7.5 正态分布-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

2 X 10 P (2)根据(1)中的分布列,可知得分大于2的概率为 随堂检测·学以致用 1.ACD解析由超几何分布的定义可知A,C,D项均正确,因 [例题3]解(1)由题意可知的可能取值为0,1,2, 为超几何分布的总体里只有两类物品,故B项错误,故选 ACD项. 2.B 由题意知15件产品中有2件次品,故所求概率为 #### 3.解设抽到次品的个数为,则服从超几何分布,所以 所以的分布列如表所示. _10 :012 -50 ## 3})分}# 器}# 4.解(1)由题意得的可能取值为0,1,2,服从超几何分布. (2)由(1)得E(e)=X+1#+2-, 则P(t一h)-C0)-0. 1,2. C $()-(o-)^{x+( --)^{$×+(2-)^*}x$$ 所以;的分布列如表所示 2. 0 60 P [变式3]解(1)设“从乙家选2间民宿,选到的2间民宿为普 通型”为事件A,“从丙家选2间民宿,选到的2间民宿为普 (2)由(1)知,“所选3人中女生人数不大于1”的概率为 通型”为事件B, P(<1)-P(g-0)+P(t-1)-187. 190* 所以选出的4间均为普通型民宿的概率为P(AB)一P(A)· #PB)-HO#O)# 7.5 正态分布 (2)这10家民宿中普通型民宿的房间不低于17间的有4 必备知识·基础落实 家,则随机变量X的可能取值有0,1,2,3,4 [问题1]提示不相同 则P(X-o#7-60-1-1 [问题2]提落在中间几个小内的小球多 要点一 (x-1-C□0 1.正态密度函数 正态密度曲线 正态曲线 (3)x #(x-220□00 要点二 (x-3-□0 1.X~N(,^*})标准正态分布 P(x-4-_010 [思考]提若参数。取固定值,则正态曲线的位置由1确定, 且随着n的变化而沿x轴平移;若取固定值,则对任意的 a0,曲线与x轴围成的面积总为1,因此当o较小时,峰值 分布列如表所示. 高,曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中,当o较 x01234 大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较 分散。 P 7# [辨析]解(1)正确,由正态密度曲线的形状可知该说法 正确。 所以Ex0-1+10+2×0+3×20+4×211.6. (2)错误,正态曲线关于直线x一对称 (3)正确,根据正态分布的概念和曲线可知该说法正确 [练习]析由题意得X的所有可能取值为0,1,2,3, (1)(2)×(3) 则#(-)-0--(x-1-# 关键能力·素养提升 $$($-2)-#××-0P(-3)-×1×1× [例题1]解析(1)由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相 等,由正态密度曲线的性质,可知。越大,正态曲线越扁平; 20 o越小,正态曲线越尖陆,故三科总体的标准差从小到大依 次为甲、乙、丙.故选AD项. 因此随机变量X的分布列如表所示 答AD ·180· (2)从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x一20对 “瘦高”,故X对应曲线①,Y对应曲线②,乙对应曲线③ ①②③ 2/元 4.析由题意可知X~N(5,4),且-5.。-2,所以P(3<X< 7)=P-X+)~0.6827. 2vπ 0.6827 x(一oo,十o).总体随机变量的期望是一20,方差是 2-(/2)*-2. 章末复习方案 [变式1(1)函数f(x)图象的对称轴为直线x一n.因为 1.解(1)方法一从五项活动中选三项的情况有ABC r0,所以排除B,D项;正态曲线位于工轴上方,因此排除 ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10 C项.故选A项. 种情况,其中甲选到A活动有6种可能的情况,ABC,ABD (2)反映的是正态分布的平均水平,工一i是正态密度曲线 ABE,ACD,ACE,ADE,则甲选到A活动的概率为P- 的对称轴,由图可知 ;o反映正态分布的离散程度,o 越大,越分散,曲线越“矮胖”,o越小,越集中,曲线越“瘦 3,乙选A活动有6种可能性:ABC,ABD,ABE,ACD,ACE, 高”,由图可知二:故选A项. 答案(1)A(2)A ADE,其中再选择B活动有3种可能性;ABC,ABD,ABE,故 [例题2]解析(1)由X~N(2,)可知, 其正态曲线如图所示,对称轴为直线 -2,则P(X2.5)-P(X2)- 方法二 设甲(乙)选到A活动为事件M,乙选到B活动为 P(2<X<2.5)-0.5-0.36= 0.14. A活动,他再选择B活动的概率为P(N|M)-P(MN) (2)由题意得,P(<1.96)-1一 P(M _ P(1.96)=1-P(-1.96),所以P(11<1.96)= P(-1.961.96)=P(1.96)-P(-1.96)=1- 2P(-1.96)-1-2×0.025-0.95. 答案(10.14 (2)0.95 [变式2]解析(1)由题意可得P(1X<3)-0.5-0.2-0.3.因 (2)由题意知,A,B,C题库的比例为5;4:3,占比分别为 为随机变量X~N(1,*),所以P(X<3)-0.3十0.5 0.8.故选D项. 1zx0.86+2x0.72-0.85. (2)因为随机变量X服从正态分布N(4,。*),所以正态曲线 的对称轴是直线x一4.由正态曲线的对称性得,P(X<8- 器(1)3} (2)0.85 rmn)-P(Xm)-0.3,故P(X>8-m)-1-0.3-0.7.故选 C项. 2.解(1)设“甲学校在三个项目中获胜”分别为事件A,B,C (1)D (2)C 则P(A)-0.5,P(B)-0.4,P(C)-0.8,由题意可知,甲学校 [例题3]BC 析依题可知,元-21,2-0.01,所以Y~N(2.1. 想要获得冠军,至少要在两个项目中取胜,所以甲学校获得冠 0.01),故P(Y2)=PCY2.1-0.1)=PC<2.1+0.1 军的概率为P-P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)· 0.8413>0.5.C项正确.D项错误:因为X~N(1.8.0.01) P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6× 所以P(X>2)-P(X1.8+2×0.1),因为P(X<1.8+ 0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8-0.6 0.1)~0.8413:所以P(X>1.8+01)~1-0.8413 (2)由题意可得,X的可能取值为0,10,20,30,由(1)和题意 0. 15870.2,而P(X2)=P(X1.8+2×0.1)P(tX 可得,乙在三个项目中获胜的概率分别为P(A)一0.5,P(B) 1.8+0.1)0.2,B项正确,A项错误.故选BC项 $0.6.P(C)-0.2.则 P(X-0)-P(A)P(B)P(C)=0.5$ [变式3]B 由题意得P(X>100)-0.5,P(100<X< 0.4X0.8=0.16.P(X-10)=P(A)P(BP(C)+P(A)P(B)· $2 20)=P(80<X<100)=0.45,所以P(X>120)= P(C+P(A)P(B)P(C)-0.5X0.4X0.2+0.5X0.6X0.8+ P(X100)-P(100<X 120)-0.05,所以应从120分以 0.5X0.4×0.8-0.44,P(X=20)=P(A)P(B)P(C)+ P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.5X0.6X0.2+0. 5X 上的试卷中抽取200×0.05-10(份).故选B项 0.4×0.2+0.5×0.6×0.8-0.34.P($=30)=P(A)P(B)· 随堂检测·学以致用 P(C)-0.5×0.6×0.2-0.06. 1.B A项中 ②π·错为 ②π,指数错为正数,故A项 所以X的分布列为 错误;C项中从系数可得。-2,而从指数处可得。-②,显然矛 20 10 0 30 盾,故C项错误;D项中指数错为正,故D项错误.故选B项 P 0.160.440.34 10.06 2.B 由题知此正态密度曲线的对称轴是直线x一100,由 正态曲线的对称性可知,P(t<80)-1x[1-P(80<< 数学期望E(X)-0×0.16+10×0.44+20×0.34+30$ 0.06-13. 120)]-0.1.故选B项 3.解析(1)由题意可知,X的所有可能取值为0,20,100 3.解在密度曲线中,o越大,曲线越“矮胖”;o越小,曲线越 则P(X-0)-1-0.8-0.2, ·181.数学选择性必修第三册课堂学案 7.5正态分布 课标要求 学法指导 1.通过误差模型，了解服从正1.通过图象了解正态曲线的特征，并结合概率与面积的关系来 态分布的随机变量。 求服从正态分布的随机变量的概率。 2.通过具体实例，借助频率直2.结合服从正态分布的随机变量的概率密度曲线，记住随机变 方图的几何直观，了解正态 量在区间[4一o4十a],[4一26，a十2o]和[4-3a,4十3o]上取 分布的特征. 值的概率。 3.了解正态分布的均值、方差3.通过了解正态分布的特征，能够利用正态曲线分析实际问 及其含义， 题，发展数学抽象、数学建模和数据分析的核心素养 必备知识基础落实 答案见Pw 口问题导入 问题2：落在哪几个小槽内的小球多？ 如图是一块高尔顿板示意图.在一块木板上钉 着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木 块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前 面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方 的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小 木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球 槽内. 4444444444444444444 口微梳理 要点一正态曲线 1.刻画随机误差分布的解析式为f(x)= GV2n 问题1：小球落在各小槽内的机会相同吗？ e,x∈R,其中∈R,a>0为参数.称 f(x)为 称它的图象为 简称 2.特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线 对称： (2)曲线在x=:处达到峰值 ·72 第七章随机变量及其分布 (3)当x无限增大时，曲线无限接近轴. >思考：，σ取值不同对正态曲线有何影响？ 要点二正态分布 1.定义：若随机变量X的概率分布密度函数为 f(x),则称随机变量X服从正态分布，记为 .当以=0，o=1时，称随机变量X服 从 2.期里与方差：若X~N(4,g),则E(X)= D(X)=G2.在实际问题中，参数以，a可以分别 用样本均值和样本标准差来估计. 辨析 3.正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(u-a≤X≤u十g)≈0.6827： 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” (2)P(μ-2a≤X≤+2a)≈0.9545： (1)正态曲线是一条钟形曲线。 (3)P(μ-3a≤X≤+3a)≈0.9973. (2)正态曲线在x轴的上方，并且关于直线x=。 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 对称 () N(u,a)的随机变量X只取[4一3a,十3a]中 (3)正态曲线的对称轴的位置由4确定，曲线 的值，这在统计学中称为3。原则： 形状由σ确定. () 关键能力素养提升 答案见P脚 探究一 正态曲线及其特点 正态分布的概率密度函数的解析式，求出总 【例题1】(1)（多选）某次我市高三教学质量检测 体随机变量的期望和方差. 中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所 示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为 正态分布)，则由图中的曲线可得下列说法中 正确的是 人数 分数 A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙的总体的平均数相同 (2)如图所示是一 个正态曲线，试根 据该图象写出其 0510152025303540. ·73· 数学选择性必修第三册课堂学案 探究二正态分布的概率计算 规律总结 【例题2】(1)(2022·新课标Ⅱ)已知随机变量X 利用正态曲线的特点求参数4， 服从正态分布V(2,o),且P(2<X≤2.5)= (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x=以对 0.36,则P(X>2.5)= 称，由此性质结合图象可求山 (2)若随机变量服从正态分布N(0,1),且 (2)正态曲线在x=红处达到峰值1，由 P(-1.96)=0.025,则P(|<1.96)= 12元 此性质结合图象可求 [注意]参数：是反映随机变量取值的平均 水平的特征数，可以用样本的均值去估计；0 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可 以用样本的标准差去估计 【变式1】(1)函数f(x)= 1 es(其中< /2x 0)的图象可能为 规律总结 求正态分布下随机变量取值的概率的方法 求正态分布下随机变量取值的概率的基本 方法是利用正态曲线的对称性，把待求概率 的区间转化为与已知概率的区间有关的 式子 一般地，若XN(,d),则有： (2)设两个正态分布N(出，)(o1>0)和 (DP(X-R-P(X<p-7: N(,)(m>0)的密度函数图象如图所示， (2)P(X>a)=1-P(X≤a): 则有 (3)P(X<4-a)=P(X>十a): (4)P(a<X<b)=P(X<B)-P(X<a). 1.0 4w》 而当条件中无已知概率时，则要利用随机变 .6 量X在三个特殊区间[一o,4十o],[以一2o, 04 0.2 十2a],[4-3a,u十3a]上取值的概率进行 -1.0-0.50 0.5 计算 A.<g1<02 B.u<uo 【变式2】(1)已知随机变量X~N(1,a),若 C.mpsa<o D.1>em1>02 P(0<X<3)=0.5,P(0<X<1)=0.2,则 P(X<3)= A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8 74 第七章随机变量及其分布 (2)设随机变量X服从正态分布N(4,a),若 P(X>m)=0.3,则P(X>≥8-m)=( 规律总结 A.0.2 B.0.3 利用正态分布估算区间上的个体数的方法 C.0.7 D.与σ的值有关 利用正态分布N(u,o)的随机变量X在三 个特殊区间上取值的概率可以解决一些实 际问题，如估算总体在某一范围内的个体数 或质量控制等，其具体方法为：先确定随机 变量在某一范国内取值的概率，再乘样本容 探究三正态分布的实际应用 量即可， 【例题3】（多选）(2024·新课标I)为了解推动 出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植 【变式3】某市高三学生有30000名，在一次调研 区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本 测试中，数学成绩X服从正态分布V(100,) 均值x=2.1,样本方差2=0.01，已知该种植 已知P(80≤X<100)=0.45,若按分层随机 区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8, 抽样的方式抽取200份试卷进行成绩分析， 0.1),假设推动出口后的亩收入Y服从正态 则应从120分以上的试卷中抽取 () 分布N(x,2),则 ( A.5份 B.10份 (若随机变量Z服从正态分布N(u,d),P(Z< C.15份 D.20份 u+a)≈0.8413) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 随堂检测学以致用 答案见P L.下列函数是正态密度函数的是 N(0,1),Z~V(0,4)的密度曲线，则三个随机变 A.f(x)=- 1 e,(a>0)都是实数 量X,Y,Z对应的曲线分别是图中的 2 B.f(r)-e C.f(.x)= - e 22π D.f(r)-e 2元 2.已知随机变量~N(100,a)(a>0),若P(80≤ 120)=0.8,则P(80)= ) 4.正态分布的概率密度函数P(x)= A.0.05 B.0.1 2√2r C.0.15 D.0.2 e子在[3,7门内取值的概率为 3.如图是三个正态分布X~N(0,0.25),Y~ 提示完成P课时作业（十六）和P培优训练（三） ·75·