专题08 正切函数的图象和性质8种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第三册）

专题08 正切函数的图象和性质 8种常考压轴题归类 知识点01 正切函数的定义 对于任意一个角x，只要，就有 唯一确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数． 知识点02 正切函数的性质 定义域、 值域 定义域为， 值域为 R 奇偶性 奇函数 周期 π 单调性 单调增区间(k∈Z) 零点 kπ，k∈Z 【解读】(1)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凸凹性． (2)正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．这一系列直线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交． (3)正切曲线是中心对称图形，其对称中心为，k∈Z. (4)正切曲线没有对称轴，但有无数条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z. 知识点03 正切函数的图像 (1)正切函数的图像 y＝tan x的图像如图． (2)正切函数的图像叫做正切曲线． (3)正切函数的图像特征 正切曲线是由通过点且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成． 压轴题型一：求正切函数的定义域 满分技法 正切函数 的定义域是 。对于形如 的函数,令 ,解出 的取值范围就是其义域。 注意要点:要准确找出使正切函数无定义的点,即 的解,同时要注意 1．（2025高一·全国月考）函数的定义域是(　　) A． B． C． D． 2．（2025高一·陕西渭南·期中）函数的定义域为 A． B． C． D． 3．（2025高一·湖北·期末）已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·河南安阳月考）函数的定义域为 A． B． C． D． 压轴题型二：正切函数的值域与最值 满分技法 正切函数的值域是,无最值。若函数为的形式,由于的值域是,所以可根据正切函数在该区间的单调性来确定值域。 注意要点:明确正切函数本身的取值范围是全体实数,在给定区间求值域时,要先判断该区间内正切函数的单调性 5．（2025高一·江苏泰州月考）下列函数的最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·云南昆明月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·江苏南通·期中）已知，恒成立，则实数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 8．（2004·广东）当时,函数的最小值是 A． B． C． D．4 9．（2025高一·全国月考）（1）函数的定义域是 ． （2）函数的值域为 ． 10．（2025高一·全国月考）已知函数，，则其值域为 . 11．（2025高一·上海月考）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 压轴题型三：正切函数的周期性 满分技法 函数的最小正周期。可根据周期的定义,通过计算来验证周期 注意要点:牢记正切函数周期的计算公式,对于复杂的函数形式,要正确提取出的值,同时注意绝对值的应用。 12．（2025·陕西渭南·模拟预测）下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025高一·河南·期末）若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（2025高一·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 15．（2025高一·重庆·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 压轴题型四：正切函数的奇偶性 满分技法 判断正切函数的奇偶性,可根据来判断即函数图像关于原点对称。对于 ,若,则函数为奇函数；若,则函数非奇非偶。 注意要点:先判断函数定义域是否关于原点对称,这是判断奇偶性的前提。然后根据正切函数的奇偶性性质及的值来准确判断函数的奇偶性. 16．（2025高一·云南曲靖·期末）已知为偶函数，则下列函数一定是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 17．（2025高一·四川眉山月考）已知，且，则 18．（2025高一·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． 压轴题型五：正切函数的对称性 满分技法 正切函数的对称中心是。对于,令,解出 的值,就得到函数的对称中心横坐标纵坐标为。 注意要点:不要混淆正切函数的对称中心与对称轴,正切函数不存在对称轴。同时要准确求解,得到正确的对称中心的坐标. 19．（2025高三·福建月考）已知函数的图象关于点 对称，则的单调递增区间为 . 20．（2025高三·内蒙古呼和浩特月考）函数的对称中心为 ． 21．（2025高一·河南许昌月考）已知函数，的部分图象如图，则 . 22．（2025高一·上海·期中）若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 23．（2024·全国·模拟预测）“函数的图象关于中心对称”是“”的 条件． 24．（2025高一·陕西宝鸡·期末）已知函数，则的对称中心为 . 压轴题型六：正切函数的单调性 满分技法 正切函数在上单调递增。对于y,当时,令 ,解出的范围就是单调递增区间；当时,先用诱导公式将化为正值再求单调区间 注意要点:注意的正负对单调性的影响,以及单调区间的表示要准确,不能写成并集形式,因为正切函数在整个定义域内不是连续单调递增的。 25．（2025高一·北京丰台·期末）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明为假命题的一个的值为 ． 26．（2024高三·全国月考）函数且在区间上单调递减，则函数在上的最大值与最小值的和为 ． 27．（2024高三·全国月考）已知函数的部分图象如图所示，其中，则 ；函数在不单调，则的取值范围为 ． 28．（2025高一·全国月考）若命题“对任意，函数的值恒小于”为假命题，则的取值范围为 ． 29．（2025高一·江西宜春月考）已知函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 30．（2025高二·云南曲靖·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数最小正周期为 B．定义域为 C．函数图象所有对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 压轴题型七：正切函数的图像及应用 满分技法 作正切函数图像常用“三点两线法”,三点是,,两线是直线为渐近线.对于,可通过平移可根据图像解决方程、不等式等问题如求的解,可通过观察图像与直线的交点来确定。 注意要点:要掌握正切函数图像的特征,包括渐近线、周期、单调性等。在进行图像变换时,要按照先伸缩后平移的顺序进行,并且注意变换的单位和方向。 31．（2025高一·广东深圳·期末）已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 32．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数若方程在上恰有4个不同实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（2025高一·陕西榆林月考）当，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 34．（2025高三·四川成都·期中）关于的方程在上有（   ）个实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 35．（2025高二·湖南长沙·期中）已知函数满足，若函数在上的零点为，则（   ） A． B． C． D． 36．（2025高三·福建漳州月考）已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 压轴题型八：正切函数图象与性质的综合应用 满分技法 综合运用正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性和对称性等性质来解决问题。例如,在求 解函数的最值、单调区间、对称轴(对称中心）等问题时,要结合各种性质进行分析;在解决与其他函数的综合问题时,要通过联立方程、分析函数图象的交点等方法来求解。 注意要点:对正切函数的各种性质要熟练掌握,能够灵活运用。在综合问题中要仔细分析题目条件,找准切入点，将问题转化为熟悉的正切函数性质问题来解决 37．【多选】（2025·新疆喀什·模拟预测）余切函数是三角函数的一种，表示为，余切函数与正切函数关系密切，它们之间的关系为．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．图象的对称中心为 C．的单调递减区间为 D．与的图象关于直线对称 38．【多选】（2025·江西新余·模拟预测）已知函数在某段区间内的大致图像如图，则下列说法正确的是：（     ）. A．， B．的单调区间为： C．在区间上有且仅有2个零点 D．先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移1个单位后是奇函数 39．【多选】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．不等式的解集为 40．【多选】（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其最小正周期为T，则（    ）    A． B． C．的一个单调递增区间为 D．为奇函数 41．【多选】（2025高三·河南周口·期末）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．图象的对称中心为 C．的单调递减区间为 D．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 一、单选题 1．（24-25高一上·吉林·期末）下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东·一模）已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（   ） A． B． C． D． 6．（2020·河北张家口·二模）若函数的部分图象如图所示，则函数可能为（    ） A． B． C． D． 7．（2021高一下·上海·专题练习）下列各命题中正确命题个数为（    ） ①函数在第一象限内是严格增函数； ②函数的最小正周期是； ③函数在上是奇函数； ④正切函数是严格增函数. A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2023·安徽马鞍山·一模）已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·全国·模拟预测）下列关于函数的四个结论中错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 二、多选题 10．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）已知函数，函数，则（    ） A．与有相同的对称中心 B．与有相同的周期 C．与在上有2个交点 D．函数在的值域为 11．（24-25高一下·四川资阳·阶段练习）对于函数给出下列四个结论，其中正确的是（   ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的定义域为 C．函数在上的最大值为 D．函数的最小正周期为 12．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示（分隔直线右侧函数的零点为），则下列说法正确的是（   ）    A．函数的最小正周期为 B． C． D．函数在上单调递增 13．（24-25高一下·陕西·阶段练习）下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递减的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数的图象经过点，若函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为 ． 15．（23-24高三上·湖北武汉·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 16．（24-25高一上·天津滨海新·期末）的定义域为 ；若，则 ． 17．（2025高三上·北京·专题练习）若在区间上是增函数，则的最大值是 . 18．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数图象上相邻两个对称中心的距离为，且，则函数的图象与函数（，且）的图象所有交点的横坐标之和为 19．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数关于点中心对称，则 ． 四、解答题 20．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）已知函数（）的最小正周期为． (1)求的单调递增区间； (2)若，，求． 21．（24-25高一上·安徽淮北·期末）设函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集. 22．（22-23高一·全国·课后作业）已知函数，其中，（，），的部分图像如下图． (1)求，，的值； (2)求的单调增区间， 23．（23-24高一下·河南·阶段练习）函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称． (1)求的单调区间； (2)求不等式的解集． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 正切函数的图象和性质 8种常考压轴题归类 知识点01 正切函数的定义 对于任意一个角x，只要，就有 唯一确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数． 知识点02 正切函数的性质 定义域、 值域 定义域为， 值域为 R 奇偶性 奇函数 周期 π 单调性 单调增区间(k∈Z) 零点 kπ，k∈Z 【解读】(1)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凸凹性． (2)正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．这一系列直线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交． (3)正切曲线是中心对称图形，其对称中心为，k∈Z. (4)正切曲线没有对称轴，但有无数条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z. 知识点03 正切函数的图像 (1)正切函数的图像 y＝tan x的图像如图． (2)正切函数的图像叫做正切曲线． (3)正切函数的图像特征 正切曲线是由通过点且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成． 压轴题型一：求正切函数的定义域 √满分技法 正切函数 的定义域是 。对于形如 的函数,令 ,解出 的取值范围就是其义域。 注意要点:要准确找出使正切函数无定义的点,即 的解,同时要注意 1．（2025高一·全国月考）函数的定义域是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式中真数大于零，列出不等式，从而求解. 【解析】由题意得， 即， 所以，， 所以，，故B项正确. 故选:B. 2．（2025高一·陕西渭南·期中）函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义域可知，化简即可求出. 【解析】因为， 所以 故函数的定义域为 ，选D. 【点睛】本题主要考查了正切型函数的定义域，属于中档题. 3．（2025高一·湖北·期末）已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别考虑和对取值的要求，取它们的交集得到函数的定义域. 【解析】已知函数的定义域为，对于，则有. 解得. 因为函数的定义域为，所以对于，有. 正切函数的周期是，在上单调递增，且，. 所以，. 解不等式，可得，即。； 解不等式，可得. 当时，；当时，. 综合前面两步，取与和的公共部分. 与的公共部分为；与的公共部分为. 所以函数的定义域为. 故选：B. 4．（2025高一·河南安阳月考）函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是考察复合函数定义域，既要考虑到三角函数的取值范围，也要考虑到带根号的式子的取值范围． 【解析】由题可知，， ，，   ， ． 【点睛】在解决求复合函数定义域问题的时候，要考虑到所有组合而成的基本函数的定义域以及相关的性质问题． 压轴题型二：正切函数的值域与最值 √满分技法 正切函数的值域是,无最值。若函数为的形式,由于的值域是,所以可根据正切函数在该区间的单调性来确定值域。 注意要点:明确正切函数本身的取值范围是全体实数,在给定区间求值域时,要先判断该区间内正切函数的单调性 5．（2025高一·江苏泰州月考）下列函数的最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式性质结合三角函数性质、二次根式性质和对勾函数性质即可逐项计算求解判断. 【解析】对于A，当时，，当且仅当即时等号成立， 当时，， 当且仅当即时等号成立.故A不符合； 对于B，因为，所以， 所以，当且仅当即时等号成立， 但，所以，故B不符合； 对于C，因为，函数在上单调递增， 所以，故C不符合； 对于D，因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立，故D符合. 故选：D. 6．（2025高三·云南昆明月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意得到在为增函数，，再根据当时，求解即可. 【解析】当时，， ， 所以在为增函数，. 当时，， 因为函数的值域为，所以. 故选：C 7．（2025高一·江苏南通·期中）已知，恒成立，则实数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用正切函数的性质求出的范围，再利用和角的正切及二倍角的正切公式化简并分离参数，借助对勾函数性质求出范围即得. 【解析】当时，，则， 于是，而，令， 函数在上单调递减，因此，即 依题意，，所以实数的最大值为2. 故选：C 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为， ①若，总有成立，则；②若，总有成立，则； ③若，使得成立，则；④若，使得成立，则. 8．（2004·广东）当时,函数的最小值是 A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】分子与分母同除以，得利用二次函数求最值即可解答 【解析】分子与分母同除以，得， 时，的最大值为 综上，的最小值为4 故选D 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题 9．（2025高一·全国月考）（1）函数的定义域是 ． （2）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】（1）由被开方数非负建立不等式，再结合正切函数图象可解； （2）令，换元法转化为求二次函数值域即可. 【解析】（1）要使有意义， 则，解得， 解得. 故函数的定义域是； （2）设，则， 当时，. 所以的值域是． 故答案为：；. 10．（2025高一·全国月考）已知函数，，则其值域为 . 【答案】 【分析】令，将原函数转化为关于t的二次函数，求出二次函数值域即得. 【解析】令，，显然在上单调递增，因此，， 则原函数化为：，而在上单调递增， 于是当，即时，，当，即时，， 所以原函数的值域为. 故答案为： 11．（2025高一·上海月考）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 【答案】/ 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【解析】因为，当时，，且， 所以，函数函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 压轴题型三：正切函数的周期性 √满分技法 函数的最小正周期。可根据周期的定义,通过计算来验证周期 注意要点:牢记正切函数周期的计算公式,对于复杂的函数形式,要正确提取出的值,同时注意绝对值的应用。 12．（2025·陕西渭南·模拟预测）下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性与单调性判断． 【解析】选项A中，选项B中，选项C中，选项D中，排除AB， 时，，递减，则递增， 时，，递增，则递减， 故选：C． 13．（2025高一·河南·期末）若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由函数的周期性求得解析式，进而求得其增区间，再由在区间上单调递增求解. 【解析】解：由题意知，解得，所以， 令，，解得，， 当时，可得在上单调递增， 又函数在区间上单调递增，所以， 即m的取值范围是． 故选：B 14．（2025高一·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答. 【解析】， 作出的图象，如图，观察图象， 对于A， 的最小正周期为，故A错误； 对于B，的值域为，B错误； 对于C，的图象没有对称中心，C错误； 对于D，不等式， 即时，得， 解得， 所以的解集为，故D正确. 故选：D. 15．（2025高一·重庆·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 【答案】/0.5 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【解析】因为函数的最小正周期为，所以，又因为，解得. 故答案为：. 压轴题型四：正切函数的奇偶性 √满分技法 判断正切函数的奇偶性,可根据来判断即函数图像关于原点对称。对于 ,若,则函数为奇函数；若,则函数非奇非偶。 注意要点:先判断函数定义域是否关于原点对称,这是判断奇偶性的前提。然后根据正切函数的奇偶性性质及的值来准确判断函数的奇偶性. 16．（2025高一·云南曲靖·期末）已知为偶函数，则下列函数一定是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件，结合偶函数定义逐项判定可得结论. 【解析】因为为偶函数，所以，设函数的定义域为， 所以函数，，的定义域为，定义域关于原点对称， 设，则， 所以函数为奇函数，A错误； 设，则， 所以函数为偶函数，C正确； 设，则，故，， 故，不是偶函数，D错误； 设，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，是奇函数，B错误； 故选：C. 17．（2025高一·四川眉山月考）已知，且，则 【答案】 【分析】根据题意可证，令运算求解即可. 【解析】由题意可知：的定义域为，关于原点对称， 且 ， 即， 显然，则， 即，解得. 故答案为：. 18．（2025高一·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． 【答案】 【分析】代入计算得到，再计算，得到答案. 【解析】，故， . 故答案为： 压轴题型五：正切函数的对称性 √满分技法 正切函数的对称中心是。对于,令,解出 的值,就得到函数的对称中心横坐标纵坐标为。 注意要点:不要混淆正切函数的对称中心与对称轴,正切函数不存在对称轴。同时要准确求解,得到正确的对称中心的坐标. 19．（2025高三·福建月考）已知函数的图象关于点 对称，则的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】由对称中心求得，再通过正切函数的单调区间整体代换即可. 【解析】令， 可得：，结合， 令，可得，得，解得， 再令，可得， 所以的单调递增区间为， 故答案为：. 20．（2025高三·内蒙古呼和浩特月考）函数的对称中心为 ． 【答案】 【分析】由正切函数的性质，令求，即可写出其对称中心． 【解析】由正切函数性质，令，可得． 函数的对称中心为． 故答案为：. 21．（2025高一·河南许昌月考）已知函数，的部分图象如图，则 . 【答案】 【分析】先求出周期，从而可得，根据可求得，最后由可得A，即可得的解析式和. 【解析】由题意可知：的最小正周期， 且，可得， 又因为， 且，则， 可得，即， 且，即， 可得， 所以． 故答案为：． 22．（2025高一·上海·期中）若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 【答案】 【分析】由正切和正弦函数的性质可知两函数的交点关于对称，作出图象，结合图象即可得出答案. 【解析】因为的对称中心为，， 的对称中心为，， 所以两函数的交点也关于对称，， 又因为函数，的最小正周期为， 作出两函数的在的图象，如下图， 由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为， 且， 其中关于对称，，关于对称，， 所以. 故答案为：. 23．（2024·全国·模拟预测）“函数的图象关于中心对称”是“”的 条件． 【答案】充分必要 【分析】先由函数的图象关于中心对称求得的值，再解方程求得的值，进而得到二者间的逻辑关系. 【解析】函数图象的对称中心为， 所以由“函数y=tanx的图象关于(x0,0)中心对称”等价于“”． 因为等价于，即． 所以“函数的图象关于中心对称”是“”的是充分必要条件． 故答案为：充分必要 24．（2025高一·陕西宝鸡·期末）已知函数，则的对称中心为 . 【答案】 【分析】根据正切函数的对称中心公式，结合整体法即可求解. 【解析】 ， 所以的对称中心为, 所以的对称中心为. 故答案为：. 压轴题型六：正切函数的单调性 √满分技法 正切函数在上单调递增。对于y,当时,令 ,解出的范围就是单调递增区间；当时,先用诱导公式将化为正值再求单调区间 注意要点:注意的正负对单调性的影响,以及单调区间的表示要准确,不能写成并集形式,因为正切函数在整个定义域内不是连续单调递增的。 25．（2025高一·北京丰台·期末）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明为假命题的一个的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据正切函数的单调性、周期性及任意角的定义求解即可. 【解析】因为在上单调递增，若，则， 又为第一象限角， 取， 则，由为假命题，则， 令，，则，满足题意. 故答案为：（答案不唯一）. 26．（2024高三·全国月考）函数且在区间上单调递减，则函数在上的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【分析】先根据函数单调性得出或，再分情况检验得出，再应用余弦函数性质求出最值即可. 【解析】设的最小正周期为，则，则． 因为且在上单调递减， 而函数在上单调递增， 所以，又，所以或． ①当时，， 即，符合题意； ②当时，， 结合正切函数图象可知，则函数在上不单调，不符合题意． 故，所以， 则， 当时，， 所以，，所以． 故答案为：. 27．（2024高三·全国月考）已知函数的部分图象如图所示，其中，则 ；函数在不单调，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数周期可得，代入点可得；根据解析式，分和两种情况，去绝对值化简函数解析式，结合正切函数单调性分析求解即可. 【解析】由可知函数的最小正周期，解得， 又，故． 由图象得，且，则； 所以， 当时，，， 则， 当时，，， 则， 要使其不单调，只需，解得， 的取值范围是． 故答案为：；． 28．（2025高一·全国月考）若命题“对任意，函数的值恒小于”为假命题，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将问题转化为存在量词命题为真，进而借助单调性求出最大值即可. 【解析】依题意，，函数的值不小于， 而正弦函数和正切函数在区间上都单调递增， 则函数在上单调递增，当时，，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 29．（2025高一·江西宜春月考）已知函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，，判断函数在上的单调性，结合单调性判断，，的大小，由此可得结论. 【解析】因为， 所以，， 因为函数，在上都单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 所以， 所以， 故选：D. 30．（2025高二·云南曲靖·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数最小正周期为 B．定义域为 C．函数图象所有对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【答案】D 【分析】利用周期公式计算可得A错误，由正切函数定义域可判断B错误，根据对称中心方程可得C错误，再由正切函数单调性计算可得D正确. 【解析】对于A，由可得，所以函数最小正周期为，即A错误； 对于B，由正切函数定义域可得，解得； 可得的定义域为，即B错误； 对于C，利用对称中心方程可得，解得, 因此函数图象所有对称中心为，，可知C错误； 对于D，根据正切函数单调性可得， 解得， 所以函数的单调递增区间为，可得D正确. 故选：D 压轴题型七：正切函数的图像及应用 √满分技法 作正切函数图像常用“三点两线法”,三点是,,两线是直线为渐近线.对于,可通过平移可根据图像解决方程、不等式等问题如求的解,可通过观察图像与直线的交点来确定。 注意要点:要掌握正切函数图像的特征,包括渐近线、周期、单调性等。在进行图像变换时,要按照先伸缩后平移的顺序进行,并且注意变换的单位和方向。 31．（2025高一·广东深圳·期末）已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象及零点存在定理判断即可. 【解析】在同一坐标系内，作，图象，如图，      由图象可排除AB选项， 又, ， ， 所以由零点存在定理及图象可知，函数在上无零点，在上有零点， 所以C错误，D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：结合函数图象可判断函数只有一个零点，再由零点存在定理判断零点所在区间. 32．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数若方程在上恰有4个不同实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解出方程的根，然后结合根的个数列不等式求解即可. 【解析】因为函数 所以当时，方程可化为，解得， 则当时， 当时，方程可化为， 解得， 则当时， 因为方程在上恰有4个不同实根， 所以这4个不同实根为，则. 故选：A 33．（2025高一·陕西榆林月考）当，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意作出，在同一坐标系下的图象求得交点个数可得. 【解析】由，得， 作出，，的图象， 由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4. 故选：B. 34．（2025高三·四川成都·期中）关于的方程在上有（   ）个实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将方程化为，令，，利用数形结合法求解. 【解析】解：当时，，原方程化为. 令，， 则原方程的解的个数即为函数与的图象在上的交点个数. 作出函数和的大致图象如图， 则在上单调递增，，，， 由图可知函数和在上有3个交点， 即原方程在上有3个实数根. 故选：C. 35．（2025高二·湖南长沙·期中）已知函数满足，若函数在上的零点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程组法求得，判断其奇偶性，再结合函数图形即可判断. 【解析】由，可得， 解得，易知为奇函数，故的图象关于原点对称， 则函数在上的图急关于原点对称， 故函数在上的零点也关于原点对称，和为0， 在上的零点和即为上的零点和， 令，得， 作出和在同一坐标系中的图象，可知在内的零点有， 故零点之和为 故选：B 36．（2025高三·福建漳州月考）已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正切型函数的图象性质计算即可得. 【解析】当时，， 则由题意可得在上有3个实数根， 即可得， 解得，即的取值范围是. 故选：C. 压轴题型八：正切函数图象与性质的综合应用 √满分技法 综合运用正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性和对称性等性质来解决问题。例如,在求 解函数的最值、单调区间、对称轴(对称中心）等问题时,要结合各种性质进行分析;在解决与其他函数的综合问题时,要通过联立方程、分析函数图象的交点等方法来求解。 注意要点:对正切函数的各种性质要熟练掌握,能够灵活运用。在综合问题中要仔细分析题目条件,找准切入点，将问题转化为熟悉的正切函数性质问题来解决 37．【多选】（2025·新疆喀什·模拟预测）余切函数是三角函数的一种，表示为，余切函数与正切函数关系密切，它们之间的关系为．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．图象的对称中心为 C．的单调递减区间为 D．与的图象关于直线对称 【答案】BCD 【分析】根据诱导公式可得，即可利用正切函数的性质，结合选项逐一求解. 【解析】由于， 故定义域满足,故，解得，故A错误， 对于B，，令,所以，故对称中心为，B正确， 对于C, ,令,解得，故C正确， 对于D, ,则，所以与的图象关于直线对称，D正确， 故选：BCD 38．【多选】（2025·江西新余·模拟预测）已知函数在某段区间内的大致图像如图，则下列说法正确的是：（     ）. A．， B．的单调区间为： C．在区间上有且仅有2个零点 D．先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移1个单位后是奇函数 【答案】BC 【分析】根据图形求出判定A；设，求出单调区间判定B；通过图像法求解判定C；.图象变换后得到不是奇函数判定D. 【解析】对于A，，故  ，上两点有对称中心 ，故有渐近线，所以，由于不影响的取值，不妨令其为0，而，所以，，A错误. 对于 B，不妨设，，B正确. 对于C，x轴以下的图象翻折上去，作出的图像，与直线有2个交点，C正确. 对于D，变换后：不是奇函数，D错误， 故选：BC. 39．【多选】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】直接代入计算可判断A；根据正切函数周期性可判断B；根据正切函数的对称性，整体代入求解可判断C；利用正切函数单调性解表示可判断D. 【解析】对A，，A正确； 对B，的最小正周期，B错误； 对C，由得， 所以图象的对称中心为，C正确； 对D，由得， 所以，解得，D正确. 故选：ACD 40．【多选】（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其最小正周期为T，则（    ）    A． B． C．的一个单调递增区间为 D．为奇函数 【答案】ABD 【分析】根据图象过点求出的值可判断A；求出周期可判断B；求出函数的单调增区间可判断C；求出的解析式，结合诱导公式和奇偶性的概念可判断D. 【解析】由题图可得，所以， 因为，所以当时，，所以，故A正确； ，故B正确； 由，得， 取，可得函数的一个单调递增区间为，故C错误； 因为，，且定义域关于原点对称， 所以为奇函数，故D正确． 故选：ABD 41．【多选】（2025高三·河南周口·期末）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．图象的对称中心为 C．的单调递减区间为 D．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 【答案】BC 【分析】利用正切函数的定义域性质判断A，利用整体代入法求解对称中心判断B，利用整体代入法求解单调递减区间判断C，利用函数平移的性质判断D即可. 【解析】对于A，由正切函数性质得， 令，解得， 则的定义域不为，故A错误， 对于B，令，解得， 则图象的对称中心为，故B正确， 对于C，令， 解得， 则的单调递减区间为，故C正确， 对于D，， 则的图象向左平移个单位后得不到函数的图象，故D错误. 故选：BC 一、单选题 1．（24-25高一上·吉林·期末）下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式可直接判断出单调性和奇偶性. 【详解】对于A：为奇函数且在上单调递增，满足题意； 对于B：为非奇非偶函数，不合题意； 对于C：为非奇非偶函数，不合题意； 对于D：在整个定义域内不具有单调性，不合题意. 故选：A. 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的周期性、奇偶性逐一判断即可. 【详解】选项A：是奇函数，不满足题意； 选项B：令，定义域为，关于原点对称， 因为，， 所以既是周期函数又是偶函数，满足题意； 选项C：画出的图象如图所示， 则不是周期函数，不满足题意； 选项D：令，则， 所以不是偶函数，不满足题意； 故选：B 3．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由计算出的取值范围，根据正切函数的单调性可得出，由此可得出关于的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】当时，由于，则， 因为在区间上单调递增，则， 所以，，解得，因此，的取值范围为. 故选：A. 4．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题在上单调，结合正切函数的单调性即可求解. 【详解】由的定义域为， 时，， 结合正切函数的单调性可知， 解得， 由可知， 由可知，即， 即，而，故只能为0或1， 时，结合可知；时，， 于是. 故选：D 5．（2025·广东·一模）已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求函数的周期，举例说明函数的单调性不满足要求，排除A，证明为函数的周期，再判断函数在上的单调性，判断B，举例说明函数的单调性不满足要求，排除C，结合函数定义域，排除D. 【详解】对于A，，但，， 所以函数在上不单调递增，不符合题意； 对于B，， 所以函数的周期为， 当时，，因为， 函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，同理可得函数在上单调递减， ，所以函数的最小正周期为，B正确； 对于C，因为，， 所以函数在上不单调递增，不符合题意； 对于D，函数的定义域为，， 所以结论函数在单调递增错误，不符合题意； 故选：B. 6．（2020·河北张家口·二模）若函数的部分图象如图所示，则函数可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象可知函数为奇函数，且当时，，逐项判断各选项中函数的奇偶性及其在区间上的函数值符号，结合排除法可得合适的选项. 【详解】由图象可知函数为奇函数，且当时，. 对于A选项，，该函数为偶函数，A选项不符； 对于C选项，函数为偶函数，C选项不符； 对于B选项，，该函数为奇函数，且当时，，，此时，合乎题意； 对于D选项，函数为奇函数，当时，，D选项不符. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的图象确定函数解析式，一般从函数的定义域、单调性、奇偶性、零点以及函数值符号来进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7．（2021高一下·上海·专题练习）下列各命题中正确命题个数为（    ） ①函数在第一象限内是严格增函数； ②函数的最小正周期是； ③函数在上是奇函数； ④正切函数是严格增函数. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，结合正弦和正切函数图像性质，一一判断即可. 【详解】对于①，在第一象限内取和，因，所以函数在第一象限内不是严格增函数，故①错； 对于②，函数的最小正周期是，故②错； 对于③，由区间不关于原点对称，可知函数在上不是奇函数，故③错； 对于④，由，，可知正切函数不是严格增函数，故④错. 故选：A. 8．（2023·安徽马鞍山·一模）已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求，再根据,求的范围，结合正切函数的图象，列不等式，即可求的取值范围. 【详解】由条件可知，，所以， ，当时，， 若函数在区间上恰有2个零点，则， 解得. 故选：D 9．（2024·全国·模拟预测）下列关于函数的四个结论中错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义判断A；根据函数的周期判断B；根据函数的对称轴判断C；根据复合函数的性质或切化弦判断D 【详解】由，得且， 因为，所以函数为奇函数， 所以的图象关于原点对称，所以选项A正确． 因为， 所以是函数的一个周期， 由选项A知点是函数的图象的对称中心， 则也是函数的图象的对称中心，所以选项B正确． 因为， 所以函数的图象关于直线对称，所以选项C正确． 方法一：因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 由复合函数的性质可知，函数在区间上单调递减，所以选项D错误． 方法二：因为，所以在区间上单调递减， 所以选项D错误． 故选：D． 二、多选题 10．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）已知函数，函数，则（    ） A．与有相同的对称中心 B．与有相同的周期 C．与在上有2个交点 D．函数在的值域为 【答案】AB 【分析】求出两个函数的对称中心即可判断选项A；求出两个函数的周期即可判断选项B；作出两个函数的图像即可判断选项C；将解析式化简得到，令，求解值域即可判断选项D. 【详解】对于A，由，，所以的对称中心为， 由得，所以的对称中心为， 故与有相同的对称中心，故A正确； 对于B，的周期为且的周期为且， 故与有相同的周期，故B正确； 对于C，画出与的图象可得两函数在有1个交点，故C错误； 对于D，由，则， 则 ，且 令，即在内单调递减， 故，故D错误. 故选：AB. 11．（24-25高一下·四川资阳·阶段练习）对于函数给出下列四个结论，其中正确的是（   ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的定义域为 C．函数在上的最大值为 D．函数的最小正周期为 【答案】BC 【分析】对A，求出函数的对称中心判断；对B，求出函数的定义域判断；对C，根据正切函数的单调性求出函数值域判断；对D，利用周期公式求出周期判断. 【详解】对于A，由，令，得， 所以的对称中心为，故A错误； 对于B，由题得，即， 所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，当时，，所以， 所以函数在上的最大值为，故C正确； 对于D，函数的最小正周期为，故D错误. 故选：BC. 12．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示（分隔直线右侧函数的零点为），则下列说法正确的是（   ）    A．函数的最小正周期为 B． C． D．函数在上单调递增 【答案】BC 【分析】根据给定的函数图象，求出周期及，进而求出解析式，再根据正切函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由图可知，函数的最小正周期，故A错误； 对于B，由，所以， 因为，则，则， 因为，则，故B正确； 对于C，，又，所以， 所以， 所以，故C正确； 对于D，由，得， 而，即时，没有意义，故D错误； 故选：BC. 13．（24-25高一下·陕西·阶段练习）下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递减的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用正弦函数、余弦函数、正切函数的性质逐项分析判断. 【详解】当时，， 对于A，函数在上不单调，A不是； 对于B，函数的最小正周期为，在上单调递减，B是； 对于C，函数的最小正周期为，当时，在上单调递减，C是； 对于D，函数的最小正周期为，当时，在上单调递减，D是. 故选：BCD 三、填空题 14．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数的图象经过点，若函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查正切函数的图象及性质，将已知点带入函数解析式，结合可得的值，再由，可得的取值范围，根据函数在区间上恰有2个零点，可得的取值范围，进一步确定的取值范围. 【详解】已知函数图象过点，代入函数解析式可得， ∵可得， ∴, ∵，则, 若函数在区间上恰有2个零点， 则， 解得. 故答案为：. 15．（23-24高三上·湖北武汉·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用命题为真命题由正切函数单调性即可求得，可知为假命题时实数的取值范围是. 【详解】若命题“，”是真命题，可得即可； 易知在上单调递增， 所以，可得； 又因为该命题是假命题，所以可得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 16．（24-25高一上·天津滨海新·期末）的定义域为 ；若，则 ． 【答案】 3 【分析】空一：根据正切型函数的定义域进行求解即可；空二：根据两角和的正切公式进行求解即可． 【详解】空一：由函数解析式可知：， 所以该函数的定义域为：； 空二：因为， 所以． 故答案为：；3． 17．（2025高三上·北京·专题练习）若在区间上是增函数，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】化简函数，根据在区间上是增函数得到的范围，再根据的范围即可求出结论. 【详解】， 当时，， 因为在区间上是增函数， 所以，则， 所以， 则的最大值是， 故答案为：. 18．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数图象上相邻两个对称中心的距离为，且，则函数的图象与函数（，且）的图象所有交点的横坐标之和为 【答案】12 【分析】先已知求函数解析式，然后作图，利用对称性求解可得. 【详解】解：由已知得的最小正周期为3，即，， 则． 又，即，，， ，，， 又，的图象关于点中心对称， 作出和（，且）的图象如图所示， 可知两函数图象共有6个交点，且关于点中心对称， 故这6个交点的横坐标之和为． 故答案为：12    19．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数关于点中心对称，则 ． 【答案】 【分析】由对称中心求得，再通过诱导公式可求的值. 【详解】令，可得：，结合， 令，可得，得，解得， 所以， 所以 . 故答案为：. 四、解答题 20．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）已知函数（）的最小正周期为． (1)求的单调递增区间； (2)若，，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助正切函数的周期性可得的解析式，利用正切型函数的单调性计算即可得； （2）借助同角三角函数基本关系可得，结合诱导公式即可得解. 【详解】（1）由题可知，解得，所以， 令，， 可得，， 所以的单调递增区间为，； （2），即， 因为，所以， 所以， 所以． 21．（24-25高一上·安徽淮北·期末）设函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整体代入法，根据正切函数的定义域，即可求出结果； （2）利用整体代入法，根据正切函数的单调性，即可求出结果； （3）由题意可得，结合函数图象与性质可知，解不等式即可求出结果. 【详解】（1）函数中， 令，，解得，， 所以函数的定义域为； （2）由， 所以函数的单调递增区间为 ， （3）不等式可化为， 解得，， 即，； 所以不等式的解集为， 22．（22-23高一·全国·课后作业）已知函数，其中，（，），的部分图像如下图． (1)求，，的值； (2)求的单调增区间， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数图像上的特殊点求得，，的值. （2）利用整体代入法求得的递增区间. 【详解】（1）根据函数图像可知，， 所以， 过点和点， 所以， 由于，所以， 则，所以， 所以. （2）由， 解得， 所以的单调递增区间为. 23．（23-24高一下·河南·阶段练习）函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称． (1)求的单调区间； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)单调递增区间为，，无单调递减区间； (2). 【分析】（1）由三角函数的性质求出，令，即可求出的单调区间； （2）由，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由题意知，函数的最小正周期为， 因为，所以，所以 因为函数的图象关于点对称， 所以，，即，， 因为，所以，故． 令，，得，， 所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间． （2）由（1）知，．由， 得，， 即，   所以不等式的解集为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$