精品解析：安徽省巢湖市2024-2025学年八年级数学上册期末试卷

2024／2025学年度第一学期期末教学质量抽样监测 八年级数学试题 考试时间：120分钟 注意：请在答题卡上作答，在试卷上作答无效！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列长度的三条线段首尾相接能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 2，4，6 D. 3，3，8 2. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 点与关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 5. 如图，以正五边形的边为边向内作等边三角形，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知AD＝BC，再添一个条件仍然不可以证明△ACD≌△CAB的是（　　） A. AB＝CD B. ADBC C. ∠1＝∠2 D. ABDC 7. 已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 8. 如图，AD，BE分别为△ABC的高线和角平分线，AF⊥BE于点F．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠EAF的度数为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 9. 已知，且，则的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 10. 如图，点是等边外一点，连接、、，垂直平分于点的平分线交于点，连接，以下结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式的值为0，则的值为_____． 12. 因式分解__________． 13. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，则点到的距离为______． 14. 如图，点、分别是等边的边、上的动点（其中、不与端点重合），若点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点． （1）在、运动的过程中，______； （2）已知等边的边长为，当运动时间为______时，为直角三角形． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，中，，D在边上，，求的度数． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，是边上的一点，连接，以为边作，使，且，连接，若，求长． 18. 先化简，再求值：，其中． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）画出关于轴对称的（其中、、分别是、、的对应点）； （2）在轴上标出点的位置，使得的值最小； （3）填空：______． 20. 某足球特色学校在商场购进、两种品牌的足球，已知购买品牌足球花费了2500元，购买品牌足球花费了2000元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花30元， （1）分别求、品牌的足球的单价； （2）由于喜欢足球的人数增加，学校再次购进与第一次购买数量相同的、两种品牌足球，同时商场对两种品牌足球的售价进行了调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，则此次购买足球比第一次费用高还是低？ 六、（本题满分12分） 21. 已知等腰直角中，为上的一点，连接，过点作于点，过作于点． （1）如图1，若，求的面积； （2）如图2，为的中点，连接、，求证：平分． 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践 探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ （1）阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． （2）巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． （3）拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：． 八、（本题满分14分） 23. 已知等边中，点为射线上一点，作，交直线于点． （1）如图1，当点在线段上时，线段、、之间的数量关系是______； （2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的、、数量关系是否成立，若成立，说明理由，若不成立，求出、、之间的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，过点A作于，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024／2025学年度第一学期期末教学质量抽样监测 八年级数学试题 考试时间：120分钟 注意：请在答题卡上作答，在试卷上作答无效！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列长度的三条线段首尾相接能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 2，4，6 D. 3，3，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 2. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可． 本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是轴对称图形， ∴不符合题意； ∵是轴对称图形， ∴不符合题意； ∵不是轴对称图形， ∴符合题意； ∵是轴对称图形，， ∴不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握公式是解题的关键．同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方逐项分析即可． 【详解】解：A，，故该选项不正确，不符合题意； B，，故该选项不正确，不符合题意； C，，故该选项正确，符合题意； D，，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 点与关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，列式计算即可． 本题考查了点的对称，负整数指数幂公式，根据对称点的坐标特点，规范计算即可． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴， 解得， 故， 故选：D． 5. 如图，以正五边形的边为边向内作等边三角形，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正五边形的性质，得，；结合等边三角形得，，于是得到，，利用等边对等角，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴，， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正五边形的性质，内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 6. 如图，已知AD＝BC，再添一个条件仍然不可以证明△ACD≌△CAB的是（　　） A. AB＝CD B. ADBC C. ∠1＝∠2 D. ABDC 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A：根据BC＝AD、AB＝CD、AC＝AC能推出△ABC≌△CDA（SSS），故不符合题意； B：∵AD∥BC， ∴∠1＝∠2， ∴根据BC＝AD、∠2＝∠1、AC＝AC能推出△ABC≌△CDA（SAS），故不符合题意； C：根据BC＝AD、∠2＝∠1、AC＝AC能推出△ABC≌△CDA（SAS），故不符合题意； D：∵AB∥DC， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴根据BC＝AD、AC＝AC和∠BAC＝∠DCA不能推出△ABC≌△CDA，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题难度适中． 7. 已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，易错点是不注意分式方程产生增根时字母参数的取值要排除．先解分式方程得到方程的根为：，再根据方程的解为正数及分母不为0，列不等式组，从而可得答案． 【详解】解：， ， 解得：， ∵关于的方程的解是正数， 且， 解得：且． 故选：A． 8. 如图，AD，BE分别为△ABC的高线和角平分线，AF⊥BE于点F．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠EAF的度数为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据AC＝BC，∠C＝40°，得出的度数，根据BE平分得出的度数，根据得出，根据三角形内角和算出的度数即可． 【详解】∵AC＝BC， ∴， ∵∠C＝40°， ∴， ∵BE平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形得性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 9. 已知，且，则的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得，结合，得，于是得到，求平方根解答即可． 本题考查了完全平方公式的变形计算，平方根，熟练掌握公式，平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，点是等边外一点，连接、、，垂直平分于点的平分线交于点，连接，以下结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，进而可依据“SAS”判定和全等，则，由此可对选项A进行判断；在上截取，连接，证明和全等，则，进而得，则是等边三角形，由此得，则，进而得，再根据，得，据此可对选项B进行判断；根据，平分，得，据此可对结论C进行判断；根据是等边三角形得，则CD+AD=ED+BE=BD，据此可对结论D进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解角平分线，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∵， ， ∵垂直平分于点H， ∴， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选项A正确； 在上截取，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 故选项B不正确； ∵，平分， ∴， 故结论C正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故结论D正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式的值为0，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式值为的条件，掌握分式值为的条件是分子为且分母不为，注意排除使分母为的解是解题的关键． 分式的值为的条件是分子等于且分母不等于． 【详解】解：由分式的值为，得分子且分母 解方程，即，得或 当 时，分母，分式无意义，故舍去； 因此． 故答案为：． 12. 因式分解__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 13. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，则点到的距离为______． 【答案】##2.5## 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，直角三角形中角所对的边是斜边的一半，解决此题的关键是要能判断出角平分线．根据题意判断平分，在根据含直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，作于点G，即， ∵， ∴， 由题意可知：平分， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，点、分别是等边的边、上的动点（其中、不与端点重合），若点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点． （1）在、运动的过程中，______； （2）已知等边的边长为，当运动时间为______时，为直角三角形． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，再利用三角形外角性质，等边三角形的性质，计算即可． （2）根据题意，得，分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， 设运动t时，为直角三角形． ∵点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，等边的边长为， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴， 解得； 故运动或时，为直角三角形； 故答案为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，含．角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程解法，先把方程化为，然后两边同时乘以，再解一元一次方程，最后检验即可，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，时，， 所以原方程的解为：． 16. 如图，中，，D在边上，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理三角形外角性质，熟练运用有关定理是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质、三角形外角性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】在中，，， ， ， ， ， ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，是边上的一点，连接，以为边作，使，且，连接，若，求长． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到，于是证明解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】解：， ， 在与中， ，， ∴， ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，负整数指数幂，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先利用提取公因式和完全平方公式进行因式分解，再将除法写成乘法，然后约分，最后计算减法，最后将代入计算即可， 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）画出关于轴对称的（其中、、分别是、、的对应点）； （2）在轴上标出点的位置，使得的值最小； （3）填空：______． 【答案】（1） 关于y轴的对称点分别是， 则即为所求． （2） 连接，交轴于点P， 则点P即为所求． （3）45 【解析】 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）连接，交轴于点P，则点P即为所求． （3）根据，得，，，根据勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了点关于y轴对称，线段和最小，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握对称，勾股定理的逆定理是解题的关键． 20. 某足球特色学校在商场购进、两种品牌的足球，已知购买品牌足球花费了2500元，购买品牌足球花费了2000元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花30元， （1）分别求、品牌的足球的单价； （2）由于喜欢足球的人数增加，学校再次购进与第一次购买数量相同的、两种品牌足球，同时商场对两种品牌足球的售价进行了调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，则此次购买足球比第一次费用高还是低？ 【答案】（1）购买一个品牌的足球需50元，购买一个品牌的足球需80元 （2）第二次购买费用与第一次费用相同 【解析】 【分析】（1）本小问主要考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系，列出方程，并且一定要检验，即可得到答案； （2）本小问一定要认真审题，先根据（1）的结果分别求出购买球的数量，再根据总价=单价×数量，把前后两次花费的总钱数进行比较即可； 【小问1详解】 解：设购买一个品牌的足球器元，则购买一个品牌的足球箭元，则 解得 ， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：购买一个品牌的足球需50元，购买一个品牌的足球需80元． 【小问2详解】 解：第一次购买品牌足球个，购买品牌足球个， 第一次购买足球总费用为： 第二次总费用为：， 答：第二次购买费用与第一次费用相同， 六、（本题满分12分） 21. 已知等腰直角中，为上的一点，连接，过点作于点，过作于点． （1）如图1，若，求的面积； （2）如图2，为的中点，连接、，求证：平分． 【答案】（1） （2） 过作，垂足分别为、 为的中点，， ， ， 又， ， 在与中， ， ， 又， ∴ 平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线． （1）证明，即可解决问题； （2）要向证明是角平分线，就要想到用角平分线的判定，合理作出辅助线，进而证明即可； 【小问1详解】 解： ， 在与中， ， ； 【小问2详解】 略 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践 探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ （1）阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． （2）巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． （3）拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：． 【答案】（1）， （2） 证明：如图3， 方法①：， 方法②：， ； （3） 证明：如图4， 大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为， 方法①：大正方形的边长为，所以， 方法②：， 所以， ． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何背景，全等图形，结合图形求得等式是解题的关键． （1）方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积； 方法②：将阴影部分割成2个梯形，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为．由此得到平方差公式； （2）用表示阴影部分面积，进而能验证平方差公式； （3）大正方形由四个全等的直角三角形的面积加上一个小正方形的面积，进而可以证明：． 【小问1详解】 方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积为：； 方法②：将阴影部分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为． 由此我们可以得到平方差公式：； 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 八、（本题满分14分） 23. 已知等边中，点为射线上一点，作，交直线于点． （1）如图1，当点在线段上时，线段、、之间的数量关系是______； （2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的、、数量关系是否成立，若成立，说明理由，若不成立，求出、、之间的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，过点A作于，当时，求的长． 【答案】（1） （2）不成立， （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作，交于点M，可证是等边三角形，则有，然后可证，所以，，所以； （2）过作交的延长线于N，得，为等边三角形，同理可证，得，可得； （3）连接，证明，可得，证明 ，得，可得，得，由，得． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴， 过点D作，交于点M，如图所示， 则，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：不成立． 过作交的延长线于N，如图所示， 则， ∴，是等边三角形， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， 平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形的性质与判定，全等三角形判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形性质，含30度的直角三角形性质，添加合适的辅助线，构造全等的三角形，是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $