，证明，得到，当时，矩形面积最大，即可求出答案． 【详解】解：过点作于点，交于点， ， ， 即， 解得， 四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ，即， ， ， 故当时，矩形面积最大， ， 此时， 故答案为：． 10．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴于点 ，，交轴于点 ，作平行四边形，边交抛物线于点，连接，若的面积是，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； 根据题意求得对称轴为的直线，令，则，求得点的坐标，进而求解点的坐标，证明，求得点的坐标，代入二次函数解析式即可求解； 【详解】解：根据题意可知对称轴为：； 令，则， 故， 将代入中， ， 解得：或， 故， ， ， ， ， 将代入， ， 解得：； 故答案为： 三、解答题 11．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，根据题意设二次函数的解析式为，把代入即可得到答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是 ， ∴二次函数的解析式可设为． 把代入 ， 得 ， 解得 ． ∴该二次函数的解析式为． 12．（2024·广东东莞·模拟预测）抛物线与直线交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D． (1)求点B和点D的坐标； (2)如图，连接，P为x轴负半轴上的一点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求角的正切值、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（1）将与联立，解方程可得B点坐标，将代成顶点式，可得D点坐标； （2）过点作轴于点．根据可得，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，设，利用勾股定理解求得点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：将与联立，得， 即， 解得或． ∴ ． ， 顶点． （2）解：如图，过点作轴于点． ， ，． ． ， ． 为轴的负半轴上的一点，设直线与轴交于点，则是等腰三角形， ． 设，则，． 在中，． 解得． ． 设直线的解析式为， 将点、代入，得， 解得， 直线的解析式为． 令，则． 解得．   ． 【点睛】本题考查二次函数的图形和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定，勾股定理，求一次函数解析式等知识点，第二问有一定难度，通过作辅助线得出，进而证明是等腰三角形是解题的关键． 13．（2024·广东广州·二模）为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是元．超市规定每箱售价不得少于元且不得多于元，根据以往经验发现：当售价定为每箱元时，每天可以卖出箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出箱． (1)如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为多少元？ (2)当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润y（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为元 (2)当每箱售价定为元时，每天的销售利润y最大，最大利润是元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）设售价定为元，且，依题意得，，整理得，，计算求出满足要求的解即可； （2）依题意得，，由，可知当时，y随x的增大而增大，即当时，y有最大值，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：设售价定为元，且， 依题意得，，整理得，， 解得，或（舍去）， 答：如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为元． （2）解：依题意得，， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴当每箱售价定为元时，每天的销售利润y最大，最大利润是元． 14．（2024·广东·模拟预测）综合运用：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点D，点E为抛物线上的点，且在的上方，作轴，交于点M．    (1)求抛物线的解析式； (2)当 时，求点E的坐标； (3)在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点C，D，B，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点 E的坐标为 ； (3)存在，点N的坐标为或或． 【知识点】利用平移的性质求解、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（1）直接用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为：，设点，则点，由，求得，即可求解； （3）先求得抛物线的对称轴为直线：，再求得，分两种情况根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得：， 解得：， ∴ 抛物线的解析式为：； （2）解： ， 设直线的解析式为：， 将点，代入中， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则点， ， 解得：， 此时，， ∴点 E的坐标为 ； （3）解：存在， 由题意，可知抛物线的对称轴为直线： ， ∵轴，点， ∴， ∴， ∵点，， ， 由平行四边形的对边平行且相等的性质，可通过平移已知顶点来找到点N，如图：   当为边时，点由点向右平移4个单位长度， ∴点向右平移4个单位长度得到， ∴四边形是平行四边形， ∴， 点由点向左平移4个单位长度， ∴点向左平移4个单位长度得到， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当为对角线时，点由点向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度， ∴点向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到， 则四边形是平行四边形， ∴， 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定，平移的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 15．（2024·广东深圳·模拟预测）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】(1)上边缘抛物线喷出水的最大射程为； (2)； (3)不能，理由见解析 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解； （3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可； 【详解】（1）解：由题意可得：， 且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为： 将代入可得： 即上边缘的抛物线为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即 上边缘抛物线喷出水的最大射程为； （2）解：由（1）可得， 上边缘抛物线为：，可得对称轴为： 点关于对称轴对称的点为： 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即点； （3）解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下； ∵， ∴绿化带的左边部分可以灌溉到， 由题意可得： 将代入到可得： 因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 16．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标； (3)如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，． 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、利用平行四边形的判定与性质求解、等边三角形的判定和性质、最短路径问题 【分析】（1）用待定系数法解题； （2）由已知点P的横坐标为，可得点P和点D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根据平行四边形对边相等的性质，列出m的方程即可； （3）证明点P在直线上运动，再利用轴对称的性质解决最短路径问题． 【详解】（1）解：∵点， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， 把点，，代入抛物线中得 ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图中，连接，， ∵，，， ， ∴， ∴直线的解析式为，设， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 把点的坐标代入， 得到，，解得或， ∴或． （3）如图，过点作于，过点作于，过点作于，连接， 设，则， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是直线， 作点关于直线是对称点，连接交直线于， 连接，此时的值最小， 最小值． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求解析式、平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、利用轴对称求最值问题等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$