精品解析：福建省莆田市仙游县2024-2025学年上学期九年级期末考数学试卷

仙游县2024-2025学年上学期九年级期末质量调研测试 数学试卷 本卷满分：150分 作答时间：120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 年月日，中国航天员在太空中完成了长达小时的太空行走，打破了美国于年创造的世界最长单次太空行走纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不能重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不能重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形能重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不能重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 2，0， B. 2，2， C. 2，2，1 D. 2，0，1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，， 答案：A． 3. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程定义是解题的关键， 根据一元二次方程的定义∶只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】方程是关于x的一元二次方程， ， 解得：， 故选：C． 4. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，向上一面的点数是偶数，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可求解． 【详解】掷一次骰子，向上一面的点数是偶数，这个事件是随机事件， 故选A. 5. 据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则列（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用， 设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，根据2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆则可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x， 根据题意有： 故选：D． 6. 有“枇杷之乡”之称的书峰乡，枇杷种植面积高达近2万多亩，是省定的枇杷主要生产基地和第七批枇杷栽培标准化示范区．某校数学兴趣小组跟踪调查了书峰枇杷某次移栽的成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计书峰枇杷移栽成活的概率约为（ ） A. 0.8 B. 0.85 C. 0.9 D. 0.95 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．由图可知，书峰枇杷移栽成活的棵数占比稳定在0.9，故成活的概率估计值为0.9． 【详解】解：书峰枇杷移栽成活的棵数占比稳定在0.9，故成活的概率估计值为0.9． 故选：C． 7. 如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（ ） A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，通过观察网格确定垂直平分线的交点即可得出答案． 【详解】解：连接，，由图可知，点A与点在同一条竖直网格线上， 且点M为线段的中点， ∴线段的垂直平分线是经过点P、M的水平直线，即旋转中心在直线上． 又∵在网格中，点P到点B的距离为2个单位长度，点P到点的距离为2个单位长度， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． ∴旋转中心是点P． 8. 月日上午时分，世界最长高速公路隧道天山胜利隧道全线贯通．天山胜利隧道的建成将进一步巩固新疆在国家安全和维护边疆稳定中的作用，对于防御外部威胁和保障国家安全具有重要意义．隧道中导洞的横截面如图所示，是以为圆心的圆的一部分．已知路面宽约为，净高，那么圆的半径约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆中垂径定理和勾股定理的知识，掌握以上知识是解题的关键； 【详解】解：由题可得：，，， ∵是的弦， ∴， ∴， 设，， 在中，， 即， 解得：， ∴圆的半径约为， 故选：B； 9. 如图，点A坐标为，点，点是正方形的中心，且点均在反比例函数图象的同一分支上，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确求得D、M的坐标是解题的关键． 由题意可得，；如图：过D作y轴，则 ，再结合正方形的性质可证明可得，进而得到，再根据中点坐标求得点M的坐标为，然后根据均在反比例函数图象的同一分支上得到求解即可． 【详解】解：∵点A坐标为，点， ∴，， 如图：过D作y轴，则 ， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是正方形的中心， ∴点M的坐标为， ∵点均在反比例函数图象的同一分支上， ∴，解得：． 故选D． 10. 已知抛物线与轴的两个交点之间的距离是，将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线与轴的两个交点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的平移，一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，，，，得出，然后由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得的抛物线为，设所得的抛物线与轴的两个交点坐标分别为，，所以，把代入求解即可． 【详解】解：设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴所得的抛物线为， 令，则， 设所得的抛物线与轴的两个交点坐标分别为，， ∴，， ∵ ， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴所得的抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知：点与点关于原点成中心对称，则________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，即横、纵坐标均互为相反数．先根据关于原点对称点的特点求得的值，然后代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，，即，， ， 故答案为：2024． 12. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】解：该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 13. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ． 故答案为． 14. 如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，当时，自变量的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与x轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴是直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴当函数值时，自变量x的取值范围是． 故答案为：． 15. 如图，在边长为的正方形网格中，“叶状”图案（阴影部分）是由半径分别为和，圆心在格点上的两种弧围成的，则该图案的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是轴对称和旋转对称性质、求其他不规则图形的面积，解题关键是由轴对称和旋转对称性质得出该不规则图形面积的求法． 由轴对称和旋转对称性质得到阴影部分面积（圆心角，半径为的扇形面积直角边长为的等腰直角三角形的面积）． 【详解】解：如图，连接，根据轴对称和旋转对称性质可知： ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，边长为的正六边形的两个顶点，在上，，是直径上的两点．分别延长交于两点，得到一个形如“钻石”的多边形．则 ①半径为； ②； ③连接，则； ④． 以上说法正确的有___________．（只需填写序号即可） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】连接、、、，证明得，证明得，求出，根据可判断①；连接，过点作于点，设，则，推出，，根据，得，求出或（舍去），可判断②；连接、、，在上截取，连接，证明是等边三角形，可判断③；分别求出和，可判断④． 【详解】解：连接、、、， ∵边长为的正六边形的两个顶点，在上， ∴， ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径为，故说法①正确； 连接，过点作于点，设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴，故说法②正确； 同理可得：， 连接、、，在上截取，连接， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，故说法③正确； 同理可得：，，， ∴， 又∵ ， ， ∴， ∴，故说法④正确， 综上所述，说法正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查正多边形与圆的有关计算，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先求出a，b，c的值，再求出，然后根据求根公式解答． 【详解】解：， 由， ∵， ∴， ∴． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 【答案】（1），顶点坐标为． （2） 描点、画出函数图象如图： 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式、 画函数图象、二次函数的性质等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． （1）将点代入求得a、b的值可确定函数式，然后化成顶点式确定顶点坐标即可； （2）先列表，然后描点、连线即可． 【小问1详解】 解：将点代入可得： ，解得：， ∴抛物线的函数解析式为：． ∵， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：由，则列表如下： X 0 1 2 3 4 3 0 0 3 19. 非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，仙游县的非物质文化遗产资源丰富，涵盖了多种形式和风格．某学校为了让学生深入了解非物质文化遗产，决定从A（莆仙戏）、B（青黛印染）、C（仙游古典家具制作技艺）、D（皂隶舞）中邀请该项目的传承人进校园宣讲． （1）现有四张看上去无差别的卡片，正面分别写着（莆仙戏）、（青黛印染）、（仙游古典家具制作技艺）、D（皂隶舞），背面图案完全相同．将它们倒扣在桌上，从中随机抽取一张卡片，求抽到A（莆仙戏）项目的概率是___________． （2）若按（1）的方法，该学校决定邀请两个项目的非遗传承人进校园宣讲．请用画树状图或列表的方法，求同时选中B（青黛印染）和C（仙游古典家具制作技艺）项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：抽到A（莆仙戏）项目的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解法一： 画树状图如下： 共有 12 种等可能的结果，其中选中 和 项目的结果有 2 种， 同时选中 和 项目的概率为 ． 解法二： 列表： 第1次 第 2 次 A B C D A / （B， A） （C， A） （D， A） B （A， B） / （C， B） （D， B） C （A， C） （B， C） / （D， C） D （A， D） （B， D） （C， D） / 共有 12 种等可能的结果，其中选中 和 项目的结果有 2 种， 同时选中 和 项目的概率为 ． 20. 如图，为圆的直径，点为圆上一点，点为圆外一点． （1）尺规作图：作出圆心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，连接，若为的切线．，求证：为的切线． 【答案】（1） 如图，点即为所求： （2） 证明：连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴． ∵是半径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】（1）作直径的垂直平分线，垂足为，点即为所求． （2）结合题意，通过等腰三角形的性质和外角的应用，可得，在通过，得出，即为的切线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图-找圆心，等腰三角形的性质，外角的应用，圆的切线性质定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 如图，在中，．将绕点A旋转得到，点的对应点落在上．连接，延长交于点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，然后求得即可； （2）根据等角对等边证明，即，然后结合图形即可解答． 【小问1详解】 解：∵将绕点A旋转得到，点的对应点落在上． ． 和 都是等腰三角形． ． 又∵ ， ． ． 【小问2详解】 解：由（1）得，． ， ， ． ， ， ． 22. 某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出，销售单价每涨价1元，月销售量就减少． （1）写出月销售利润y（单位：元）与销售单价x（单位：元/千克）之间的函数解析式； （2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 【答案】（1） （2）销售单价应定为80元 【解析】 【分析】（1）根据销售利润=每千克利润×数量，即可列出表达式； （2）把代入（1）中的表达式，求出x的值，再根据销售成本不超过10000元，排除不符合题意的x的值，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得： ． 答：y与x之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 由题意，得， 解得：，． 当时，销售成本为：元元，舍去， 当时，销售成本为：元元． 答：销售单价应定为80元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，根据题意，找出数量关系，列出二次函数关系式，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． 23. 如图1，为的直径，．点是上一动点（不与重合），连接． （1）探究线段之间的数量关系，并予以证明． （2）如图2，若与相交于点，过点分别作于点于点，求与面积之和的最大值． 【答案】（1） ， 理由如下： 延长至 点M，使 得，连 接，  ， ．  ． 在  和  中，  ．  ．  ， 在中，  ，  ． （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质，角平分线性质定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）延长至 点M，使 得，连 接，先证明，进一步证明，再根据勾股定理得出结论； （2）过点 作 交 或 的延长线于点N，证明得出，设 ，则，根据得出二次函数解析式，由二次根式的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点 作 交 或 的延长线于点N， 为直径， ． ， ． ． 平分 ． 又 ， ． 四边形为正方形． ． ， ． ， ． 在 和 中， ． ． 设 ，则， ， 当，即 E 是的中点时（此时是的直径），取得最大值，最大值为4． 即 最大值为 4 ． 24. 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 任务1 找出图4中的另一个黄金矩形：___________． 任务2 证明矩形是黄金矩形． 任务3 如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证． 【答案】任务1：矩形， 任务2：设， 由第一步折叠知：  ， 由第二步折叠知：  ． 在中， ， 由第三步折叠知：  ．  ，  ． 矩形的宽与长的比值为，即矩形为黄金矩形． 任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得 设， 四边形，为正方形，  ，， ， ，． 设反比例函数关系式为，把代入，  ． 即点落在的函数图象上． 当时，．  点也落在的函数图象上．  点是在同一个反比例函数图象上． 若为宽，如图，则， 设， 四边形，为正方形， ，，  ． ，． 同理可得：点不在同一个反比例函数图象上． 【解析】 【分析】任务1：先证明，证明即可得到答案； 任务2：先证明，证明即可得到答案； 任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得，设，可得，．设反比例函数关系式为，再进一步可得结论；若为宽，如图，则，同法可得结论． 【详解】解：任务1：黄金矩形为矩形． 理由如下： 如图， 设， 由第一步折叠知： ， 由第二步折叠知： ． 在中， ， 由第三步折叠知： ． ， ∴， ∴矩形为黄金矩形； 任务2： 略 任务3： 略 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，黄金矩形的含义，反比例函数的应用，二次根式的混合运算，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 25. 已知抛物线（都是常数，）与轴交于两点，对称轴为直线． （1）已知时的最大值为时的最大值为．求的值． （2）若． ①求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； ②规定：在坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①抛物线的顶点坐标为；②． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系等． （1）根据题意抛物线的对称轴是直线，且开口向下，得到进而求解即可； （2）①由抛物线的对称轴是直线，求得，由求得，据此求得，求得抛物线的顶点坐标为； ②由题意求得抛物线经过和，顶点坐标为，与轴的交点，根据题意列得不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∵时，的最大值为， ∴顶点坐标为， ∴， ∵时，的最大值为， ∴当时，， ∴，，； 【小问2详解】 解：①∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； ②不妨设点在点的左侧， ∵， ∴当时，， ∴抛物线与轴交点坐标为， ∵抛物线的对称轴直线， ∴点坐标为，点坐标为， ∴在区域中的整点的横坐标只能为0，1，2， ∴根据抛物线的对称性，只考虑顶点和抛物线与轴的交点是否在区域内， 如图，由于区域内6个整点分别为，，，，，， ∴，且， 解得，且， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仙游县2024-2025学年上学期九年级期末质量调研测试 数学试卷 本卷满分：150分 作答时间：120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 年月日，中国航天员在太空中完成了长达小时的太空行走，打破了美国于年创造的世界最长单次太空行走纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 2，0， B. 2，2， C. 2，2，1 D. 2，0，1 3. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，向上一面的点数是偶数，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 5. 据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则列（    ） A. B. C. D. 6. 有“枇杷之乡”之称的书峰乡，枇杷种植面积高达近2万多亩，是省定的枇杷主要生产基地和第七批枇杷栽培标准化示范区．某校数学兴趣小组跟踪调查了书峰枇杷某次移栽的成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计书峰枇杷移栽成活的概率约为（ ） A. 0.8 B. 0.85 C. 0.9 D. 0.95 7. 如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（ ） A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N 8. 月日上午时分，世界最长高速公路隧道天山胜利隧道全线贯通．天山胜利隧道的建成将进一步巩固新疆在国家安全和维护边疆稳定中的作用，对于防御外部威胁和保障国家安全具有重要意义．隧道中导洞的横截面如图所示，是以为圆心的圆的一部分．已知路面宽约为，净高，那么圆的半径约为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A坐标为，点，点是正方形的中心，且点均在反比例函数图象的同一分支上，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 10. 已知抛物线与轴的两个交点之间的距离是，将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线与轴的两个交点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知：点与点关于原点成中心对称，则________． 12. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 13. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 14. 如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，当时，自变量的取值范围是 ________． 15. 如图，在边长为的正方形网格中，“叶状”图案（阴影部分）是由半径分别为和，圆心在格点上的两种弧围成的，则该图案的面积为___________． 16. 如图，边长为的正六边形的两个顶点，在上，，是直径上的两点．分别延长交于两点，得到一个形如“钻石”的多边形．则 ①半径为； ②； ③连接，则； ④． 以上说法正确的有___________．（只需填写序号即可） 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 19. 非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，仙游县的非物质文化遗产资源丰富，涵盖了多种形式和风格．某学校为了让学生深入了解非物质文化遗产，决定从A（莆仙戏）、B（青黛印染）、C（仙游古典家具制作技艺）、D（皂隶舞）中邀请该项目的传承人进校园宣讲． （1）现有四张看上去无差别的卡片，正面分别写着（莆仙戏）、（青黛印染）、（仙游古典家具制作技艺）、D（皂隶舞），背面图案完全相同．将它们倒扣在桌上，从中随机抽取一张卡片，求抽到A（莆仙戏）项目的概率是___________． （2）若按（1）的方法，该学校决定邀请两个项目的非遗传承人进校园宣讲．请用画树状图或列表的方法，求同时选中B（青黛印染）和C（仙游古典家具制作技艺）项目的概率． 20. 如图，为圆的直径，点为圆上一点，点为圆外一点． （1）尺规作图：作出圆心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，连接，若为的切线．，求证：为的切线． 21. 如图，在中，．将绕点A旋转得到，点的对应点落在上．连接，延长交于点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 22. 某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出，销售单价每涨价1元，月销售量就减少． （1）写出月销售利润y（单位：元）与销售单价x（单位：元/千克）之间的函数解析式； （2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 23. 如图1，为的直径，．点是上一动点（不与重合），连接． （1）探究线段之间的数量关系，并予以证明． （2）如图2，若与相交于点，过点分别作于点于点，求与面积之和的最大值． 24. 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 任务1 找出图4中的另一个黄金矩形：___________． 任务2 证明矩形是黄金矩形． 任务3 如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证． 25. 已知抛物线（都是常数，）与轴交于两点，对称轴为直线． （1）已知时的最大值为时的最大值为．求的值． （2）若． ①求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； ②规定：在坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $