6.3.1 二项式定理-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

第六章 计数原理 6.3 二项式定理 课标要求 学法指导 1.可以用两个计数原理分析(a十5)的展开式,归纳得出二项式定理 1.能用多项式运 2.从计数原理的角度思考、理解、证明二项式定理.事实上,二项式定理是两 算法则和计数 个计数原理的直接应用 原理证明二项 3.二项式定理是一个恒等式,要善于观察,学会转化,合理使用二项式定理 式定理. 和二项展开式的通项解决问题 2.会用二项式定 4.学会从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法,去开展探究活动,发现或 理解决与二项 证明数学结论. 展开式有关的 5.通过学习二项式定理,二项式系数性质的探究及应用,发展逻辑推理、数 简单问题. 学运算和直观想象的核心素养 6.3.1 二项式定理 必备知识基础落实 答案见P 。 问题导入 问题3:你能用组合的观点说明(a十b)是如何 展开的吗? 问题1:我们在初中学习了(a十6){*}一a^十2ab+ ,试用多项式的乘法推导(a十b),(a十b)的 展开式. 问题4:分析(a十),(a十b)展开式的特点 猜测(a+b)”(nN)展开式的特点 问题2:(a十b),(a十b)的展开式有何特点? 数学 选择性必修 第三册 课堂学案 微梳理 (2)二项式中a,能否交换位置,二项式 (a十b)“与(十a)*展开式中的第,十1项是否 要点 二项式定理 相同? 1.二项式定理及其相关概念 (b)-Ca”+Cab+ 二项式定理 C”十..+C. +...+CnEN') 二项展开式 公式右边的多项式 二项式系数 二项展开式的通项 T 辨析 2.二项展开式的特点 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” (1)展开式共有十1项. (1)二项式(a士)的展开式的项数是2+1 (2)各项的次数和都等于二项式的幕指数” ) (3)字母&的幕指数按降寡排列,从第一项开 (2)二项展开式中项的系数与二项式系数是相 等的. 始,次数由n逐项减1直到为0,字母5的寡指 ( - 数按升幕排列,从第一项开始,次数由0逐项 (3)(x-1)的展开式中x项的系数为-5. 加1直到为n. 0 ~△ >思考:(1)二项展开式中的项Ca万是第几项? (4)(a十)的展开式中一定有常数项,( 关键能力素养提升 答案见P 探究一 二项式定理的正用与逆用 规律总结 【例题1】(1)求(2x十)的展开式. 运用二项式定理的解题策略 (2)化简:(-1)+5(-1)+10(-1)+10· (1)正用:求形式简单的二项展开式时可直 (x-1)*+5(x-1). 接由二项式定理展开,展开时注意二项展开 式的特点(即前一个字母是降暴,后一个字 母是升寡).形如(a一b)”的展开式中会出现 正负间隔的情况,对较繁杂的式子,先化简, 再用二项式定理展开 (2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简, 对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点。 项数、各项幕指数的规律以及各项的系数. [注意]逆用二项式定理时,如果项的系数是 正负相间的,则原式是(a一b)”的形式. 【变式1】(1)已知C3+C3-1+C3+..十 C3+C-1024,求n的值 .28. 第六章 计数原理 (2)求(\-)的展开式. 2v 规律总结 求二项展开式特定项的步骤 通项公式 化筒 令的次趣为 令的次数为0 特定的使 求出的 出,的点 是否为 整数 确定是第几项 [注意]若通项中含有根式,一般把根式化为 分数指数寡,以简化运算 【变式2】(1)已知(x-2-){的二项展开式中常数 项为1120,则实数a的值是 ( ) A.-1 B.1 C.士1 D.不确定 探究二 二项展开式中的特定项问题 【例题2】(1)(x)的展开式中的常数项是 ①第4项: ( ) ②有理项. . # C.-19 D.1 (2)(选)。(、十) 的展开式中含x* 项,则”的值可能是 ( ) A.6 B.9 C.12 D.14 数学 选择性必修 第三册 课堂学案 探究三 二项式系数与项的系数问题 系数为_,第4项的系数为___. 为常数项. (1)求n的值; (2)求含r^}的项的系数; (3)求第4项的二项式系数及第4项的系数 微专题 用方法·破解疑难 疑难一 求形如(a十b)"(c十d)(m,nEN')的 展开式中的量 【例题1】(1+)(1+x)的展开式中c*项的系 数为 1 ~ A.15 B.20 C.30 D.35 [解析](1十x)展开式的通项为T,=Cx, 1.C}+1 ·C-30r^{},即x”项的系数 为30.故选C项 [答案]C 规律总结 [名师点评]求形如(a十b)”(c+d)”(m,nEN) 的展开式中与特定项相关的量的步骤 (1)解决此类问题可以分成两个步骤来 第一步,根据二项式定理把(a十b)”与(c十 完成: d)”分别展开,并写出其通项公式; 第一步,根据给出的条件(特定项)和(a十b) 第二步,根据特定项的次数,分析特定项可由(a 的通项T 一Cab,建立方程来确定 b)"与(c十d)”的展开式中的哪些项相乘得到; 指数; 第三步,把相乘后的项合并即可得到所求的 第二步,根据所求的指数求解所求的项 特定项或相关量。 (2)要注意区分二项式系数与指定某一项的 【练习1】(1)(1十x)(1+y)的展开式中y 系数的差异,前者只与二项式的指数及项数 的系数为 ( ~ 有关,与二项式无关,它是一个组合数C;后 A.56 B.84 C.112 D.168 者与二项式、二项式的指数及项的字母和系 数均有关. (2)(1十x)十(1十x)十..十(1十x)*展开式 中的系数为 (用数字作答) 中r的系数为 ( B-40 C.40 A.-80 D.80 .30· 第六章 计数原理 疑难二求形如(a十b十c)”(nN)的展开式中 其中1个三项式中取^},从另外4个三一项式中 的量 选一个取,从利余的3个三项式中取常数项 相乘,可得C··C·C·(\2)-20\②; 数项为(用数字作答). (2)在5个相乘的三式(++2)中,从 其中2个三项式中取,从另外3个三项式中 选2个取,从剩余的1个三项式中取常数项 2 相来,可得C·(1)·C· -15 方法二) (3)从5个相乘的三式(++、2)中都 [(x+v2)](+V2)1 32.求原展开式中中的常 取常数项相乘,可得C·(v②)-4/② 数项,转化为求(x十v②)的展开式中含工的 综上。(++\2)#的展开式中的常数为 项的系数,即C·(V②). 所以原展开式中的常数项为·2)63、 20 2+1524v-63 32 2 2~ 方法三 (++)第-[(++2]{ 的通项为T-2(+)#(){ [名师点评] 的通项为T=C2-n= (十b十c)展开式中特定项的求解方法 C--*2+-(05-). (1)因式分解法:将三项式利用因式分解转化为 令5-2r- -0,则 +2r-5,可得 -1, 两个二项式,然后再用二项式定理求解问题 2或-3,-1或b-5,-0. (2)逐层展开法:将三项式分成两组,用二项式 当k-1,r-2时,展开式中的项为CC2*x 定理展开,再把其中含二项式的项展开,从而求 解问题. 2-:15v2 (3)组合知识法:把(a十b十c)”看成n个(a十 CC2v\2×2-1-20v②;当 -5,-0时,展开 b十c)的积,利用组合知识分析项的构成 [注意]转化为二项式时,不同的分组方式展开 式中的项为C4v2-42. 后式子的运算过程的繁简也不相同,要注意结 综上。.({+#2)} 的展开式中的常数项为 合多项式中各项式子的特征合理分组,通过尝 152202+4-63、 试来确定最优分组. 2 【练习2】(x*一x-2)的展开式中,r的系数为 (}#+#2)#}是三式({+ 方法四 (用数字作答). 1+2)相乘,常数项的产生有三种情况: .31: 数学 选择性必修 第三册 课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.若(+)的展开式有16项,则自然数n (2)第4项的系数; (3)常数项. 的值为 。 _ A.9 B.10 C.11 D.16 2.(-)# 的展开式中常数项为 7__ A.-60 B.-15 C.15 D.60 3.(2x-)的展开式的中间项是 4.在(2+) 的展开式中,求: (1)第4项的二项式系数; l提示完成P.课时作业(七) 6.3.2 二项式系数的性质 必备知识基础落实 答案见P。 #。 问题导入 问题2:计算每一行的系数和,你又能看出什么 规律? (a十b)”的展开式的二次项系数,当n分别取 1.2.3,4,5,6时可以表示成如下形式; (a十b) .........................1 (a十b)2} ...........1...1.. (a+b)..............1. ..1 (a+)..............4 6 (a十) ............1510 10 5 1 问题3:二项式系数的最大值有何规律? (a十) .......1 6 15 20 15 6 1 问题1:从上面的表示形式可以直观地看出什 么规律? .32根据分类加法计数原理，共有48十112+56=216（个）不同的三 方法二先选择一个工地派2辆车，再将剩余的2辆车派 角形. 给另外2个工地，则不同的派法共有CCA道=36（种）.故 方法二从12个点中任意取3个点，有C种取法，而在共 选D项。 线的4个，点中任意取3个点均不能构成三角形，即不能构 (2)因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶 成三角形的情况有C得种.故这12个点构成三角形的个数 最多站2人，所以可分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在 为C2-C=216. 一级台阶上，共有CA是=120（种）站法：第二类，有2人站 [变式2]解析(1)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A 在同一级台阶上，剩余1人独自站在一级台阶上，共有 外都有5个，点，从中取出3个点必与点A共面，共有3C种 C号CA=90(种)站法.所以不同的站法种数是120+90= 取法：含顶点A的三条棱上，除，点A外都有2个点，它们与 210.故选C项. 所对棱的中点共面，共有3种取法.根据分类加法计数原理， 答案(1)D(2)C 与顶点A共面的3个点的不同的取法有3C十3=33（种）. 随堂检测·学以致用 1.B解析分两类：一类是3个白球，有C=20(种)取法，另一 类是3个黑球，有C=4(种)取法，所以共有20+4=24（种） 取法.故选B项。 2,D解析第一步先将三个数取出，有CC=6(种)方法，第二 步对取出的三个数进行排列，共有A健=6（种）方法，所以共 (2)①构成四边形，需要四个，点，且无三点共线，可以分成三 有6×6=36（个）三位数.故选D项. 类：a.四个点从C,C2,…,C中取出，有C个四边形： 3.C解析第一步，决选出三等奖，有C一126（种）情况；第二 b.三个，点从C1,C2,…,C6中取出，另一个点从D1,D2,D3, 步，决选出二等奖，有C=10(种)情况：第三步，决选出一等 D,A,B中取出，有CC个四边形： 奖，有C3=1(种)情况.根据分步乘法计数原理，共有126× c.两个点从C,C2,…,C中取出，另外两个点从D,D2, 10×1=1260(种)决赛结果.故选C项. D3,D,A,B中取出，有C暖C个四边形. 4.解析当志愿组有3名男生，2名女生时，有CCCA=360 故满足条件的四边形共有Cg十CC十CC=360(个). (种)方法：当志愿组有4名男生，1名女生时，有CCCA超 ②类似于①可分三种情况讨论得，满足条件的三角形共有 120(种)方法，由分类加法计数原理得，共有360十120=480 Cg+CC8+CgC=116(个. (种)不同的选法。 [例题3]解析(1)先从6本书中选2本给甲，有C?种选法；再 答案480 从其余的4本中选2本给乙，有C种选法；最后从余下的2 5.解析(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法有 本书中选2本给两，有爱种选法.所以分给甲、乙、丙三人， C8=126(种). 每人2本，共有CCC=90(种)不同的选法 (2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过 种取法：然后从2个红球中任取1个红球，有C种取法.所 程也可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x 以共有CC=70(种)取法. 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种 方法，根据分步乘法计数原理，共有xA种方法，即CCC 6.3二项式定理 xA,所以工=CCC-15.因此分为三份，每份两本，一共有 A 6.3.1二项式定理 15种不同的选法. (3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC月=60（种）不同 必备知识·基础落实 的选法 [问题1]提示(a十b)3=a3+3a2b+3ab+,(a+b)=a+ [变式]A匠霸特4名学生辛均分为2个小组关有股- 4a2b+6a28+4ab+. [问题2]提示(a十b)3的展开式有4项，每一项的次数是3； 3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A最= (a十b)的展开式有5项，每一项的次数是4. 2(种)分法：最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A= [问题3]提示(a+b)=(a十b)(a十b)(a十b)(a+b).由多项式 2(种)分法.故不同的安排方案共有3×2×2=12（种）.故选 的乘法法则知，从每个(a十b)中选a或选b相乘即得展开 A项， 式中的一项.若都选a,则得C9a6:若有一个选b,其余三 [例题4幻解析(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1 个选a,则得Ca3b;若有两个选b,其余两个选a,则得 女4男，先选有CC+CC种，后排有A种，共有(CC+ C保a,若有三个选b,余下一个选a,则得Cab,若都选b, CC8)A3=5400(种)选法. 则得Ca°6. (2)除去该女生后，先选后排，有CA=840(种)选法. [问题4]提示(a十b)”的展开式共有n十1项，各须中a,b的指 (3)先选后排，但先安排该男生，有CCA4=3360(种)选法 数和都是n [变式4]解析(1)方法一先把4柄车分成3组，再把分好的3 要点 组分别派给3个工地，则不同的派法共有C号A=36(种). 1.C(k=0,1,2,…,n)Cab 故选D项. [思考]提示(1)Cab是(a十b)”的第r十1项. ·168· (2)二项式中a,b不能交换位置.(a十)展开式中的第r+1 项为Cab,(b十a)"展开式中的第r十1项为Cb'a', （2)二项展开式的通项公式为T41=C”=·（一房)广 两者是不相同的，所以在应用二项式定理时，a和b不能随 (-1)rCi2x-. 便交换位置 ①令r=3,则T=(-1)3C3x2-号×3=-220x. [辨析]解析(1)正确.展开式的项数比指数大1， ②当r=0,3,6,9,12时，T,+1是有理项，分别为T1=x2 (2)错误.二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相 T.=-C32x=-220x,T7=C2x=924x,T0=-C32= 等，只有当a,b的系数都为1时两者相等. -20,=C曜x= (3)正确.(x一1)5的展开式中x项的系数为一5. (4)错误.(a十b)的展开式中通项Carb的次数不一定 [例题3]服颈4)(：-是) 的展开式的通项为T+1 为0. Cx号(-3)rx营=C(-3)rx产.因为第6项为常数项， 答率(1)√(2)×(3)√(4)× 关键能力·素养提升 所以当=5时，有”写r=0,即n=10, [例题1]爵1)(2x+是)广'=C(2x+d(2xx+ (2)由(1)知通项为T+1=Co(-3yx学产，令10,2=2，得 3 r=2. C(2x)3x4+C(2x)x6+C(2x)x8+Cx10=32x+ 所以所求的系数为C(一3)2=405. 80r+2+9+9+ (3)由(1)知通项为T+1=C(-3)x", (2)原式=Cg(x-1)5+C(x-1)+C号(x-1)+ 所以第4项的二项式系数为C%=120,第4项的系数为C× C8(x-1)2+C(x-1)+C3(x-1)°-1=[(x-1)+1]5 (-3)3=-120X27=-3240. 1=x2-1. [变式3]层窃1)(2x-）” 的展开式的通项为T+1= [变式1]解扬(1)C83"+C3"-1+…十C13+C-C3"·1°十 C3m-1·11+…+Cg-13·1"-1+C3°·1=(3+1)"= c2-(-）'=(-12ct,令5-2r=1得 4=1024=20,即22=20，解得n=5. 2,所以(2红-)）广的晨开式中x的系数为(-1)2CG (2)方法一 (a-2左)'=w@-dw@·2左 80.故选D项. G·（2)'-cE·(2左)'+c(2左)' (2)易知(2-)广的展开式的通项为T+1=G· r-2x+是-+ (2)(-广=(（-号)广Cx-,当k=3时，工= 方法=（匠2左广-(》'=应2- (一)'G2=-号2，所以第4项的二项式系教为G= =16216r-32x+24r-8x+D 84,第4项的系数为一号 -d-2x+2+d 图D(②84-号 [练习1]解析(1)因为(1十x)8的展开式中x2的系数为C, [例题2]爵析(1)二项式(2-)的展开式的通项为T+1= (1十y)的展开式中y2的系数为C,所以xy2的系数为 CC=168.故选D项. C(e)-（-2)广-(-2)'Cx-,令12-3r=0,解得 (2)x2的系数为C十C日十C0十…十C=C十C十C+…+ r=4.所以常数项是(-)广C=语故选D项 C6=C1=330. 答系(1)D(2)330 (2)(丘+)”的展开式的通项为T+1=C()· [练习2]解析方法一因为(2一x一2)=(x一2)·(x十1) [C9·x+C·x3·(-2)+C·x2·(-2)2+C·x· (侵）广-C·片·x=C·字，令2r-2得n (-2)1+C4·(-2)]·(C9·x+C·x2+C￥·x2+C· 4十5r,其中r∈N.若r=1,则n=9:若r=2,则n=14.故选 x十C),所以2的系数为一2C·C+4C·C+(一8C)· BD项. C+16C·C=-40. 答案(1)D(2)BD 方法二因为(x2-x-2)1表示4个因式(x2-x一2)的乘 积，所以x的系数可以是从4个因式中选1个因式提供 [变式2]解析(1)(x-)”的展开式的通项为T+1=C· x2,其余的3个因式中有1个提供（一x),有2个因式都提 …(-2）=(-2arG-,令8-2r=0,解得r=4, 供（一2）：也可以是从4个因式中选3个因式都提供（一x), 剩余的1个因式提供(-2).故x2的系数为C·C(一1)· 所以T5=C(一2a)1=1120,解得a=士1.故选C项. C3(-2)2+C(-1)·(-2)=-48+8=-40. 答案C 答案一40 ·169· 随堂检测·学以致用 式中系数最大的项为第8项或第9项，即T=C()。 1B服罚国为（十号）的展开式共有十6项，所以十6 2'x=2x,T=G()）°·2x=2x. 16,所以n=10.故选B项. [变式1]解析(1)(2一3x)5的展开式中共有16项，中间的两 2D服罚(-是)的晨开式的通项为T1=C· 项为第8项和第9项，这两项的二项式系数相等且最大，为 C=C,故选B项 (是）广=(-2yrCt,令6-3r=0,得到r=2,所以 (2)展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等.由 (2-号)的展开式中常数项为(-2PG=60,故选D项. 于二项式系数的最大项为T,且1元=赐·(-)广 3解析由n=6可知中间项是第4项，由通项公式可得T= 一C中的二项式系数等于项的系数的相反效，此时T。的系数 c22.(-)'=cg(-10.2,2=-16o2. 最小而工-C·(）'-Cw2,T=Cx(-)' 答案-160.x C。x2,且C0=C.所以系数最大的项为第5项和第7 4.(2x+之）广 的展开式的通项为T+1=C(2x)r· 项，故选D项， 答案(1)B(2)D (})'=c2 [例题2]解析(1)令x=0,得a=21。 (1)T4=C2x3,第4项的二项式系数为C得=20. (2)令x=1,可得a十a十a2十…十a10=(2-√③)1m,① (2)由(1)知第4项的系数为C·23=160. 所以a1十a2十…十a1m=(2-√3)o-21o (3)令6-3r=0,得r=2,故常数项为C·2-2=240. (3)令x=-1,可得a0-a1十a2-ag十…+a10=(2十 √3)100 ② 6.3.2二项式系数的性质 由①-②将a十aw十…+a=23)0-2h3)∞ 必备知识·基础落实 2 [问题1]提示在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距 (4)原式=[(a+ag+…+a1o)+(a1+ag十…+a0)]× 离的项的系数相等：在相邻的两行中，除1以外的每一个数 [(ao十a2+…+a1o)-(a1+aa+…+aeg)] 都等于它“肩上”两个数的和 =(ao十a1十a2十…十a1oo）X(ao-a1+ag-a+…+as [问题2]提示2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2 ap十a1oo) [问题3]提示n=2,4,6时，中间一项最大，n=3,5时中间两项 =[(2-√3)×(2+V5)]10=110=1. 最大 (5)因为T+1=(-1)rC210-r(W3)'x', [思考]提示系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只 所以a-1<0(k∈N·),a2>0(k∈N). 有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致. 所以a|+a+lag+…+|am|=ao一a+a-a+…+ [辨析]解析(1)错误.二项展开式中项的系数与二项式系数是 a1%=(2+√3)00。 不同的，二项式系数最大项是中间一项（共奇数项）或中间 [变式2]解析(1)(5x十4)3=a十a1x十a2x2十ax3,所以令 两项（共偶数项），但是项的系数的最大值与项的其他数宇 x=-1,得(-1)3=a-a1十a2-a=(a十ag)-(a1十a3) 因数的大小有关 一1.故选A项。 (2)错误.在二项式(a十b)”中只有当a,b的系数都为1时， (2)(mx十√E)的展开式中，各二项式系数和为2=32，所 展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和 以n=5.令x=1,可得各项系数的和为(m十1)5=243=35， (3)错误.二项式系数是随n的增加先增后减的，二项展开 式项的系数和a,b的系数有关。 所以m=2,所以(mx十√)"=(2x十√)5，其展开式的通项 (4)正确.根据杨辉三角的特点可知说法正确 为T+1=Cg·2·x产，令5-=3，可得r=4,故展开 答案(1)×(2)×(3)×(4)/ 式中x3的系数为C心×2-10.故选D项. 关键能力·素养提升 答率(1)A(2)D [例题1门解析(1)二项式（子+2x)”的展开式中第5项的二 [例题3]解析将杨辉三角中的每一个数C都换成分数 项武系数最大，因光由工=C()》八·2·=要女，可 (m十1)C即可得到“茱布尼茨调和三角形”，杨辉三角中第 10行的第4个数为C=84,所以“菜布尼茨调和三角形”中 知此项的系教为要 第10行的第4个数为10X81840 1 (2)由题意设二项展开式的第？十1项的系数最大，则 c(4)2≥c'(4)2, 餐图动 解得7≤≤8，所以展开 [变式3]解析观察可得第1行，第3行，第7行，全行都为1，故 G()2>c()2*, 第n次全行的数都为1的是第2-1行.当n=6时，25一1= ·170·