7.4.1 二项分布-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

数学选择性必修第三册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见Pn 1.已知随机变量X的分布列如表所示，则X的 若E()=2」 标准差为 31 (1)求D()的值： X 1 5 (2)若7=3-2，求D(7)的值. P 0.4 0.1 A3.56 B√3.2 C3.2 D./3.56 2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向 上得一1分，则得分X的均值与方差分别为 ( A.E(X)=0,D(X)=1 BEX)=2,DX)=号 CE0X)=0.DX0=2 D.EX)=2,DX)=1 3.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随 机变量X,Y,已知E(X)=E(Y),D(X)> D(Y),则自动包装机 的质量较好（填 “甲”或“乙”) 4.已知随机变量的分布列如表所示. 0 1 提示完成P课时作业（十三） 7.4 二项分布与超几何分布 课标要求 学法指导 1.通过具体实例，了解伯1.注意理解在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率公式 努利试验。 与二项式定理之间的联系。 2.掌握二项分布及其数字2.在利用二项分布解决实际问题的过程中，深化对随机现象的认 特征，并能解决简单的 识，体会特殊分布的应用. 实际问题。 3.学习超几何分布时，重点注意公式中字母N,M和n的范围及其 3.通过具体实例，了解超几 意义 何分布及其均值，并能解4.通过学习二项分布和超几何分布的概念及其数学特征，发展数学 决简单的实际问题。 抽象、数据分析和数学运算的核心素养。 ·62· 第七章随机变量及其分布 7.4.1二项分布 必备知识基础落实 答案见P 口问题导入 >思考：定义中“重复”的含义是什么？ 在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3 次，每次投篮的命中率都是0.8，用A,(i=1, 2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B,表示仅 投中1次这件事. 问题1：试用A表示B1. 要点二二项分布 1.定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试 验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X 表示事件A发生的次数，则X的分布列为 问题2：试求P(B). 如果随机变 量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X服从二项分布，记作 2.二项分布的均值与方差：若X服从二项分布， 问题3：用B表示投中k次这件事，试求 即XB(n,p),则E(X)= ,D(X)= P(B)和P(B3). >思考：二项分布与两点分布有何关系？ 问题4：由以上结果你能得出什么结论？ 辨析 口微梳理 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” (1)在伯努利试验中，关注的是事件A是否发 要点一n重伯努利试验 生，而在”重伯努利试验中，关注的是事件A 1,伯努利试验：把只包含两个 的试验叫 发生的次数 做伯努利试验. (2)n重伯努利试验中每次试验只有发生与不 2.定义：将一个伯努利试验独立地 进行 发生两种结果 () 所组成的随机试验称为n重伯努利 (3)依次投掷4枚质地不同的骰子，点数1出 试验 现2次的试验是4重伯努利试验 () 3.特征：(1)同一个伯努利试验重复做 (4)若随机变量XB(1,p),则X=1,2,3,…,n (2)各次试验的结果 () ·63· 数学选择性必修第三册课堂学案 关键能力素养提升 答案见P 探究一n重伯努利试验的概念 规律总结 【例题1】(1)（多选）下列试验不是n重伯努利试 验的是 () 判断某试验是伯努利试验的依据：①在相同 A.依次投掷4枚质地不同的硬币，3次正面 的条件下可以重复进行：②每次试验相互独 向上 立、互不影响 B.某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连 【变式1】小明和小华一起玩掷骰子游戏，游戏规 续射击了10次，其中6次击中 则如下：小明先掷，小华后掷，如此间隔投掷 C.口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球， (1)小明共投掷n次，是否可看作n重伯努利 依次不放回地从中抽取5个球，恰好抽出 试验？小华共投掷m次，是否可看作m重伯 4个白球 努利试验？ D.一台加工质量不稳定的机床连续加工出 (2)在游戏的全过程中共投掷了(m十n)次，则这 20个零件，其中出现5个次品 (m十n)次是否可看作(m十n)重伯努利试验？ (2)加工某种零件需经过三道工序.设第一 二，三道工序的合格率分别为品号，令，且各 道工序互不影响。 ①加工一个这种零件是否是3重伯努利试 验？求加工一个这种零件是合格品的概率： ②加工20个这种零件，记合格品的个数为 X,则X是否服从二项分布？ 64 第七章随机变量及其分布 探究二二项分布概率的计算 【变式2】1)设随机变量XB5,号)，则PX=3)= 【例题2】某气象站天气预报的准确率为80%，计 ) 算下列事件的概率（结果保留到小数点后第 2位). >16 &是 (1)5次预报中恰有2次准确； (2)5次预报中至少有2次准确。 cs 号 (2)有8件产品，其中4件是次品，从中有放 回地取3次（每次1件），若X表示取得次品 的次数，则P(X≤2)= (3)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目 标的概率为)，乙每次击中目标的概率为号 ①求乙至多击中目标2次的概率； ②求甲恰好比乙多击中目标2次的概率 规律总结 (1)判断一个随机变量是否服从二项分布， 关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事 件发生与否两者必有其一：二是重复性，即 试验是独立重复地进行了n次 (2)应用二项分布求概率的一般思路 ①根据题意设出随机变量：②分析出随机 变量服从二项分布；③明确参数n,p,写出 二项分布的分布列：①将k值代入求概率 ·65· 数学选择性必修第三册课堂学案 探究三二项分布的均值与方差 【变式3】1)已知随机变量X~B(2,号)，则X), 【例题3】某商场为刺激消费，拟按以下的方案进 D(X)分别为 行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张， 每张奖券的中奖概率为2，若中奖，商场返还 景9 B香品 顾客现金100元.某顾客现购买价格为2300 c38 含 元的台式电脑一台，得到奖券4张. (2)某工厂生产的产品是经过三道工序加工 (1)设该顾客中奖的奖券张数为X,求X的分 而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产 布列： 111 品三道工序的次品率分别为0立2， (2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y 元，用X表示Y,并求Y的数学期望 ①求该产品的次品率： ②从该工厂生产的大量产品中随机抽取三 件，记次品的件数为X,求随机变量X的分布 列与方差D(X). 规律总结 (1)求二项分布的均值和方差的步骤 ①先判断随机变量是否服从二项分布： ②代入二项分布的均值和方差公式计算均 值和方差。 (2)解决此类问题的第一步是判断随机变量 服从什么分布，第二步代入相应的公式求 解，若服从两点分布，则D()=(1一p):若 专服从二项分布，即~B(n,p),则D() np(1一p). ·66· 第七章随机变量及其分布 随堂检测学以致用 答案见P 1.若随机变量X~B(100,p),且E(X)=20,则 号，曲现绿灯的概率都是子·记这4盏装饰灯闪 D(2X-1)= A.64 B.128 烁一次时，出现红灯的数量为X C.256 D.32 (1)求X=2时的概率； (2)求X的均值， 2.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10 分.已知他解题的正确率为号，若40分为最低 分数线，则该生被选中的概率为 AC×()×号 &C×(g) c.c×()×号+C×(g) D.1-Cx()×() 3.牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被 感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛 的头数为，则D() 4.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地 闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是 提示完成Ps课时作业（十四） 7.4.2超几何分布 必备知识基础落实 答案见P 问题导入 问题2：若用X表示取得的次品数，则X的可 能取值是多少？P(X=2)是多少？ 已知在10件产品中有4件次品，现从这10件 产品中任取3件。 问题1：抽取的3件产品中有1件次品，该事件 服从二项分布吗？其概率是多少？ 微梳理 要点超几何分布 1,定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有 M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放 ·67·0.4+(3一3.2)2×0.1+(5一3.2)×0.5=3.56，所以X的 n重伯努利试验；D项，加工质量不稳定说明次品率不稳 标准差为√D(X污=√3.56.故选D项。 定，因此不是n重伯努利试验.故选ACD项. 2.A解析抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得 答案ACD 一1分，则得分X的分布列如表所示， (2)①加工一个这种零件需经过三道工序，各道工序互不影 响，它们是独立的，但三道工序的合格率不同，因此加工一 -1 个这种零件不是3重伯努利试验.由事件的独立性知，加工 P 0.50.5 一个这种客件是合格品的概率P=品×号×日-品 所以E(X)=1×0.5+(-1)×0.5=0,D(X)=(1-0)2× 0.5+(-1-0)2×0.5=1.故选A项. ②由①知，加工一个这种零件是合格品的概率是品加工 3解析在均值相等的情况下，方差越小，说明包装的质量越稳 20个这种零件，每个零件的加工相互独立，故是一个20重 定，所以自动包装机己的质量较好。 伯努利试脸，X表示加工的零件是合格品这一事件发生的 答案乙 次数，故服从二项分布， 4服玩由分有列的性质得之十号十力=1，解得p=合，国为 1 [变式1门解析(1)由伯努利试验的判断条件，小明、小华各自投 掷骰子时可看作在相同条件下，且每次投掷互不影响，故小 EC=0X号+1号+名x=号，所以x=2 明投掷的n次可看作n重伯努利试验，小华投掷的m次可 aD9=(0-号》'×2+(1-号)'×号+(2-号)'× 看作m重伯努利试验。 (2)在游戏的全过程中投掷(m十)次，不是在相同条件下 进行的试验，故不能看作(m十)重伯努利试验， [例题2]解析令X表示5次预报中预报准确的次数，则X~ (2)因为—35-2，所以D(=D(35-2)=9D(日=5. B武5，号)，故共分有到为PX=)=C(告广·(1-号)” 7.4二项分布与超几何分布 (k=0,1,2,3,4,5). (1)“5次预报中恰有2次准确”的概奉为P(X=2)=C× 7.4.1二项分布 (号)广×(1-专)广=10x碧×06 必备知识·基础落实 (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)=1 [问题1]提示B=(A1A2A)U(A1AA)U(A1AA). [问题2]提示因为P(A1)=P(A2)=P(A)=0.8,且 PX=o-PX=1D=1-C×(号°×(1-)°-C× AAA3,AAA,AAA两两互斥，所以P(B)= 号×(1-号）'=1-0.00032-0.00640.9. P(AA2A)+P(A1A2A)+P(AAA)=0.8×0.22+ 0.8×0.22+0.8×0.22=3×0.8×0.22 [变式2】解桥(1)由题意可得P(X=3)=C×(2）广'× [问题3]提示P(B)=3×0.2×0.82,P(B)=0.8. [问题4幻提示P(B)=C×0.8*×0.23-,k=0,1,2,3. (1-)广=故选A项 要点一 (②)因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概 1.可能结果 2.重复n次 率为音-之从中取3次，X为取得次品的次数，则X 3.(1)n次(2)相互独立 B(3,2),所以P(X≤2)=P(X=2)+P(X=1)+P(X= [思考]提示“重复”意味着各次试验成功的概率相同。 要点二 o=G×(2)'×+C×2×(2)'+C×(合)广'=名： 1.P(X=k)=Cp*(1一)，k=0,1,2,…,n X~B(n,p) 昏累4A(2②日 2.npnp(1-p) (3)①乙至多击中日标2次的概率为1-G(号)）'-易 [思考]提示两点分布是一种特殊的二项分布，是=1时的二 项分布：二项分布可以看作两点分布的一般形式. ②设“甲恰好比乙多击中目标2次”为事件A,“甲恰好击中 [辨析]解析(1)正确，由伯努利试验的相关概念知说法正确。 目标2次且乙恰好击中目标0次”为事件B,“甲恰好击中 (2)正确.由n重伯努利试验的相关概念可知说法正确. 目标3次且乙拾好击中目标1次”为事件B,则A=B十B (3)错误.因为骰子的质地不同，点数1出现的概率不同，因 B,品为互斥事件，所以P=PB)+PB)=C(合)'× 此该试验不是4重伯努利试验 (4)错误.X=0,1,2,…,n c×(号)》'+c(2)》'×G×号×（号）'-毫×7+g× 答案(1)√(2)√(3)×(4)× 关键能力·素养提升 [例题1]解析(1)A项，试验的条件不同（质地不同），因此不是 [例题3]解析(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此 n重伯努利试验；B项，某人射击且击中目标的概率是稳定 X~B(4,2).所以PX=-0)-C×(2)广-6，PX=) 的，因此是n重伯努利试验；C项，每次抽取，试验的结果有 三种不同颜色且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是 C×(2)'=1,Px=2)=G×(2）=g,P(X=3) ·178· e×()》广=子，PX=0=C×(2)‘=,所以X的分 [间题2]提示X的可能取值是0,1,2,3，P(X=2)=CC=3 C%101 布列如表所示 要点 X 0 1 3 2兴 1 3 16 16 [思考]提示抽取次数不同，不放回抽取只抽取一次，一次抽取 n个，有放回抽取要抽取n次，每次抽取一个，概率模型不 (2)图为X~B(4,号)，所以E(X)=4X合=2（张）.又由 .1 同，不放回抽取服从超几何分布，有放回抽取服从二项 分布. 已知条件可得Y=2300-100X,所以E(Y)=E(2300 [辨析]解析(1)错误.正面向上的次数X服从二项分布. 100X)=2300-100E(X)=2300-100×2=2100(元)，即 (2)正确.由超几何分布的定义知，摸到黑球的个数X服从 所求变量Y的数学期望为2100元. 超几何分布. [变式3]服析(1)因为随机变量X~B(2,号)，所以E(X) (3)错误.命中目标的次数X服从二项分布， 2X号=号，DX0=2×号×(1-号)=号故选D项 (4)错误.当抽取的产品的件数n不大于总体中的次品件数 M时，k的最大值为n. 答案D 答案(1)×(2)/(3)×(4)X (2)①产品为正品的概率为P=(1-0)(1-)(1 关健能力·素养提升 )=是，所以产品为次品的概率为1-子=是 [例题1匠团①)对于A项，概奉为怒=子：对于B项，概来 ②由题意得X的取值为0,1,2,3，且X~B(3,子)，则 为侣-日对于C项概率为℃=品时干D项，包括设 有坏的、恰有1个是坏的和恰有2个是坏的三种情况，根据 PX=o)-(）广-器PXx=1)=c()'()-器 A项，恰有1个是坏的概率是号>高故D项不正确故选 P(X=2)= ()()‘=是，Px=3)=()》'= C项， 所以X的分布列如表所示】 (2设甲雍学生人数为m,则号-m》=7,即m 42 0 m一6=0，解得m=一2（舍），m=3. 27 27 9 答案(1)C(2)3 64 64 6464 [变式]解析()X满足超几何分布，故PX=2)=CC-3」 所以D0=(1-p=3X号×=是 (②)设X表示解答正确的题数，由超几何分布的概率公式， 随堂检测·学以致用 可得他能及格的概率是P(X≥2)=P(X=2)十P(X=3)= 1.A解扬由于X~B(100,),且E(X)=20,则100p=20,解 cc c-4 C 得p=0.2,所以DX0=100p(1-p)=20×(1-0.2)=16,所 以D(2X-1)=2D(X)=64.故选A项. 昏累（号2号 2.C解析该生被选中包括“该生做对4道题”和“该生做对5 [例题2]解析(1)由题意得，只有当取出的3个球都是白球时， 道题”两种情形，故所求概率为P=C×(号）广×号+CX 随机变量X=6, ()广.故选C项 所以PX=0=总号中C=10,所以a=1 3.解析因为B(10,0.02),所以D(日=10X0.02×(1-0.02)= (2)由题意得，当m=3时，X的可能取值为3,4,5,6， 0.196. 别P(X=3)= =PX=0-9-， 答案0.196 C35 4.解析(1)依题意知X=2表示“4盏装饰灯闪烁一次时，恰好 P(X=5) CC=是，P(X=6)== C4 C 35 有2盏灯出现红灯”，而每盏灯出现红灯的概率都是子，故 所以X的分布列如表所示。 X=2时的概单为G×(号)'×（号）”=品 X 4 5 6 12 18 (2②)因为X服从二项分布，即X一B(4,号)， 35 35 所以B00=4X号=号 [变式2]解杨(1)由题意知，设取到的白棋子的个数为Y,则Y 的可能取值为0,1,2，对应的得分X为2,4,6.由Y服从超 7.4.2超几何分布 几何分布及X与Y的对应关系知，PCX=2》-智-， 必备知识·基础落实 [问题提灵不服从，概率P=CC= pX=0-9=号，PX=6)-9-是 C=10 C02 故X的分布列如表所示 ·179