课时作业(16) 正态分布-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

P0X=2)=C气=所以EX0=0X+1X号+2X P(<0)=1-P(≤1)=P(>1D,所以E==:故选 品-导 C项. 3.A解折因为~N(1,g2),且P(0<G<1)=0.3,所以P(≥ 俗系品号 2)=P(0)=P(<1)-P(0<×1)=0.5-0.3=0.2,所 以P(2)=1-P(2)=1-0.2=0.8.故选A项. 14.解析(1)根据分层随机抽样的特点，在年龄大于40岁的职 4.ABC解析由题意可以得到f(x)的图象关于x=0对称，所 工中，应孩选取号×6=2（名）. 2的可能取位为01,2，则P=0)-得-号 以)为妈品线，当=0时，)取得最大值云 在（一○，0]上单调递增，在(0，十∞）上单调递减.故选 P=1)==是P=2)-= ABC项. C 5.D解析因为X~V(90,d),由正态密度曲线的对称性可得 所以的分布列如表所示 P(X≥110)=P(X≤70)=0.5-P(70<X<90)=0.15,所 0 以P(X<110)=1-P(X≥110)=1-0.15=0.85.故选 2 D项. 8 6.解析因为X~N(1,d),且P(0<X≤1)=0.4，所以P(0< X≤2)=2P(0X1)=0.8. 所以E()=0X号+1×是+2X吉=号， 答案0.8 7.解析由~N(2,1),得4=2，因为P(>3)=0.1587,所以 e-(0号)×号+(1号)》×是+(2号)×号0 P(1)=0.1587,所以P(≥1)=1-0.1587=0.8413. 5A暖霸由P(X=2)一高·可得得一备中 答系0.8413 8.解析依题意，P(60-20≤X≤60十20)≈0.9545，P(X80) (n+3(n+2=0,整理得90n=7(n+2(n+3).解得m 3n 7 号×1-09545)0.028，故成猜高于80分的考生人数 7(n=号合去).由题意得X的可能取值为1,23,4，则 为10000×0.0228=228，所以该考生的综合成绩在所有考 生中的名次是第229名. PX-ID8-0PrX=2》=PX=)-S品 答室229 C。CC 9.解折(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈0.6827. 而·X-)-SCCg 1 7 CCCO=20,所以E(X0=1×0 (2)P(3≤X≤5)=P(-3≤X≤-1)=2[P(-3≤X≤5)- P(-1≤X≤3)]=2[P1-4≤X≤1+40-P1-2≤X≤ (2贵)'×品+(3-贵)广×+(4-贵)广×0 1+2)]≈2×(0.9545-0.6827)=0.1359. 品故选AC项 10.解析因为X~N(90,100),所以4=90,0=100=10. 16.解折(1)由题意得，基本事件总数为A=56,事件A包含 (1)由于X在区间[一2a,u+2a]内取值的概率是0.9545， 而该正态分布中，-2a=90-2×10=70,十2a=90+2× CC=15(个)基本事件，所以事件A发金的概率P心D-最 10=110,于是考试成绩X位于区间[70,110]内的概率就是 (2)a=5.b=9时事件A发生的概率P(A)=5A 0.9545. A4=5. (2)由4=90，o=10,得-G=80十a=100. =10时字件A发主的概奉P(A)=5密，则 因为变量X在区间[1一，十a]内取值的概率是0.6827， 所以考试成绩X位于区间[80,100]内的概率是0.6827，因 岩·岩品-器盖剂 为共有2000名考生，所以考试成绩在区间[80,100]内的考 生大约有2000×0.6827≈1365（人. 所以当k=3时，P(A)=P(A): 11.ABC解析由题中图象可知甲图象关于直线x=0.4对称， 当k=1,2时，P(A)>P(A2): 乙图象关于直线x=0.8对称，所以出=0.4，出=0.8，出< 当k=4,56,7,8,9时，P(A)<P(A2) ,故A项正确，C项正确：因为甲图象比乙图象更“高”， 课时作业（十六） 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左 1.D解析由题意可得X~N(1,2),所以D(X)=4,所以 右，故B项正确：因为乙图象的最大值为1.99，即2， D(2X)=}DX)=1.故选D项。 1.99,所以m≠1.99，故D项错误.故选ABC项. 12.D解析由题意可知=60，a=2,故P(58≤X≤62)=P( 2.C解析由随机变量：服从正态分布V(以，a)可知正态密度 a≤X≤：十σ)≈0.6827，从而属于正常情况的人数约为 曲线关于直线x=4对称，因为P(0)十P(≤1)=1，所以 1000×0.6827≈683.故选D项. ·208· 13.解析设农民工年均收入一N(4,), 预期可获利80×0.7+40×0.2一40×0.1=60（元）.故选 结合图象可知，=8000，a=500. B项. (1)由题意知此地农民工年均收入的正态密度函数表达式为 P(x)=1 e 、26 =1 -800 2.C醒扬因为随机变量X服从二项分布B(4,),所以 50012云9 2×9w,x∈(-o,十0∞). DX)=4×号×(1-是)=1，则D3X+D=9.故选C项。 (2)图为P(7500≤8500)=P(8000-500≤8000+ 3.C解析由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故 500)≈0.6827， 所以P(8000≤≤8500)=2P(7500≤区8500)≈ P0X-)-智-易长选C项 0.34135=34.135%, 4.D解析根据正态曲线的对称性，每个收费口有不低于700 即农民工年均收入在8000~8500元之间的人数占总体的 辆小汽车通过的概率P(X≥700)=号[1-P(500<X< 34.135%. 14.解析若选第一条路线，即X~N(5,1),则=5，斤=1，所 70)]=号×(1-号）=号(i=1,2,340,所以这四个收货 以能及时到达的概率P1=P(X1≤7)=P(X,<5)十P(5≤ 口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率P-1 X<7)=之+Pga-2a<X≤m+2a. (1-)）广=故选D项 若选第二条路线，即X:~N(6,0.16),则=6，=0.16， 5.AD解析甲取出一张红牌为事件A,乙取出一张红牌为事 所以能及时到达的概率P:=P(X2≤7)=P(X<6)十 件B,则P(A)=号=号，P(B)=子，则X的可能取值为1， P(6<X:<7)=+P-2.5a<X≤+2.5a 易知P<P2,所以应选第二条路线. 2.3,且y=3-X,则PX=1)=号×是=是，PX=2) 15.AC解析因为随机变量服从标准正态分布N(0,1),所 ×+号×P0X=0=号×-所以00= 以正态曲线关于—0对称，因为(x)=P(≤x),其中x> 0,所以根据曲线的对称性可得g(一x)=1一gx),故A项正 1×景+2×号+3×日-子，所以EY)=E3-X0=3 确：(2x)=P(≤2.x)<1,2e(x)=2P(≤x)>1,所以 g(2x)≠2g(x),故B项错误：P(<x)=2P(0<<x)= BX0=3子=号，DY)=D3-X0=(-1rD) 2)-]=g-1,故C项正确：P>)=21- D(X).故选AD项， (x)]≠2-(x),故D项错误.故选AC项 6.照由题虑得P(-Q5<A<05)>0能7=P(-是<A< 16.BC解析A项，因为正态曲线关于x=180对称，所以这次 马）所以05≥是，所以m≥6，至少要实验6次。 考试标准分超过180分的约有号×1000=500（人），故A 答6 项不正确：B项，由正态分布V(180,900),可知4=180，a= 7.解析由题意X~B(9,p),由于p=,则C8p(1一p)'=Cp°· 30,所以P(90≤X≤270)=P(180-3×30≤X≤180+3× 30)=0.9973,因此这次考试标准分在[90,270]内的人数 1-pP,解得p=号，ECX0=np=9X号-号 约为1000×0.9973≈997，故B项正确：C项，因为正态曲 鉴号 线关于x=180对称，所以某个人标准分超过180分的概率 1 为2，因此甲、乙，丙三人拾有2人的标准分超过180分的 8.解折当p=子时，B0=0X2 +1x号+2x喜=在 概率为C×(合)×(1-号)=君，故C项正确D项，由 p的交化过程中，B0=0x号+1×号+2×号=十p: 题中所给的公式可知P(90≤X≤270)=P(180-3×30≤ X180+3×30)=0.9973.P(120≤X240)=P(180-2× 则D0=(o-号-p)'.12+(1-号-p）· 30≤X≤180十2×30)=0.9545，所以由正态分布的性质可 (2--p)·专=-r+p+号=-(p-2)}+2,所 知P(240<X<20)=号[P(90≤XK270)-P120≤X≤ 以当p=2时，D(X)最大，最大值为号，所以D(2X+1) 240]-号×(0.973-0.9545)=0.0214，故D项不正确. 4D(X)ms=2. 故选BC项. 昏8 2 培优训练（三）》 9.解析(1)因为体能成绩X服从正态分布N(,),P(X≤ 1.B解析设这台机器每生产一件产品可获利X元，则X的可 75)=0.5,P(X≥95)=0.1， 能取值为80,40，-40，所以P(X=80)=0.7,P(X=40)= 所以P(75<X95)=1一P(X≤75)-P(X≥95)=1-0.5 0.2,P(X=一40)=0.1，所以这台机器每生产一件产品平均 0.1=0.4. ·209·课时作业（十六） 正态分布 答案见Pa ‖基础训练川 10000人，若一考生的综合评分为80分，则该考 一、选择题 生的综合成绩在所有考生中的名次是第 1设随机变量X~N(1,2),则D2X)=( 名（若X~N(4,a),则P(4一≤X≤u十）≈ 0.6827,P(u-2a≤X≤+2a)≈0.9545，P(4 A.4 B.2 3o≤X≤十3)≈0.9973). c号 D.1 三、解答题 9.设随机变量X一N(1,2),试求下列各式的值， 2.已知随机变量服从正态分布V(2,G),若P( (1)P(-1≤X≤3)： 0)十P(61)=1,则= (2)P(3≤X≤5). A.-1 Ca D.1 3.已知随机变量：服从正态分布V(1,),且 P(01)=0.3,则P(<2)= () A0.8 B.0.75 C.0.7 D.0.6 4.(多选)对于标准正态分布N(0,1)的正态密度函 数f(x)=·e专，下列说法正确的是( V2元 A.f(x)为偶函数 Bfx)的最大值是 10.已知在某次数学考试中，考生的成绩X服从正 √2x 态分布N(90,100). C.f(x)在x>0时单调递减，在x≤0时单调 (1)试求考试成绩X位于区间[70,110]内的概 递增 率是多少？ D.f(x)的图象关于x=1对称 (2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试 5.在某市高二下学期期中考试中，理科学生的数学 成绩在区间[80,100]内的考生大约有多少人？ 成绩X一V(90,),已知P(70X<90)=0.35, 则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩 小于110分的概率为 ) A.0.15 B.0.50 C.0.70 D.0.85 二、填空题 6.在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1, )(o>0),若X在(0,1]内取值的概率为0.4，则 X在(0,2]内取值的概率为 7.若随机变量N(2,1),且P(>3)=0.1587, 则P(≥1)= 8.据抽样统计显示，在某市的公务员考试中，考生 的综合评分X服从正态分布N(60,10),考生共 ·139. ‖能力提升川 14.某人骑自行车上班有两条路线，第一条路线较 11,(多选)甲、乙两类水 短但拥挤，到达时间X(单位：min)服从正态分 果的质量（单位：kg) 1.) 布N(5,1):第二条路线较长但不拥挤，到达时 分别服从正态分布 间X2(单位：min)服从正态分布N(6,0.16).若 00.40.8 k N(a,),N(地，)， 有一天他出发时离上班时间还有7mim,则应选 其正态分布的密度曲线了(x)=1 哪一条路线？ 、2rg x∈R,如图所示，则下列说法正确的是 ( A.甲类水果的平均质量：=0.4kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于 平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质 量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数= 1.99 12.为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽 查了该地区1000名年龄在17岁至19岁的高 三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重 X(单位：kg)服从正态分布V(,4),且正态分 布密度曲线如图所示.若体重大于等于58kg且 小于等于62kg属于正常情况，则这1000名男 生中属于正常情况的人数约为 !拓展探究川 15.(选)若随机变量N(0,1),(x)=P(x),其 中x>0,则下列等式成立的有 () 58606264 X书 Ag(-x)=1-g(x) A.997 B.954 B.g(2x)=2(x) C.819 D.683 C,P(|<x)=2(x)-1 13.已知某地农民工年均收入服从正态分布，其 D.P(|>x)=2-9(x) 密度函数图象如图所示。 16.(多选)已知某校高三年级有1000人参加一次 (1)写出此地农民工年均收入的正态密度函数 数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标 表达式： 准分，标准分的分数转换区间为(60,300]，若使 (2)求此地农民工年均收入在8000~8500元之 标准分X服从正态分布N(180,900),则下列说 间的人数百分比 法正确的有 () 参考数据：P(一≤X≤十a)=0.6827,P(4 2X≤十2a)=0.9545,P(-3≤X≤+3o)= 5002T 0.9973. A这次考试标准分超过180分的约有450人 B.这次考试标准分在[90,270]内的人数约为997 C.甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分 的概率为 D.P(240≤X≤270)=0.0428 ·140