精品解析：山东省济南市天桥区济南旅游学校高中部2024-2025学年高二下学期第一次质量检测数学试题

2024-2025学年第2学期高二第一次质量检测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1. 若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】先化简得到，转化为导数的定义式，即可求解. 【详解】由， 所以. 故选：A. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基础函数导数的公式计算即可. 【详解】，，，. 故选：D 3. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求原函数的单调区间，注意原函数的定义域. 【详解】∵的定义域为，且， 令，解得， ∴函数的单调减区间是. 故选：D. 4. 函数（　　） A. 有最值，但无极值 B. 有最值，也有极值 C. 既无最值，也无极值 D. 无最值，但有极值 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数研究在上的单调性，即可判断各项是否符合. 【详解】，则，， 所以在上单调递减，无最大值和最小值，也无极值． 故选：C 5. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义结合函数的图象在点处的切线方程即可求得答案. 【详解】由于函数的图象在点处的切线方程是， 故，， 故， 故选：A. 6. 如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】先对A区域种植，再对B区域种植，最后分两类：D块与块相同、D块与块不相同，对C 、D区域种植，根据计数原理即可求解. 【详解】根据题意，分3步进行分析： (1)对于块，可以在3种不同的花中任选1种，有种情况； (2)对于块，可以在剩下的2种不同的花中任选1种，有种情况； (3)对于C 、D块，分2种情况： 若D块与块相同，则C块可以在其余的2种不同的花中任选1种，有种情况， 若D块与块不相同，则块有1种情况，块有1种情况，此时C 、D有1种情况， 则C 、D共有种情况； 综合可得：一共有种不同的种法. 故选：B 7. 已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，分a＝0和a≠0讨论的单调性，即可求出a≠0时，在x＝－1处取得极小值，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】. ①当a＝0时，，故在R上单调递增，无最小值. ②当a≠0时，令，得x＝－1或.又， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在x＝－1处取得极小值. 综上，函数在x＝－1处取得极小值. 所以“”是“函数在x＝－1处取得极小值”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 为纪念抗美援朝，某市举办了一场“红色”歌曲文艺演出，已知节目单中共有6个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了3位参加过抗美援朝的老战士分别演唱一首当年的革命歌曲，在不改变原来的节目顺序的情况下，将这3个不同的节目添加到节目单中，则不同的安排方式共有（ ） A. 210种 B. 336种 C. 504种 D. 672种 【答案】C 【解析】 【分析】利用插空法及分步乘法计数原理计算可得. 【详解】原来的个节日形成个空，插入第一个节目，共有种结果， 原来的个和刚插入的一个，形成个空，插入第二个节目有种结果， 同理插入最后一个节目有种结果，根据分步乘法计数原理得到不同的安排方式有种． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 函数有极大值 B. 函数有极大值 C. 函数有极小值 D. 函数有极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的图像判断导数在各个区间上的符号，再根据极值的定义即可求解. 【详解】由图可知，当时，， ，则， 当时，，，则， 当时，，，则， 当时，，，则， 综上当时，当时，当时， 所以函数有极大值，有极小值， 故选：BD 10. 已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】构造，则根据有单调递增，再利用单调递增得到相应的不等式以判断各个选项即可. 【详解】设，则定义在上，且，所以单调递增. 由单调递增知，从而，A错误； 由单调递增知，从而，B正确； 由单调递增知，从而，C正确； 由单调递增知当时，则， 有，从而，即，D错误. 故选：BC. 11. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（ ） A. 四位回文数有90个 B. 四位回文数有45个 C. （）位回文数有个 D. （）位回文数有个 【答案】AC 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】根据题意，对于四位回文数， 有1001、1111、1221、……、1991、 2002、2112、2222、……、2992、 ……、 9009、9119、9229、……、9999， 其首位和个位有种选法，第二为和第三位有种选法，故共有个，则A正确，B错误； 对于位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……， 第个数字，即最中间的数字有10种选法， 则共有种选法， 即（）位回文数有个，故C正确，D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的最小值为0，则实数a的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用导数研究的单调性和最值，根据最小值求得的值. 【详解】的定义域为， ， 当时，，在区间上递增，没有最小值. 当时，在区间递减；在区间递增. 所以在区间上的最小值为. 故答案为： 13. 如图所示，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个. 【答案】40 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】满足条件的有两类： 第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8个； 第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32个， 所以满足条件的三角形共有8＋32＝40个. 故答案为：40 14. 函数在时有极小值0，则_______． 【答案】11 【解析】 【分析】利用导函数与函数的单调性、极值的关系求解. 【详解】因为， 所以， 因为函数在时有极小值0， 所以，① ，② 联立①②解得或， 当时，， 则函数在上单调递增，无极值，不满足题意； 当时，， 由解得或，由解得， 函数在单调递增，单调递减，单调递增， 满足函数在时有极小值， 所以， 故答案为：11. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字． （1）可以组成多少个不重复的三位数字？ （2）可以组成多少个允许重复的三位数字？ 【答案】（1）100 （2）180 【解析】 【分析】根据分步乘法原理，结合特殊位置法求解即可； 【小问1详解】 解：分3步： ①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法； ②十位数字有5种选法； ③个位数字有4种选法． 所以，由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个． 【小问2详解】 解：分3步： ①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法； ②十位数字有6种选法； ③个位数字有6种选法． 所以，由分步计数原理知所求三位数共有5×6×6＝180个． 16. 设函数其中． （1）当时，求曲线在点处的切线斜率； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1）1； （2）在上递增，在、上递减. 【解析】 【分析】（1）由题设得，求出即可知切线斜率； （2）由题意，讨论的符号，即可求单调区间． 【小问1详解】 由题设，，则， ∴，故点处的切线斜率为1. 【小问2详解】 由题设，， 又， ∴，且， 当时，，单调递增； 当时，或，单调递减； ∴在上递增，在、上递减. 17. 函数在点处的切线斜率为． （1）求实数a的值； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1）3；（2）增区间为，减区间为．极小值，无极大值． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，导数值为切线的斜率求出实数的值； （2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值. 【详解】解：（1）函数的导数为， 在点处的切线斜率为， ，即，； （2）由（1）得，， 令，得，令，得， 即的增区间为，减区间为． 在处取得极小值，无极大值． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值问题，属于容易题． 18. 用6种不同的颜色为如图所示的广告牌涂色，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的涂色方法？ 【答案】480(种) 【解析】 【分析】法一、按A，D是否涂同色分类计算；法二、按分步计数原理，先涂B区域，再涂C区，最后A、D，计算即可. 【详解】方法一：分类计数， 第一类，A，D涂同色，有 (种)涂法； 第二类，A，D涂异色，有 (种)涂法； 共有 (种)涂法． 方法二：分步计数，先涂B区，有6种涂法，再涂C区，有5种涂法，最后涂A，D区域，各有4种涂法， 所以共有 (种)涂法． 19. 设函数. （1）求在处的切线方程. （2）求的单调区间. （3）求在上的最值.并判断在上有没有零点.若有，判断零点的个数. 【答案】（1）；（2）时，为单调递减函数，时，为单调递增函数；（3），，有两个零点. 【解析】 【分析】（1）先求出，用点斜式写出切线方程； （2）利用导数求单调区间即可； （3）研究在上的单调性，画出图像，即可解答. 【详解】解：由题知 （） （1）又∵，切点， ∴切线方程为， 整理得：. （2）令，得或（舍） 列表得： 0 ∴时，为单调递减函数， 时，为单调递增函数. （3）由（2） 结合图象可知 在上有两个零点 ， ∴ ∴时，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第2学期高二第一次质量检测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1. 若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. -3 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 函数（　　） A. 有最值，但无极值 B. 有最值，也有极值 C. 既无最值，也无极值 D. 无最值，但有极值 5. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6. 如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 7. 已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 为纪念抗美援朝，某市举办了一场“红色”歌曲文艺演出，已知节目单中共有6个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了3位参加过抗美援朝的老战士分别演唱一首当年的革命歌曲，在不改变原来的节目顺序的情况下，将这3个不同的节目添加到节目单中，则不同的安排方式共有（ ） A. 210种 B. 336种 C. 504种 D. 672种 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 函数有极大值 B. 函数有极大值 C. 函数有极小值 D. 函数有极小值 10. 已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 11. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（ ） A. 四位回文数有90个 B. 四位回文数有45个 C. （）位回文数有个 D. （）位回文数有个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的最小值为0，则实数a的值为__________． 13. 如图所示，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个. 14. 函数在时有极小值0，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字． （1）可以组成多少个不重复的三位数字？ （2）可以组成多少个允许重复的三位数字？ 16. 设函数其中． （1）当时，求曲线在点处的切线斜率； （2）求函数的单调区间． 17. 函数在点处的切线斜率为． （1）求实数a的值； （2）求的单调区间和极值． 18. 用6种不同的颜色为如图所示的广告牌涂色，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的涂色方法？ 19. 设函数. （1）求在处的切线方程. （2）求的单调区间. （3）求在上的最值.并判断在上有没有零点.若有，判断零点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $