7.4.1 二项分布（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

7.4.1 二项分布 第七章 随机变量及其分布 人教A版2019选择性必修第三册 前情回顾 0 离散型随机变量的均值: 一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示， 则称为随机变量 的均值或数学期望，数学期望简称期望； 数学期望的性质: 若 是两个随机变量, 且, 则：， 即随机变量 的线性函数的均值等于这个随机变量的均值的同一线性函数. 前情回顾 0 离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示， 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中； 方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 为随机变量的方差，有时也记为， 并称为随机变量的标准差，记为. 方差的性质: 1. 若X，Y 是两个随机变量, 且Y＝aX+b, 则：D(Y )=D(aX＋b)=a2D(X ) 2. D(X )=E(X2)－E(X)2 学习目标 1 2 3 理解n重伯努利试验的概念，掌握二项分布． 理解和掌握二项分布方差． 能利用n重伯努利试验及二项分布解决简单的实际问题． 0 新课引入 0 1、两点分布列 X 0 1 P 1－p p 2、二项展开式的通项第k+1项为： 前面我们学习了离散型随机变量的有关知识，接下来我们将利用这些知识研究两类重要的概率模型——二项分布与超几何分布. 还有什么模型呢？ 读教材 0 阅读课本P72-P76，5分钟后完成下列问题： 1.伯努利实验与0－1分布的区别与联系？ 我们一起来探究“二项分布”吧！ 2.二项分布的定义、方差和数学期望分别是什么？ 01 03 02 目录 1 伯努利实验与二项分布 学习过程 2 二项分布的数字特征 3 题型训练 1 新知探究 探究1 下列一次随机试验的共同点是什么？ 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (1)投掷一枚质地均匀的硬币的结果： (2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，射击结果： (3)一批产品的次品率为5%，随机抽取1件的结果： 正面向上或反面向上； 中靶或脱靶； 合格或不合格； 只包含两个结果的试验 只关注事件A是否发生 1 新知探究 探究1 下列随机试验各结果发生的随机变量取值有哪些？ 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为: n重伯努利试验. (1)投掷一枚质地均匀的硬币10次； (2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次； (3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件： 正、反面朝上的次数的可能取值为：1到10 中、脱靶的次数的可能取值为：1，2，3； 合格、不合格件数的可能取值为：1到20； 只关注事件A发生的次数X及其概率 1 伯努利实验的概念辨析 (1)同一个伯努利试验重复做n次；(2)各次试验的结果相互独立. 伯努利试验: 把只包含两个可能结果的 试验叫做伯努利试验. n重伯努利试验: 将一个伯努利试验独立地 重复进行n次所组成的 随机试验称为n重伯努利试验. n重伯努利试验的特征: n重伯努利试验中，每次试验的结果不受其他试验结果的影响，即各次实验相互独立：即 P(A1A2···An)＝P(A1)P(A2)···P(An) (1)各次试验中的事件是相互独立的；(2)每次试验都只有两种结果：发生与不发生； (3)每次试验，某事件发生的概率是相同的. 1 新知探究 探究2 在n重伯努利试验中，我们关注某个事件A发生的次数X及概率. 因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是X的分布列. 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次，求中靶次数X的概率分布列？ 用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)， 用如图的树状图表示试验的可能结果： 由分步乘法计数原理， 3次独立重复试验 共有23=8种可能结果 1 新知探究 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次，求中靶次数X的概率分布列？ 解：用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)， 则X的概率分布列为： 各次中靶相互独立，于是，中靶次数X的分布列： . 1 新知探究 问题1：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击5次，中靶次数X=2 的概率是多少？ 问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击n次，求中靶次数X 的概率分布列？ 问题3：在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p，求事件A 发生的次数X的概率分布列？ 1 新知1－－二项分布 二项分布的定义 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率p(0<p<1)， 用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为: 事件A发生的次数 事件A发生的概率 试验总次数 如果随机变量X的分布具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X~B(n，p). 学以致用 例1 判断下列试验是否为n重伯努利试验？ (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋装有5个白球，3个红球，2个黑球，从中依次抽取5个球，恰好抽出4个白球； (4)口袋装有5个白球，3个红球，2个黑球，有放回的抽取5个球，恰好抽出4个白球. 质地不同，同一事件发生的概率不同，所以不是 依次抽取，每次抽中白球的概率不同，所以不是 概率稳定，同一事件发生的概率相同，所以是 有放回抽取，每次抽中白球的概率相同，所以是 学以致用 例2 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才算通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 解：根据题意，该同学通过测试的两种情况分别为投中2次和投中3次， 故选A. A 学以致用 例3 有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有1位同学通过测试的概率为（ ） A.(1－p)n B.1－pn C.pn D.1－(1－p)n 解：所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n， 则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n. D 学以致用 D 思路点拨 n重伯努利试验的判断依据： 1 是否可重复：要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行； 2 是否独立：每次试验相互独立，互不影响； 3 结果是否只有两种：每次试验都只有两种结果，即事件发生，不发生； 01 03 02 目录 学习过程 3 题型训练 1 伯努利实验与二项分布 2 二项分布的数字特征 1 新知探究 探究2 随机变量X服从二项分布，X~B(n，p)，则求其数学期望？ X 0 1 ··· k ··· n P ··· ··· 证明：由，可得 令，令， D(X )=E(X2)－E(X)2 则. 2 新知2－－二项分布的数字特征 二项分布的数字特征 对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关心它的均值和方差等数字特征.因此，一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差的公式为： 一般地，如果，那么，. 确定二项分布模型的步骤： 1 确定概率：明确伯努利试验及事件的意义，确定事件发生的概率； 2 确定模型：明确重复试验的次数，并判断各次试验的独立性； 3 写分布：设为重伯努利试验中事件发生的次数，则； 学以致用 例1 已知小明投10次篮，每次投篮的命中率均为0.7，记10次投篮中 命中的次数为X，则D(X)＝_____. 解：由题意得，知X～B(10,0.7)，则D(X)＝10×0.7×(1－0.7)＝2.1. 2.1 例2 设X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于（ ） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 解：∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D. D 学以致用 ABD 解:∵P(ξ＝0)＋P(ξ≥1)＝1， 思路点拨 离散型随机变量分布列的性质： (1)离散型随机变量X的概率和等于1； (2) (3)； (4)，那么 01 03 02 目录 学习过程 3 题型训练 1 伯努利实验与二项分布 2 二项分布的数字特征 3 例1 在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的 概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是（ ） A.[0.4,1) B.(0,0.4] C.(0,0.6] D.[0.6,1] 题型1－－二项分布的应用 解得p≥0.4，又∵0<p<1，∴0.4≤p<1，故选A. A 3 例2 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为 ，没有平局. (1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者胜，甲获胜的概率是多少？ 题型1－－二项分布的应用 解：甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜， 3 例2 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为 ，没有平局. (2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？ 题型1－－二项分布的应用 解：甲前三局胜，或甲第四局胜，而前三局仅胜两局， 或甲第五局胜，而前四局仅胜两局， 3 例3 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是 ，出现绿灯的概率都是 ；记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求ξ＝2时的概率？ 题型1－－二项分布的应用 解：依题意知，ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯， 3 例3 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是 ，出现绿灯的概率都是 ；记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(2)求ξ的均值？ 题型1－－二项分布的应用 解：方法一　ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，∴ξ的分布列为： 3 例3 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量 都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率？ 题型1－－二项分布的应用 解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”， A2表示事件“日销售量低于50个”， B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量 不低于100个且另1天的日销售量低于50个”. 因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15， P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. 3 例4 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数， 求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)？ 题型1－－二项分布的应用 解：(2)则X的分布列服从二项分布X～B(3,0.6)， 所以均值E(X)＝3×0.6＝1.8， 方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 课堂小结 二项分布的定义 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率p(0<p<1)， 用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为: 事件A发生的次数 事件A发生的概率 试验总次数 如果随机变量X的分布具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X~B(n，p). 课堂小结 二项分布的数字特征 对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关心它的均值和方差等数字特征.因此，一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差的公式为： 一般地，如果，那么，. 确定二项分布模型的步骤： 1 确定概率：明确伯努利试验及事件的意义，确定事件发生的概率； 2 确定模型：明确重复试验的次数，并判断各次试验的独立性； 3 写分布：设为重伯努利试验中事件发生的次数，则； 所以所求概率为P＝C×0.62×(1－0.6)＋C×0.63＝0.648. 解:∵随机变量X～B， ∴P(X＝2)＝C×2×3. 例4 若随机变量X～B，则P(X＝2)等于（ ） A.2×3 B.2×3 C.C×2×3 D.C×2×3 (1－p)n (1－p)n-1 pn (1－p)n-k ∴C(1－p)2＋＝1，∴p＝. ∴E(ξ)＝2×＝，D(η)＝3××＝. P(η≥2)＝Cp3＋Cp2(1－p)＝＋＝. 例3 (多选)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则（ ） A.p＝ B.E(ξ)＝ C.D(η)＝1 D.P(η≥2)＝ 解：由题意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2， 则P＝2＋×××＝. 则P＝3＋C×2××＋C×2×2×＝. 而每盏灯出现红灯的概率都是， 故ξ＝2时的概率P＝C22＝. ξ 0 1 2 3 4 P ∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 方法二　∵ξ服从二项分布，即ξ～B， ∴E(ξ)＝4×＝. $