第17讲 空间图形的表面积和体积（3大知识点+9大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修二）

第17讲 空间图形的表面积和体积 目录 题型归纳 1 题型01 圆柱、棱柱表面积的有关计算 4 题型02 圆锥、棱锥表面积的有关计算 5 题型03 圆台、棱台表面积的有关计算 6 题型04 球的体积、表面积的有关计算 7 题型05 柱体、锥体和台体体积的有关计算 8 题型06 求组合多面体、旋转体的表面积 9 题型07 多面体与球体内切外接问题 10 题型08 求组合体、旋转体的体积 11 题型09 根据体积计算几何体的量 13 分层练习 15 夯实基础 15 能力提升 19 知识点01空间几何体的表面积与体积公式 　名称　 几何体　　　 表面积 体积 棱柱 S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 棱锥 S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 棱台 S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h [方法技巧]　求空间几何体表面积的常见类型及思路 求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 [方法技巧]　求空间几何体体积的常见类型及思路 规则 几何体 若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法 不规则 几何体 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解 三视图 形式 若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 知识点02圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l 圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系：S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 知识点03空间几何体的表面积与体积公式 　名称　 几何体　　　 表面积 体积 圆柱 S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 圆锥 S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 圆台 S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h [方法技巧]　求空间几何体表面积的常见类型及思路 求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 [方法技巧]　求空间几何体体积的常见类型及思路 规则 几何体 若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法 不规则 几何体 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解 题型01圆柱、棱柱表面积的有关计算 【例1】（23-24高一下·山西大同·期中）已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·吉林通化·期中）圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为 ． 【变式3】（22-23高一下·河北邢台·期中）如图，在直三棱柱中，是的中点． (1)证明：平面． (2)若是正三角形，，，求三棱柱的表面积． 题型02 圆锥、棱锥表面积的有关计算 【例2】（23-24高一下·云南保山·期中）已知三棱锥P-ABC，满足，，则三棱锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·河北保定·期中）若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（    ） A．2π B．3π C．2 D． 【变式2】（23-24高一下·江西宜春·期末）底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为 ． 【变式3】（22-23高一下·河南安阳·期末）如图，在四棱锥中，，底面ABCD为矩形，，，，．    (1)证明：平面平面ABCD； (2)求四棱锥的表面积． 题型03 圆台、棱台表面积的有关计算 【例3】（23-24高一下·山东临沂·期中）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式1】（23-24高一下·广东广州·期中）已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（    ） A．3 B． C． D．48 【变式2】（23-24高一下·湖南·期中）已知某圆台的上、下底面直径分别为4，10，高为4，则该圆台的侧面积为 ． 【变式3】（20-21高一上·河南·期末）正四棱台两底面边长分别为3和9，若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积． 题型04 球的体积、表面积的有关计算 【例4】（23-24高一下·河南郑州·期中）若一个球体的体积与其表面积的值相等，则该球体的半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式1】（22-23高一下·陕西西安·期中）两个球表面积的比为，则体积的比为（    ） A． B． C． D．不确定 【变式2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为，则该圆锥内切球的表面积为 .（容器壁的厚度忽略不计） 【变式3】（21-22高一下·黑龙江双鸭山·期中）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为， (1)求该圆锥的侧面积； (2)求圆锥内半径最大的球的体积 题型05 柱体、锥体和台体体积的有关计算 【例5】（23-24高一下·贵州·期中）若一圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·河北唐山·期中）所有棱长都相等的四面体的体积为，则其表面积为（    ） A． B．12 C． D． 【变式2】（23-24高一下·吉林·期中）如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则＝ . 【变式3】（23-24高一下·四川广安·期中）如图是一个正四棱台的石料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的表面积和体积； (2)若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少需要准备多少的水泥. 题型06 求组合多面体、旋转体的表面积 【例6】（23-24高一下·山东济宁·期中）如图，将一个圆柱4等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·安徽合肥·期中）以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·云南昆明·期中）一个如图所示的密闭容器，它的下部是一个底面半径为1m，高为2m的圆锥体，上半部是个半球，则这个密闭容器的表面积是 ，体积为 ． 【变式3】（23-24高一下·福建泉州·期中）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．        (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？ 题型07 多面体与球体内切外接问题 【例7】（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）直三棱柱中，，，，则它的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·云南昆明·期中）若正三棱柱的所有棱长均为，且其侧面积为12，则此三棱柱外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·河南信阳·期中）已知是球表面上的点，平面若球的体积为，则 . 【变式3】（20-21高一下·安徽芜湖·期中）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，其中△ABC是边长为1的正三角形，棱为球O的直径．求此三棱锥的体积． 题型08 求组合体、旋转体的体积 【例8】（23-24高一下·广东佛山·期中）已知在四边形中，，且，则将四边形绕直线旋转一周后所形成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·河南郑州·期中）西流湖公园今年春天成为了网红打卡地，公园里不仅有美丽的景色，各种亭台楼阁也是各有特色.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2）．这两个直三棱柱有一个公共侧面．在底面中，若，，则该几何体的体积为（    ） A．88 B． C．64 D． 【变式2】（23-24高一下·安徽铜陵·期中）在梯形中，，，，，，现将梯形以直线为轴旋转一周，则得到的几何体的体积为 ． 【变式3】（23-24高一下·广东云浮·期中）如图是一个奖杯的直观图，它由球､长方体和正四棱台构成．已知球的半径为，长方体的长､宽和高分别为，正四棱台的上､下底面边长和高分别为．    (1)求下部分正四棱台的侧面积； (2)求奖杯的体积．（结果取整数，取3） 题型09 根据体积计算几何体的量 【例9】（21-22高一下·江苏苏州·期末）陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知陀螺的总体积为，则此陀螺圆柱底面的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一下·福建漳州·期中）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一、图是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图所示，其中是圆锥的顶点，分别是圆柱上、下底面圆的圆心，且.若该陀螺的体积是，底面圆的半径为，则其表面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一下·全国·期中）如下图所示，某学校设置了一些装饰品，这些装饰品是由正方体截去八个一样的四面体得到的，已知装饰品的体积为，现学校准备为装饰品的所有棱（含底面）加装灯带，请问学校需要购买灯带的长度为 cm. 【变式3】（22-23高一下·湖南衡阳·期末）如图，在直三棱柱中，P为的中点，，，.    (1)证明：平面. (2)若四棱锥的体积为12，求. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一下·浙江·期中）已知轴截面是正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的表面积与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山西太原·期中）已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一下·吉林长春·期中）如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·四川成都·期中）辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（   ） A．圆台的母线长为 B．圆台的体积为 C．圆台的表面积为 D．球的表面积为 6．（23-24高一下·青海西宁·期末）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）    A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 三、填空题 7．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在正三棱柱中，，，则三棱锥的体积为 . 8．（23-24高一下·福建漳州·期中）某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 .    四、解答题 9．（23-24高一下·山东·期中）如图，圆锥PO的底面直径和高均是，过的中点'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 10．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，圆台上下底面半径分别为1，2，，为其两条母线，且母线长为2．    (1)证明：四边形为等腰梯形； (2)若在圆台内部挖去一个以O为顶点，圆为底面的圆锥，求剩余部分的体积． 11．（23-24高一下·福建福州·期末）罗星塔，位于福州马尾，某校开展数学建模活动，有学生选择测量罗星塔的高度，为此，他们设计了测量方案，如图， 罗星塔垂直于水平面，他们选择了与罗星塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得∠ADB=45°， AB=30米，且在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和 ，其中 . (1)求罗星塔的高 CD的长； (2)在(1)的条件下求多面体A-BCD的表面积； (3)在(1)的条件下求多面体A-BCD的内切球的半径. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（    ） A．16 B．22 C．26 D．28 2．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖南娄底·期中）已知球是三棱锥的外接球，，则当点到平面的距离取最大值时，球的表面积是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·福建龙岩·期中）已知正六棱锥的侧棱长为，底面边长为2，点为正六棱锥外接球上一点，则三棱锥体积的最大值为（    ）      A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）在等腰梯形中，，，，点，分别为，的中点，以所在直线为旋转轴，将梯形旋转得到一旋转体，则（    ） A．该旋转体是一个圆台 B．该旋转体的表面积为 C．直线与旋转体的上底面所成角的正切值为 D．该旋转体的外接球的体积为 6．（22-23高一下·广东·期中）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是和，且，则该圆台的（    ） A．高为 B．体积为 C．表面积为 D．内切球的表面积为 三、填空题 7．（23-24高一下·河北·期中）已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为，则圆锥的高为 ． 8．（23-24高一下·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 9．（23-24高一下·天津河北·期中）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥的体积为 ；四棱锥的表面积是 .    四、解答题 10．（23-24高一下·福建三明·期中）如图，在直三棱柱中，，. (1)求该直三棱柱的表面积S与体积V； (2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱 （ⅰ）这样的大棱柱有几种拼法？在原图基础上画出其中两种拼后的简图（不需要用斜二测画）； （ⅱ）这几种拼法中大棱柱表面积最大时，求此大棱柱的外接球的体积. 11．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，从底面半径为，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆锥. 求原圆柱的表面积与挖去圆锥后的几何体的表面积的值. 12．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． (1)求该圆台的表面积； (2)求四棱锥的体积的最大值． 13．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 14．（23-24高一下·河南安阳·期中）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，.    (1)证明： (2)若，当与平面所成角的正弦值最大时，求四棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 空间图形的表面积和体积 目录 题型归纳 1 题型01 圆柱、棱柱表面积的有关计算 4 题型02 圆锥、棱锥表面积的有关计算 7 题型03 圆台、棱台表面积的有关计算 10 题型04 球的体积、表面积的有关计算 13 题型05 柱体、锥体和台体体积的有关计算 16 题型06 求组合多面体、旋转体的表面积 21 题型07 多面体与球体内切外接问题 25 题型08 求组合体、旋转体的体积 28 题型09 根据体积计算几何体的量 32 分层练习 36 夯实基础 36 能力提升 47 知识点01空间几何体的表面积与体积公式 　名称　 几何体　　　 表面积 体积 棱柱 S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 棱锥 S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 棱台 S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h [方法技巧]　求空间几何体表面积的常见类型及思路 求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 [方法技巧]　求空间几何体体积的常见类型及思路 规则 几何体 若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法 不规则 几何体 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解 三视图 形式 若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 知识点02圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l 圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系：S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 知识点03空间几何体的表面积与体积公式 　名称　 几何体　　　 表面积 体积 圆柱 S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 圆锥 S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 圆台 S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h [方法技巧]　求空间几何体表面积的常见类型及思路 求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 [方法技巧]　求空间几何体体积的常见类型及思路 规则 几何体 若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法 不规则 几何体 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解 题型01圆柱、棱柱表面积的有关计算 【例1】（23-24高一下·山西大同·期中）已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】由圆柱的表面积公式计算即可求解． 【详解】设圆柱的底面半径为，母线为，则， 所以，所以， 故选：B． 【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积. 【详解】正六棱柱的底面边长为2，体对角线， 则高为，它的表面积为 . 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·吉林通化·期中）圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为 ． 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】根据圆柱的表面积公式即可代入求解. 【详解】因为圆柱的底面圆的半径为5、高为8，所以圆柱底面圆的周长为， 所以该圆柱的表面积为． 故答案为： 【变式3】（22-23高一下·河北邢台·期中）如图，在直三棱柱中，是的中点． (1)证明：平面． (2)若是正三角形，，，求三棱柱的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、棱柱表面积的有关计算 【分析】（1）已知是的中点．作辅助线连接交于点，从而利用中位线性质得线线平行，再证明线面平行即可； （2）通过已知长度关系，利用勾股定理求解侧棱长，再计算表面积. 【详解】（1）连接交于点，    则是的中点． 因为是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面 （2）因为为正三角形，是的中点，所以． 因为，所以． 在直三棱柱中，底面，则， 因为，所以， 所以三棱柱的表面积为 题型02 圆锥、棱锥表面积的有关计算 【例2】（23-24高一下·云南保山·期中）已知三棱锥P-ABC，满足，，则三棱锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】利用勾股定理得四个侧面都是直角三角形，利用三角形面积公式即可求得三棱锥的表面积. 【详解】由题，， 由勾股定理可得，，，，则有， 所以， 三棱锥的表面积为. 故选：C 【变式1】（24-25高一上·河北保定·期中）若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（    ） A．2π B．3π C．2 D． 【答案】B 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】由等边三角形面积求出等边三角形边长，得到圆锥底面半径和母线长，求得底面面积和侧面面积，从而得到圆锥表面. 【详解】设圆锥的轴截面是边长为（）的等边三角形，则，则， ∴圆锥底面半径，母线长， ∴. 故选：B 【变式2】（23-24高一下·江西宜春·期末）底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为 ． 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】由轴截面是等边三角形求出圆锥底面半径与母线长，再由圆锥表面积公式计算． 【详解】因为圆锥的底面直径为2，它的轴截面是等边三角形， 则圆锥的母线长，底面半径， 所以圆锥表面积为． 故答案为：． 【变式3】（22-23高一下·河南安阳·期末）如图，在四棱锥中，，底面ABCD为矩形，，，，．    (1)证明：平面平面ABCD； (2)求四棱锥的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明面面垂直、证明线面垂直、棱锥表面积的有关计算 【分析】（1）根据题意利用勾股定理可证，进而结合线面、面面垂直的判定定理分析证明； （2）根据（1）中结果判断各面的形状，进而运算求解. 【详解】（1）因为，，，平面SCD， 所以平面SCD， 且平面SCD，所以， 由题意可得：，，， 则，所以， ，平面ABCD， 所以平面ABCD． 且平面SAD，所以平面平面ABCD． （2）由（1）可知：平面平面ABCD． 因为，平面ABCD，平面平面ABCD于AD， 所以平面SAD， 且平面SAD，所以． 又因为平面ABCD ，平面ABCD， 所以，， 可得，． 因为，， ，，， 所以四棱锥的表面积 题型03 圆台、棱台表面积的有关计算 【例3】（23-24高一下·山东临沂·期中）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】根据台体的侧面积公式运算求解. 【详解】设圆台较小底面的半径为，可知较大的底面半径为， 则，解得， 所以圆台较小底面的半径为4. 故选：C. 【变式1】（23-24高一下·广东广州·期中）已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（    ） A．3 B． C． D．48 【答案】B 【知识点】棱台表面积的有关计算 【分析】根据已知先求斜高，然后可得表面积. 【详解】如图，作平面，，垂足分别为，连接. 由题可知，，所以， 所以表面积. 故选：B 【变式2】（23-24高一下·湖南·期中）已知某圆台的上、下底面直径分别为4，10，高为4，则该圆台的侧面积为 ． 【答案】 【知识点】圆台表面积的有关计算、圆台的结构特征辨析 【分析】画出图形，求出母线长，结合侧面积公式求解即可. 【详解】如图，圆台的上、下底面直径分别为4，10，高为4，则. 则，根据侧面积公式，知道圆台侧面积为． 故答案为：． 【变式3】（20-21高一上·河南·期末）正四棱台两底面边长分别为3和9，若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积． 【答案】. 【知识点】证明线面垂直、由异面直线所成的角求其他量、棱台表面积的有关计算 【分析】过作于， 过作于，得到为正四棱台的斜高， 可得答案. 【详解】如图，设、分别为上、下底面的中心，则平面， 过作于，所以， 所以平面，， 过作于，连接，且， 所以平面，， 则为正四棱台的斜高， 由题意知， ， 又， ∴高， ∴． 【点睛】本题考查了正四棱台侧面积的求法，关键点是作出正四棱台的斜高，考查了学生的空间想象力和计算能力. 题型04 球的体积、表面积的有关计算 【例4】（23-24高一下·河南郑州·期中）若一个球体的体积与其表面积的值相等，则该球体的半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】由球的体积公式、表面积公式列式即可求解. 【详解】设该球体的半径为，由题意，解得. 故选：C. 【变式1】（22-23高一下·陕西西安·期中）两个球表面积的比为，则体积的比为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】由表面积的比得到半径之比，再得到体积之比. 【详解】设两球的半径分别为，， 表面积之比，， 体积之比. 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为，则该圆锥内切球的表面积为 .（容器壁的厚度忽略不计） 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】根据相切的性质，结合勾股定理、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】作圆锥的轴截面图，如图，    由图，为等边三角形，则， 又，所以， 所以在正中，， 设内切球球心为，半径为，则在上，且，， 在中，，所以，解得， 所以外接球表面积． 故答案为：. 【变式3】（21-22高一下·黑龙江双鸭山·期中）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为， (1)求该圆锥的侧面积； (2)求圆锥内半径最大的球的体积 【答案】(1) (2) 【知识点】圆锥表面积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】（1）设圆锥的高为h，根据圆锥的底面半径为6，其体积为，求得h，进而得到母线长，再利用圆锥的侧面积求解； （2）由球为圆锥的内切球时，球的半径最大求解. 【详解】（1）解：设圆锥的高为h， 因为圆锥的底面半径为6，其体积为， 所以， 解得， 则圆锥的母线为， 所以圆锥的侧面积为； （2）如图所示： 当球为圆锥的内切球时，球的半径最大， 由图象知：， 解得 ，所以圆锥内半径最大的球的体积是 题型05 柱体、锥体和台体体积的有关计算 【例5】（23-24高一下·贵州·期中）若一圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】根据题意可得该圆柱的高，底面半径，进而可得体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 因为圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的高，    底面圆的周长为，解得， 所以圆柱的体积． 故选：D． 【变式1】（23-24高一下·河北唐山·期中）所有棱长都相等的四面体的体积为，则其表面积为（    ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【知识点】锥体体积的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】根据条件求出正四面体的棱长，再利用正四面体的表面积等于四个等边三角形的面积之和，求解即可． 【详解】如图，正四面体中，设各棱长均为， 过作底面，交于点，   ， ， 正四面体体积， 解得， 所以． 故选：D． 【变式2】（23-24高一下·吉林·期中）如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则＝ . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】先计算三棱柱的体积，再得出三棱台的体积，从而根据，即可求解. 【详解】在三棱柱中，设的面积为S，三棱柱的高为h， 则三棱柱的体积为，由，， 得，则，且，于是的面积为， 则三棱台的体积为，从而， 所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·四川广安·期中）如图是一个正四棱台的石料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的表面积和体积； (2)若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少需要准备多少的水泥. 【答案】(1); (2) 【知识点】台体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、棱台表面积的有关计算 【分析】（1）根据台体体积公式求体积，结合正四棱台的结构特征求侧面的高，进而求表面积； （2）将四棱台补成三棱锥，结合比例关系分析可知，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：四棱台的体积 ， 分别取中点，连接， 因为正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 则， 可得， 所以四棱台的表面积 . （2）延长交于点， 可知，则， 可得， 所以该同学还需要准备至少的水泥. 题型06 求组合多面体、旋转体的表面积 【例6】（23-24高一下·山东济宁·期中）如图，将一个圆柱4等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求组合多面体的表面积、圆柱表面积的有关计算 【分析】原圆柱的底面圆半径为，高为，得到，从而求出侧面积. 【详解】设原圆柱的底面圆半径为，高为，则原圆柱的表面积为， 新几何体的表面积， 故，故圆柱的侧面积为. 故选：A 【变式1】（23-24高一下·安徽合肥·期中）以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求组合旋转体的表面积、圆锥表面积的有关计算、由平面图形旋转得旋转体 【分析】根据正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥,根据圆锥的侧面积公式求解． 【详解】如图，正三角形绕所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥，    底面半径,母线长, 由圆锥的侧面积公式可得该几何体的侧面积为. 故选:C. 【变式2】（23-24高一下·云南昆明·期中）一个如图所示的密闭容器，它的下部是一个底面半径为1m，高为2m的圆锥体，上半部是个半球，则这个密闭容器的表面积是 ，体积为 ． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、求组合旋转体的表面积、求组合体的体积 【分析】该组合体的表面积是，体积是，求出即可． 【详解】解：如图所示， 该组合体的表面积是: ; 体积是． 故答案为：；. 【变式3】（23-24高一下·福建泉州·期中）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．        (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？ 【答案】(1) (2)元 【知识点】求组合多面体的表面积、锥体体积的有关计算 【分析】（1）计算出正方体的体积减去8个小正三棱锥的体积，得到答案； （2）计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数. 【详解】（1）正方体的体积为， 石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为， 故一个小正三棱锥的体积为， 故石凳的体积为. （2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为， 则石凳的表面积为， 则粉刷一个石凳需要元 题型07 多面体与球体内切外接问题 【例7】（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）直三棱柱中，，，，则它的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】根据直三棱柱的外接球，即为对应长方体的外接球，外接球的直径是长方体的对角线，由此求出外接球的表面积. 【详解】由题意，直三棱柱中，，，，画出长方体，如图所示： 则长方体的外接球即为三棱柱的外接球，所求的外接球的直径为体对角线，则外接球的表面积是， 故选：C 【变式1】（23-24高一下·云南昆明·期中）若正三棱柱的所有棱长均为，且其侧面积为12，则此三棱柱外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】根据三棱柱侧面积公式求出，确定球心的位置，如图构造直角三角形，由勾股定理求出外接球半径的平方，再根据球的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可得，正棱柱的底面是边长和高都等于的等边三角形，侧面积为， ∴，∴， 取三棱柱的两底面中心，连结， 取的中点，则为三棱柱外接球的球心， 连结，则为三棱柱外接球的半径． ∵是边长为的正三角形，是的中心， ∴． 又∵ ∴． ∴三棱柱外接球的表面积. 故选：B.    【变式2】（23-24高一下·河南信阳·期中）已知是球表面上的点，平面若球的体积为，则 . 【答案】1 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】把四面体补形为长方体，根据外接球直径为长方体的体对角线，即可求解. 【详解】 因为平面，所以可以将四面体补形为长方体， 因为球的体积为，设球的半径为，所以，所以， ，解得. 故答案为：1. 【变式3】（20-21高一下·安徽芜湖·期中）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，其中△ABC是边长为1的正三角形，棱为球O的直径．求此三棱锥的体积． 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算 【分析】先求出△ABC外接圆的半径，再求出点O到平面ABC的距离d，从而求出点S到平面ABC的距离为2d，最后根据三棱锥的体积公式即可求解． 【详解】∵△ABC是边长为1的正三角形， ∴△ABC的外接圆半径，， ∵棱为球O的直径，故球的半径， ∴点O到平面ABC的距离d， ∴点S到平面ABC的距离为， ∴此三棱锥的体积为 题型08 求组合体、旋转体的体积 【例8】（23-24高一下·广东佛山·期中）已知在四边形中，，且，则将四边形绕直线旋转一周后所形成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求旋转体的体积、圆台的结构特征辨析 【分析】根据题意，得到旋转体为圆台，结合圆台的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，将四边形绕直线旋转一周后所形成的几何体为圆台， 其中圆台的上下底面半径为，高为， 所以该圆台的体积为. 故选：C. 【变式1】（23-24高一下·河南郑州·期中）西流湖公园今年春天成为了网红打卡地，公园里不仅有美丽的景色，各种亭台楼阁也是各有特色.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2）．这两个直三棱柱有一个公共侧面．在底面中，若，，则该几何体的体积为（    ） A．88 B． C．64 D． 【答案】C 【知识点】求组合体的体积、锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】根据题意，得到几何体为直三棱柱和两个三棱锥，结合柱体和锥体的体积公式，准确计算，即可求解. 【详解】如图所示，几何体为直三棱柱和两个三棱锥构成的几何体， 设直三棱柱的底面的面积为，高为， 因为，可得， 且， 所以几何体的体积为 . 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·安徽铜陵·期中）在梯形中，，，，，，现将梯形以直线为轴旋转一周，则得到的几何体的体积为 ． 【答案】 【知识点】求旋转体的体积、锥体体积的有关计算 【分析】过作于，可求得，过点作于点，过点作于点，可求得，进而可求得旋转体的体积. 【详解】如图，过作于， 由,，， 可得又，可得, 过点作于点，过点作于点，可得 易得，，，，．    所以将梯形以直线为轴旋转一周得到的几何体的体积为： ． 故答案为：． 【变式3】（23-24高一下·广东云浮·期中）如图是一个奖杯的直观图，它由球､长方体和正四棱台构成．已知球的半径为，长方体的长､宽和高分别为，正四棱台的上､下底面边长和高分别为．    (1)求下部分正四棱台的侧面积； (2)求奖杯的体积．（结果取整数，取3） 【答案】(1) (2) 【知识点】棱台表面积的有关计算、球的体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】（1）首先求出斜率，再由梯形面积公式计算可得； （2）根据球、柱体、台体的体积公式计算可得. 【详解】（1）因为正四棱台的上、下底面边长和高分别为，，， 则该四棱台的斜高为， 所以正四棱台的侧面积为； （2）因为， ，， 所以这个奖杯的体积. 所以这个奖杯的体积约为. 题型09 根据体积计算几何体的量 【例9】（21-22高一下·江苏苏州·期末）陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知陀螺的总体积为，则此陀螺圆柱底面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据体积计算几何体的量、锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】由，代入求解即可 【详解】由题，圆锥部分高度为，故，即，可解得， 故选：B 【变式1】（22-23高一下·福建漳州·期中）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一、图是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图所示，其中是圆锥的顶点，分别是圆柱上、下底面圆的圆心，且.若该陀螺的体积是，底面圆的半径为，则其表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求组合旋转体的表面积、根据体积计算几何体的量 【分析】利用圆柱和圆锥体积公式可构造方程求得，结合圆柱和圆锥表面积公式可求得结果. 【详解】设，则， 陀螺的体积，解得：，则圆锥母线长为， 陀螺的表面积. 故选：C. 【变式2】（21-22高一下·全国·期中）如下图所示，某学校设置了一些装饰品，这些装饰品是由正方体截去八个一样的四面体得到的，已知装饰品的体积为，现学校准备为装饰品的所有棱（含底面）加装灯带，请问学校需要购买灯带的长度为 cm. 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、根据体积计算几何体的量 【分析】设正方体的边长为，求出正四面体体积可得装饰品体积，从而求得，由图知装饰品的棱都在正方体的表面上，且每个面上有4条棱，共24条棱，由此可得总的棱长结论． 【详解】设正方体的边长为，则每个正四面体的体积为， 所以每个装饰品的体积为，解得， 又由图可知，装饰品的棱都在正方体的表面上，且每个面上有4条棱，共24条棱， 每条棱的长度为，所以学校需要购买灯带的长度为. 故答案为：． 【变式3】（22-23高一下·湖南衡阳·期末）如图，在直三棱柱中，P为的中点，，，.    (1)证明：平面. (2)若四棱锥的体积为12，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【知识点】证明线面垂直、根据体积计算几何体的量 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明即可； （2）根据棱锥体积公式计算求解可得. 【详解】（1）∵，∴. 又平面，平面，∴. ∵，平面,平面.∴平面. （2）∵平面，平面，∴. ∵，∴四边形为梯形. 设，则， 由（1）知， 解得，则 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一下·浙江·期中）已知轴截面是正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的表面积与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，由已知可得，可求得圆锥的表面积与球的表面积之比. 【详解】设圆锥的底面半径为，球的半径为，因为圆锥的轴截面是正三角形， 所以圆锥的高为，母线长为，由题意可得，所以， 所以圆锥的表面积为， 球的表面积为， 所以. 故选：A. 2．（23-24高一下·山西太原·期中）已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆锥的轴截面图可求得圆锥内切球的半径，进而求体积. 【详解】因为圆锥的底面半径为，所以圆锥的底面直径为， 如图圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆半径， 设内切球半径为，内切球球心为I，连接. 三角形是边长为的等边三角形， 由等面积法有，，即，解得， 故所求为. 故选：C. 3．（21-22高一下·吉林长春·期中）如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则，解得， 球的体积. 故选：A 4．（23-24高一下·四川成都·期中）辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用球体、圆柱体体积公式和球体表面积，圆柱体侧面积公式可得答案. 【详解】由球的半径为R，则圆柱体的高为R 此鼎主体部分的容积约为： 此鼎主体部分外表面积约为： 所以此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为： 故选：D 二、多选题 5．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（   ） A．圆台的母线长为 B．圆台的体积为 C．圆台的表面积为 D．球的表面积为 【答案】ACD 【分析】画出圆台的轴截面，则轴截面是等腰梯形，内切圆是过球心的大圆，结合题意，分别求出圆台的母线长和内切球的半径，即可得出结论． 【详解】画出圆台的轴截面，如图所示： 则四边形是等腰梯形，且，，内切圆圆心即球心； 所以圆台的母线长为，选项A正确； 连接、和，则是直角三角形，且， 所以球的半径为， 所以圆台的体积为，故选项B错误； 圆台的表面积为，故选项C正确； 球的表面积为，故选项D正确． 故选：ACD． 6．（23-24高一下·青海西宁·期末）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）    A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 【答案】ACD 【分析】由条件确定圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式求解并判断选项即可. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， A项，圆柱的侧面积为，故A正确； B项，圆锥的母线长为， 所以，圆锥的侧面积为，故B错误； C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； D项，圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 球的体积为， 因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在正三棱柱中，，，则三棱锥的体积为 . 【答案】 【分析】由题意可知，再转化为，从而可求得结果. 【详解】因为三棱柱为正三棱柱，， 所以， 则 . 故答案为：. 8．（23-24高一下·福建漳州·期中）某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 .    【答案】193 【分析】运用台体体积公式求解即可 【详解】由题意可知，该四棱台的上､下底面边长分别为， 故该香料收纳罐的容积为． 故答案为：193. 四、解答题 9．（23-24高一下·山东·期中）如图，圆锥PO的底面直径和高均是，过的中点'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为； 【分析】根据圆锥，圆柱的侧面积，表面积和体积公式即可求出 【详解】设圆柱的底面半径为，由三角形中位线定理可知，，圆柱母线长， 而圆锥的母线长为，所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为 圆锥的表面积加上圆柱的侧面积， 即， 圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积， 即． 10．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，圆台上下底面半径分别为1，2，，为其两条母线，且母线长为2．    (1)证明：四边形为等腰梯形； (2)若在圆台内部挖去一个以O为顶点，圆为底面的圆锥，求剩余部分的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆台的性质可知，，，故四边形为等腰梯形. （2）剩余部分的体积等于圆台的体积减去圆锥的体积. 【详解】（1）因为，为圆台两条母线， 所以，且它们都在同一个平面内， 又由于圆台的上下底面都是圆，由圆的同心性和圆台的形成可知，， 故四边形为等腰梯形. （2）如图所示： 连接,过点作于点，    则,所以由勾股定理得高， ， ， 故剩余部分的体积. 11．（23-24高一下·福建福州·期末）罗星塔，位于福州马尾，某校开展数学建模活动，有学生选择测量罗星塔的高度，为此，他们设计了测量方案，如图， 罗星塔垂直于水平面，他们选择了与罗星塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得∠ADB=45°， AB=30米，且在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和 ，其中 . (1)求罗星塔的高 CD的长； (2)在(1)的条件下求多面体A-BCD的表面积； (3)在(1)的条件下求多面体A-BCD的内切球的半径. 【答案】(1)30； (2)平方米； (3)米. 【分析】（1）设塔高，用x表示、，再利用余弦定理列方程求解即可； （2）利用题意判断四个面均为直角三角形，结合（1）的结果，利用三角形面积公式分别求出四个面的面积，求和即可； （3）根据题意将多面体分为以各面为底，内切球半径为高的四个三棱锥，利用等体积法即可求解. 【详解】（1）设米， 在中，，则，   在中，，且， 则，所以，   因为，所以由余弦定理得：， 整理得：，解得x=30（米） （2）由（1）知均为直角三角形， ，所以， 所以在中，满足，所以为直角三角形； 所以，   所以平方米； （3）设多面体的内切球的半径为，根据等体积转换： 所以米； 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（    ） A．16 B．22 C．26 D．28 【答案】D 【分析】设三棱柱的高为a，四棱锥的底面边长为b，棱台的高为h，依题意列方程组可解得，然后可得棱台体积. 【详解】由正四棱台性质可知，四棱锥的底面为正方形， 设三棱柱的高为a，四棱锥的底面边长为b，棱台的高为h， 由题知，可得，解得， 所以棱台的体积. 故选：D 2．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定旋转一周形成的旋转体的形状，结合圆台侧面积公式以及球的表面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知阴影部分以AB所在直线为轴，旋转一周形成的旋转体为一个圆台挖去半个球， 其中圆台的上下底面半径为2和5，高为4，母线长为， 挖去半球的半径为2， 故形成的旋转体的表面积为， 故选：B 3．（24-25高一上·湖南娄底·期中）已知球是三棱锥的外接球，，则当点到平面的距离取最大值时，球的表面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】底面为等边三角形，，当点到平面的距离取最大值时，平面，三棱锥的外接球即为正三棱柱的外接球，根据正三棱柱的特征结合球的表面积公式即可求解. 【详解】因为，当点到平面的距离取最大值时，则平面， 又，所以为等边三角形， 过点作与平面平行的平面，，得到正三柱， 则三棱锥的外接球即为正三棱柱的外接球，如图：   ， 设外接球半径为， 则， 所以球的表面积. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据，且点到平面的距离取最大值，确定平面，将三棱锥的外接球转化为正三棱柱的外接球是解决本题的关键. 4．（22-23高一下·福建龙岩·期中）已知正六棱锥的侧棱长为，底面边长为2，点为正六棱锥外接球上一点，则三棱锥体积的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据锥体的结构特征求正六棱锥的高，再求其外接球的半径，再求球心到平面的距离，最后结合锥体的体积公式求三棱锥体积的最大值即可. 【详解】由题意可得正六棱锥的高为， 设正六棱锥的外接球的球心到底面的距离为， 设外接球半径为，则， ， 解得， 设外接球的球心为，则即为正六边形的中心，连接， 过作交于，过作交于，    因为底面，底面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面，即为球心到平面的距离， 因为，， 所以在中由等面积法可得，解得， 因此点到平面的最大距离为， 因为，所以三棱锥体积的最大值为， 故选：B 【点睛】关键点睛：解决多面体和球的切接问题的关键在于确定球心的位置，求出球的半径. 二、多选题 5．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）在等腰梯形中，，，，点，分别为，的中点，以所在直线为旋转轴，将梯形旋转得到一旋转体，则（    ） A．该旋转体是一个圆台 B．该旋转体的表面积为 C．直线与旋转体的上底面所成角的正切值为 D．该旋转体的外接球的体积为 【答案】ACD 【分析】根据圆台的表面积，结合直线与平面所成的角定义、圆台的外接球的性质、球的表面积进行逐一判断即可． 【详解】对A,由题意可知，所得到的旋转体是圆台，A选项正确； 对B,如图．    因为， 所以圆台的上、下底面的半径分别满足． 又， 所以该圆台的表面积，所以B不正确． 对C,圆台的上、下底面平行， 过点分别作于点于点， 则，所以， 所以直线与圆台的上底面所成的角等于其与圆台的下底面所成的角． 为直线与下底面所成的角． 又，所以，所以C正确． 对D,设该圆台的外接球的半径为，球心为． 当点O在线段上时，．由，得，即，解得． 当点O在线段的延长线上时，．由，得，即． 化简，得，此时m无解． 所以， 则该旋转体的外接球的表面积，所以D正确． 故选：ACD. 6．（22-23高一下·广东·期中）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是和，且，则该圆台的（    ） A．高为 B．体积为 C．表面积为 D．内切球的表面积为 【答案】AC 【分析】根据圆台的侧面展开图，求得圆台上下底面半径、母线长，然后可求得圆台的高、体积、表面积和内切球的半径，从而确定正确答案. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为， 则，即；，即； 又圆台的母线长， 所以圆台的高，A正确； 圆台的体积，B错误； 圆台的表面积，C正确； 因为，即圆台的母线长等于上下底面半径和， 所以圆台的高即为内切球的直径， 所以内切球的半径为， 所以内切球的表面积为，D错误. 故选：AC. 三、填空题 7．（23-24高一下·河北·期中）已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为，则圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】根据圆锥的特征，再找到球心的位置，再结合勾股定理得出高. 【详解】 设圆锥高，而母线，在中，则， 设圆锥外接球的半径为R，显然外接球的球心为O在高上， 球心O到底面圆心的距离，由，得， 因此，解得，所以长为． 故答案为：. 8．（23-24高一下·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 【答案】 【分析】把正四面体分割成以内切球球心为顶点的4个小三棱锥，利用等体积法求出内切球半径，进一步计算即可. 【详解】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为3，高为，的中点为， 连接，，，，，， 由 则， 正四面体的高. 因为，所以， 所以； 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，同理； 故该模型中5个球的表面积之和为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于借助等体积求出大球，小球的半径，由此结合表面积公式即可求解. 9．（23-24高一下·天津河北·期中）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥的体积为 ；四棱锥的表面积是 .    【答案】 【分析】由题意得出四棱锥的底面是边长为的正方形，四个侧面都是边长为的等边三角形，进一步结合棱锥的体积、表面积公式即可求解. 【详解】第一空：由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积， 顶点到底面四边形的距离为， 由四棱锥的体积公式可得：. 第二空：如图所示：    设为中点，为正方形中心，则，， 显然，所以正四棱锥的侧棱，同理， 又，所以正四棱锥的四个侧面都是边长为的等边三角形， 设四棱锥的表面积是， 则. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：关键在于得出所求四棱锥的特征，进一步结合对称性，求出表面积、体积公式中相应的长度或者面积，由此即可顺利得解. 四、解答题 10．（23-24高一下·福建三明·期中）如图，在直三棱柱中，，. (1)求该直三棱柱的表面积S与体积V； (2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱 （ⅰ）这样的大棱柱有几种拼法？在原图基础上画出其中两种拼后的简图（不需要用斜二测画）； （ⅱ）这几种拼法中大棱柱表面积最大时，求此大棱柱的外接球的体积. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）3种（或4种），作图见解析；（ⅱ） 【分析】（1）由棱柱的表面积公式以及体积公式即可代入数值求解， （2）（ⅰ）根据棱柱的几何性质即可列举求解，（ⅱ）根据直棱柱的性质求解球半径，即可由体积公式求解. 【详解】（1）； ， . （2）（ⅰ）3种（或4种）（说明：后两种可以视为一种)， 画其中两种即可. （ⅱ）由题得：，在所有的拼法中组合1重合的面的面积最小， 则组合1大柱体的表面积最大， 此时外接球直径， 则，故. 11．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，从底面半径为，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆锥. 求原圆柱的表面积与挖去圆锥后的几何体的表面积的值. 【答案】， 【分析】根据圆柱和圆锥的表面积公式结合已知条件求解即可. 【详解】因为圆柱的底面半径为，高为， 所以圆柱的表面积， 因为圆锥的底面半径为，高为， 所以圆锥的母线长为， 所以 . 12．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． (1)求该圆台的表面积； (2)求四棱锥的体积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由余弦定理可求得，由正弦定理可得下底面半径，可求以圆台表面积； （2）由三角形面积公式可求得的面积，在中，由余弦定理得，可得，则的面积，得到底面ABCD面积的最大值，再在轴截面直角梯形中，由勾股定理求出圆台的高，即可求得四棱锥的体积的最大值． 【详解】（1） 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 得， 由正弦定理可知外接圆直径， 所以下底面半径，上底面半径， 圆台侧面积， ， 所以圆台表面积． （2）在四边形ABCD中，， 在中，由余弦定理， 得， 所以，当且仅当时“”成立， 所以的面积， 底面ABCD面积的最大值为， 在轴截面直角梯形中，由勾股定理可得， 所以四棱锥的体积的最大值为． 13．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. 【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以.    设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. （2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.    14．（23-24高一下·河南安阳·期中）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，.    (1)证明： (2)若，当与平面所成角的正弦值最大时，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）首先证明平面，进而证出， 为中点，证明出为等腰三角形即可； （2）由题意设，解出，再根据体积相等求出，由基本不等式解出最大值，并解出的值，进而解出四棱锥的体积即可. 【详解】（1）    如图，连接，设，连接， 因为平面平面，故， 而平面， 故平面，而平面，故， 由四边形为平行四边形可得， 故为等腰三角形，即； （2）设， 由（1）可得平面，而平面，故， 故四边形ABCD为菱形，而，故， 因为平面平面，故， 故，同理， 而，故， 设为点到平面的距离，与平面所成的角为，， 故， 又， 而， 故，故， 故， 当且仅当即时等号成立，所以， 故此时. 【点睛】方法点睛：设出，等体积法结合基本不等式是解决立体几何体积问题的一种重要方法. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$