6.2.3 6.2.4 第2课时 组合数的综合应用-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

[例题2]解扬(1)原式=C。-A=10X9X8X 4×3×2X1 -7X6X5= 3.C解扬由6Cg=A得6×=n(m-1D(m-2)(n≥ 2×1 210-210=0. 3),解得n=5.故选C项. 4解析要想列出所有组合，做到不重不漏，就要先将元素按照 一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地 m16,整理得㎡-13m十22=0，解得m=2或m=11, 6! 标示出来，如图所示.故所有组合为ab,ac,ad,ae,brc,bd,be, 由题意得0≤m≤4，m∈N”,所以m=2. cd,ce,de. [变式2]服研1C-袋-21.故选D项 答系D 答率ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de (2)①由原方程得x十1=2x一3或x十1十2x一3=13，解得 第2课时组合数的综合应用 0≤x+1≤13， 关键能力·素养提升 x=4或x=5.由0<2x-3<13,得号<x<8且x∈N. [例题1]解析(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种 x∈N·, 数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，则共 故原方程的解为x=4或x=5. 有C=45(种)不同的选法. n! n! ②由C4>C9得4！(n-4)!>61(m-6)1 (2)可把问题分两步：第一步，从6名男教师中选2名，有C 种选法；第二步，从4名女教师中选2名，有C种选法.根 n≥6， 据分步乘法计数原理，共有CC=15×6=90(种)不同的 n2-9n-10<0, /-1<n<10, 所以《 即 选法 n>6, n>6. (3)方法一至少有1名男教师可分两类：1男1女，有 又n∈N”,所以该不等式的解集为{6,7,8,9以 CC种选法；2男0女，有C种选法.根据分类加法计数原 [例题3]解析(1)从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数 理，共有C十C曙=39（种）不同的选法. 是Cg=10. 方法二选出2名教师去参加会议，至少有1名男教师，也 (2)从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是需要从4 就是从10名教师中选出2名教师去参加会议的选法种数 个白球中取出2个，取法种数是C=6. 减去2名都是女教师的选法种数，即C一C=39(种). (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球 [变式1门解杨(1)符合题意的组队方案可分为两类：一男两女， 中取出3个，取法种数是C=4. 有CC=5×6=30(种)：两男一女，有CC=10×4=40 [变式3]解析(1)甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C= (种).所以不同的组队方案共有30+40=70（种）.故选 6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的 D项 读物，有CC=20(种)情况，由分步乘法计数原理可得共 答率D 有6×20=120（种）选法.故选C项. (2)①可把问题分两类： (2)由于集合中的元素是没有顺序的，一个含有3个元素的 第一类，选出的2名是男救师，有C种选法： 子集就是一个从{0,1,2,3}中取出3个元素的组合，这是一 第二类，选出的2名是女救师，有C肾种选法。 个组合问题，组合数是C=4, 根据分类加法计数原理，共有C十C=15十6=21（种）不同的 答率(1)C(2)4 选法 [练习1]D解析由C=C器8得2x一8=x或2x一8十x= ②2名教师中恰有1名男教师，即选出1男1女，有CC= 28,解得x=8或x=12.故选D项. 6×4=24(种)不同的选法. [练习2]B解析因为C十C+1=C,所以C十Cg十C+ ③方法一至多有1名男教师包括两类：1男1女，有CC C+C+C=C+C+C+C+C+C=C+C+C+ 种选法；0男2女，有C种选法.根据分类加法计数原理，共 C+C=C+C+C+C=C++C=C+C=Cio. 有CC十C号=30（种）不同的选法. 故选B项 方法二选出2名教师去参加会议，至多有1名男教师，也 随堂检测·学以致用 就是从10名救师中选出2名教师去参加会议的选法种数 1.B解析判断一个问题是否为组合问题，关键是看该问题是 减去2名都是男教师的选法种数，即C。-C=30(种) 否与顺序有关，由于减法与除法不满足交换律，取出的两个 [例题2]解析方法一以从共线的4个点中取点的多少作为 数就与顺序有关，因此不是组合问题：加法与乘法满足交换 分类的标准 律，与取出的两个数的排序无关，但是由于5十11=3十13， 第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有 11十19=13+17等，故相加，可以得到多少个不同的和，这 CC=48(个)不同的三角形： 个问题不是纯粹的组合问题，只有相乘，可以得到多少个不 第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有 同的积，这个问题是组合问题.故选B项： CC=112(个)不同的三角形： 2.BD解析三张票没区别，从10个人中选3人即可，即分法 第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C= 有C=120(种).故选BD项. 56(个)不同的三角形. ·167· 根据分类加法计数原理，共有48十112+56=216（个）不同的三 方法二先选择一个工地派2辆车，再将剩余的2辆车派 角形. 给另外2个工地，则不同的派法共有CCA道=36（种）.故 方法二从12个点中任意取3个点，有C种取法，而在共 选D项。 线的4个，点中任意取3个点均不能构成三角形，即不能构 (2)因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶 成三角形的情况有C得种.故这12个点构成三角形的个数 最多站2人，所以可分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在 为C2-C=216. 一级台阶上，共有CA是=120（种）站法：第二类，有2人站 [变式2]解析(1)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A 在同一级台阶上，剩余1人独自站在一级台阶上，共有 外都有5个，点，从中取出3个点必与点A共面，共有3C种 C号CA=90(种)站法.所以不同的站法种数是120+90= 取法：含顶点A的三条棱上，除，点A外都有2个点，它们与 210.故选C项. 所对棱的中点共面，共有3种取法.根据分类加法计数原理， 答案(1)D(2)C 与顶点A共面的3个点的不同的取法有3C十3=33（种）. 随堂检测·学以致用 1.B解析分两类：一类是3个白球，有C=20(种)取法，另一 类是3个黑球，有C=4(种)取法，所以共有20+4=24（种） 取法.故选B项。 2,D解析第一步先将三个数取出，有CC=6(种)方法，第二 步对取出的三个数进行排列，共有A健=6（种）方法，所以共 (2)①构成四边形，需要四个，点，且无三点共线，可以分成三 有6×6=36（个）三位数.故选D项. 类：a.四个点从C,C2,…,C中取出，有C个四边形： 3.C解析第一步，决选出三等奖，有C一126（种）情况；第二 b.三个，点从C1,C2,…,C6中取出，另一个点从D1,D2,D3, 步，决选出二等奖，有C=10(种)情况：第三步，决选出一等 D,A,B中取出，有CC个四边形： 奖，有C3=1(种)情况.根据分步乘法计数原理，共有126× c.两个点从C,C2,…,C中取出，另外两个点从D,D2, 10×1=1260(种)决赛结果.故选C项. D3,D,A,B中取出，有C暖C个四边形. 4.解析当志愿组有3名男生，2名女生时，有CCCA=360 故满足条件的四边形共有Cg十CC十CC=360(个). (种)方法：当志愿组有4名男生，1名女生时，有CCCA超 ②类似于①可分三种情况讨论得，满足条件的三角形共有 120(种)方法，由分类加法计数原理得，共有360十120=480 Cg+CC8+CgC=116(个. (种)不同的选法。 [例题3]解析(1)先从6本书中选2本给甲，有C?种选法；再 答案480 从其余的4本中选2本给乙，有C种选法；最后从余下的2 5.解析(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法有 本书中选2本给两，有爱种选法.所以分给甲、乙、丙三人， C8=126(种). 每人2本，共有CCC=90(种)不同的选法 (2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过 种取法：然后从2个红球中任取1个红球，有C种取法.所 程也可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x 以共有CC=70(种)取法. 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种 方法，根据分步乘法计数原理，共有xA种方法，即CCC 6.3二项式定理 xA,所以工=CCC-15.因此分为三份，每份两本，一共有 A 6.3.1二项式定理 15种不同的选法. (3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC月=60（种）不同 必备知识·基础落实 的选法 [问题1]提示(a十b)3=a3+3a2b+3ab+,(a+b)=a+ [变式]A匠霸特4名学生辛均分为2个小组关有股- 4a2b+6a28+4ab+. [问题2]提示(a十b)3的展开式有4项，每一项的次数是3； 3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A最= (a十b)的展开式有5项，每一项的次数是4. 2(种)分法：最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A= [问题3]提示(a+b)=(a十b)(a十b)(a十b)(a+b).由多项式 2(种)分法.故不同的安排方案共有3×2×2=12（种）.故选 的乘法法则知，从每个(a十b)中选a或选b相乘即得展开 A项， 式中的一项.若都选a,则得C9a6:若有一个选b,其余三 [例题4幻解析(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1 个选a,则得Ca3b;若有两个选b,其余两个选a,则得 女4男，先选有CC+CC种，后排有A种，共有(CC+ C保a,若有三个选b,余下一个选a,则得Cab,若都选b, CC8)A3=5400(种)选法. 则得Ca°6. (2)除去该女生后，先选后排，有CA=840(种)选法. [问题4]提示(a十b)”的展开式共有n十1项，各须中a,b的指 (3)先选后排，但先安排该男生，有CCA4=3360(种)选法 数和都是n [变式4]解析(1)方法一先把4柄车分成3组，再把分好的3 要点 组分别派给3个工地，则不同的派法共有C号A=36(种). 1.C(k=0,1,2,…,n)Cab 故选D项. [思考]提示(1)Cab是(a十b)”的第r十1项. ·168·第六章计数原理 第2课时 组合数的综合应用 关键能力素养提升 答案见P 探究一有限制条件的组合问题 【变式1】(1)从5名男医生、4名女医生中选3名 【例题1】现有10名教师，其中男教师6名，女教 医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医 师4名.按下列要求各有多少种不同的选法？ 生都有，则不同的组队方案共有 () (1)选出2名教师去参加会议； A.140种 B.80种 (2)选出男、女教师各2名去参加会议； C.100种 D.70种 (3)选出2名教师去参加会议，至少有1名男 (2)本例条件不变，按下列要求各有多少种不 教师. 同的选法？ ①选出2名男教师或2名女教师去参加 会议； ②选出2名教师去参加会议，恰有1名男 教师； ③选出2名教师去参加会议，至多有1名男 教师 +4444444444444 44444444 规律总结 有限制条件的组合问题的解题原则和方法 (1)三大原则：先特殊后一般的原则、先取后 排的原则、先分类后分步的原则 (2)常用方法 ①直接法：坚持“特殊元素优先选取”“特殊 位置优先安排”的原则，优先安排特殊元素， 再安排其他元素。 ②间接法：原则是“正难测反”，也就是当正 面问题分类较多、较复杂或计算量较大时， 不妨从反面入手，特别是涉及“至多”“至少” 等组合问题时更是如此 ·23· 数学选择性必修第三册课堂学案 探究二几何中的组合问题 【变式2】(1)四面体的一个顶点为A,从其他顶 【例题2】平面内有12个点，其中有4个点共线， 点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在 此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可 同一平面上，有多少种不同的取法？ 构成多少个不同的三角形？ (2)如图，在以AB为直径的半圆周上，有异 于A,B的六个点C,C2,…,C6,直径AB上 有异于A,B的四个点D1,D2,D,D.则： A D.D.D,D.B ①以这12个点（包括A,B)中的4个点为顶 点，可作出多少个四边形？ ②以这10个点（不包括A,B)中的3个点为 顶点，可作出多少个三角形？ 规律总结 求解几何中组合问题的注意事项 (1)解决几何图形中的组合问题，首先应注 意运用处理组合问题的常规方法解决，其次 要注意从不同类型的几何问题中抽象出组 合问题，寻找一个组合的模型加以处理. (2)图形多少的问题通常是组合问题，要注 意共点、共线、共面、异面等情形，防止重复 计算，常用直接法，也可用排除法。 ·24· 第六章计数原理 探究三分组、分配问题 【变式3】将2名教师，4名学生分成2个小组，分 【例题3】6本不同的书，按下列要求各有多少种 别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个 不同的选法？ 小组由1名教师和2名学生组成，不同的安 (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； 排方案共有 (2)分为三份，每份两本： A.12种 B.10种 (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份 C.9种 D.8种 三本 于用于于于于于年于行于于于于中于于于于于中 探究四排列、组合的综合问题 【例题4】有5个男生和3个女生，从中选出5人 担任5门不同学科的科代表，求分别符合下 列条件的选法数 (1)有女生但人数必须少于男生： (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学科 代表. 规律总结 分组与分配问题的求解策略 (1)分清是分组问题还是分配问题很必要， 而判断是分组问题还是分配问题的关键要 看是否有分配对象，若没有分配对象，测为 分组问题，若有分配对象，则为分配问题.若 有确定的分配对象，则为定向分配问题，反 之，则为不定向分配问题 (2)分组问题属于“组合”问题，分配问题属 于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分 配，也可以分组后再分配 ·25· 数学选择性必修第三册课堂学案 地进行作业，每个工地至少派一辆，则不同的 规律总结 派法种数是 () 解决排列、组合综合问题 A.9 B.18 要遵循的原则及途径 C.27 D.36 (1)按事情发生的过程进行分步. (2)甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若 (2)按元素的性质进行分类.解决时通常从 每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不 三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满 区分站的位置，则不同的站法种数是() 足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以 A.90 B.120 位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求， C.210 D.216 再考虑其他位置；③先不考虑附加条件，计 算出排列或组合数，再减去不合要求的排列 或组合数， 【变式4】(1)某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混 凝土搅拌车各一辆，将它们全部派往3个工 随堂检测学以致用 答案见P 1.一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个 (1)共有多少种不同的取法？ 黑球，从中取3个球，则这3个球同色的不同取 (2)恰有1个为红球，共有多少种取法？ 法有 A.27种 B.24种 C.21种 D.18种 2.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个奇数，一个 偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为 A.60 B.24 C.12 D.36 3.从进入决赛的9名选手中决选出2名一等奖， 3名二等奖，4名三等奖，则可能的决赛结果共有 ( A.126种 B.160种 C.1260种 D.1620种 4.从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组 长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求 志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性 别不同，则共有 种不同的选法（用数 字作答) 5.已知一个口袋里装有7个白球和2个红球，从 口袋里任取5个球. 提示完成Ps课时作业（六）和P,培优训练（一） ·26·