7.4.2 超几何分布-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

第七章随机变量及其分布 随堂检测学以致用 答案见P 1.若随机变量X~B(100,p),且E(X)=20,则 号，曲现绿灯的概率都是子·记这4盏装饰灯闪 D(2X-1)= A.64 B.128 烁一次时，出现红灯的数量为X C.256 D.32 (1)求X=2时的概率； (2)求X的均值， 2.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10 分.已知他解题的正确率为号，若40分为最低 分数线，则该生被选中的概率为 AC×()×号 &C×(g) c.c×()×号+C×(g) D.1-Cx()×() 3.牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被 感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛 的头数为，则D() 4.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地 闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是 提示完成Ps课时作业（十四） 7.4.2超几何分布 必备知识基础落实 答案见P 问题导入 问题2：若用X表示取得的次品数，则X的可 能取值是多少？P(X=2)是多少？ 已知在10件产品中有4件次品，现从这10件 产品中任取3件。 问题1：抽取的3件产品中有1件次品，该事件 服从二项分布吗？其概率是多少？ 微梳理 要点超几何分布 1,定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有 M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放 ·67· 数学选择性必修第三册课堂学案 回)，用X表示抽取的件产品中的次品数，则 辨析 X的分布列为P(X=k)=C,C,k=mm十 CV 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 1,m十2，…，r.其中n,N,M∈N,N,≤N, (1)将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X m=max{0,n一N+M,r=min{n,M.如果随 服从超几何分布. () 机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随 (2)盒中有4个白球和3个黑球，不放回地摸取 机变量X服从超几何分布 3个球，摸到黑球的个数X服从超几何分布： 2.均值：若随机变量X服从超几何分布，则 () E(X)= (3)某射手的命中率为0.8，现对目标射击3 →思考：不放回抽取和有放回抽取有何不同？ 次，命中目标的次数X服从超几何分布. () (4)超几何分布中随机变量X的取值k的最大 值是次品数M. 关键能力素养提升 答案见Pm 探究一超几何分布的概率 规律总结 【例题1】(1)盒中有10个螺丝钉，其中有3个是 (1)超几何分布的判定关键是看随机变量是 坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是器 否满足超几何分布的特征： 的事件为 ①超几何分布的抽取是不放回的： A.恰有1个是坏的 ②超几何分布中随机变量X取某一个值的 B.4个全是好的 概率，本质上还是这一事件在该随机试验中 C.恰有2个是好的 发生的次数与试验总次数的比。 D.至多有2个是坏的 (2)超几何分布是随机变量的另一种分布形 (2)现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中 式.在这里，要特别注意公式中的各个字母 的取值范国及其含义， 任选2名都是甲班的概率为，则7名学生中 【变式1】(1)在含有3件次品的8件产品中，任取 甲班学生人数为 4件，X表示取到的次品数，则P(X=2)= (2)数学老师从6道习题中随机抽3道让同 学检测，规定至少要解答正确2道题才能及 格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及 格的概率是 68· 第七章随机变量及其分布 探究二与超几何分布有关的分布列 规律总结 【例题2】箱中装有4个白球和m个黑球.规定取 出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现 关于超几何分布的分布列 从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可 (1)先确定随机变量的取值，再分别利用公 能性都相等.记随机变量X为取出的3个球 式计算相应的概率，最后列出分布列. 所得分数之和 (2)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可 （若PX=6)=号求m的值： 用解析式法表示。 (2)当m=3时，求X的分布列. 【变式2】袋中装有3个白棋子，2个黑棋子，从袋 中随机地取出棋子，若取到一个白棋子得3 分，取到一个黑棋子得1分，现从袋中任取2 个棋子 (1)求得分X的分布列： (2)求得分大于2的概率. 69 数学选择性必修第三册课堂学案 探究三与超几何分布有关的均值 民宿，统计得到各家的房间数如表所示. 【例题3】从5名女生和2名男生中任选3人参加 民宿 甲乙丙丁戊已庚辛王癸 英语演讲比赛，设随机变量：表示所选3人 普通型民宿19541713189201015 中男生的人数。 品质型民宿61210111091285 (1)求的分布列： (1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进 (2)求的均值和方差. 行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率； (2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中 普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求 X的分布列和数学期望. 规律总结 求超几何分布的均值的步骤 (1)先判断随机变量服从超几何分布，找出 参数N,M,n的取值. 口微专题 （2利用公式P(X=k)=CC,k=0,1, C兴 明易错·误区警示 2,…,m,m=min{M,n}求出分布列. 辨明二项分布与超几何分布 (3)利用均值定义求出均值E(X),也可直接 【例题】在10件产品中有2件次品，连续抽取3 根据公式B(X)=兴束解。 次，每次抽取1件. (1)求不放回抽样时，抽取次品数的均值； (2)求放回抽样时，抽取次品数7的均值. 【变式3】不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐 [解析](1)方法一由题意可知的可能取值 成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅 游爱好者的喜爱.某地区结合当地资源，按照 为0,12，则P(g=0)=g=2 6Pg1)= “山上生态做减法、山下产业做加法”的思路， CC_7 科学有序地发展环山文旅康养产业，温泉度假 C%=15P(=2)= C-=言所以随机支 C 小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群 量的分布列如表所示 等一批生态产业项目加快实施.2024年“十一” 1 假期来临之前，为了在节假日接待好游客，该 公 地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品 质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村 所以Ee)=0x+1x是+2X品-是 ·70· 第七章随机变量及其分布 方法二由题毫知P(=)=CCh=01, 个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再 C8。 放回，再取一个零件，直到取得正品为止，求 2),所以随机变量服从超几何分布，n=3, 在取得正品之前已取出次品数X的分布列. M=2N=10.所以E)=32=是 105 (2)由题意知抽取1次取到次品的概率为0与 则随机变量)服从二项分布(3，号)，所以 y E)=3X号-是 [名师点评]区别二项分布与超几何分布的方 法：一般地，超几何分布的模型是“取次品” 是不放回抽样，而二项分布的模型则是“独立 重复试脸”，对于抽样，则是有放回抽样.当产 品的数量充分大，且抽取数量较小时，即便是 不放回抽样，也可视其为二项分布，解题时应 从本质上给予区分，切忌混淆。 【练习】盒中装有零件12个，其中有9个正品，3 随堂检测学以致用 答案见P L.(多选)关于超几何分布，下列说法正确的是 (1)求的分布列： ( (2)求“所选3人中女生人数：不大于1”的 A.超几何分布的模型是不放回抽样 概率 B.超几何分布的总体里可以有两类或三类物品 C.超几何分布中的参数是V,M,n D.超几何分布的总体往往由差异明显的两部 分组成 2.一批产品共15件，有2件次品，从中任取2 件，则恰好取到1件次品的概率为 A器 B器 c器 n器 3.在100件产品中有4件次品，任意抽取5件， 则抽到次品个数的均值是 4.从18名男生和2名女生中任选3人参加演讲比 赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数， 提示完成P,课时作业（十五） ·71·Cx(3)'=}PX=40=G×(合)广=G所以X的分 [问题2]提示X的可能取值是0.1,2,3，P(X=2)=CC=3 C610 布列如表所示。 要点 X 0 2 2兴 3 [思考]提示抽取次数不同，不放回抽取只抽取一次，一次抽取 16 16 n个，有放回抽取要抽取n次，每次抽取一个；概率模型不 (2)图为X~B(4,号)，所以E(X)=4×2 =2(张).又由 同，不放回抽取服从超几何分布，有放回抽取服从二项 分布. 已知条件可得Y=2300-100X,所以E(Y)=E(2300 [辨析]解析(1)错误.正面向上的次数X服从二项分布. 100X)=2300-100E(X)=2300-100×2=2100(元)，即 (2)正确.由超几何分布的定义知，摸到黑球的个数X服从 所求变量Y的数学期望为2100元. 超几何分布. [变式3]解折(D因为随机变量X一B(2,号)，所以E(X) (3)错误.命中目标的次数X服从二项分布. 2X号=青，DX0=2×号×(1-号)=青故选D项 (4)错误.当抽取的产品的件数n不大于总体中的次品件数 M时，k的最大值为u. 答系D 答率(1)×(2)√(3)×(4)× (2)0产品为正品的概率为P=(1-0)(1-青)(1 关键能力·素养提升 )=是，所以产品为次品的概率为1一是= [例题1照霸1)对于A项，概率为C=之：对于B项，概丰 1 ②由题意得X的取值为0,1,2,3，且X~B(3,),则 为是-言时于C项，概奉为智-品时子D项：包搭设 有坏的、恰有1个是坏的和恰有2个是坏的三种情况，根据 PX=0=()'-器，Px=)=C()'(）-器 A项，怡有1个是坏的概奉是号>品，故D项不正瑰：故选 P(X=2) c())-Px=3=(）》'= C项 所以X的分布列如表所示 (2设甲雍学生人数为m,期得=-2》=子即m 42 0 m一6=0，解得m=一2（舍），m=3. 27 27 9 答室(1)C(2)3 64 64 64 64 所以DX)=m1-p)=3X×- [变式门丽①X满是超几有分有.故PX=2智=号 (2)设X表示解答正确的题数，由超几何分布的概率公式 随堂检测·学以致用 可得他能及格的概率是P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)= 1.A解折由于X~B(100,),且E(X)=20,则100p=20,解 C 得p=0.2,所以D(X)=100(1-p)=20×(1-0.2)=16,所 以D(2X-1)=2D(X)=64.故选A项. a号（2号 2.C解析该生被选中包括“该生做对4道题”和“该生微对5 [例题2]解析(1)由题意得，只有当取出的3个球都是白球时， 道题"两种情彩，故所求概率为P=C×(号)广×号+C× 随机变量X=6, (号).故选C项。 所以PX=6》=C=号.即C=10.所以m= 3.解析因为B10.0.02),所以D()=10×0.02×(1-0.02)= (2)由题意得，当m=3时，X的可能取值为3,4,5,6， 0.196. 为P0X=3)8-宽PX=)-智-号 答室0.196 C35 4解析(1)依题意知X=2表示“4盏装饰灯闪烁一次时，恰好 P(X=5) CC=8,P(X=6)=- 0C4 35 有2盏打出现红灯”，而每盏灯出现红灯的概率都是号，故 所以X的分布列如表所示 X=2时的概率为G×(号)广×（号）广-多 X 3 5 6 12 18 4 (2)因为X服从二项分布，即X~B(4,号) 35 35 35 35 所以E0=4X号-景 [变式2]解析(1)由题意知，设取到的白棋子的个数为Y,则Y 的可能取值为0,1,2，对应的得分X为2,4,6.由Y服从超 7.4.2超几何分布 几何分布及X与Y的对应关系知，P(X=2)=CC= C1 必备知识·基础落实 [问题]提家不服从，概率PCC=1 PrX--詈-号rX-6)-g-品 C-10 C62 故X的分布列如表所示， ·179. 2 4 6 0 2 3 3 3 3 9 10 44 220 220 (2)根据(1)中的分布列，可知得分大于2的概率为 随堂检测·学以致用 PX2)-PX=40+PX-6)-号+是-品 1.ACD解析由超几何分布的定义可知A,C,D项均正确，因 [例题3]解析(1)由题意可知e的可能取值为0,1,2， 为超几何分布的总体里只有两类物品，故B项错误.故选 ACD项. 别P0)-9=号，P=1D-9=号P=2)= C 2.B解析由题意知15件产品中有2件次品，故所求概率为 CC =1 P(X=1)=CC=25 C7 C%一故选B项 所以：的分布列如表所示】 3解析设抽到次品的个数为，则：服从超几何分布，所以 E()=mM_5X41 N1005 2 7 图号 4.解析(1)由题意得专的可能取值为0,1,2，服从超几何分布， (2)1可得E)=0×号+1号+2=9 则P(k)= 0,k=01.2. C D)-(0-9)×号+(1-9)广×号+(2-)广× 所以的分布列如表所示。 器 0 P 68 51 3 [变式3]解扬(1)设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普 的 190190 通型”为事件A,“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普 (2)由(1)知，“所选3人中女生人数：不大于1”的概率为 通型”为事件B, PI=PE=0)+PE=1D=离 所以选出的4间均为普通型民宿的概率为P(AB)=P(A)· P×得- 7.5正态分布 (2)这10家民宿中普通型民宿的房间不低于17间的有4 必备知识·基础落实 家，则随机变量X的可能取值有0,1,2,3,4， [问题1门提示不相同。 C151 [问题]提示落在中间几个小槽内的小球多. 则P(X=0)=C。-2i04 要点一 P(X=1)-CC80_8 L.正态密度函数正态密度曲线正态曲线 C%21021' 1 2.(1)x=4(2) (3)z pX-2-e-器- a√2m 要点二 PX=部-慕-者 1.X一N(,)标准正态分布 [思考]提示若参数。取固定值，则正态曲线的位置由：确定， P(X=4)= -动 且随着：的变化而沿x轴平移：若4取固定值，则对任意的 >0,曲线与x轴围成的面积总为1，因此当g较小时，峰值 分布列如表所示 高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中，当。较 2 3 大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较 分散 14 21 35 210 [辨析]解扬(1)正确.由正态密度曲线的形状可知该说法 正确。 所以以0=0x品+1×+2x+3x+-1 (2)错误.正态曲线关于直线x=4对称。 (3)正确.根据正态分布的概念和曲线可知该说法正确， [练习]解析由题意得X的所有可能取值为0,1,2,3， 答率(1)√(2)×(3)√ 关键能力·素养提升 [例题1门解析(1)由题中图象可知三科总体的平均数（均值）相 PX=2)=×号×品-易PX=3)=是×号×品× 等，由正态密度曲线的性质，可知G越大，正态曲线越扁平 91 σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依 9-2201 次为甲、乙、丙.故选AD项， 因此随机变量X的分布列如表所示， 答率AD ·180·