数学（北京卷01）-学易金卷：2025年高考第三次模拟考试

2025年高考数学第三次模拟考试 高三数学·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C D A A D B C A 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12． 13． 14． 10 52 15．①③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分） 【答案】（1）    取中点，连接， 因为，所以， 为的中点，所以为的中位线，所以， 又，所以四边形为平行四边形，有， 又因为平面平面，则， 由于平面，所以平面， 又因为，所以平面．......................6分 （2）解法一：由（1）可知：两两垂直，如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 在中，由余弦定理可得：，则， 于是， 则， 设平面， 于是，即， 令，则， 设直线与平面所成角为， 那么， 即直线与平面所成角的正弦值为．......................13分    解法二：在中，由余弦定理可得：，则， 如图，连接，由（1），平面平面，则， 又因为，四边形为正方形，为的中点，， 由于平面，则平面， 如图，记，过点作，连接， 由于平面平面，则， 又因为平面，则平面， 所以即为直线与平面所成角，由于， 则， 由于，则为的三等分点，则， 于是， 即直线与平面所成角的正弦值为．......................13分    解法三：设直线与平面所成角为，点到平面的距离为，则， 在中，，则， 过作交的延长线于，易得， 且易证平面， 由于，则， 在中，，且， 又，则．......................13分    17．（满分13分） 【答案】（1）由山上试验田4株古茶树产茶量数据， 得样本平均数， 则山上试验田株古茶树产茶量估算为；.....................3分 （2）山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和， 故方差，， 故；......................7分 （3）依题意，随机变量可以取， 随机变量的分布列为 9 8 7 6 5 4 随机变量的期望.......................13分 18．（满分14分） 【答案】（1）． （1）若选条件①，直线是函数图象的任意两条对称轴， 且的最小值为，则，解得，则． 若选条件②，则，则． 因此．又，所以，则． 若选条件③，对任意的， 则有，解得， 又，所以，则．......................5分 （2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象， 再将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍， 纵坐标不变，得到图象． 由，得． 即函数的单调递增区间为， 又，所以函数在上单调递增，在上单调递减； 因为， 因为关于的方程在区间上有且只有一个实数解， 所以函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点， 则或．......................14分 19．（满分15分） 【答案】（1）将代入函数中，，由，所以， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为.......................6分 （2）任意都有成立， 即，即， 令，则， 令，， 在上恒成立，即在上单调递增．......................9分 又，，故在内有零点，设零点为， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 且，则，所以， 设，，，所以在单调递增， 所以，，，即，所以， 所以最小值，所以，即实数a的取值范围是．......................15分 20．（满分15分） 【答案】（1）设椭圆的半焦距为c，则， 而点到的距离的取值范围为， 因此，解得，， 所以的标准方程为.....................4分 （2）①由（1）知点，设直线的方程为，， 由消去得， ，， 则，线段的中点， 直线的斜率，直线交直线于点， 因此直线的斜率，即，则直线与直线垂直， 所以.......................9分 ②由①知， ， 直线的方程为，同理得， 因此四边形的面积， 而，当且仅当，即时取等号， 则， 所以四边形面积的最小值为3.......................15分 21．（满分15分） 【答案】（1），.......................4分 （2）采用数学归纳法证明， 当时，，显然存在， 假设当时，都存在一个或若干个互不相邻互不相同的正整数，使得， 当时，设是满足的最大正整数，则， 因为（若，则与是满足的最大正整数矛盾）， 且由归纳假设可以表示成的形式， 其中互不相邻且与也不相邻（因为， 所以也可以表示成若干个互不相邻互不相同的的和；......................7分 再证明唯一性：假设， 不妨设， 设， 根据数列的增长性质，得单调递增且增长速度由递推关系决定， 从最大项开始分析，若，不妨设，则， 因为的增长使得前面项的和小于较大的项，故矛盾，所以， 去掉这一项后继续比较剩下的和，以此类推可得且；......................9分 （3）首先构造集合，设是以1，2为首项的数列构成的集合， 根据－数列的递推公式， 则，，， ,， 以此类推可得， 然后构造集合，为了保证，从正整数集中去掉的元素后，取最小的正整数4作为的首项，再取一个不同于中元素的数作为第二项，不妨取6，则，，，，依此类推， 则是以4为首项的数列构成的集合，即， 再构造集合，在正整数集中去掉的元素，此时最小的正整数为7，取7作为的首项，再取一个合适的数如9作为第二项，则，，，,， 那么是以7为首项的数列构成的集合，即， 按照上述方法，不断地在正整数集中去掉前面以构造集合的元素，然后取剩余最小正整数作新集合的首项，再选取一个合适的数作为第二项，依据数列的递推公式生成新的集合，由于每次构造新集合时，都是从前面集合未包含的正整数中选取元素，所以对于任意都有， 因为是按照正整数从小到大的顺序，依次将正整数分配到不同的集合中，所以，在构造每个集合时，都是根据－数列的递推公式来生成集合内的元素，所以每个集合的数从小到大排列之后都是数列，......................14分 综上，能将正整数集拆成若干个集合（可以是无穷个集合），使得对于任意，都有，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是－数列......................15分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第三次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．若直线被圆所截得的弦的长度为，则（   ） A． B． C．或 D．或 4．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 5．已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（    ） A．60 B． C．448 D． 6．若双曲线过点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：，则该数列的第16项为（    ） A．196 B．197 C．198 D．227 8．如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 9．如图，正方形的边长为1，取正方形各边的四等分点，得到第2个正方形，再取正方形各边的四等分点，得到第3个正方形，依此方法一直进行下去，若从第个正方形开始它的面积小于第1个正方形面积的，则（    ）（参考数据：） A．8 B．9 C．10 D．11 10．已知函数，，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为 ． 12．已知，且，则 ． 13．已知抛物线上有一点P到焦点的距离为3，则P到y轴的距离为 ． 14．在平面四边形中，，，，，则 ；若点是的中点，则当取得最大值时，四边形的面积为 . 15．双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美．在平面上，把与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线，则下列说法正确的是（   ） ①．双纽线的图象关于原点对称 ②．双纽线的方程为 ③．双纽线上任意一点到坐标原点的距离都不超过 ④．若直线与双纽线只有一个公共点，则实数的取值范围为 3、 解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （满分13分）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 17． （满分13分）为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示： 编号位置 ① ② ③ ④ 山上 5 4 4 3 山下 4 2 2 1 (1)根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量； (2)记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）； (3)从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望. 18．（满分14分）给出以下三个条件：①直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的． 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 已知函数，_____． (1)求的表达式； (2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． 19．（满分15分）已知函数（其中）． (1)当时，求的单调区间； (2)对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 20．（满分15分）已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. (1)求的标准方程； (2)设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 21．（满分15分）对于各项均为正整数的数列，如果，给定，且对于任意都有，我们就称为一个数列． (1)若数列是－数列，且，，直接写出，，的值； (2)若数列为数列，且，，则，都存在一个或若干个互不相邻且互不相同的正整数，，，使得，证明：，的表示具有唯一性； (3)能否将正整数集拆成若干个集合，，，（可以是无穷个集合），使得，都有，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是数列？ 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考数学第三次模拟考试 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考数学第三次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．若直线被圆所截得的弦的长度为，则（   ） A． B． C．或 D．或 4．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 5．已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（    ） A．60 B． C．448 D． 6．若双曲线过点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：，则该数列的第16项为（    ） A．196 B．197 C．198 D．227 8．如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 9．如图，正方形的边长为1，取正方形各边的四等分点，得到第2个正方形，再取正方形各边的四等分点，得到第3个正方形，依此方法一直进行下去，若从第个正方形开始它的面积小于第1个正方形面积的，则（    ）（参考数据：） A．8 B．9 C．10 D．11 10．已知函数，，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为 ． 12．已知，且，则 ． 13．已知抛物线上有一点P到焦点的距离为3，则P到y轴的距离为 ． 14．在平面四边形中，，，，，则 ；若点是的中点，则当取得最大值时，四边形的面积为 . 15．双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美．在平面上，把与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线，则下列说法正确的是（   ） ①．双纽线的图象关于原点对称 ②．双纽线的方程为 ③．双纽线上任意一点到坐标原点的距离都不超过 ④．若直线与双纽线只有一个公共点，则实数的取值范围为 3、 解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （满分13分）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 17． （满分13分）为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示： 编号位置 ① ② ③ ④ 山上 5 4 4 3 山下 4 2 2 1 (1)根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量； (2)记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）； (3)从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望. 18．（满分14分）给出以下三个条件：①直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的． 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 已知函数，_____． (1)求的表达式； (2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． 19．（满分15分）已知函数（其中）． (1)当时，求的单调区间； (2)对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 20．（满分15分）已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. (1)求的标准方程； (2)设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 21．（满分15分）对于各项均为正整数的数列，如果，给定，且对于任意都有，我们就称为一个数列． (1)若数列是－数列，且，，直接写出，，的值； (2)若数列为数列，且，，则，都存在一个或若干个互不相邻且互不相同的正整数，，，使得，证明：，的表示具有唯一性； (3)能否将正整数集拆成若干个集合，，，（可以是无穷个集合），使得，都有，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是数列？ 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第三次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 2．已知为虚数单位，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数相等即可求解. 【详解】由，化简得 所以. 故选：C 3．若直线被圆所截得的弦的长度为，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据条件计算圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式可得结果. 【详解】由题意得，圆的圆心坐标为，半径. ∵弦长， ∴圆心到直线的距离，即点到直线的距离为2， ∴，解得或. 故选：C. 4．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状. 【详解】，， ， 化简得，， ，即， 或， ，或，即或， 是直角三角形或等腰三角形. 故选：D. 5．已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（    ） A．60 B． C．448 D． 【答案】A 【分析】先应用二项式系数相等得出，再应用通项公式应用赋值法计算求值. 【详解】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则， 则展开式通项公式是， 令，得，∴的系数为， 故选：A. 6．若双曲线过点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入可得，即可根据离心率公式求解. 【详解】将代入可得，故， 所以故， 所以离心率为， 故选：A 7．南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：，则该数列的第16项为（    ） A．196 B．197 C．198 D．227 【答案】D 【分析】由从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，列出后一项与前一项的差，再由累加法即可求得通项公式，即可求得该数列的第16项. 【详解】若某个二阶等差数列的前4项为：， 即 可知，，, 累加即可得到， 则，则 故选：D. 8．如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】B 【分析】设截面与圆柱底面的距离为，分别求出和，即可得出结论. 【详解】设截面与圆柱底面的距离为， 该平面截半球所得圆面的半径为，圆的面积为， 由于圆柱的底面半径与高相等，所以，圆环的内圆半径为， 所以，圆环的面积为，故， 故选：B. 9．如图，正方形的边长为1，取正方形各边的四等分点，得到第2个正方形，再取正方形各边的四等分点，得到第3个正方形，依此方法一直进行下去，若从第个正方形开始它的面积小于第1个正方形面积的，则（    ）（参考数据：） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】易知正方形的边长成等比数列，其公比为，设第个正方形的面积为，得到，求得，再由求解. 【详解】由已知得正方形的边长成等比数列，第二个正方形的边长为， 所以其公比为． 设第个正方形的面积为，则， 当时，，所以， 由，得， 所以， 即， 所以，所以． 故选：C． 10．已知函数，，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】据题意，求得函数的值域为，结合题意转化为，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，作出函数的图象，如图所示，    所以当时，；当时，， 故函数的值域为. 设，若存在，使得成立，即，只需， 即对于，满足成立， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及单调性可求参数的值. 【详解】由题设有，解得， 故答案为：2 12．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】先求出，由，可得，再根据结合数量积的运算律即可得解. 【详解】由，得， 因为，所以， 则. 故答案为：. 13．已知抛物线上有一点P到焦点的距离为3，则P到y轴的距离为 ． 【答案】 【分析】由抛物线的定义得，P到抛物线C的焦点的距离为，进而得到，化简即可求解. 【详解】由题意知：抛物线的准线为，设点 ， 则P到y轴的距离为， 由抛物线的定义得，P到抛物线C的焦点的距离为， 即，化简得. 故答案为：. 14．在平面四边形中，，，，，则 ；若点是的中点，则当取得最大值时，四边形的面积为 . 【答案】 10 52 【分析】利用余弦定理建立方程求出；取中点，借助线段和差关系求出取最大值的条件，再利用三角形面积公式计算得解. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，整理得，而，解得， 取中点，连接，由点是的中点，得，， 在中，，， ，则，，当且仅当共线时取等号， 因此当取得最大值时，，，， 所以四边形的面积. 故答案为：10；52 15．双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美．在平面上，把与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线，则下列说法正确的是（   ） ①．双纽线的图象关于原点对称 ②．双纽线的方程为 ③．双纽线上任意一点到坐标原点的距离都不超过 ④．若直线与双纽线只有一个公共点，则实数的取值范围为 【答案】①③④ 【分析】设双纽线上的动点，直接根据题意化简即可判断②；由曲线上任一点关于原点的对称点适合曲线方程可判断①；利用已知方程变形，根据有界性结合两点间距离公式可判断③；联立直线与双纽线研究方程根的情况即可判断④． 【详解】设双纽线上的动点，由， 得，即， 整理得：，故②错误； 将方程中的换为，换为，方程不变， 即双纽线的图象关于原点对称，故①正确； 设动点，则，即，故③正确； 直线恒过原点，且双纽线经过原点，则直线与曲线至少一个公共点， 又直线与双纽线只有一个公共点，故除原点外无其他公共点， 联立，消得， 当，即时，方程仅一解，满足题意； 当时，当时，方程恒成立，即恒有一解， 当时，方程化简得， 当，即或时，方程无解，满足题意； 综上实数的取值范围为，故④正确. 故选：①③④. 3、 解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （满分13分）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据中位线的性质得到，然后得到四边形为平行四边形，根据直棱柱的性质得到，最后利用线面垂直的判定定理证明； （2）解法一：利用余弦定理得到，然后建系，利用空间向量的方法求线面角； 解法二：根据线面角的定义得到即为直线与平面所成角，然后求线面角； 解法三：利用等体积的思路得到点到平面的距离，然后求线面角. 【详解】（1）    取中点，连接， 因为，所以， 为的中点，所以为的中位线，所以， 又，所以四边形为平行四边形，有， 又因为平面平面，则， 由于平面，所以平面， 又因为，所以平面．......................6分 （2）解法一：由（1）可知：两两垂直，如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 在中，由余弦定理可得：，则， 于是， 则， 设平面， 于是，即， 令，则， 设直线与平面所成角为， 那么， 即直线与平面所成角的正弦值为．......................13分    解法二：在中，由余弦定理可得：，则， 如图，连接，由（1），平面平面，则， 又因为，四边形为正方形，为的中点，， 由于平面，则平面， 如图，记，过点作，连接， 由于平面平面，则， 又因为平面，则平面， 所以即为直线与平面所成角，由于， 则， 由于，则为的三等分点，则， 于是， 即直线与平面所成角的正弦值为．......................13分    解法三：设直线与平面所成角为，点到平面的距离为，则， 在中，，则， 过作交的延长线于，易得， 且易证平面， 由于，则， 在中，，且， 又，则．......................13分    17． （满分13分）为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示： 编号位置 ① ② ③ ④ 山上 5 4 4 3 山下 4 2 2 1 (1)根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量； (2)记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）； (3)从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）求出山上实验田的平均产量，再乘以m即可得答案； （2）先计算平均数，再结合方差公式即可求得答案； （3）随机变量可以取，再分别求出概率，则的分布列与数学期望可求. 【详解】（1）由山上试验田4株古茶树产茶量数据， 得样本平均数， 则山上试验田株古茶树产茶量估算为；.....................3分 （2）山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和， 故方差，， 故；......................7分 （3）依题意，随机变量可以取， 随机变量的分布列为 9 8 7 6 5 4 随机变量的期望.......................13分 18．（满分14分）给出以下三个条件：①直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的． 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 已知函数，_____． (1)求的表达式； (2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先进行三角恒等变换求出，再分别选三个条件，结合正弦函数的性质，分别求解，即可得出函数解析式. （2）首先根据三角函数的变化规律得到的解析式，再由正弦函数的性质求出在区间上的单调性，求出区间端点函数值，依题意函数的图像与在区间上有且只有一个交点，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）． （1）若选条件①，直线是函数图象的任意两条对称轴， 且的最小值为，则，解得，则． 若选条件②，则，则． 因此．又，所以，则． 若选条件③，对任意的， 则有，解得， 又，所以，则．......................5分 （2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象， 再将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍， 纵坐标不变，得到图象． 由，得． 即函数的单调递增区间为， 又，所以函数在上单调递增，在上单调递减； 因为， 因为关于的方程在区间上有且只有一个实数解， 所以函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点， 则或．......................14分 19．（满分15分）已知函数（其中）． (1)当时，求的单调区间； (2)对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）应用导数研究函数的单调区间即可； （2）问题化为在上恒成立，应用导数研究右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）将代入函数中，，由，所以， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为.......................6分 （2）任意都有成立， 即，即， 令，则， 令，， 在上恒成立，即在上单调递增．......................9分 又，，故在内有零点，设零点为， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 且，则，所以， 设，，，所以在单调递增， 所以，，，即，所以， 所以最小值，所以，即实数a的取值范围是．......................15分 20．（满分15分）已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. (1)求的标准方程； (2)设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 【答案】(1)； (2)①；②3. 【分析】（1）设出椭圆半焦距，结合椭圆的定义求出的取值范围，进而求出即可. （2）①设出直线的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理求出坐标，利用斜率关系求出；②利用弦长公式求出，再表示出四边形面积，借助基本不等式求出最小值. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，则， 而点到的距离的取值范围为， 因此，解得，， 所以的标准方程为.....................4分 （2）①由（1）知点，设直线的方程为，， 由消去得， ，， 则，线段的中点， 直线的斜率，直线交直线于点， 因此直线的斜率，即，则直线与直线垂直， 所以.......................9分 ②由①知， ， 直线的方程为，同理得， 因此四边形的面积， 而，当且仅当，即时取等号， 则， 所以四边形面积的最小值为3.......................15分 21．（满分15分）对于各项均为正整数的数列，如果，给定，且对于任意都有，我们就称为一个数列． (1)若数列是－数列，且，，直接写出，，的值； (2)若数列为数列，且，，则，都存在一个或若干个互不相邻且互不相同的正整数，，，使得，证明：，的表示具有唯一性； (3)能否将正整数集拆成若干个集合，，，（可以是无穷个集合），使得，都有，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是数列？ 【答案】(1)， (2)证明见详解 (3)能，理由见详解 【详解】（1），.......................4分 （2）采用数学归纳法证明， 当时，，显然存在， 假设当时，都存在一个或若干个互不相邻互不相同的正整数，使得， 当时，设是满足的最大正整数，则， 因为（若，则与是满足的最大正整数矛盾）， 且由归纳假设可以表示成的形式， 其中互不相邻且与也不相邻（因为， 所以也可以表示成若干个互不相邻互不相同的的和；......................7分 再证明唯一性：假设， 不妨设， 设， 根据数列的增长性质，得单调递增且增长速度由递推关系决定， 从最大项开始分析，若，不妨设，则， 因为的增长使得前面项的和小于较大的项，故矛盾，所以， 去掉这一项后继续比较剩下的和，以此类推可得且；......................9分 （3）首先构造集合，设是以1，2为首项的数列构成的集合， 根据－数列的递推公式， 则，，， ,， 以此类推可得， 然后构造集合，为了保证，从正整数集中去掉的元素后，取最小的正整数4作为的首项，再取一个不同于中元素的数作为第二项，不妨取6，则，，，，依此类推， 则是以4为首项的数列构成的集合，即， 再构造集合，在正整数集中去掉的元素，此时最小的正整数为7，取7作为的首项，再取一个合适的数如9作为第二项，则，，，,， 那么是以7为首项的数列构成的集合，即， 按照上述方法，不断地在正整数集中去掉前面以构造集合的元素，然后取剩余最小正整数作新集合的首项，再选取一个合适的数作为第二项，依据数列的递推公式生成新的集合，由于每次构造新集合时，都是从前面集合未包含的正整数中选取元素，所以对于任意都有， 因为是按照正整数从小到大的顺序，依次将正整数分配到不同的集合中，所以，在构造每个集合时，都是根据－数列的递推公式来生成集合内的元素，所以每个集合的数从小到大排列之后都是数列，......................14分 综上，能将正整数集拆成若干个集合（可以是无穷个集合），使得对于任意，都有，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是－数列......................15分 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$