精品解析：安徽省巢湖市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

九年级数学 上册第二十一章~下册第二十七章 说明：共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的是二次函数．根据二次函数的定义，逐个判断即可． 【详解】解：A、是是二次函数，符合题意； B、不是二次函数，不符合题意； C、是一次函数，不符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 2. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）． A. 图象位于第一，第三象限 B. 图象必经过点 C. 图象不可能与坐标轴相交 D. y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．∵k＝6＞0， ∴图象位于第一，第三象限， 故A正确，不符合题意； B．∵−2×（−3）＝6＝k， ∴图象必经过点， 故B正确，不符合题意； C．∵x≠0， ∴y≠0， ∴图象不可能与坐标轴相交， 故C正确，不符合题意； D．∵k＝6＞0， ∴在每一个象限内，y随x的增大而减小， 故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 3. 如图，四边形四边形，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，根据相似多边形的性质求出，根据四边形内角和等于计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由拋物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 则根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 5. 中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（ ） A. B. ． C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法活画树状图求随机事件的概率，根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】解：《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》分别用表示， ∴用列表法把所有等可能结果表示出来如下， 共有中等可能结果，其中恰好选中《周髀算经》的结果有种， ∴恰好选中《周髀算经》的概率为， 故选：A ． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式与根的关系得出，即，然后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴． 故选B． 7. 如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质得到，，，推出是等边三角形，根据含30度直角三角形的性质求出，求出，进而求出． 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 8. 如图，在中，，为边上的三等分点，点，在边上，，为与的交点．若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，先利用得到，则根据相似三角形的性质即可计算出，再利用证明，则根据相似三角形的性质即可计算出， 然后利用线段的和差解题． 【详解】解：∵，为边上的三等分点， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴. 故选： A． 9. 已知a≠0，函数y＝与y＝ax2﹣a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：当a＞0时，，所以，函数y＝的图象位于二、四象限，y＝ax2﹣a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合； 当a＜0时，，函数y＝的图象位于一、三象限，y＝ax2﹣a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大． 10. 如图，在平面直角坐标系中，，是正方形中，边上的点，且，，，点的坐标为，将以点为旋转中心顺时针旋转，则点的对应点坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质得，再运用勾股定理列式计算，然后结合旋转性质，证明，整理得，结合，得出，即可作答． 【详解】解：四边形是正方形，点的坐标为， ． ， ． 在中，． 如图，由题意可知旋转后点的对应点在直线上，过点作轴于点， 则， ， ， ． 设为， 则， 在Rt中，， 即， 解得（负值舍去）， ， 点的坐标为． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转性质，坐标与图形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，已知，，如果，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 由平行线分线段成比例定理可得，进而可得，根据列方程求解，即可求得的长． 【详解】解：， ， ， 又， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，点，，在上，是的角平分线，若，则的度数为_____． 【答案】30° 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出，再由角平分线的性质可得到结果； 【详解】∵， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， 故答案． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用，准确运用角平分线的性质是解题的必要步骤． 13. 在对物体做功一定的情况下，力（单位：）与此物体在力的方向上移动的距离（单位：m）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是______m． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数的解析式是解题关键．先根据反比例函数图象上点的坐标特点求出反比例函数的解析式，再把代入计算即可得． 【详解】解：∵力（单位：）与此物体在力的方向上移动的距离（单位：）成反比例函数关系， ∴设其函数关系式为， 将点代入得：， ∴这个反比例函数的解析式为， 把代入得：， 即当力为时，此物体在力方向上移动的距离是． 故答案为：12． 14. 我们规定对角互补的四边形叫作“对补四边形”，如图，四边形是“对补四边形”，它的一组对边和的延长线交于点，已知，，． （1）的长为______． （2）若的面积为，则“对补四边形”的面积为______． 【答案】 ①. 9 ②. 12 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，理解并掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键． （1）根据“对补四边形”定义可知，进而证明，利用其性质即可求解； （2）根据相似三角形面积比与相似比的关系求的面积，再根据“对补四边形”的面积为即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是“对补四边形”， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 故答案为：9； （2）∵，且相似比为， ∴， 则， ∴“对补四边形”的面积为， 故答案：12． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解： ， 因式分解，得， 解得或， ，． 16. 已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，由顶点设二次函数的解析式为，再把代入计算即可． 【详解】解：设该二次函数的解析式为． 该二次函数的图象经过点， ， ， 该二次函数的解析式为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． （1）以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出（点，的对应点分别为点，），并直接写出点的坐标． （2）以点为位似中心，将按相似比为2放大，得到，在网络中画出（点，，的对应点分别为点，，），并直接写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示，； （2）如图所示，． 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图和位似作图，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键． （1）先根据旋转的性质确定点，的位置，然后连线，再写出点的坐标； （2）先根据位似的性质确定点，，的位置，然后连线，再写出点的坐标； 【小问1详解】 解：如图，即为所求，， 【小问2详解】 解：如图，即为所求，． 18. 如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，，．若测得影长米，标杆米，影长米，求楼高． 【答案】楼高为12.8米． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ． ， ， ， ， ， 解得， 楼高为12.8米． 五、（本大题共2小题．每小题10分，满分20分） 19. 2024年5月18日是第48个国际博物馆日，主题为“博物馆致力于教育与研究”本届国际博物馆日中国主会场定于陕西历史博物馆秦汉馆．为了提升博物馆的服务质量，以便更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．某校现有10名志愿者准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人，女生4人． （1）若从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______； （2）若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张，若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则，乙参加．请用画树状图或列表法说明该游戏对双方公平吗？ 【答案】（1） （2）这个游戏不公平 【解析】 【分析】本题考查的是用概率公式求概率，游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求出即可； （2）利用树状图表示出所有可能进而利用概率公式求出两人的概率，再比较概率大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：共10名志愿者，女生4人， 选到女生的概率是：； 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意画图如下： 共有12种情况，和为偶数的情况有4种， 牌面数字之和为偶数的概率是， 甲参加的概率是，乙参加的概率是， 这个游戏不公平． 20. 如图，直线，都与反比例函数的图象交于点，这两条直线分别与轴交于，两点． （1）求的值． （2）在第一象限内，根据图象直接写出不等式的解集 （3）若点在反比例函数的图象上，的面积为14，求此时点的坐标． 【答案】（1）6； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）将点代入直线，确定点坐标，然后利用待定系数法求的值即可； （2）结合图像，即可获得答案； （3）首先确定点的坐标，求出，根据求出，进而可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入直线， 可得， ∴， 将点代入双曲线， ∵可得，解得； 【小问2详解】 解：∵直线与双曲线交于点， 结合图像可知，不等式的解集为； 【小问3详解】 解：对于直线， 令，可有，解得， ∴， 将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线解析式为， 令，可得，解得， ∴， ∴． ∵的面积为14，， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、数形结合确定解析式构成不等式的解集、三角形面积之比等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，，，，是上一个动点，连接，点在上，与相切于点且经过点，与和分别交于点和点，连接． （1）求长． （2）连接交于点，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）分别求出，，，．证明，可求出， （2）连接，求解，证明，利用相似三角形的性质可得结论； 【小问1详解】 解：∵与相切于点， ∴， ，， ， ， ∵， ， ． 为的直径， ． ， ， ，即， ． 【小问2详解】 解：如图，连接． 为的直径， ． ，， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在菱形中，，．P是边上的一动点，连接，将绕点P逆时针旋转得到． （1）如图1，当点落在射线上时，求的长． （2）如图2，连接． ①当点B，到的距离相等时，求的长； ②如图3，当点落在射线上时，求的长． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质得到，，利用旋转的性质得到，，再结合直角三角形性质和勾股定理求解，即可解题； （2）①作于点，于点，证明，得到，结合旋转的性质，等腰三角形性质得到，再由由（1）同理可得，，，即可解题； ②作于点，结合旋转的性质和菱形的性质证明，进而得到，再结合等腰三角形性质得到，最后结合解直角三角形求解，即可解题． 【小问1详解】 解：菱形中，，， ，， 由旋转的性质可知，，， 点落在射线上， ， ，即， ， ； 【小问2详解】 解：①作于点，于点， ， 点B，到的距离相等， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）同理可得，，， ， ； ②作于点， ，， ， 为菱形的对角线，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，解直角三角形，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点，为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式及的值． （2）过点作轴，垂足为，点在直线下方的抛物线上运动，过点作，，垂足在线段上． ①求面积的最小值； ②求的最大值． （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线上有一点在第三象限内，使得，请直接写出符合条件的点的横坐标． 【答案】（1）， （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）将点和点代入中运算求解即可； （2）①由分析出的位置，求出的长后利用面积公式求解即可； ②过点作轴交于点，求出直线的解析式，设点，利用含的式子表达出和的长度进行求解即可； （3）分析出原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到新抛物线的解析式，设直线交轴于点，过点作延长线于点，求出直线的表达式，再联立两个函数式子运算求解即可． 【小问1详解】 将点和点代入中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为 将代入中，得； 【小问2详解】 ①解：∵，为定值， ∴当最小时，的面积最小，此时点与点重合， ∵，， ∴点的纵坐标为 将代入中，得， 解得，， ∴， ∴； ②解：如图1，过点作轴交于点， 设直线的解析式为：，代入，可得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 又∵， ∴，， ∴， ∴ ∵轴， ∴轴 ∴， ∴，则， ∴， 设点，则点， ∴． ∵， ∴当时，有最大值， 把代入可得： ∴的最大值为； 【小问3详解】 原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，如图2，则新抛物线的表达式为①， 设直线交轴于点，过点作延长线于点， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 设，则，即，则， ∴，则， ∴点， 设直线的解析式为，代入，可得：， 解得：， ∴直线的表达式为②， 联立①②得， 解得（不合题意的值已舍去）． 【点睛】本题为二次函数与几何综合，其中涉及到了二次函数的图象性质，一次函数与二次函数交点特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定及性质，平移变换，三角函数解直角三角形等知识点，利用数形结合思想以及合理作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 上册第二十一章~下册第二十七章 说明：共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C D. 2. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）． A. 图象位于第一，第三象限 B. 图象必经过点 C. 图象不可能与坐标轴相交 D. y随x的增大而减小 3. 如图，四边形四边形，，，，则度数为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（ ） A. B. ． C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 7. 如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 如图，在中，，为边上的三等分点，点，在边上，，为与的交点．若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 已知a≠0，函数y＝与y＝ax2﹣a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，，是正方形中，边上的点，且，，，点的坐标为，将以点为旋转中心顺时针旋转，则点的对应点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，已知，，如果，那么_________． 12. 如图，点，，在上，是的角平分线，若，则的度数为_____． 13. 在对物体做功一定的情况下，力（单位：）与此物体在力的方向上移动的距离（单位：m）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是______m． 14. 我们规定对角互补的四边形叫作“对补四边形”，如图，四边形是“对补四边形”，它的一组对边和的延长线交于点，已知，，． （1）的长为______． （2）若的面积为，则“对补四边形”的面积为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． （1）以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出（点，的对应点分别为点，），并直接写出点的坐标． （2）以点为位似中心，将按相似比为2放大，得到，在网络中画出（点，，的对应点分别为点，，），并直接写出点的坐标． 18. 如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，，．若测得影长米，标杆米，影长米，求楼高． 五、（本大题共2小题．每小题10分，满分20分） 19. 2024年5月18日是第48个国际博物馆日，主题为“博物馆致力于教育与研究”本届国际博物馆日中国主会场定于陕西历史博物馆秦汉馆．为了提升博物馆的服务质量，以便更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．某校现有10名志愿者准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人，女生4人． （1）若从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______； （2）若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张，若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则，乙参加．请用画树状图或列表法说明该游戏对双方公平吗？ 20. 如图，直线，都与反比例函数的图象交于点，这两条直线分别与轴交于，两点． （1）求的值． （2）在第一象限内，根据图象直接写出不等式的解集 （3）若点在反比例函数的图象上，的面积为14，求此时点的坐标． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，，，，是上一个动点，连接，点在上，与相切于点且经过点，与和分别交于点和点，连接． （1）求的长． （2）连接交于点，求的值． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在菱形中，，．P是边上一动点，连接，将绕点P逆时针旋转得到． （1）如图1，当点落在射线上时，求的长． （2）如图2，连接． ①当点B，到的距离相等时，求的长； ②如图3，当点落在射线上时，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点，为抛物线上一点． （1）求抛物线解析式及的值． （2）过点作轴，垂足为，点在直线下方的抛物线上运动，过点作，，垂足在线段上． ①求面积的最小值； ②求的最大值． （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后抛物线上有一点在第三象限内，使得，请直接写出符合条件的点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $