7.5 正态分布-2022-2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第三册）

7.5正态分布 备注：资料包含：1. 基础知识归纳； 考点分析及解题方法归纳：考点包含：正态密度曲线；概率分布曲线的认识；正态分布曲线的性质；标准正态分布的应用；特殊区间的概率；指定区间的概率；根据正态曲线的对称性求参数；3原则的应用；正态分布的实际应用 2. 课堂知识小结 3. 考点巩固提升 知识归纳 1、 密度函数的概念：在频率分布折线图中，当样本容量取得足够大，组距取得足够小的时候频率分布折线图会变成一条光滑的曲线，我们就把这样的曲线叫做连续性随机变量的密度曲线；把他的解析式叫做密度函数； 显然，如果连续型随机变量的密度函数是，则： ；； ；； 2、正态分布的定义：如果连续型随机变量的密度函数是：；则称随机变量服从正态分布，记为：； 3、正态分布曲线的特点： （1）整条曲线都在轴的上方，即对恒成立； （2）是他的对称轴，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；在时取得最大值； （3）正态分布曲线的两个主要参数的几何学意义： 参数决定对称轴的位置，也决定整条曲线的位置，所以也称为位置参数；参数 决定数据的离散程度，也就决定了曲线的高矮胖瘦；具体规律是：越大，数据越离散，曲线越矮越胖；越小，数据越集中，曲线越高越瘦；于是我们习惯于把参数称为形状参数； 1、 正态分布的期望与方差：若 期望：； 方差：； 2、 正态分布的原则： （1）； （2）； （3）； 3、标准正态分布：若，则称随机变量服从标准正态分布； 4、正态分布与标准正态分布之间的转化关系： ( 考点讲解 ) 若，则； 考点1：正态密度曲线 例1．设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【方法技巧】 由正态分布密度函数的概念即得. 【变式训练】 1．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且，则这个正态总体的均值与标准差分别是（    ） A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 2．设随机变量，X的正态密度函数为，则______. 考点2：概率分布曲线的认识 例2．某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【方法技巧】 根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解. 【变式训练】 1．随机变量服从正态分布，则标准差为（    ） A．2 B．4 C．10 D．14 2．如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 考点3：正态分布曲线的性质 例3．随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X＜μ＋σ)＝（    ） 附： 概率 P(μ－σ≤X＜μ＋σ) P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ) P(μ－3σ≤X＜μ＋3σ) 近似值 0.6827 0.9545 0.9973 A．0.8186 B．0.4772 C．0.84 D．0.9759 【方法技巧】 根据题意结合正态分布的对称性运算求解. 【变式训练】 1．随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知某次考试的数学成绩服从正态分布，且，现从这次考试随机抽取 3 位同学的数学成绩，则这 3 位同学的数学成绩都在内的概率为_____． 考点4：标准正态分布的应用 例4．若随机变量X的密度函数为，在区间和内取值的概率分别为，则的关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【方法技巧】 根据密度函数可得，然后结合正态分布曲线的对称性可得曲线关于对称，即可判断得. 【变式训练】 1．已知随机变量，且，则（    ） A．0．25 B．0．3 C．0．75 D．0．65 2．已知两个随机变量，满足，且，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 考点5：特殊区间的概率 例4．设随机变量，且，则___________. 【方法技巧】 根据正态分布的对称性可直接求解. 【变式训练】 1．疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（    ）. 附：随机变量服从正态分布，则，. A．12 B．16 C．30 D．32 2．红外线自动测温门能有效避免测温者与被