专题27 平行四边形中的最值问题的十二种求法技巧（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题突破及提优测试卷（人教版）

专题27 平行四边形中的最值问题的十二种求法技巧（原卷版） 类型一 利用垂线段最短求一条线段的最小值问题 1．（2024•沂源县二模）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的动点，连接和，，分别为，的中点，连接，则的最小值为　　 A． B． C． D．1 2．（2024春•宽城区期末）如图，在中，，，为边上一动点，作于点，于点，则的最小值为　　 A．3 B． C．4 D． 3．（2022秋•惠济区期末）如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是　　 A．3 B．6 C．8 D．10 4．（2022春•公安县期末）如图，正方形的边长为2，为对角线上一动点，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为　　 A． B． C． D． 类型二 利用将军饮马模型解决型最小值 5．（2024春•北海期末）如图所示，四边形是正方形，边长为6，点、分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且点的坐标为，是上一动点，则的最小值为　　 A．5 B． C．4 D．6 6．（2022春•惠州期末）如图，正方形的面积为9，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为　　 A．3 B．6 C．9 D．4 7．（2023春•厦门期中）如图，在中，，，，点、分别是和上的动点，在点和点运动的过程中，的最小值为　　 A．4 B．3 C． D． 类型三 将军饮马问题的拓展（作两个点的对称点） 8．（2022•泰安模拟）如图，，点、分别在边、上，且，，点、分别在边、上，则的最小值是　　 A． B． C． D． 9．（2024•雁塔区开学）如图，已知正方形边长为3，点在边上且，点，分别是边，的动点（均不与顶点重合），则四边形的周长的最小值是　 ． 类型四 取直角三角形斜边中点构造三角形求线段的最大值 10．（2024秋•江阴市期中）如图，，矩形的顶点、分别在、上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，，则运动过程中，点到点的最大距离为 　 ． 类型五 逆等线段求最值（构造全等三角形把线段接起来） 11．（2024•雁塔区模拟）如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为 　 ． 12．（2023•陵城区一模）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 　 ． 类型六 先确定动点轨迹，再运用将军饮马模型 13．（2024•肇源县开学）如图，是边长为8的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 　 ． 类型六 先确定动点轨迹，再运用“一箭穿心”确定最小值 14．（2022春•南关区月考）实验与探究 操作一：如图①是一张矩形纸片，点在边上，把沿直线翻折，使点落在对角线上的点处，连结，且点、、在同一直线上， 若，则　 　． 操作二：如图②，矩形纸片的中，，点是的中点，点是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连结，则线段的最小值是 　　． 类型七 先确定动点轨迹，再运用垂线段最短确定最小值 15．（2022春•靖江市期末）如图，线段的长为10，点在上，是边长为3的等边三角形，过点作与垂直的射线，过上一动点（不与重合）作矩形，记矩形的对角线交点为，连接，则线段的最小值为 　 　． 类型八 运用代数法（配方法）求最值 16．（2022•市北区二模）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，．、分别是对角线，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离最短为　 （结果保留根号）． 类型九 先构造全等三角形，再运用垂线段最短确定最小值 17．（2023春•鼓楼区期中）如图，正方形中，，动点在边上，以为直角边向上作正方形，连接，则在运动过程中最小值为 　 ． 18．（2023•天山区三模）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 　 ． 类型十 费马点求最值（构造等边三角形及构造全等三角形把线段接起来） 19．（2021秋•肥城市期中）如图，在中，，，．若点是内一点，求的最小值． 类型十一 综合运用将军饮马模型与一箭穿心方法 20．（2022秋•渝水区月考）如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为　　 A．14 B．16 C．18 D．20 类型十二 胡不归问题（转化为将军饮马问题） 21．（2021•罗湖区模拟）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于　　 A． B．3 C． D． 22．（2022•常州一模）如图，中，，，，为边上一动点，则的最小值等于 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27 平行四边形中的最值问题的十二种求法技巧（解析版） 类型一 利用垂线段最短求一条线段的最小值问题 1．（2024•沂源县二模）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的动点，连接和，，分别为，的中点，连接，则的最小值为　　 A． B． C． D．1 【答案】 【思路引领】连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题． 【详解】连接，如图所示： 四边形是菱形， ， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 当时，最小，得到最小值， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即的最小值为， 故选：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 2．（2024春•宽城区期末）如图，在中，，，为边上一动点，作于点，于点，则的最小值为　　 A．3 B． C．4 D． 【答案】 【思路引领】连接，先求出的长，再证明四边形是矩形，得，然后由垂线段最短，得出当时，线段的值最小，进而由等腰直角三角形的性质求出的长，即可得出结果． 【详解】如图，连接， ，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得，当时，线段的值最小， 此时，， ， 的最小值为， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 3．（2022秋•惠济区期末）如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是　　 A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】 【思路引领】平行四边形的对角线的交点是的中点，当时，最小，即最小，根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】平行四边形的对角线的交点是的中点，当时，最小，即最小． ，， ， ，，， ， 又， ， 是的中位线， ， ． 故选：． 【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解最小的条件是关键． 4．（2022春•公安县期末）如图，正方形的边长为2，为对角线上一动点，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【思路引领】先证得，得出，为的对角线上一动点，点从点运动到点的过程中，当时，的周长有最小值，由等腰直角三角形性质可得的最小值为，即可求得答案． 【详解】正方形的边长为2， ，， ， 中，，， ， 在和中， ， ， ， 为的对角线上一动点，点从点运动到点的过程中，当时，的周长有最小值， 又，， ， 又中，，， ， 的周长的最小值． 故选：． 【点睛】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算．依据点到直线的距离垂线段最短，可得当时，最小，即的周长最小，这是解题的关键． 类型二 利用将军饮马模型解决型最小值 5．（2024春•北海期末）如图所示，四边形是正方形，边长为6，点、分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且点的坐标为，是上一动点，则的最小值为　　 A．5 B． C．4 D．6 【答案】 【思路引领】如图，作点关于的对称点，连接，．求出，根据，可得结论． 【详解】如图，作点关于的对称点，连接，． 四边形是正方形， 平分， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，坐标有图形性质，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 6．（2022春•惠州期末）如图，正方形的面积为9，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为　　 A．3 B．6 C．9 D．4 【思路引领】此题考查轴对称，最短路线问题，可由两点之间线段最短再结合题意进行求解． 【详解】正方形的面积为9，是等边三角形， 连接，则， 那么， 因此当、、在一直线的时候，最小， 也就是， 故选：． 【点睛】熟练掌握轴对称的性质，等边三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 7．（2023春•厦门期中）如图，在中，，，，点、分别是和上的动点，在点和点运动的过程中，的最小值为　　 A．4 B．3 C． D． 【答案】 【思路引领】取的中点，连接．首先证明，作点关于的对称点，连接，作于，则的长即为的最小值， 【详解】取的中点，连接． ，， 是等边三角形， ，， ， ，作点关于的对称点，连接，作于， ，， 是等边三角形， ， ， 则的长即为的最小值（垂线段最短）， ， 的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称，根据垂线段最短解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 类型三 将军饮马问题的拓展（作两个点的对称点） 8．（2022•泰安模拟）如图，，点、分别在边、上，且，，点、分别在边、上，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【思路引领】作关于的对称点，作关于的对称点，连接，即为的最小值；证出为等边三角形，为等边三角形，得出，由勾股定理求出即可． 【详解】作关于的对称点，作关于的对称点，如图所示： 连接，即为的最小值． 根据轴对称的定义可知：，， 为等边三角形，为等边三角形， ，，， 在△中， ． 故选：． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键． 9．（2024•雁塔区开学）如图，已知正方形边长为3，点在边上且，点，分别是边，的动点（均不与顶点重合），则四边形的周长的最小值是　　． 【考点】正方形的性质；轴对称最短路线问题 【思路引领】根据最短路径的求法，先确定点关于的对称点，再确定点关于的对称点，连接即可得出，的位置； 【详解】如图所示： 作关于的对称点，点关于的对称点，连接，四边形的周长最小， ，， ，． ， 四边形的周长最小值． 【点睛】本题考查了轴对称，利用轴对称确定、，连接得出、的位置是解题关键． 类型四 取直角三角形斜边中点构造三角形求线段的最大值 10．（2024秋•江阴市期中）如图，，矩形的顶点、分别在、上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，，则运动过程中，点到点的最大距离为 　　． 【答案】． 【思路引领】取的中点，连接、、，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当、、三点共线时，点到点的距离最大，再根据勾股定理列式求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，两者相加即可得解． 【详解】如图，取的中点，连接、、， ， 当、．三点共线时，点到点的距离最大， 此时，点到点的距离最大， ，， ， ， 的最大值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题关键在于作辅助线． 类型五 逆等线段求最值（构造全等三角形把线段接起来） 11．（2024•雁塔区模拟）如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为 　　． 【答案】． 【思路引领】过点作于点，过点作于点，延长，过点作于点，证明，则，然后再根据垂线段最短来进行计算即可． 【详解】如图，过点作于点，过点作于点， 在中， ，， ，， 在中，， ， ， 点为中点， ， 在与中， ， ， ， 延长，过点作于点， 可得， 在中，， 当直线时，最大值为， 综上所述，的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键． 12．（2023•陵城区一模）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 　　． 【答案】 【思路引领】如图，的下方作，截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可． 【详解】如图，的下方作，截取，使得，连接，． 四边形是菱形，， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 类型六 先确定动点轨迹，再运用将军饮马模型 13．（2024•肇源县开学）如图，是边长为8的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 　　． 【答案】． 【思路引领】分析已知，可证明，得，可知点在外，使的射线上，根据将军饮马型，求得的最小值便可求得本题结果． 【详解】是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形，是高， ，， 过点作，交的延长线于点，延长到，使得，连接，，与交于点，连接，， 则，， ， 为等边三角形， ， 垂直平分， ，， ， ， 当与重合时，即、、三点共线时，的值最小为：， 的周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，将军饮马的应用，关键在于证明三角形全等确定点运动轨迹． 类型六 先确定动点轨迹，再运用“一箭穿心”确定最小值 14．（2022春•南关区月考）实验与探究 操作一：如图①是一张矩形纸片，点在边上，把沿直线翻折，使点落在对角线上的点处，连结，且点、、在同一直线上， 若，则　40　． 操作二：如图②，矩形纸片的中，，点是的中点，点是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连结，则线段的最小值是 　　． 【答案】操作一：（1）40； （2）的长为； 操作二：． 【思路引领】操作一：由四边形是矩形得，，由翻折得，则，所以； 操作二：连结，四边形是矩形，，，得，，则，根据勾股定理求得的长为，根据“两点之间，线段最短”得，即可求得的最小值为． 【解答】操作一： 解：（1）如图①，四边形是矩形， ，， 由翻折得， ， 点、、在同一直线上， ， 故答案为：40． 操作二： 解：如图②，连结， 四边形是矩形，，， ，， 点是的中点， ， ， 由翻折得， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、“两点之间，线段最短”等知识，此题难度较大，属于考试压轴题． 类型七 先确定动点轨迹，再运用垂线段最短确定最小值 15．（2022春•靖江市期末）如图，线段的长为10，点在上，是边长为3的等边三角形，过点作与垂直的射线，过上一动点（不与重合）作矩形，记矩形的对角线交点为，连接，则线段的最小值为 　5　． 【答案】5． 【思路引领】连接，根据矩形对角线相等且互相平分得：，再证明，则；点一定在的平分线上运动，根据垂线段最短得：当时，的长最小，根据直角三角形角所对的直角边是斜边的一半得出结论． 【详解】连接， 四边形是矩形， ，，， ， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， 点一定在的平分线上运动， 当时，的长度最小， ，， ， 即的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，利用了矩形对角线相等且平分的性质得对角线的一半相等，为三角形全等用铺垫；另外还利用了垂线段最短解决了求最值问题． 类型八 运用代数法（配方法）求最值 16．（2022•市北区二模）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，．、分别是对角线，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离最短为　　（结果保留根号）． 【思路引领】连接、．首先证明，设，则，，．构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】连接、． 四边形，四边形是菱形，， ，， ，分别是对角线，的中点， ，， ， 设，则，，． ． 当时，点，之间的距离最短，最短距离是． 解法二：连接、、，构造中位线解决，当与或垂直时，取最值． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、配方法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，运用勾股定理，再运用配方法解决最值问题． 类型九 先构造全等三角形，再运用垂线段最短确定最小值 17．（2023春•鼓楼区期中）如图，正方形中，，动点在边上，以为直角边向上作正方形，连接，则在运动过程中最小值为 　　． 【答案】． 【思路引领】如图，过作的延长线于，连接，由正方形的性质可得，，，，则，证明，则，，，，可得是等腰直角三角形，，即在的平分线上运动，当，即是等腰直角三角形时，最小，由勾股定理得，，即，计算求解满足要求的解即可． 【详解】如图，过作的延长线于，连接， 由正方形，正方形，可得，，，， ，， ， ，，， ， ，， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， 在的平分线上运动， 当，即是等腰直角三角形时，最小， 由勾股定理得，，即， 解得，（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确点的运动轨迹． 18．（2023•天山区三模）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 　　． 【答案】． 【思路引领】如图，以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点在射线上运动，求出，可得结论． 【详解】如图，以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于． 四边形是矩形， ， ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ，， ，， 点在射线上运动， ， ， ，， ，， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点的在射线上运动，属于中考填空题中的压轴题． 类型十 费马点求最值（构造等边三角形及构造全等三角形把线段接起来） 19．（2021秋•肥城市期中）如图，在中，，，．若点是内一点，求的最小值． 【答案】． 【思路引领】根据题意，首先以点为旋转中心，顺时针旋转到△，旋转角是，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到，再根据两点之间线段最短，可以得到的最小值就是的值，然后根据勾股定理可以求得的值，从而可以解答本题． 【详解】以点为旋转中心，顺时针旋转到△，旋转角是，连接、，如图所示， 则，，， 是等边三角形， ， ， ， 的最小值就是的值， 即的最小值就是的值， ，，， ，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出的最小值就是的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 类型十一 综合运用将军饮马模型与一箭穿心方法 20．（2022秋•渝水区月考）如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为　　 A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】 【思路引领】如图作点关于的对称点，连接，．由，推出，又是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值． 【详解】如图作点关于的对称点，连接，． 在中， ，， ， ， ， 是定值， 当、、、共线时，定值最小，最小值， 的最小值为18， 故选：． 【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 类型十二 胡不归问题（转化为将军饮马问题） 21．（2021•罗湖区模拟）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于　　 A． B．3 C． D． 【答案】 【思路引领】过点作，交的延长线于点，由锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为． 【详解】如图，过点作，交的延长线于点， ， ， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 22．（2022•常州一模）如图，中，，，，为边上一动点，则的最小值等于 　　． 【答案】． 【思路引领】过点作，交的延长线于点，有锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为． 【详解】如图，过点作，交的延长线于点， ， ， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型 1 学科网（北京）股份有限公司 $$