6.3.2 二项式系数的性质-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

数学选择性必修第三册 课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.若(+) 的展开式有16项，则自然数n (2)第4项的系数； (3)常数项， 的值为 ( A.9 B.10 C.11 D.16 2(-) 的展开式中常数项为 A.-60 B.-15 C.15 D.60 3(2x- 的展开式的中间项是 4在(2x+3)° 的展开式中，求： (1)第4项的二项式系数： 提示完成P,课时作业（七） 6.3.2二项式系数的性质 必备知识基础落实 答案见P0 口问题导入 问题2：计算每一行的系数和，你又能看出什么 规律？ (a十b)”的展开式的二次项系数，当n分别取 1,2,3,4,5,6时可以表示成如下形式： (a+b) …11 (a+b)2 …121 (a十b)3…1331 (a+b)1…14641 (a十b)5 …15101051 问题3：二项式系数的最大值有何规律？ (a+b)5 …1615201561 问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什 么规律？ ·32 第六章计数原理 口微梳理 右 积 要点一 二项式系数的性质 性质 内容 o 在(a十b)的展开式中，与首末两端 oee⊙ 对称性 “等距离”的两个二项式系数相等，即 C”=C 日回园回⊙ 当k<"时，C随是的增加 日国① 而增大； 中 增减性 实 当>n十] 时，C随是的增加 廉東商方 者皆廉 乃 积 而减小 图2 增减性与 最大值 2.特点 当n是偶数时，中间的一项 (1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1 C取得最大值： 等距离的项的系数相等， 最大值 当n是奇数时，中间的两项 (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等 C.c 相等，且同时取得 于它“肩上”两个数的和，即C+1=C1十C 最大值 >思考：系数最大的项一定是二项式系数最大的 ①C十C+Cg十…十C=2", 项吗？ 各二项式 ②C+C+C+…=C十C+C%+… 系数的和 2,即奇数项的二项式系数的和等于 偶数项的二项式系数的和 要点二 杨辉三角 1.概念 在探究(a十b)"的展开式的二项式系数性质 时，我们曾把系数写成一张表（图1），借助它发 现了系数的一些规律.事实上，在我国南宋数 学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书 中，就已经出现了这个表.所不同的只是这里 辨析 的表用阿拉伯数字表示，在那本书里是用汉字 判断正误，正确的画“/”，错误的画“X” 表示（图2）的.我们称这个表为杨辉三角. (1)二项展开式中系数最大项是中间一项（共 (atb…11 (+b3…121 奇数项)或中间两项（共偶数项）. () (+b)…13 3 (2)二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系 (a+b).…14641 数和. () (a+b.…15101051 (3)二项展开式项的系数是先增后减的.() (a+b°…161520156 (4)杨辉三角中每行（除第一行外）两端的数都 图 是1. () ·33· 数学选择性必修第三册 课堂学案 关键能力素养提升 答案见P0 探究一二项展开式中系数的最值问题 (2)求展开式中系数最大的项：如求(a十bx) 【例题山已知二项式（得+2x (a,b∈R)的展开式中系数最大的项，一殷是 (1)求展开式中二项式系数最大的项的系数； 采用待定系数法，设展开式中各项系数分别 (2)求展开式中系数最大的项。 为A,A1,A2,…,An,且第(r十1)项系数最大， A≥A-1"解出，即得系数最大的项。 应用 A≥A+I [注意]二项式系数与项的系数是两个不同 的概念，二项式系数是组合数，仅与二项式的 指数及项数有关，一定为正，而项的系数与二 项式的指数、项数及字母的系数均有关，可正 可负 【变式1】(1)在(2-3x)5的展开式中，二项式系 数的最大值为 () A.Cis B.Cis C.-C5 D.-Cis 2r-) 的展开式中，系数最大的项为 A.第6项 B.第3项 C.第3项和第6项 D.第5项和第7项 规律总结 求二项展开式系数最大的项的方法 (1)求二项式系数最大的项：若n是偶数，则 中间一项，即第(2十1)项的二项式系数最 探究二 二项展开式的系数和 大，即最大值是C;若n是奇数，则中间两 【例题2】设(2√3x)m=十ax十a2x2十…十amxm, 求下列恪式的值 项，即第”空项与第(+1)项的二项式 2 (1)ae; 系教相等且最大，即C号=C且最大 (2)a1十a2十a3+a4十…+a1oo: (3)a1十ag十as十…十agg; ·34· 第六章计数原理 (4)(a十a2十+am)2-(a1十a3十…十ag)2: 【变式2】(1)若(5x+4)3=a0+a1x十a2x2+ (5)lao|+|a1|+…+|a1o. a3x3,则(a。十a2)-(a1十a)= () A.-1 B.1 C.2 D.-2 (2)(mx十√)(n∈N”)的展开式中，各二项 式系数和为32，各项系数的和为243，则展开 式中x3的系数为 () A.40 B.30 C.20 D.10 探究三与杨辉三角有关的问题 【例题3】如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调 和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有m个数且两端的数均为n∈N~,m> 2),每个数是它下一行左、右相邻两数的和， 如时-+2名号+日君+2…， 规律总结 则第10行的第4个数（从左往右数）为 用赋值法求二项展开式系数的和 赋值法即对字母作特殊赋值，可达到求和目 的.赋值时可视所求和式子的结构特点 而定 (1)若f(x)=ao十a1x十a2x2十…十ax",则 有ao=f(0):a+a十a2++a.=f1):a a1十ag-a+…+(-1)'an=f-1):a+a2十 as+as+as+ao+=KD)tf(-D;a+ 2 a十a5+a十a+.=f)-f-1D 2 (2)对形如(a.x十b),(ax2+bx十c)m(a,b, C∈R)的式子求其展开式的各项系数之和， 只需令x=1即可；对形如(ax十by)"(a,b R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需 令x=y=1即可. ·35· 数学选择性必修第三册课堂学案 数都为1的是第 行：第61行中1的 规律总结 个数是 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 第1行 第2行 观察 对数据要横看、竖看、隔行看、 连续看，多角度观察 第3行 第4行 0 0 <规律 通过观餐找出每一行的数据之 110 01 间、行与行之间数据的规律 第5行 第6行 101010 第7行 1 11111 、表达 将发现的规律用数学式子表达 结论 由数学表达式得出结论 【变式3】将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成 0,得到如图所示的三角数表.从上往下数，第 1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行 的数都为1的是第3行，…，第n次全行的 随堂检测学以致用 答案见P L.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是 4.已知(1十3x)”的展开式中，末三项的二项式系 ( 数的和等于121，求展开式中二项式系数最大 的项。 1 2 13 3 1 044+44444444444444444444444444444444444444444444444+444440444444444 14a 41 151010 5 A.8 B.6 C.4 D.2 2.(1十x)(n∈N)的展开式中，系数最大的 项是 A.第号十1项 B.第n项 C.第n+1项 D.第n项与第n十1项 3.若(2一3x)5=a6十a1x十a2x2十…十a6x5,则 a1十a2十aa+十a6= ( A.-4 B.4 C.-64 D.-63 提示完成P课时作业（八）和P培优训练（二） ·36·随堂检测·学以致用 式中系数最大的项为第8项或第9项，即T,=C()'· 1.B服研周为（十号）”的展开式共有n十6项，所以十6= 22=22,T,=c(4）广°…2r=2r. 16,所以n=10.故选B项 [变式1]解析(1)(2-3x)5的展开式中共有16项，中间的两 2D服霸（一是）广的展开式的通项为T1=C一· 项为第8项和第9项，这两项的二项式系数相等且最大，为 C=C.故选B项. (-是)厂=(-2yrC,令6-3r=0,得到r=2,所以 (2)展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等.由 (一是)”的展开式中常数项为(-2)PC=60,故造选D项 于仁项式系数的最大项为工，且工。=G·2(一）广 3.解析由n=6可知中间项是第4项，由通项公式可得T C中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时工。的系数 ce22.(-）'=C(-10…2·2=-160. 最小而工=G:(-1)）广=-C2,1=Cr(-)）° 答系一160.x Cx2,且C6=C.所以系数最大的项为第5项和第7 4照(2+） 的展开式的通项为T1=C(2x)· 项.故选D项 答系(1)B(2)D (})=c2x. [例题2]解析(1)令x=0,得a6=2m. (1)T,=C2x,第4项的二项式系数为C=20. (2)令x=1,可得a十a:十a:十…+a1w=(2-3)w,① (2)由(1)知第4项的系数为C·2=160 所以a1十a2+…+aw=(2-3)w一210 (3)令6-3r=0,得r=2,故常数项为C·22=240. (3)令x=-1,可得a一a1十a2一a十…十a1w=(2十 3)1m. ② 6.3.2二项式系数的性质 由0-②得4十a+…+um=23)m-(2h3)m 必备知识·基础落实 [问题1门提示在同一行中，每行两墙都是1，与这两个1等距 (4)原式=[(a十ag+…+am)+(a1十a+…十ag)]X 离的项的系数相等：在相邻的两行中，除1以外的每一个数 [(ao十a1+十am)-(a1十as十…十dm)门 都等于它“肩上”两个数的和 =(ao十a1十a2十十a1m)X(a一d十a2一a十…十dw [问题2]提示2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2 ag十a1m) [问题3]提示n=2,4,6时，中间一项最大，n=3,5时中间两项 =[(2-w3)×(2十5)]0=11w=1. 最大。 (5)因为T+1=(-1)rCi%210-r(W3)'x', [思考]提示系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只 所以a-1<0(k∈N),at>0(k∈N). 有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致。 所以a+a十|a十…+law|=a一a十a一as十十 [辨析]解析(1)错误.二项展开式中项的系敦与二项式系数是 am=(2+3)1m. 不同的，二项式系数最大项是中间一项（共奇数项）或中间 [变式2]解标(1)(5.x+4)3=a。十a1x+aax2十aax2,所以令 两项（共偶数项），但是项的系数的最大值与项的其他数字 x=-1,得(-1)卢=a一a十a-a=(a十ae)-(a,十ag)= 因数的大小有关 一1，故选A项， (2)错误.在二项式(a十b)”中只有当a,b的系数都为1时， (2)(m.x十丘)的展开式中，各二项式系数和为2=32，所 展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和， 以n=5.令x=1,可得各项系数的和为(1十1)°=243=3， (③)错误.二项式系数是随n的增加先增后减的，二项展开 式项的系数和a,b的系数有关. 所以m=2,所以(mx十)"=(2x十)，其展开式的通项 (4)正确.根据杨辉三角的特点可知说法正确。 为T41=C·2·x,令5-5=3，可得=4，故展开 答率(1)×(2)×(3)×(4)/ 式中x2的系数为C×2=10.故选D项. 关键能力·素养提升 答系(1)A(2)D [例题1山服团)二项式（什+2）广的展开式中第5项的二 [例题3]解标将杨辉三角中的每一个数C都换成分数 项式系款最大，周光由工=C(）广，2=要，可 (n十1)C即可得到“莱布尼茨调和三角形”，杨辉三角中第 10行的第4个数为C=84,所以“某布尼茨调和三角形”中 知此项的系教为智 (2)由题意设二项展开式的第r十1项的系数最大，则 第10行的第4个数为10X84840 c(2≥c()）2 图动 解得7≤≤8，所以展开 [变式3]解析观察可得第1行，第3行，第7行，全行都为1，故 c()）≥c(4)2, 第n次全行的数都为1的是第2一1行.当n=6时，2一1= ·170: 63,故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第 2.照为（是+号）的展开式的通项为T=C()”。 61行共有32个1. 答系2-132 (写）=-G-n,r=01…,6,令6(-3)=0，可得 随堂检测·学以致用 r=3,所以常数项为3C笔=20. 1.B解析由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4十 答案20 a=10,解得a=6.故选B项. 8.解析令x=1,所以(1十1)°=32，即2"=32，解得n=5,所以 2.C解析由于第r十1项的系数为C,故当r=n时，系数最 (x十1)产的晨开式的通项公式为T1=C·x-‘,令5一r= 大，即第n十1项的系数最大.故选C项. 2,则r=3,所以T1=Cgx2=10x2. 3.D解析由题意可令x=0,得(2-3×0)°=4十×0十 答率10 a2×0+…十as×0,即aa=64,再令x=1,可得64十d1十ag十 aa+…十a6=1,所以a十a十a十…十a6=-63.故选 解扬因为(1-￥)u+y)=(x+)-兰(x十y),所以 D项 4.解桥由已知得C2+C1+C=121,则2n(n-1)十n+ (1-￥)x十)的展开式中含ry的项为Cry 1=121,即㎡2+n-240=0,解得n=15或n=-16(舍去) Cry=-28xy,所以(1-兰)(x+y)卢的展开式中 所以展开式中二项式系数最大的项是T=C(3x)和T= x2y的系数为-28. C(3x)8. 答系-28 章末复习方案 10,解玩由题意得晨开式的道项公式为T1=C(号)】 x 1,解析因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名 0≤≤10且r∈7，设展开式中第r十1项的系数最大，则 同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，所以先取2 名同学看成一组，选法有C=6(种)，现在可看成是3组同 学分配到3个小区，分法有A=6(种)，根据分步乘法计数 c(3)'≥cw'(3)" 33 原理，不同的安排方法共有6×6=36（种）. 答案36 又r∈Z,故r=8,所以展开式中系数最大的项是第9项，且 2解粉(1)当从8门深中选修2门，则不同的选课方案共有 谊项系数为C(兮) =5. CC=16(种).(2)当从8门课中选修3门：①若体育类选修 1门，则不同的选课方案共有CC=24(种)：②若体育类选 答率5 修2门，则不同的选深方案共有CC一24（种）.综上所述， 11.解析(1)由(2x-1)”=a十a1x+a2x2+…+anx, 不同的选课方案共有16十24十24=64（种）. 令x=0,可得aa=一1： 答索64 2可得a+号+学+号+十学=0. 3.D解析根据分层随机抽样的定义知初中部共抽取60X 0=40(人)，高中部共抽取60×-20（人），根据组合公式 600 600 和分步乘法计数原理得，不同的抽样结果共有C·C种.故 所以a+号十尝十…+受=2 选D项， (2)因为(2x-1)9=aw十a1x十a2x2+…十a4.x2, 4,B解析不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e,假设a连续参加 两边同时求导数，可得18(2.x一1)=a1十2a2x十…十9ug.2, 了两天公益活动，再从剩余的4人中抽取2人各参加星期六 与星期天的公益活动，共有A=12(种)方法，同理，b,c,d,e 令x=1,则a+2a2+3a:十…十9ag=18. 连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，所以恰有1人 12.解析(1)依题意，2"=128，解得1=7， 连续参加了两天公益活动的安排方式有5×12=60（种）.故 在(2丘-士）'中，令x=1,得(2X1-1D=1 选B项. 所以展开式中各项系数之和为1 5.B解析先将丙和丁捆绑在一起有A种排列方式，然后将 其与乙、戊排列，有A是种排列方式，最后将甲插入中间两空， (2)%(2)）'展开式的通项公式TH=C2,· 有C种排列方式.由分步乘法计数原理可得，共有AAC= 24(种)排列方式.故选B项. (）=(-1y·2-C字<rEN显然.(2a 6.B解杨(x一/)'的二项展开式为T+1=Cx-r(一)'= ）'展开式共8项，二项式系数最大的项是第4项和第5 C(-1yr(r=0.l2.3,40,令4-2=3.解得r=2,故所 项，所以展开式中二项式系数最大的项为T一（一1）· 求即为C(一1)2=6.故选B项. 2Cx1=-560x1,T=(-1)·23Cx=280.x量. ·171