数学（新高考八省专用02 ）- 学易金卷：2025年高考第三次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考数学第三次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数，则（   ） A．2 B． C．10 D． 3．函数在区间的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（    ） A． B． C． D． 5．若，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 7．已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与及其准线依次交于三点（其中点在之间），若，,则的面积是（    ） A． B． C． D． 8．在正四棱台中，，，若存在球O与该正四棱台的各个面均相切，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（    ） A．数据的第25百分位数是1； B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为； C．已知随机变量，若，则； D．某班有50名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上说在分的人数约为17人．（参考数据：，， 10．函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的值域是 C．的图象是轴对称图形，其中一条对称轴是 D．的零点是 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的面积为2 B．若，则直线被圆截得的弦长为 C．若为等腰三角形，则满足条件的点有2个 D．若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线与，若直线与相交于两点，且，则 ． 13．已知数列满足，且，则 . 14．已知，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，角所对的边分别为，，，且，. (1)若边上的高，求证：为等边三角形； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 16．（15分）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 17．（15分）已知函数． (1)设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； (2)证明：当时，． 18．（17分）在三棱柱中，点在上，且，为线段上的动点. (1)若为的中点， （i）在图中画出的重心，并说明点与线段BE的位置关系； （ii）求证：平面. (2)若三棱柱是棱长均为2的正三棱柱，当二面角为时，求到平面的距离. 19．（17分）已知双曲线 的离心率为 ，其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2 . (1)求双曲线 的方程； (2)设 ，若点 在双曲线 上， 在点 处的切线 与两条渐近线分别交于 两点， 是坐标原点，且 . （i）证明数列 是等差数列，并求通项公式 ; （ii）设数列的前 项和为 .求证: 对  . (其中 表示不超过 的最大整数，例如 ) 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考数学第三次模拟考试 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第三次模拟考试 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据集合的交集与补集运算求解即可. 【详解】由可得 ，又因为，所以. 故选：A. 2．若复数，则（   ） A．2 B． C．10 D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算求得复数，利用复数的模的意义可求得的值. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 3．函数在区间的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图像的识别、求含sinx的函数的奇偶性 【分析】利用函数奇偶性定义判断出函数在区间上的奇偶性排除AC；再利用特殊值可得答案. 【详解】因为，， ， 所以为偶函数，图象关于轴对称，故排除AC； ， 故选：B. 4．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二项展开式的应用 【分析】根据给定条件，利用二项式定理变形，再逐项判断得解. 【详解】依题意，， 对于A，，，不能被5整除，A不是； 对于B，，，不能被5整除，B不是； 对于C，，，能被5整除，C是； 对于D，，，不能被5整除，D不是. 故选：C 5．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用倍角公式，整理化简已知条件，求得，再求，即可求得. 【详解】，又，故，故， 则，解得，故， 故. 故选：C. 6．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，，由已知可得，由向量的加法和模的坐标运算结合基本不等式求解即可. 【详解】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，， 则，，， 所以， 当且仅当时等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：C. 7．已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与及其准线依次交于三点（其中点在之间），若，,则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，利用抛物线定义可得，则，继而可求出，即可得到的值，从而得到抛物线的标准方程，由可得到直线的斜率，得到直线的方程，联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理、抛物线的定义，并利用点到直线距离公式，即可求解的面积. 【详解】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为， 设准线与轴相交于点， 如图， 则，， 在中，，所以，所以， 在中，， 所以，所以. 又轴，，所以. 又抛物线，则, 所以，所以抛物线，点. 因为，所以直线的斜率， 则直线， 与抛物线方程联立,消并化简得, 设点，则， 则. 又直线可化为， 则点到直线的距离, 所以. 故选:B. 8．在正四棱台中，，，若存在球O与该正四棱台的各个面均相切，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正棱台及其有关计算、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求点面距离 【分析】作出辅助线，四边形的内切圆是正四棱台内切球O的截面大圆，由等腰梯形性质及切线长定理求出各边长，得到正四棱台的高，设点到平面的距离为h，由等体积法得到方程，求出答案. 【详解】如图，在正四棱台中， 分别取，，，的中点为E，F，，， 连接，则四边形的内切圆是正四棱台内切球O的截面大圆， 设四边形各边与其内切圆的切点分别为(如图所示), 因为四边形是等腰梯形，，， 由切线长定理得， 过点分别作，交于点，    则，，由勾股定理得， 则正四棱台的高，设点到平面的距离为h， 又，所以， 且，， 所以，解得. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是抓住四边形的内切圆是正四棱台内切球O的截面大圆，进而利用该特性求出正四棱台侧面的高和正四棱台的高h，然后利用等体积法可求解点到平面的距离. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（    ） A．数据的第25百分位数是1； B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为； C．已知随机变量，若，则； D．某班有50名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上说在分的人数约为17人．（参考数据：，， 【答案】ACD 【知识点】相关系数的计算、二项分布的方差、指定区间的概率、总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数、相关系数、二项分布、正态分布等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于， 所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A正确； 对于选项B，因为样本点都在直线上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为，故B错误． 对于选项C，因为， 所以，解得，故C正确； 对于选项D，由， 可得在90~100分的人数是，故D正确. 故选：ACD． 10．函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的值域是 C．的图象是轴对称图形，其中一条对称轴是 D．的零点是 【答案】ABD 【知识点】求函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】对A：检验，即可判断；对B：利用导数分析其单调性，进而求得其值域即可；对C：检验的结果是否为零，即可判断；对D：令，直接求解即可. 【详解】对A：，故为的周期， 显然，没有比更小的正周期，故的最小正周期为，故A正确； 对B：考虑到的最小正周期为，故只需考虑在的值域； ，，故 即 ； 因为，故， 则当时，，即，此时 ，单调递减； 当时，，即，此时 ，单调递增； 又，， ，故的值域为，故B正确； 对C：， ， 则，即， 则不是的对称轴，故C错误； 对D：令，即，，即， 则，或，解得，或，， 又，，故的零点为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题综合考察研究三角函数周期、零点、对称性以及值域的研究方法，其中，周期的定义，以及对称性的判断，都在考察学生基本功，同时利用导数研究函数值域，也是本题的难点，属综合中档题. 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的面积为2 B．若，则直线被圆截得的弦长为 C．若为等腰三角形，则满足条件的点有2个 D．若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为 【答案】ABD 【知识点】已知两点求斜率、圆的弦长与中点弦、椭圆定义及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】设P记 则 ，利用，转化求解三角形的面积，判断A；应用圆的弦长几何法求解判断B；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点可判断C；设点的坐标再结合斜率公式计算求解得出坐标判断 D. 【详解】对于A，，设点P,记 则 因为 , 所以 解得 , 所以 的面积为 ，故A正确； 对于B，若，则， 所以，所以直线为，所以， 又因为，圆心到直线距离， 所以直线被圆截得的弦长为，故B正确； 对于C，由椭圆的性质可知，即. 若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个； 若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个； 同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个； 故使得为等腰三角形的点共6个，故C错误； 对于D：设，，因为， 所以，所以点的横坐标为，D选项正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线与，若直线与相交于两点，且，则 ． 【答案】或 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】由弦长可求得圆心到该弦的距离，由点到直线的距离公式即可列方程求解. 【详解】若直线与相交于两点，且， 则圆心到直线的距离，所以， 解得或． 故答案为：或. 13．已知数列满足，且，则 . 【答案】 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和 【分析】由题意结合累加法求出即可求解. 【详解】由题得 ， 当时，符合题意， 所以， 故答案为：. 14．已知，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由得.设，，求导，分析函数单调性，求两个函数的值域，再根据函数值域的包含关系求的取值范围. 【详解】由得， 设，，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 所以. 且当时，；当时，， 故的值域为； 设，，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所以， 且当时，；当时，， 故的值域为； 依题意，的值域是的值域的子集. 显然，若，则的值域为，不合题意，舍去； 若，则的值域， 则需的值域，则，解得. 综上，实数a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：由得.设，，对任意，都存在，使得就转化成的值域是的值域的子集. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，角所对的边分别为，，，且，. (1)若边上的高，求证：为等边三角形； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状、几何图形中的计算 【分析】（1）利用余弦定理并结合三角形面积公式计算可得，可得结论； （2）根据角平分线以及角度大小利用等面积法解方程可得，可得其周长. 【详解】（1）证明：在中，，， 由余弦定理得，即①. 又， 即，故②. 由①②得，即， 故. 所以为等边三角形. （2）在中，由， 得， 又直线为的平分线， 则， 所以，即③， 又由余弦定理可得，即.④， 由③④可知， 解得或（舍）， 所以的周长为. 16．（15分）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）甲最终获胜有两种情况：前2局赢、三场输一场赢两场，据此求解概率； （2）由（1）可得甲最终获胜的概率，分别计算两种方案下甲获得积分的数学期望，通过作差比较其大小即可. 【详解】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即甲最终获胜的概率为． （2）由（1）可知，， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 3 则， 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0， ， 则的分布列为： 1 0 则， 所以， 由于，则， 于是时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． 17．（15分）已知函数． (1)设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； (2)证明：当时，． 【答案】(1)，有两个零点 (2)证明见解析 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）根据极值点定义代入计算可得，得出相应单调性以及零点存在定理可得结论； （2）对函数求导得出其单调性求出的最小值，可证明得出结论. 【详解】（1）的定义域为， ， 由题设知，，所以， 从而， 当时，；当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， ， 由易知，由零点存在定理可得函数有两个零点 （2）证明：当时，； 设，则， 当时，；当时，， ∴是的极小值点，也是最小值， 故当时，， 因此，当时， 18．（17分）在三棱柱中，点在上，且，为线段上的动点. (1)若为的中点， （i）在图中画出的重心，并说明点与线段BE的位置关系； （ii）求证：平面. (2)若三棱柱是棱长均为2的正三棱柱，当二面角为时，求到平面的距离. 【答案】(1)（i）作图见解析，点在线段BE上；（ii）证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）（i）利用重心的性质即可判断点在线段BE上. （ii）利用重心性质与对应线段比例即可证明平面 （2）建立空间直角坐标系，设，可知，所以，再利用面面角的向量求法即可求出参数，再利用点面距的向量求法即可求出结果. 【详解】（1）（i）连结，交于点，连结交BE于点. 因为为的中点，为的中点， 所以为的重心，所以. 又因为为的中线， 所以点也为的重心，所以点在线段BE上. （ii）连结，并延长交AC于点，连结DG. 因为为的重心，所以. 又因为，所以，即. 又因为平面，平面，所以平面. （2）取AB的中点. 因为为棱长相等的正三棱柱，所以为正三角形，所以. 又因为在正三棱柱中平面，所以，. 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，， 设，可知，所以， 所以，. 设平面的法向量为，则所以 令，则可得. 易知平面的一个法向量为， 所以，即，解得（舍），或. 所以，.又， 则到平面的距离. 19．（17分）已知双曲线 的离心率为 ，其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2 . (1)求双曲线 的方程； (2)设 ，若点 在双曲线 上， 在点 处的切线 与两条渐近线分别交于 两点， 是坐标原点，且 . （i）证明数列 是等差数列，并求通项公式 ; （ii）设数列的前 项和为 .求证: 对  . (其中 表示不超过 的最大整数，例如 ) 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；；（ii）证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、利用定义求等差数列通项公式、根据a、b、c求双曲线的标准方程、放缩法 【分析】（1）由题可得，然后由虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2可得答案； （2）（i）由（1）可得，，然后由导数知识可得切线斜率，即可得切线方程，与渐近线方程联立后可得坐标，最后结合可完成证明，并得到通项公式；（ii）由，可证明；由题可得，然后构造函数证明即可证明. 【详解】（1）由题可得，又， 则，又其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2， 则，则，故双曲线方程为：； （2）（i）因在双曲线上， 则. 因，则在第一象限， 则此时点P满足方程：， 则，故点P对应切线斜率为： . 则切线方程为：. 与渐近线联立，可得，同理可得. 则， 又， 则， 又，则， 故数列 是以1为首项，公差为1的等差数列，则； （ii）由（1）可得，则. 则， 注意到 ， 又 ，则； 另一方面，. 注意到时，，则. 则 ，又， 则. 下面证明：， 注意到， 则要证，即证， 注意到， 则证明. 令，因，则，则对于函数. 有， 令，则， 则， 故在上单调递增，在上单调递减， 又注意到，则当时，. 则. 最后由不等式同向可加性可得： 又注意到，则， 则. 则 . 综上可知，. 【点睛】关键点睛：对于圆锥曲线的切线，可利用导数，从而简化运算；对于数列不等式，多利用放缩法，或将需证不等式两边化为代数式相加的形式，再利用作差法，构造函数，数学归纳法证明多项式的大小关系. 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第三次模拟考试 高三数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B C C C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．或 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）证明：在中，，， 由余弦定理得，即①. 又， 即，故②. 由①②得，即， 故. 所以为等边三角形. ...............................5分 （2）在中，由， 得， 又直线为的平分线， 则， 所以，即③， 又由余弦定理可得，即.④， 由③④可知， 解得或（舍）， 所以的周长为. ...............................13分 16．（15分） 【详解】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即甲最终获胜的概率为．...............................5分 （2）由（1）可知，， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 3 则，...............................9分 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0， ， 则的分布列为： 1 0 则， ...............................12分 所以， 由于，则， 于是时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案．...............................15分 17．（15分） 【详解】（1）的定义域为， ， 由题设知，，所以， 从而， 当时，；当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增，...............................5分 ， 由易知， 由零点存在定理可得函数有两个零点 ...............................7分 （2）证明：当时，；..............................9分 设，则， 当时，；当时，， ∴是的极小值点，也是最小值， 故当时，， 因此，当时， ...............................15分 18．（17分） 【详解】（1）（i）连结，交于点，连结交BE于点. 因为为的中点，为的中点， 所以为的重心，所以. 又因为为的中线， 所以点也为的重心，所以点在线段BE上. ............................4分 （ii）连结，并延长交AC于点，连结DG. 因为为的重心，所以. 又因为，所以，即. 又因为平面，平面，所以平面. .............................8分 （2）取AB的中点. 因为为棱长相等的正三棱柱，所以为正三角形，所以. 又因为在正三棱柱中平面，所以，. 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，， 设，可知，所以， 所以，. 设平面的法向量为，则 所以 令，则可得. 易知平面的一个法向量为， 所以，即，解得（舍），或. 所以，.又， 则到平面的距离. .............................17分 19．（17分） 【详解】（1）由题可得，又， 则，又其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2， 则，则， 故双曲线方程为：；...........................3分 （2）（i）因在双曲线上， 则. 因，则在第一象限， 则此时点P满足方程：，..........................5分 则， 故点P对应切线斜率为： . ...........................7分 则切线方程为：. 与渐近线联立，可得，同理可得. 则， 又， 则， 又，则， 故数列 是以1为首项，公差为1的等差数列，则；...........................10分 （ii）由（1）可得，则. 则， 注意到 ， 又 ，则； 另一方面，. 注意到时，，则. 则 ，又， 则. 下面证明：， 注意到， 则要证，即证， 注意到， 则证明. 令，因，则，则对于函数. 有， 令，则， 则， 故在上单调递增，在上单调递减， 又注意到，则当时，. 则. 最后由不等式同向可加性可得： 又注意到，则， 则. 则 . 综上可知，. ........ ...17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第三次模拟考试 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数，则（   ） A．2 B． C．10 D． 3．函数在区间的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（    ） A． B． C． D． 5．若，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 7．已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与及其准线依次交于三点（其中点在之间），若，,则的面积是（    ） A． B． C． D． 8．在正四棱台中，，，若存在球O与该正四棱台的各个面均相切，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（    ） A．数据的第25百分位数是1； B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为； C．已知随机变量，若，则； D．某班有50名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上说在分的人数约为17人．（参考数据：，， 10．函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的值域是 C．的图象是轴对称图形，其中一条对称轴是 D．的零点是 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的面积为2 B．若，则直线被圆截得的弦长为 C．若为等腰三角形，则满足条件的点有2个 D．若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线与，若直线与相交于两点，且，则 ． 13．已知数列满足，且，则 . 14．已知，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．15．（13分）在中，角所对的边分别为，，，且，. (1)若边上的高，求证：为等边三角形； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 16．（15分）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 17．（15分）已知函数． (1)设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； (2)证明：当时，． 18．（17分）在三棱柱中，点在上，且，为线段上的动点. (1)若为的中点， （i）在图中画出的重心，并说明点与线段BE的位置关系； （ii）求证：平面. (2)若三棱柱是棱长均为2的正三棱柱，当二面角为时，求到平面的距离. 19．（17分）已知双曲线 的离心率为 ，其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2 . (1)求双曲线 的方程； (2)设 ，若点 在双曲线 上， 在点 处的切线 与两条渐近线分别交于 两点， 是坐标原点，且 . （i）证明数列 是等差数列，并求通项公式 ; （ii）设数列的前 项和为 .求证: 对  . (其中 表示不超过 的最大整数，例如 ) 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$