专题03导数4大压轴题型-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第三册）

专题03 导数 目录 解题知识必备 2 压轴题型讲练 2 类型一、平均速度、瞬时速度 2 类型二、导数的概念 4 类型三、求导公式和求导法则 5 类型四、导数的几何意义............................................................................................6 压轴能力测评（10题） 7 1、概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3、物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 4、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 5、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 6、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为 1、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 7、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 类型一、平均速度、瞬时速度 【变式训练1】一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【变式训练4】（多选）在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则下列说法正确的是（    ） A．在这段时间里，运动员的平均速度 B．在运动过程中运动员的瞬时速度 C．在起跳到落水的过程中运动员的速度不可能为0 D．第时刻瞬时速度为 【变式训练5】（多选）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（ ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．在时间内球在垂直方向上的平均速度为 【变式训练6】（多选）某高校无人机兴趣小组通过数学建模的方式测得了自主研发的无人机在关闭发动机的情况下自由垂直下降的距离（单位：m）与时间（单位：s）之间满足函数关系，则（   ） A．在这段时间内的平均速度为10m/s B．在这段时间内的平均速度为12 m/s C．在s时的瞬时速度为18 m/s D．在s时的瞬时速度为16 m/s 类型二、导数的概念 【变式训练1】设f(x)是可导函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 【变式训练2】函数在区间内可导，且若，则（    ） A． B． C． D．不确定 【变式训练3】已知函数则的值为（    ） A． B． C． D． 类型三、求导公式和求导法则 【变式训练1】下列求导运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 【变式训练3】已知的数的高阶导数为，即对函数连续求阶导数.例如，则，，若，则的展开式中的系数是（    ） A．210 B．255 C．280 D．360 【变式训练4】已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5】（多选）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6】（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6】[多选]下列求导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 类型四、导数的几何意义 【变式训练1】已知直线的斜率为1，若与圆和曲线均相切，则（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【变式训练2】曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式训练4】曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（） A． B．0 C．1 D． 【变式训练5】若直线与函数和的图象分别相切于点，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练6】已知曲线，则（    ） A．直线与曲线相切 B．若直线与曲线相切，则 C．当曲线与曲线都相切时， D．当时，若过原点可作曲线的两条切线，则或 1.（多选）下列命题正确的有（    ） A． B．已知函数在上可导，若，则 C．已知函数，若，则 D． 2．（多选）下列命题正确的有（   ） A． B．已知的数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 3.（多选）下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 4．（多选）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则曲线在处的切线斜率为 . 6．若直线为曲线的切线，则 . 7．某质点的位移函数是，则当时，它的瞬时速度是 . 8．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 . 9．已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为 . 10．若函数与在公共点处存在公共的切线，则 ． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 导数 目录 解题知识必备 2 压轴题型讲练 2 类型一、平均速度、瞬时速度 2 类型二、导数的概念 5 类型三、求导公式和求导法则 8 类型四、导数的几何意义............................................................................................11 压轴能力测评（10题） 16 1、概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3、物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 4、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 5、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 6、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为 1、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 7、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 类型一、平均速度、瞬时速度 【变式训练1】一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】质点的运动方程为，所以， 所以该质点在时的瞬时速度是. 故选：B. 【变式训练2】向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据函数图象可知，随着注水时间的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度的增加量越来越大，即的变化率逐渐增大， 故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求. 故选：C. 【变式训练3】物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【答案】C 【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值，即是是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C 【变式训练4】（多选）在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则下列说法正确的是（    ） A．在这段时间里，运动员的平均速度 B．在运动过程中运动员的瞬时速度 C．在起跳到落水的过程中运动员的速度不可能为0 D．第时刻瞬时速度为 【答案】ABD 【详解】选项：，所以选项正确； 选项：对函数求导得：，所以选项正确； 选项：令，解得：，即在起跳到落水的过程中运动员的速度可以为0，所以选项错误； 选项：把代入，得，所以选项正确. 故答案为：. 【变式训练5】（多选）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（ ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．在时间内球在垂直方向上的平均速度为 【答案】BC 【详解】前内，，，故A错误； 此时球在垂直方向上的平均速度为，故C正确； 在时间内，，，故B正确， 此时间内球在垂直方向上的平均速度为，故D错误. 故选：BC． 【变式训练6】（多选）某高校无人机兴趣小组通过数学建模的方式测得了自主研发的无人机在关闭发动机的情况下自由垂直下降的距离（单位：m）与时间（单位：s）之间满足函数关系，则（   ） A．在这段时间内的平均速度为10m/s B．在这段时间内的平均速度为12 m/s C．在s时的瞬时速度为18 m/s D．在s时的瞬时速度为16 m/s 【答案】BC 【详解】在这段时间内的平均速度为m/s，故A错误，B正确； 因为，所以，即在s时瞬时速度为18m/s，故C正确，D错误. 故选:BC. 类型二、导数的概念 【变式训练1】设f(x)是可导函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由可得， 所以， 故选：A 【变式训练2】函数在区间内可导，且若，则（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【详解】根据导数定义可得： . 故选：B 【变式训练3】已知函数则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】, . 故选：A. 类型三、求导公式和求导法则 【变式训练1】下列求导运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：A. 【变式训练2】下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 【答案】B 【详解】A：因为a为常数，所以，故A错误； B：，故B正确； C：，故C错误； D：，故D错误. 故选：B 【变式训练3】已知的数的高阶导数为，即对函数连续求阶导数.例如，则，，若，则的展开式中的系数是（    ） A．210 B．255 C．280 D．360 【答案】A 【详解】由得：， 再继续求二阶导整理得：， 求三阶导整理得：， 此时可以把求函数的10阶导理解为十次方的二项式展开式， 则有的系数是， 故选：A. 【变式训练4】已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数为奇函数，则， 即，令，则， 所以，函数的对称中心为，且，① 在等式①中，令可得，解得， 在等式①中，令可得, 因为函数为偶函数，则， 令，可得，求导得， 则，② 由①②可得，令，则， 所以，函数是周期为的周期函数， 所以，. 故选：C. 【变式训练5】（多选）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：BCD 【变式训练6】（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 【变式训练6】[多选]下列求导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】[，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：BD 类型四、导数的几何意义 【变式训练1】已知直线的斜率为1，若与圆和曲线均相切，则（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】D 【详解】由直线的斜率为1，可设直线的方程为， 由直线与圆相切，所以，解得或， 又与曲线相切，设切点为，求导得，， 当，直线的方程为， 所以，解得， 当，直线的方程为， 所以，解得， 综上所述：或. 故选：D. 【变式训练2】曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称， 且反比例函数的图象也关于直线对称， 可知点关于直线对称，设，则， 设，则， 由题意可得：，解得或（舍去）， 可得，则，所以. 故选：A. 【变式训练3】已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 所以切线方程为， 因为直线过点，则， 化简得， 又因为切线有且仅有1条，即，解得或2， 故选：A 【变式训练4】曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】由， 不妨设，两切线的斜率分别为， 当时，则有，此时，显然， 因此不成立，不符合题意； 当时，则有，此时，显然， 因此不成立，不符合题意； 当，则有， 此时，变形得． 故选：A 【变式训练5】若直线与函数和的图象分别相切于点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】设，， 因为，， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 因为直线是两函数图象的公切线，所以， 由①可得，代入②得， 因为，所以，所以，， 所以. 故选：C． 【变式训练6】已知曲线，则（    ） A．直线与曲线相切 B．若直线与曲线相切，则 C．当曲线与曲线都相切时， D．当时，若过原点可作曲线的两条切线，则或 【答案】ACD 【详解】选项A：联立和2，得， 所以直线与曲线相切，故A正确； 选项B：由，得，由，得，故B错误； 选项C：由，得，令，得， 则，所以切线方程为，即，则， 令，得，则， 所以切线方程为，即，则， 所以，故C正确； 选项D：当时，，令， 则，设过原点的直线与曲线切于点， 则切线方程为， 将原点代入得，整理得， 则，解得或，故D正确. 故选：ACD. 1.（多选）下列命题正确的有（    ） A． B．已知函数在上可导，若，则 C．已知函数，若，则 D． 【答案】ACD 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，由，得，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 2．（多选）下列命题正确的有（   ） A． B．已知的数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【详解】，故A错误． 对于B,因为，若则，即，故B正确． 对于C,因为，故C错误． 对于D,因为，故，故，D正确． 故选：BD 3.（多选）下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【详解】对于因为函数在上可导，且， 所以，故错误. 对于因为，若则，即，故正确. 对于因为，故错误. 对于因为,故，故，正确. 故选: 4．（多选）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题得，所以即， 所以是奇函数，故， 又由得函数关于点对称，， 所以，故， 所以 ，即函数是周期为6的函数， 所以也是周期为6的函数，即， 由求导得即， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，由函数关于点对称得，故B错误； 对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确； 对于D，由得， 且即，且即， 且即， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 5．已知函数，则曲线在处的切线斜率为 . 【答案】 【详解】由， 可知， 所以. 故答案为：. 6．若直线为曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 设切点为，则切线方程为， 化简可得， 又因为是曲线y的切线，所以， 解得. 故答案为：. 7．某质点的位移函数是，则当时，它的瞬时速度是 . 【答案】4 【详解】因为，所以， 所以,即当时，它的瞬时速度是. 故答案为：4 8．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 . 【答案】 【详解】曲线在点处的切线与曲线相切于点， ， ∴曲线在点处的切线斜率， 曲线在点处的切线斜率， ∴曲线在点处的切线方程为， 或， ，即， ，易知，， . 故答案为：. 9．已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为 . 【答案】8 【详解】易知，依题意可得， 所以或（舍）， 因此时，液体上升高度的瞬时变化率为. 故答案为：8 10．若函数与在公共点处存在公共的切线，则 ． 【答案】 【详解】函数与的导数分别为与， 设公共点坐标为，则， 所以，又因为，故，，所以． 故答案为： 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$