专题14 空间几何体的表面积与体积（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题14 空间几何体的表面积与体积 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 2 题型二、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 3 题型三、棱柱、棱锥、棱台的体积 4 题型四、圆柱、圆锥、圆台、球的体积 6 题型五、其他几何体的表面积与体积 7 压轴能力测评（13题） 9 一、表面积公式 表面积 柱体 为直截面周长 锥体 台体 球 二、体积公式 体积 柱体 锥体 台体 球 【题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积】 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建三明·期末）福建省清流县书法家刘建煌老先生曾为三明绿道“怡亭”题字：四面风光长入画，一亭绿意最怡人. “怡亭”的顶部可近似看作一个正四棱锥，已知过侧棱且垂直于底面的截面是边长为 的等腰直角三角形，则该正四棱锥的侧面积约为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南·模拟预测）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高一下·广东东莞·期中）已知正四棱台的上下底边长分别为，正四棱台体积为，则此表面积为 5．（23-24高一下·江西宜春·期末）将一个棱长为的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 【题型二 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积】 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南娄底·期中）已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（　　） A．2 B． C．1 D．2 3．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江·期中）把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（2024·江苏·三模）已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【题型三 棱柱、棱锥、棱台的体积】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏·阶段练习）若正六棱台的高为6，且，，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一下·全国·专题练习）一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（2024高一·全国·专题练习）斗不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，其可近似看作正四棱台，现制作一上底面的面积为81平方分米，侧面积为120平方分米，侧高为5分米的米斗，若斗面的厚度忽略不计，则该斗可以装米（1立方分米1升）（    ） A．39升 B．156升 C．201升 D．210升 二、填空题 4．（24-25高一上·广东·开学考试）中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为 . 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 . 6．（23-24高一下·天津河北·期中）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥的体积为 ；四棱锥的表面积是 .    【题型四 圆柱、圆锥、圆台、球的体积】 一、单选题 1．（23-24高一上·河北唐山·开学考试）已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏连云港·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 二、填空题 4．（2024高一·全国·专题练习）已知圆柱与圆锥的高均为3，底面半径均相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为 ． 5．（24-25高一上·四川资阳·阶段练习）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为 . 6．（24-25高一上·全国·课后作业）如图所示，一个输液瓶的圆柱部分装有药品，输液瓶直径为6cm，一位患者通过输液管进行输液，输液管内径约0.3cm，已知输液管内液体的流量速率（单位：）与管道半径（单位：cm）存在如下函数关系：，2h后输液完毕，则液面高度约为 cm．（结果保留整数，参考数据：） 【题型五 其他几何体的表面积与体积】 一、单选题 1．（2024高一上·北京·学业考试）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 2．（23-24高一下·陕西铜川·期末）如图，在中，已知，将以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，若，则（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高一下·云南曲靖·期中）祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    5．（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计算体积的方法．如图，为半圆的直径，C、D为半圆弧上的点，，阴影部分为弦与半圆弧所形成的弓形．将该几何图形绕着直径所在直线旋转一周，阴影部分旋转后会形成一个几何体．该几何体的体积为 ．    6．（23-24高一下·天津南开·期末）为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则 ， ．    一、单选题 1．（24-25高一·上海·课堂例题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 2．（23-24高一下·福建福州·期末）若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，上底面半径为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川绵阳·开学考试）两圆锥母线长均为3，体积分别为，侧面展开图面积分别记为，且，侧面展开图圆心角满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东·期末）通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm）来判断降雨程度，其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的，则当天的降雨等级是（    ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 5．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高一下·海南·期中）已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9cm、宽为6cm的矩形，则此正三棱柱的体积可以为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一下·广西北海·期末）如图，三棱台的上、下底边长之比为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则 . 8．（23-24高一下·贵州铜仁·阶段练习）已知四棱锥如图所示，其中底面为长为4，宽为3的长方形，顶点在底面的投影为底面中心，高为2．则该几何体的体积 ，表面积 ． 9．（23-24高一下·广西河池·期末）某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为 ． 10．（23-24高一下·吉林·期中）如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则＝ . 四、解答题 11．（23-24高一下·福建泉州·期中）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．        (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？ 12．（23-24高一下·湖北武汉·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.已知，且. (1)在平面直角坐标系中作出原平面图形并求面积； (2)将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积. 13．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，梯形中，，，，，，在平面内过点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 空间几何体的表面积与体积 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 2 题型二、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 6 题型三、棱柱、棱锥、棱台的体积 8 题型四、圆柱、圆锥、圆台、球的体积 13 题型五、其他几何体的表面积与体积 16 压轴能力测评（13题） 21 一、表面积公式 表面积 柱体 为直截面周长 锥体 台体 球 二、体积公式 体积 柱体 锥体 台体 球 【题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积】 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可． 【详解】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 2．（23-24高一下·福建三明·期末）福建省清流县书法家刘建煌老先生曾为三明绿道“怡亭”题字：四面风光长入画，一亭绿意最怡人. “怡亭”的顶部可近似看作一个正四棱锥，已知过侧棱且垂直于底面的截面是边长为 的等腰直角三角形，则该正四棱锥的侧面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意画出示意图，求出底边正方形的边长，得出正四棱锥的侧面是四个全等的等边三角形，再根据等边三角形的面积即可求解. 【详解】如图，正四棱锥，截面为等腰直角三角形， 因为， 所以， 又因为四边形为正方形，设边长为， 由勾股定理得，， 解得，， 所以正四棱锥的侧面是四个全等的等边三角形， 所以. 故选：D.    3．（2024·河南·模拟预测）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，求出正六棱台的侧高，从而求出正六棱台的侧面积，再求出正六棱台的下底面面积，圆柱的侧面积和底面积，相加得到该花灯的表面积. 【详解】正六棱柱的六个侧面面积之和为， 正六棱柱的底面面积为， 如图所示，正六棱台中，， 过点分别作垂直于底面于点， 连接相交于点，则分别为的中点， 过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高， 其中，，， 由勾股定理得，故，    所以正六棱台的斜高为， 故正六棱台的侧面积为， 又正六棱台的下底面面积为， 所以该花灯的表面积为． 故选：A． 二、填空题 4．（23-24高一下·广东东莞·期中）已知正四棱台的上下底边长分别为，正四棱台体积为，则此表面积为 【答案】512 【分析】根据给定条件，求出棱台的高，进而求出正四棱台的斜高，再求出表面积即可. 【详解】设正四棱台的高为，由棱台的体积公式得，解得， 令正四棱台上下底面中心为，一个侧面等腰梯形上下底边中点分别为， 则四边形为直角梯形，，， 于是该正四棱台的斜高， 所以该正四棱台的表面积（）. 故答案为：512 5．（23-24高一下·江西宜春·期末）将一个棱长为的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 【答案】12 【分析】由题可知小正方体的棱长为，从而得到原来正方体以及个全等的小正方体的表面积，由此可得到答案. 【详解】由题意可知：正方体的表面积为，且小正方体的棱长为， 则小正方体的表面积为：. 所以27个全等的小正方体的表面积为， 所以表面积增加了． 故答案为：12. 【题型二 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积】 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱的侧面积公式以及正方体的表面积公式即可求解. 【详解】所得几何体的表面积为， 故选：D 2．（24-25高一上·湖南娄底·期中）已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（　　） A．2 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，根据圆锥的表面积及弧长公式得到方程组，求出. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为， 则，解得或（舍）， 故选：A 3．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定旋转一周形成的旋转体的形状，结合圆台侧面积公式以及球的表面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知阴影部分以AB所在直线为轴，旋转一周形成的旋转体为一个圆台挖去半个球， 其中圆台的上下底面半径为2和5，高为4，母线长为， 挖去半球的半径为2， 故形成的旋转体的表面积为， 故选：B 4．（24-25高二上·浙江·期中）把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设出小圆锥和圆台的高之比，则可得到小圆锥和圆台的母线之比及圆台上下底面半径之比，结合侧面积公式计算即可得解. 【详解】设圆锥与圆台的母线分别为、，圆台的上下底面半径分别为、， 小圆锥和圆台的高之比为，则有，即，， 则，，有， 即，整理得， 解得或（负值，舍去）. 故选：D. 5．（2024·江苏·三模）已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和相似，可得，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案. 【详解】圆锥的高为，如图， 由和相似，可得，所以， 所以, 则圆柱侧面积， 圆锥侧面积，所以. 故选：D． 【题型三 棱柱、棱锥、棱台的体积】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏·阶段练习）若正六棱台的高为6，且，，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正六棱台的性质求得上下底面，再利用棱台的体积公式计算即可. 【详解】设正六棱台上、下底面的面积分别为、， 因为，，高为， 所以，， 所以该棱台的体积 . 故选：C. 2．（2025高一下·全国·专题练习）一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用补形法将五面体补成一个棱柱，再利用体积公式求解即可. 【详解】如图，用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为的等边三角形， 侧棱长为， 故． 故选：C. 3．（2024高一·全国·专题练习）斗不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，其可近似看作正四棱台，现制作一上底面的面积为81平方分米，侧面积为120平方分米，侧高为5分米的米斗，若斗面的厚度忽略不计，则该斗可以装米（1立方分米1升）（    ） A．39升 B．156升 C．201升 D．210升 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正棱台的侧面积及体积公式求解即得. 【详解】设米斗的下底面边长为分米，高为分米， 由上底面的面积为81平方分米，得上底面边长为9分米， 由侧面积为120平方分米，侧高为5分米，得平方分米，解得， 即该米斗的下底面边长为3分米，因此分米， 则该米斗的体积为立方分米， 所以该斗可以装米156升. 故选：B 二、填空题 4．（24-25高一上·广东·开学考试）中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为 . 【答案】28 【分析】令四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为，由四个三棱柱的体积之和与四个四棱锥的体积之和，可得和，则有，求出中间长方体的体积，即可得该正四棱台的体积. 【详解】如图，令四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为， 依题意，四棱锥的体积为，即， 三棱柱的体积为，即，因此 于是长方体的体积， 所以该正四棱台的体积为. 故答案为：28 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 . 【答案】/ 【分析】由题意，根据图乙将棱柱的体积用的面积表示出来，设出甲图中水面高度，利用放倒前后水的体积相等即可求得. 【详解】设的面积为， 因，，，分别为所在棱的中点， 则，， ， 设图甲中水面高度为，则，解得，， 即图甲中水面的高度为. 故答案为：. 6．（23-24高一下·天津河北·期中）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥的体积为 ；四棱锥的表面积是 .    【答案】 【分析】由题意得出四棱锥的底面是边长为的正方形，四个侧面都是边长为的等边三角形，进一步结合棱锥的体积、表面积公式即可求解. 【详解】第一空：由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积， 顶点到底面四边形的距离为， 由四棱锥的体积公式可得：. 第二空：如图所示：    设为中点，为正方形中心，则，， 显然，所以正四棱锥的侧棱，同理， 又，所以正四棱锥的四个侧面都是边长为的等边三角形， 设四棱锥的表面积是， 则. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：关键在于得出所求四棱锥的特征，进一步结合对称性，求出表面积、体积公式中相应的长度或者面积，由此即可顺利得解. 【题型四 圆柱、圆锥、圆台、球的体积】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱外接球的直径与圆柱的底面直径和圆柱的高的关系求解即可. 【详解】由题可知该圆柱底面直径为， 所以底面半径为 所以圆柱体积为 故选：C 2．（2024·江苏连云港·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出上、下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可. 【详解】 如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为， 则，，解得，， 又，， 设上底面面积为，下底面面积为， 所以圆台的体积. 故选：B. 3．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 【答案】D 【分析】结合圆锥体积公式，利用液体的体积相等可求答案. 【详解】因为圆锥的底面半径为2dm，母线长为，所以高为， 当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的， 所以液面的半径为1，此时液体的体积为， 当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥， 设圆锥的底面半径为，高为，则有，即， .此时液体的体积为， 由，得，所以. 故选：D. 二、填空题 4．（2024高一·全国·专题练习）已知圆柱与圆锥的高均为3，底面半径均相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为 ． 【答案】 【详解】设出半径，根据圆柱侧面积和圆锥表面积相等得到方程，求出，利用锥体体积公式得到答案. 【分析】设圆柱和圆锥的底面半径均为，则圆柱的侧面积为， 圆锥的表面积为， 由圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等可得， 化简得，解得， 故圆锥体积． 故答案为： 5．（24-25高二上·四川资阳·阶段练习）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为 . 【答案】 【分析】根据圆台的体积公式及球的体积公式，即可求解. 【详解】根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为2，3， 则圆台的母线长为， 圆台的高为， 该圆台的内切球的半径， 该圆台的体积与球的体积之比为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）如图所示，一个输液瓶的圆柱部分装有药品，输液瓶直径为6cm，一位患者通过输液管进行输液，输液管内径约0.3cm，已知输液管内液体的流量速率（单位：）与管道半径（单位：cm）存在如下函数关系：，2h后输液完毕，则液面高度约为 cm．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】8 【分析】求出经过输液管的液体总体积即输液瓶内药品总体积，由圆柱体积公式可得答案. 【详解】输液管内液体的流量速率与管道半径的函数关系， 其中，可得，2h后输液完毕， 则经过输液管的液体总体积， 即输液瓶内药品总体积为， 根据圆柱体积可知，解得． 故答案为：8. 【题型五 其他几何体的表面积与体积】 一、单选题 1．（2024高二上·北京·学业考试）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 【答案】C 【分析】正方体的体积减掉8个以为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积. 【详解】设此半正多面体模型的体积为， 则. 故选：C. 2．（23-24高一下·陕西铜川·期末）如图，在中，已知，将以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转体定义可得形成的几何体都可以看做一个大圆锥挖去一个小圆锥，再由锥体体积公式可得结果. 【详解】分别过顶点向对边作垂线，垂足分别为点，如图所示，    设，，则， 则形成的几何体都可以看做一个大圆锥挖去一个小圆锥，所以可得 ， ； 所以，即． 故选：A． 3．（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形可得新增了16个全等的小三角形面积，结合题意可得小三角形为等腰直角三角形，设其直角边为x，由可得x，即可得答案. 【详解】由题设分析  如下图，转动了45°后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为x， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：A 二、填空题 4．（23-24高一下·云南曲靖·期中）祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    【答案】 【分析】由题意，从而得到椭球的体积为，再代入数据求解即可. 【详解】因为总有圆所以，半椭球的体积等于， 故椭球的体积为，所以该椭环体积是. 故答案为：. 5．（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计算体积的方法．如图，为半圆的直径，C、D为半圆弧上的点，，阴影部分为弦与半圆弧所形成的弓形．将该几何图形绕着直径所在直线旋转一周，阴影部分旋转后会形成一个几何体．该几何体的体积为 ．    【答案】 【分析】连接，则，分别过、作的垂线，垂足分别为、，分析可知该几何体的体积为球的体积减去两个圆锥的体积以及一个圆柱的体积，计算出圆锥的底面半径和高、圆柱的底面半径和高，利用球体、锥体以及柱体的体积公式可求得该几何体的体积. 【详解】连接，则，分别过、作的垂线，垂足分别为、．    因为，则， 因为，则，，． 同理，，，则， 因为，，，则四边形为矩形，故， 所以，该几何体的体积为球的体积减去两个圆锥的体积以及一个圆柱的体积， 故该几何体的体积为． 故答案为：. 6．（23-24高一下·天津南开·期末）为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则 ， ．    【答案】 【分析】利用旋转和对称关系求出，根据柱体、球体的表面积公式求解即可. 【详解】    如图，设两个正方形的中心为，连接，    因为旋转了45°，所以, 由对称性可设， ， 所以，则， 所以, 该雕塑底面可容纳的最大的圆的半径, 所以该雕塑可容纳的最大的球的半径也为， 外接球的半径为 , ， 故答案为：；. 一、单选题 1．（24-25高二·上海·课堂例题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 【答案】A 【分析】由已知，利用勾股定理先求出侧棱长，再利用三角形的面积公式，即可求出表面积. 【详解】 如图，由已知，两两垂直，且， 为等边三角形，， 在中， 所以， 所以此棱锥的表面积是 . 故选：A. 2．（23-24高一下·福建福州·期末）若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，上底面半径为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】CC 【分析】过作于，根据条件求母线长及下底面半径长，再利用圆台的侧面积公式，即可求出结果. 【详解】如图，过作于，由题知，， 所以，， 又，记上底面半径为，下底面半径为，则， 所以圆台的侧面积为， 故选：C. 3．（24-25高一上·四川绵阳·开学考试）两圆锥母线长均为3，体积分别为，侧面展开图面积分别记为，且，侧面展开图圆心角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥侧面积公式推得，再由侧面展开图的圆心角公式推得，由此得到两圆锥高分别为与，从而求得两圆锥体积的比值. 【详解】依题意，不妨设甲圆锥的底面半径为，高为，乙圆锥底面半径为，高为， 则，， 由得， 故，因为侧面展开图的圆心角之和为， 所以， 故，所以，， 所以. 故选：B. 4．（23-24高一下·广东·期末）通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm）来判断降雨程度，其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的，则当天的降雨等级是（    ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】B 【分析】计算出水桶桶中水的体积，除以水桶上底面面积即可得24小时内降水在平地上积水厚度，即可得解. 【详解】由题桶的下底面面积为，上底面面积 又桶中水水面与底面距离为， 设水面半径为，如图为桶的轴截面图形， 则，则， 故由得， 故水面半径为， 所以桶中水水面面积为 所以连续24小时的桶中水的体积为， 所以24小时内降水在平地上积水厚度为， 所以当天的降雨等级是中雨. 故选：B. 【点睛】思路点睛：先计算出水面半径，进而得水桶桶中水的体积，再除以水桶上底面面积即可得24小时内降水在平地上积水厚度. 5．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆台的底面半径和高，再利用台体的体积公式求体积. 【详解】如图： ，，，. 根据圆台的侧面积公式：. 所以圆台的高：. 所以圆台的体积为：. 故选：C 二、多选题 6．（23-24高一下·海南·期中）已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9cm、宽为6cm的矩形，则此正三棱柱的体积可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由正三棱柱的侧面展开图是一个长为9cm、宽为6cm的矩形，可知正三棱柱的底面边长可为3 cm,高为6cm，或底面边长可为2cm,高为9cm，两种情况，由体积公式求出即可. 【详解】因为正三棱柱的侧面展开图是一个长为9cm、宽为6cm的矩形， 所以正三棱柱的底面边长可为3 cm,高为6cm，则此正三棱柱的体积为 ， 或正三棱柱的底面边长可为2cm,高为9cm，则此正三棱柱的体积为 . 故选：BD. 三、填空题 7．（23-24高一下·广西北海·期末）如图，三棱台的上、下底边长之比为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则 . 【答案】 【分析】利用锥体体积公式与棱台体积公式计算出三棱锥与三棱台的体积之比，再结合割补法即可得解. 【详解】由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为， 设三棱台的高为，则点到平面的距离也为， 设上底面面积为，则下底面面积为， 则，， 所以， 所以. 故答案为：. 8．（23-24高一下·贵州铜仁·阶段练习）已知四棱锥如图所示，其中底面为长为4，宽为3的长方形，顶点在底面的投影为底面中心，高为2．则该几何体的体积 ，表面积 ． 【答案】 8 【分析】由三棱锥的体积公式求解，表面积先计算各个侧面的斜高再计算即可． 【详解】几何体的体积为． 正侧面及相对侧面底边上的高为． 左、右侧面的底边上的高为． 故几何体的表面积为． 故答案为：8， 9．（23-24高一下·广西河池·期末）某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为 ． 【答案】 【分析】先求解得，，进而得到的面积，再根据全等性质与表面积的计算公式求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以， 故该模型的表面积为． 故答案为： 10．（23-24高一下·吉林·期中）如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则＝ . 【答案】 【分析】先计算三棱柱的体积，再得出三棱台的体积，从而根据，即可求解. 【详解】在三棱柱中，设的面积为S，三棱柱的高为h， 则三棱柱的体积为，由，， 得，则，且，于是的面积为， 则三棱台的体积为，从而， 所以. 故答案为： 四、解答题 11．（23-24高一下·福建泉州·期中）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．        (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）计算出正方体的体积减去8个小正三棱锥的体积，得到答案； （2）计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数. 【详解】（1）正方体的体积为， 石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为， 故一个小正三棱锥的体积为， 故石凳的体积为. （2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为， 则石凳的表面积为， 则粉刷一个石凳需要元. 12．（23-24高一下·湖北武汉·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.已知，且. (1)在平面直角坐标系中作出原平面图形并求面积； (2)将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积. 【答案】(1)图形见解析，面积为18 (2)表面积为，体积为 【分析】（1）把直观图还原出原平面图形，由此计算四边形的面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，所得几何体是圆柱，挖去一个圆锥，由此求解即可． 【详解】（1）如图所示：梯形为还原的平面图形， 作交于点， 因为，所以， 所以. （2）将原平面图形绕旋转一周，所得几何体是一个以为底面半径的圆柱挖去一个以为底面半径的圆锥， 所以所形成的几何体的表面积为， ， 所形成的几何体的体积为. 13．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，梯形中，，，，，，在平面内过点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为 【分析】先确定旋转体的形状，再利用圆柱和圆锥的表面积公式与体积公式求解即可. 【详解】在梯形中，，， ，，， 如图，作， 由题意得四边形是矩形，故， ，， ，． 由于以为轴将梯形旋转一周后形成的几何体 为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥． 由上述计算知，圆柱母线长，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径． 圆柱的侧面积，圆锥的侧面积， 圆柱的底面积，圆锥的底面积， 组合体上底面积， 旋转体的表面积． 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积． 设圆柱体体积为，圆锥体体积为， ，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$