7.3.1 离散型随机变量的均值-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

数学选择性必修第三册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.(多选)下列表格中，是某个随机变量的分布列 4.若随机变量：只能取两个值0,1，且e取0的 的是 概率是取1的概率的3倍，求的分布列. X 0 2 444444444 ◇ 0.7 0.150.15 X -2 0 2 B 0.5 0.2 0.3 2 D 1g1 lg 2 1g5 2.某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或 子弹打完就停止射击，射击次数为，则一10 表示的试验结果是 A.第10次击中目标 B.第10次未击中目标 C.前9次未击中目标 D.第9次击中目标 3.从标有1~10的10支竹签中任取2支，设所 得2支竹签上的数字之和为X,那么随机变量 X可能取得的值有 个 提示完成P,课时作业（十一） 7.3 离散型随机变量的数字特征 课标要求 学法指导 1.均值与方差是离散型随机变量的数字特征.对均值和方差的理解，可 1.理解离散型随机变 类比在统计部分所学习的平均数和方差. 量的均值。 2.均值的计算公式要熟记，具体可以类比统计部分的加权平均数的计算 2.理解离散型随机变 公式记忆；方差公式可以类比统计部分的方差的公式记忆 量的方差 3.对于离散型随机变量的均值与方差，要加强对其实际意义的理解和 3.理解离散型随机变 把握. 量的均值、方差的 4.通过研究离散型随机变量的均值和方差，发展数学抽象、数据分析和 性质 数学运算的核心素养。 ·52· 第七章随机变量及其分布 7.3.1离散型随机变量的均值 必备知识基础落实 答案见P 口问题导入 X In 设有12个西瓜，其中重5kg的有4个，重6kg的 有3个，重7kg的有5个. 则称E(X)= 习A,为 随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 2.意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的 加权平均数，反映了随机变量取值的 3.性质：设X的分布列为P(X=x)=p:,i=1, 问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的 2,…,n.一般地，结论E(aX十b)= 质量，试想X可以取哪些值？ 成立 >思考：随机变量的均值和样本的平均值是常数 还是随机变量？ 问题2：X取上述值时对应的概率分别是多少？ 444444444444444444444444444444444444444444444444444444年4444444444444 要点二 两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 问题3：试想每个西瓜的平均质量该如何求？ E(X)=0X(1-p)+1×p=p, 辨析 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” (1)离散型随机变量的均值E(X)是一个随机 数值. () 口微梳理 (2)随机变量的均值相同，则两个分布也一定 相同 () 要点一 离散型随机变量的均值 (3)若X服从两点分布，则E(X)=n中.() 1.定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列 (4)若随机变量X的数学期望E(X)=2,则 如表所示， E(2X)=4. () ·53· 数学选择性必修第三册课堂学案 关键能力素养提升 答案见Pt 探究一离散型随机变量均值的公式与性质 【变式1】(1)随机变量X的分布列如表所示，则 【例题1】已知随机变量X的分布列如表所示. E(5X+4) ( X -2 0 2 X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 P 20 A.16 B.11 (1)若Y=一2X,求E(Y)的值： C.2.2 D.2.3 (2②若=aX+3,且Ee=号求a的值 (2)已知离散型随机变量X的概率分布列如 表所示 X 1 2 3 P 1 4 6 ①求m的值； ②求P(1X-3=1)和E((X+2)2). 规律总结 若给出的随机变量与X的关系为-aX十 b,a,b为常数，求E(E)的两种思路： (1)先求出E(X),再利用公式E(aX十b)= aE(X)十b求E(): (2)利用X的分布列得到：的分布列，关键 是由X的取值计算：的取值，对应的概率相 等，再由定义法求得E() ·54· 第七章随机变量及其分布 探究二离散型随机变量的均值 规律总结 【例题2】(2022·北京改编)在校运动会上，只有 甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩 求离散型随机变量的均值的一般步骤 达到9.50m以上（含9.50m)的同学将获得 (1)确定取值：理解随机变量的意义，写出随 优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得 机变量的所有可能的取值； 主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理 (2)求概率：计算出P(X=): 得到如下数量（单位：m). (3)写分布列：写出X的分布列： 甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40， (4)求均值：利用E(X)的计算公式计算E(X). 9.35,9.30,9.25 其中写出随机变量的分布列是求解此类问 乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23； 题的关键所在。 丙：9.85,9.65,9.20,9.16. 【变式2】(1)在篮球比赛中，罚球命中1次得1 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成 分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概 绩相互独立。 率为0.8，则他罚球1次的得分X的均值为 (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀 奖的概率； (2)某地最近出台一一项机动车驾照考试规定： (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中 每位考试者一年之内最多有4次参加考试的 获得优秀奖的总人数，求X的分布列和数学 机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不 期望E(X) 再参加以后的考试，否则就一直考到第4次 为止，如果李明决定参加驾照考试，设他每次 参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8， 0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的 分布列和均值. 444444444444444444444444444444444444 ·55 数学选择性必修第三册课堂学案 探究三离散型随机变量均值的实际应用 规律总结 【例题3】(2024·北京)已知某险种的保费为0.4 万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次 (1)实际问题中的均值问题：均值在实际问 赔付0.6万元 题中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排 和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产 赔偿次数 0 1 2 3 4 品合格率的预测、投资收益的预测等，都可 单数 800 100 60 0 10 以通过随机变量的均值来进行估计」 在总体中抽样100单，以频率估计概率： (2)概率模型的解答步骤 (1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的 ①审題，确定实际问题是哪一种概率模型， 概率； 可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； (2)①毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利 ②确定随机变量的分布列，计算随机变量的 润为X,估计X的数学期望； 均值； ②若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 ③对照实际意义，回答概率、均值等所表示 4%,已赔偿过的增加20%，估计保单下一保 的结论 险期毛利润的数学期望 【变式3】某厂销售部以箱为单位销售某种零件， 每箱的定价为200元，低于100箱按原价销 售，不低于100箱则有以下两种优惠方案： ①以100箱为基准，每多50箱送5箱； ②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概 率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4. 某单位需要这种零件650箱，以购买总价的 数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种 优惠方案更划算？ 444444444444 56 第七章随机变量及其分布 随堂检测学以致用 答案见P 1.某篮球运动员每次投篮未投中的概率为0.3， 投中2分球的概率为0.4，投中3分球的概率 0.7 0.1 0.1 0.1 为0.3，则该运动员投篮一次得分的数学期望为 ( 0 A.1.5 B.1.6 P 0.5 0.3 0.2 0 C.1.7 D.1.8 A.甲的产品质量比乙的好 2.已知随机变量X的分布列如表所示，则 B.乙的产品质量比甲的好 E(X)- ( C.甲的产品质量与乙的一样 X 一1 0 1 D.无法判定 P 0.5 0.2 4.(多选)已知随机变量X的分布列如表所示. A.0 B.-0.2 X 4 a 9 10 C.-1 D.-0.3 P 0.3 0.1 b 0.2 3.甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X 表示甲车床生产1000件产品中的次品数，Y 若E(X)=7.5,则以下结论正确的是( 表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经 A.a=7 B.b=0.4 过一段时间的考察，X,Y的分布列分别如表所 C.E(aX)=52.5 D.E(X+b)=7.5 示，据此判定 提示完成P课时作业（十二） 7.3.2 离散型随机变量的方差 必备知识基础落实 答案见P 日问题导入 问题1：试求E(X1),E(X2) A,B两台机床同时加工零件，每生产一批数量 较大的产品时，出次品的概率如表所示 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444 A机床 次品数X 0 1 2 3 问题2：由E(X)和E(Xz)的值能比较两台机 床的产品质量吗？ P 0.7 0.2 0.06 0.04 B机床 次品数X 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 ·57·对于X=-2,-1,0,1,2,3,由Y2=X2-2X,得Y2=8,3, 随堂检测·学以致用 0,-1,0,3, 1ABD解析由离散型随机变量分布列的性质可知，A,B,D 则P0Y,=8)=2PY,=3)=+= 项正确：C项中，P(X=1)<0不符合P(X=x)≥0的性质，也 不符合P(X=1)+P(X=2)十P(X=3)=1的性质，所以C PY:=0)=号+日-2，P,=-1D=2 项中的表格不是随机变量的分布列.故选ABD项， 2.C解析由题意知，=10表示前9次未击中目标，第10次 故Y2的分布列如表所示】 击中目标或未击中目标.故选C项. 8 3 0 3.解析X的可能取值为3,4,5，…，19，共17个. 答索17 1 3 4.解析由题意及分布列满足的条件知P(=0)十P(=1)= [变式3]解析由题意可知P(2X+1=1)=P(X=0)=0.2, 3P(=1)+P(=1)=1,所以P(=1)=,故P(E=0) P(2X+1=3)=P(X=1)=0.1, 是.所以（的分有列如表所示。 P(2X+1=5)=P(X=2)=0.1, P(2X+1=7)=P(X=3)=0.3, P(2X+1=9)=P(X=4)=0.3. 3 4 所以2X十1的分布列如表所示. 4 2X+1 1 3 7 9 7.3离散型随机变量的数字特征 P 0.20.10.1 0.3 0.3 7.3.1离散型随机变量的均值 [例题4]解析由题意得随机变量X的分布列如表所示. 必备知识·基础落实 2 3 5 [问题1]提示X=5,6,7. 2a 4a 5a [问题2]提园P(X=5)=意=子，P(X=6)=是- (1)由a+2a+3a十4a+5a=1,得a= PX=)=是 (2)方法-P(X号)=P(X=)+P(x=号)+ [向题3】腿园5X4+3+7X5=5×告+6×是+7×是 12 要点一 PX=D-吉++号- 1xp1十xp十…十xpa期望 2.平均水平 方法二P(X)=1-P(x号)=1-（需+是）-号 3.aE(X)++b [思考]提示随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的 [变式4]解析(1)由离散型随机变量概率分布的特征，知a十 抽取：样本的平均值是一个随机变量，它是随着样本的不同 合+号+号=1，所以a=寻故选A项 而变化的。 [辨析]解标(1)错误.离散型随机变量的均值是一个常数，它 (2P(合<X<号)=PX=1D+PX=2)+P(X=3) 不具有随机性。 (2)错误.两个随机变量的分布相同，则它们的均值一定相 品+品+品-是 同：反之不一定成立 (3)错误.若X服从两点分布，则E(X)=p 俗系(1)A2)号 (4)正确.由均值的性质可知正确. [练习]解析(1)由x2一x-6≤0，得-2≤x≤3，即S= 答案(1)×(2)×(3)×(4)J (x|-2≤x≤3).因为m,n∈Z,m,n∈S且m十n=0,所以A 关键能力·素养提升 包含的基本事件为（一2,2），(2，-2)，(-1,1D,(1,一1)，(0,0). [例题1]器罚(1)由随机支量分布列的性质，得}十号十 (2)因为m的所有不同取值为一2，一1,0,1,2,3， 所以X=m的所有不同取值为0,1,4,9， m+0-1,解得m合， 则PX=0)=日，PX=1=-， 所以E0=(-2)×号+(-1)×号+0×号+1× P(X=40=号=，PX=9)= 2x0-品 故X的分布列如表所示 由Y=-2X,得E0m=-2B00=-2X(一0)-号 X 0 9 (②)周为E()=E(ax+3)=aE(X)+3=-品a+ 3=-号，所以a=15, ·175· [变式1]解析(1)由表格可求E(X)=0×0.3十2×0.2十4× 0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)十4=5×2.4十4=16.故 -0P=6=10P=20=1高 选A项. P(=3)=100=故Eg=0x号+08x0+1.6X 10 答案A (②)①由概率分布列的性质可得号十m十是十言=1，解得 易+24X品+3X高=0.278，故E0=04-0.278= 0.122(万元). m-是 ②由题设得变化后的保费为Q4×号×96%+0,4×号× ②P(IX-31=ID=PX=2)+P(X=0=+吉-是 1.2=0.4032, 国为B0=1X号+2X4+3X号+4×日=是，E(X)= 故保单下一保险期毛利润的数学期望为E(Y)=0.122+ 0.4032-0.4=0.1252(万元). 1×+2×号+3×是+×日-，所以E(X+ [变式3]解杨若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所 2)=EX+4X+0=BX)+4B(0+4-要+4X号+ 以该单位只需要购买600箱，从而购买总价为200X600= 120000(元). 4平 若选择方案②，设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元， 则X的可能取值为184,188. [例题2]解析(1)由题意得，甲同学的10次成绩中有4次成绩 X的分布列如表所示， 达到9.5m以上，所以由频率估计概率可得，甲获得优秀奖 X 184 188 的概率为P=总=0,4 P 0.6 0.4 (2)由题意得，乙获得优秀奖的概率为0.5，丙获得优秀奖 则在折扣优惠中每箱零件价格的数学期望E(X)=184X 的概率为0.5.设甲获得优秀奖为事件A,乙获得优秀奖为事 0.6+188×0.4=185.6, 件A,丙获得优秀奖为事件A,X的可能取值为0,1,2,3，则 则购买总价的数学期望为185.6×650=120640（元）. P(X=0)=PAAA)=0.6×0.5×0.5=0.15,P(X=1)= 因为120640>120000，所以选择方案①更划算. PAAA)+P(AAA)+P(A1AA)=0.4×0.5×0.5+ 随堂检测·学以致用 0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4, P(X=2)=P(AA:A)+P(A:A:As)+P(AAA)=0.4X 1.C解析由已知得E(X0=0×0.3+2×0.4十3×0.3-1.7.故 0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35,P(X= 选C项. 3)=P(AAA3)=0.4×0.5×0.5=0.1,所以X的分布列为 2.B解析由题意得0.5十0.2十p=1,解得p=0.3,则由离散 X0123 型随机变量的均值公式得E(X)=一1×0.5十0×0.2十1× P0.150.40.350.1 0.3=-0.2.故选B项. 3.A解析E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6, 所以E(X0=0X0.15+1×0.4+2×0.35+3X0.1=1.4 EY=0X0.5+1×0.3+2X0.2+3×0=0.7,星然E(X)<EY), [变式2]解析(1)因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以 E(X)=0×0.2十1X0.8=0.8,即该运动员罚球1次的得 由数学期望的意义知，甲的产品质量比乙的好故选A项. 分X的均值为0.8. 4.ABC解析由分布列的性质知0.3十0.1十b十0.2=1，解得 答案0.8 b=0.4,B项正确：因为E(X)=4×0.3+0.1a+9b+10× (2)X的可能取值为1,2,3,4，则X=1表明李明第一次参 0.2=6.8十0.1a=7.5,所以a=7,A项正确：由均值的性质 加驾照考试就通过了，故P(X=1)=0.6;X=2表明李明第 知E(aX)=aE(X)=7×7.5=52.5,C项正确：E(X+b)= 一次考试未通过，第二次通过了，故P(X=2)=(1一0.6)× E(X)十b=7.5十0.4=7.9，D项不正确.故选ABC项. 0.7=0.28:X=3表明李明第一、二次考试都未通过，第三 7.3.2离散型随机变量的方差 次通过了，故P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8= 0.096;X=4表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X 必备知识·基础落实 4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024 [问题1]提示E(X)=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04= 所以李明一年内参加考试次数X的分布列为 0.44,E(X2)=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10= X 1 2 3 0.44. p 0.6 0.28 0.096 0.024 [问题2]提示不能，因为E(X)=E(X2). [问题3]提示样本方差. E(X)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544. 要点 [例题3]解析(1)设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题 60+30+10 设中的统计数据可得P(A)=800+100十60+30+101可 1 1.(-E(X))p (X -(E(X) (2)①设为赔偿金额，则可取0,0.8,1.6,2.4,3， 2.离散程度集中分散 由题设中的统计数据可得P(G一=0)=0。-专，P(G=Q8) 3.a2D(X0 [思考]提示离散型随机变量的方差即为总体的方差，它是一 ·176·