精品解析：山东师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

山师附中2024级高一下学期3月份阶段性检测 数学试题 命题人：汤菁 审题人：张洁 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．保持卡面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，为边上的中线，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】∵为边上的中线，∴， ∵E为的中点，∴， ∴， 故选：D. 2. 设，为一组基底，已知向量，，，若，，三点共线，则实数k值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加法法则求出，将，，三点共线转化为与共线即可求解. 【详解】，， ， 又，且，，三点共线，， 即， ，. 故选：C. 3. 平面向量与向量满足,且，,则向量与的夹角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的性质，得到，代入已知等式得到，设向量与的夹角为，结合向量数量积的定义和，，算出，最后根据两个向量夹角的范围，可得答案 【详解】，则 又 ，解得 设向量与的夹角为， 则，即 解得 ， ， 故选 【点睛】本题给出两个向量的模，并且在已知它们的和向量与其中一个向量数量积的情况下，求两个向量的夹角，着重考查了平面向量数量积的运算和两个向量夹角等知识，属于基础题． 4. 已知，，且，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，由，得 ， 所以. 故选：C 5. 在中，，AC边上的中线，，则AC的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可得，平方后即可得到AC的长. 【详解】因为， 所以， 又，，， 则，所以，即. 故选：. 【点睛】本题主要考查的是向量运算，解题的关键是利用平方公式进行求解，是基础题. 6. 向量在向量方向上的投影向量的模为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解向量在向量方向上的投影向量为，再根据向量模的坐标运算求解即可. 【详解】由已知可得，， 向量在向量方向上的投影向量为， 所以向量在向量方向上的投影向量的模为. 故选：. 7. 在200m高的山顶上，测得山下塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为（ ） A. m B. m C. m D. m 【答案】C 【解析】 【分析】利用正切三角函数，首先求出的长，再利用正切三角函数求出，最后代入计算即可. 【详解】依题意可得图象如图所示,从塔顶向山体引一条垂线,垂足为. 则,则， , 塔高, 故选：C. 8. 在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到，从而，再由正弦定理将边化角，转化为的三角函数，由的范围计算可得. 【详解】因为，则由正弦定理得， 又， 所以， 则， 又，，则 所以或，即或（舍去）， 则， 所以，解得，则， 所以 ， 所以的取值范围是． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用正弦定理将边化角，得到、，最后将转化为关于的三角函数. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可判断AB选项，再根据向量夹角公式可判断C选项，结合向量垂直的坐标表示及基本不等式可判断D选项. 【详解】由，， A选项：， 则，解得，则，， 所以不存在，使，即，不共线，A选项错误； B选项：，则，解得， 即，，， 所以与同向的单位向量为，B选项正确； C选项：时，， 又与的夹角为锐角， 则，解得，且， 即，C选项错误； D选项：由，得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，D选项正确； 故选：BD. 10. 在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 当时，最小值为 C. 当有两个解时，的取值范围是 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】定义法求向量数量积判断选项A；利用向量数量积求，配方法求最小值判断选项B；由正弦定理解三角形，求有两个解时需要的条件判断选项C；由为锐角三角形求角B的范围，结合正弦定理求的取值范围判断选项D. 【详解】中，内角所对的边分别为， 若，则，A选项错误； 当时， ， 当时等号成立，所以最小值为，B选项正确； 由正弦定理，，当有两个解时， 且，的取值范围是，C选项错误； ，，当为锐角三角形时，， 解得，则，， ，所以的取值范围是，D选项正确. 故选：BD. 11. 对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与共线 D. 过点的直线分别与、交于、两点，若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：由外心的性质，结合向量数量积的几何意义判断；B：根据的几何意义即可判断正误；C：应用向量数量积的运算律及定义化简，再根据判断正误；D：根据平面向量基本定理可得，再由三点共线即可证. 【详解】A：为外心，则，仅当时才有，错误； B：由，又，故，正确； C：，即与垂直，又，所以与共线，正确； D：，又三点共线，则，故，正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：综合应用外心、垂心、重心的性质，结合平面向量数量积的运算律、几何含义以及平面向量基本定理判断各选项正误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理可得，再根据面积公式求解即可. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得， 所以，所以的面积为. 故答案为：. 13. 在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的线性运算可得，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为，所以，因为， 所以，且三点共线， 则，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 14. 如图，在中，，，D，E分别是直线，上点，，，且，则_____．若P是线段上的一个动点，则的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题可知，，由，可得，代入相应数据即可求得的值，从而求得；设，，根据平面向量的混合运算可推出，再利用配方法即可得解． 【详解】∵，，∴，， ∵， ∴ ， 解得， ∵，∴． 设，， ∴ ， ∴当时，有最小值，． 故答案为：；． 【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，是两个单位向量，其夹角为60°，，． （1）求，； （2）求与的夹角． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用模长公式及向量数量积的运算律即得； （2）利用向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为，是两个单位向量，其夹角为60°， 则，，, 又， 所以， 同理， 所以； 【小问2详解】 由题得，， 设与的夹角为θ， 则， 因为θ∈[0,π]，所以， 则向量与的夹角为． 16. 如图，在四边形中，已知，，，，． （1）求BD的长； （2）求CD的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理计算可得； （2）首先求出，再根据三角形内角和求出，最后由正弦定理计算可得； 【小问1详解】 解：在中，设， 由余弦定理 ，整理得 解得或（舍去）， 线段的长等于8； 【小问2详解】 解：因为，，所以， 所以， 在中由正弦定理，得 17. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解. （2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 又因为，设，则有， 因为三点共线，所以，解得，即， 所以． 【小问2详解】 因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求； （2）若．求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知中的切化弦，再利用两角和的正弦公式进行化简即可求出； （2）由余弦定理可得到，再利用基本不等式即可求出的范围. 【小问1详解】 ，， ，， ，，， ； 【小问2详解】 ，， 由余弦定理得，，即， ，， ，当且仅当时等号成立， 又，， 的取值范围是. 19. 是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上. （1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； （2）若，由点对施以视角运算，，求的周长； （3）若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，从而得到，即可得解； （2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求出，即可求出，从而求出三角形的周长； （3）依题意可得，由等面积法得到，从而得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 因为是角的平分线，所以且在线段上， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为点在射线上，，且，所以在线段外，且， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 即，解得（负值已舍去）， 所以， 所以的周长为. 【小问3详解】 因为，所以，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键理解所给定义，第三问关键是推导出，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山师附中2024级高一下学期3月份阶段性检测 数学试题 命题人：汤菁 审题人：张洁 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．保持卡面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，为边上的中线，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，为一组基底，已知向量，，，若，，三点共线，则实数k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 平面向量与向量满足,且，,则向量与的夹角为 A. B. C. D. 4. 已知，，且，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，AC边上的中线，，则AC的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 向量在向量方向上投影向量的模为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 在200m高的山顶上，测得山下塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为（ ） A m B. m C. m D. m 8. 在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 10. 在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 当时，最小值为 C. 当有两个解时，取值范围是 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 11. 对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与共线 D. 过点的直线分别与、交于、两点，若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为__________． 13. 在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是________． 14. 如图，在中，，，D，E分别是直线，上的点，，，且，则_____．若P是线段上的一个动点，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，是两个单位向量，其夹角为60°，，． （1）求，； （2）求与的夹角． 16. 如图，在四边形中，已知，，，，． （1）求BD长； （2）求CD的长． 17. 如图，在中，点满足，是线段中点，过点的直线与边，分别交于点． （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求； （2）若．求的取值范围． 19. 是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上. （1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； （2）若，由点对施以视角运算，，求的周长； （3）若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$