精品解析：安徽省六安市裕安区新安中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

信阳市潢川县善新中学2024-2025学年度第二学期 高一年级三月份月考数学试卷 必修一：第五章 必修二：第六章 一、单选题（每题5分共40分） 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解． 【详解】因为角的终边经过点， 则. 故选：D. 2. 在四边形中，已知，，则四边形一定是（ ） A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得四边形是平行四边形，进而可得，可得四边形是菱形． 【详解】因为，即，所以四边形是平行四边形． 因为，，所以是等边三角形， 则，所以四边形是菱形． 故选：D. 3. 已知角，向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【详解】因，则， 向量，，若，则，可得， 故. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：D. 5. 若两个单位向量满足，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的运算律，整理等式，可得答案. 【详解】由，得． 因为为单位向量，所以化简可得：，解得， 则与夹角的余弦值为． 故选：D. 6. 中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物，如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“马”“帅”“炮”“兵”分别位于A，B，C，D四点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】化简，再利用数量积公式计算即可. 【详解】由题得． 故选：A． 7. 在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可得，再由余弦定理结合基本不等式即可得的最小值. 【详解】因为， 由正弦定理，得． 因， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B. 8. 在同一平面内，设，动点M满足（c为常数），则下列不正确的是（ ） A. 若，则存在满足条件的点M使得 B. ，点M构成的集合是垂直于线段AB的一条直线 C. 若，则点M，A，B可构成一个直角三角形 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系写出点A，B，M的坐标，由，得到，再利用数形结合分别判断即可． 【详解】以所在的直线为x轴，的中垂线为y轴，建立如图平面直角坐标系， ∵，则，，设， 由，得，∴，∴. 对A：若，则，当时，，，则，∴A正确； 对B：直线与线段垂直，∴B正确； 对C：若，则M在直线上运动，当M与B重合时，三点M，A，B不能构成直角三角形，∴C错误， 对D：若，则M在直线上运动，∴，∴D正确， 故选：C 二、多选题（每题6分，错选或多选不得分，部分对答部分分共18分） 9. 下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ） A B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】平面内两个不共线的非零向量构成一组基底，判断每个选项的向量是否共线即可得到答案. 【详解】A选项：零向量和任意向量都共线，不能作为一组基底； B选项：，两向量不共线，可以作为一组基底； C选项：，两向量共线，不能作为一组基底； D选项：，两向量共线，不能作为一组基底. 故选：ACD. 10. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 在方向上投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，向量的模，向量垂直，投影向量的求法逐一验证即可. 【详解】依题意，，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，， 则在方向上的投影向量为，D正确. 故选：AD 11. 定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（ ） A. 在上的投影向量为 B. C. D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】先对新定义进行理解，再结合平面向量数量积的运算逐一判断即可得解． 【详解】对于选项A，在上的投影向量为，故选项A错误， 对于选项B，，故选项B正确， 对于选项C，， 显然时，不成立，故选项C错误， 对于选项D，由，所以，则，即，故选项D正确， 故选：BD． 【点睛】思路点睛：对于向量的新定义的运算需正确理解向量的新定义运算，再结合向量的投影、向量的运算和向量的平行等进行推理运算即可. 三、填空题（每题5分共15分） 12. 一艘船以4的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2，则经过，船的实际航程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的物理意义，利用向量的加法以及数量积的运算律，可得答案. 【详解】解析设船的速度为，水流速度为，则船的实际航行速度为， 于是有， 所以，则经过2h，船的实际航程为. 故答案为：. 13. 已知向量，，且，则正数______． 【答案】2 【解析】 【分析】由向量线性关系的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程求即可. 【详解】由题设，又， 所以，可得， 又，故. 故答案为：2 14. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值； 解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，代值后利用和角公式计算即可求得的值； （2）由题设条件，利用辅助角公式化简后解三角方程，推得，即可求的值. 【小问1详解】 因为 ， 故 ； 【小问2详解】 由，可得，即， 则有，即，于是. 16. 设，求： （1）的值域，周期； （2）的对称轴、对称中心； （3）的单调区间． 【答案】（1）值域：，周期：，且； （2）对称轴为直线，；对称中心为，； （3）单调递增区间为；单调递减区间为. 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示，利用辅助角公式整理可得正弦型函数，利用整体思想，根据正弦函数的值域、周期、对称轴、对称中心以及单调区间，分别建立方程与不等式，可得答案. 【小问1详解】 由， 则， 易知，最小正周期，则周期为，且. 【小问2详解】 由（1）可得， 令，，解得，； 令，，解得，. 所以函数的对称轴为直线，；对称中心为，. 【小问3详解】 由（1）可知， 令，，解得，； 令，，解得， 所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为． 17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 （1）求 （2）已知，D为AB边上一点，且，，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，可求； （2）由已知可得，可求得，利用余弦定理可求得，进而可得为等腰三角形，可求解. 【小问1详解】 由可得， 即， 所以， 又因为，所以， 结合，所以； 【小问2详解】 由题可知，与相似，则， 设，则，有，故，所以， 在中，，解得：， 所以，所以为等腰三角形，所以 18. 如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： （1）AD的长； （2）的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【小问1详解】 设，， 则. ， ． 【小问2详解】 设，则向量与的夹角为． ， ，即． 19. 在中，设，点是线段中点，点是线段的靠近点的三等分点． （1）求的值； （2）请用来表示 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性分解与数量积运算律有，再分别求出模长，利用向量的夹角公式即可求得结果. （2）由三点共线，可设，利用向量相等列出等式即可求得结果. 【小问1详解】 ，注意到， 所以， ， ， 所以； 【小问2详解】 由三点共线，可设， 由于不共线，所以只能， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 信阳市潢川县善新中学2024-2025学年度第二学期 高一年级三月份月考数学试卷 必修一：第五章 必修二：第六章 一、单选题（每题5分共40分） 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 在四边形中，已知，，则四边形一定是（ ） A 等腰梯形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形 3. 已知角，向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 若两个单位向量满足，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 中国象棋是中国发明一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物，如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“马”“帅”“炮”“兵”分别位于A，B，C，D四点，则（ ） A. B. C. D. 3 7. 在中，角对边分别是，若，且，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 8. 在同一平面内，设，动点M满足（c为常数），则下列不正确的是（ ） A. 若，则存在满足条件的点M使得 B. ，点M构成的集合是垂直于线段AB的一条直线 C. 若，则点M，A，B可构成一个直角三角形 D. 若，则 二、多选题（每题6分，错选或多选不得分，部分对答部分分共18分） 9. 下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，，则下列结论中正确的是（ ） A B. C. D. 在方向上的投影向量为 11. 定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（ ） A. 在上的投影向量为 B. C. D. 若，则 三、填空题（每题5分共15分） 12. 一艘船以4的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2，则经过，船的实际航程为__________. 13. 已知向量，，且，则正数______． 14. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______． 四、解答题 15. 已知函数. （1）求的值； （2）已知，求的值. 16. 设，求： （1）的值域，周期； （2）的对称轴、对称中心； （3）的单调区间． 17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 （1）求 （2）已知，D为AB边上一点，且，，求 18. 如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： （1）AD长； （2）的大小． 19. 在中，设，点是线段中点，点是线段的靠近点的三等分点． （1）求的值； （2）请用来表示 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$