易错点08 电磁感应中的单杆模型（6易错题型）-2024-2025学年高二下学期物理人教版（2019）选择性必修第二册复习易错微专题讲练

易错点08 电磁感应中的单杆模型 一、易错点分析 1、运动过程分析易错 运动性质判断错误：单杆运动因受力变化，运动性质复杂。学生常简单认为是匀变速运动，忽略安培力随速度变化而改变。如单杆在恒定外力作用下从静止开始运动，安培力增大，加速度减小，实际做加速度减小的加速运动，判断错运动性质会使后续速度、位移计算出错。 多过程衔接混乱：单杆可能经历多个运动过程，如先加速后匀速。学生分析时，不能准确把握过程间衔接点的速度、加速度变化，在列方程求解各过程物理量时出错，无法完整描述单杆运动情况。 2、能量转化分析易错 单杆运动涉及机械能、电能、内能转化。 3、电路分析易错 等效电路判断错误：单杆相当于电源，学生在分析电路时，不能正确画出等效电路，确定不了内、外电路电阻，无法准确计算电流、电压等电学量，影响对安培力及单杆运动的分析。 电流方向判断失误：根据右手定则判断感应电流方向，进而确定安培力方向。学生因右手定则运用错误，判断错电流方向，导致安培力方向判断错误，对单杆运动趋势分析错误。 二、力学对象和电学对象的相互关系 三、能量转化及焦耳热的求法 (1)能量转化 (2)求解焦耳热Q的三种方法(纯电阻电路) 四、单杆模型 初态 v0≠0 v0＝0 示意图 质量为m、电阻不计的单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为l 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定 运动分析 导体杆做加速度越来越小的减速运动，最终杆静止 当E感＝E时，v最大，且vm＝，最后以vm匀速运动 当a＝0时，v最大，vm＝，杆开始匀速运动 Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝CBlΔv 电流I＝＝CBl＝CBla 安培力F安＝IlB＝CB2l2a F－F安＝ma，a＝， 所以杆以恒定的加速度匀加速运动 能量分析 动能转化为内能，mv＝Q 电能转化为动能和内能，E电＝mv＋Q 外力做功转化为动能和内能，WF＝mv＋Q 外力做功转化为电能和动能，WF＝E电＋mv2 题型一：单杆在导轨上无外力作用下切割磁场的运动问题 [例题1] （2024春•临沂期末）如图所示，整个空间中存在方向垂直导轨平面向里的匀强磁场B，导轨间距为L且足够长，左端接阻值为R的定值电阻，导轨电阻不计，现有一长为2L、电阻为2R的均匀金属棒OA垂直放在导轨上，金属棒的下端O在导轨上，沿着导轨以恒定的速度v0向右运动，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，则（　　） A．通过定值电阻的电流方向由b到a B．通过定值电阻的电流大小为 C．金属棒OA两端的电压为2BLv0 D．金属棒受到的安培力大小为 [例题2] （2024春•拉萨期末）如图所示，两根平行的光滑金属导轨MN、PQ，距离为L，与左侧从M，P间连接的电阻R构成一个固定的水平U形导体框架，导轨电阻不计且足够长。框架置于一个方向竖直向下，范围足够大的匀强磁场中，磁感应强度为B，磁场左侧边界是OO′。质量为m、电阻为r、长度为L的导体棒垂直放置在两导轨上，并与导轨接触良好，给导体棒一个水平向右的初速度v0进入磁场区域，求： （1）导体棒进入磁场瞬间安培力F的大小； （2）导体棒在磁场中运动的位移x。 [例题3] （2024春•顺义区期末）如图1所示，固定在水平桌面上的光滑金属框架cdef处在竖直向下的匀强磁场中，将金属棒ab放置在框架上并锁定，此时adcb构成一个边长为L＝0.1m的正方形，金属棒ab的电阻r＝0.1Ω，不计金属框架电阻。求： （1）若磁感应强度B随时间t的变化规律如图2所示 a.t＝0时刻金属棒ab中的感应电流I； b.t＝3.0s时金属棒ab受到的安培力的大小F。 （2）若从t＝0时刻起，对金属棒ab解除锁定，并使金属棒ab以速度v＝0.1m/s在金属框架cdef上匀速向左运动，发现金属棒ab中不产生感应电流，已知t＝0时磁感应强度B1＝1.0T，请写出这个过程中金属框架所处区域的磁感应强度B0与时间t应满足的关系式。 题型二：单杆在导轨上有外力作用下切割磁场的运动问题 [例题4] （2024秋•无锡校级期末）如图所示，一对间距L＝1m、足够长的平行光滑金属导轨固定于绝缘水平面上，导轨左端接有R＝0.5Ω的电阻，长度与导轨间距相等的金属棒ab垂直放置于导轨上，其质量m＝0.1kg，电阻也为R，整个区域内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝1T。水平向右的恒力F＝4N作用ab棒上，当t＝2s时金属棒ab的速度达到最大，随后撤去F力，棒最终静止在导轨上。重力加速度g＝10m/s2，求： （1）金属棒ab运动的最大速度vm； （2）撤去拉力F前通过定值电阻R的电荷量； （3）撤去拉力F后金属棒ab继续沿水平轨道运动的位移。 [例题5] （2024秋•锡山区校级期末）如图所示，一对间距L＝1m、足够长的平行光滑金属导轨固定于绝缘水平面上，导轨左端接有R＝0.5Ω的电阻，长度与导轨间距相等的金属棒ab垂直放置于导轨上，其质量m＝0.1kg，电阻也为R，整个区域内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝1T。水平向右的恒力F＝4N作用ab棒上，当t＝2s时金属棒ab的速度达到最大，随后撤去F力，棒最终静止在导轨上。重力加速度g＝10m/s2，求： （1）金属棒ab运动的最大速度vm； （2）撤去拉力F前通过定值电阻R的电荷量q； （3）整个过程中金属棒ab上产生的焦耳热Q。 [例题6] （2025•海陵区校级一模）如图甲所示，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面内，导轨间距L＝1.0m，左端连接阻值R＝4.0Ω的电阻，匀强磁场磁感应强度B＝0.5T方向竖直向下。质量m＝0.2kg、长度L＝1.0m、电阻r＝1.0Ω的金属杆置于导轨上，向右运动并与导轨始终保持垂直且接触良好，从t＝0时刻开始对杆施加一平行于导轨方向的外力F，杆运动的v﹣t图像如图乙所示，其余电阻不计。求： （1）在t＝2.0s时，电路中的电流I和金属杆PQ两端的电压UPQ； （2）在t＝2.0s时，外力F的大小； （3）若0～3.0s内克服外力F做功1.8J，求此过程流过电阻R的电荷量和电阻R产生的焦耳热。 题型三：有电源存在的导轨滑杆模型 [例题7] （2023秋•李沧区校级月考）福建舰是我国完全自主设计建造的首艘配置电磁弹射的航空母舰。其原理可简化为，两根平行长直金属导轨沿水平方向固定，导轨平面内具有垂直于导轨平面的匀强磁场。电磁弹射车垂直横跨两金属导轨，且始终保持良好接触。已知磁场的磁感应强度大小为B，电源的内阻为r，两导轨间距为L，电磁弹射车和飞机的总质量为m，轨道电阻不计，电磁弹射车的电阻为R。通电后，飞机随电磁弹射车滑行距离s后刚好能获得最大的速度为v。若不计空气阻力和摩擦，下列说法正确的是（　　） A．飞机在轨道上做变加速直线运动 B．将电源的正负极调换，战斗机仍然能实现加速起飞 C．电磁弹射车达到最大速度时电流不为零 D．电源的电动势为 [例题8] 如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道左端MP间接一电动势为E、内阻为r的电源，并联电阻的阻值为R。不计轨道和导体棒的电阻，闭合开关S后导体棒从静止开始，经t秒以v匀速率运动，则下列判断正确的是（　　） A．速率 B．从0～t秒电源消耗的电能 C．t秒后通过电阻R的电流为零 D．t秒末导体棒ab两端的电压为E [例题9] 有些物理问题可以从宏观和微观两个角度来认识。 如图所示，导体棒MN与电源、开关、导线及平行导轨构成的回路，放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于回路所在平面。已知导体棒的长度为L，横截面积为S，导体棒中单位体积内自由电子数为n，电子电荷量为e，质量为m。 （1）闭合开关，保持导体棒静止，导体棒中电子定向移动的速率为v。 a．求导体棒中的电流I； b．导体棒受到磁场的安培力作用，一般认为安培力是磁场对运动电荷作用力的矢量和的宏观表现．请你根据安培力的表达式F＝BIL，推导磁场对定向移动的电子作用力f的表达式。 （2）仅将回路中的电源换成一个电流计，请你设计方案使电流计的指针发生偏转，并说明其原理。 题型四：含有电容器的导轨滑杆模型 [例题10] （多选）（2025•湖南模拟）如图1所示，水平面内间距为d的固定光滑平行金属导轨间接一电阻R，质量为m的金属棒垂直置于导轨上，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中。t＝0时，静止的金属棒在水平向右的拉力F作用下开始运动，拉力F的功率P0恒定不变；图2所示为仅将电阻更换为电容为C的电容器。金属棒和导轨的电阻均忽略不计，下列说法正确的是（　　） A．在图1中，最终稳定时电阻两端的电势差是 B．在图1中，最终稳定时金属棒的速度大小 C．在图2中，金属棒做加速度与速度成线性关系的加速运动 D．在图2中，若已知某位置速度为v，则金属棒运动到该处的时间为 [例题11] （多选）（2025•长沙校级开学）如图，空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。水平光滑且足够长的平行导轨间距为L，电源电动势为E，内阻为r，电容器电容为C，开始不带电。一长度略大于L的导体杆垂直导轨放置，与两导轨接触良好，开始处于静止状态。导体杆质量为m，导体杆在导轨间的电阻为R，导轨电阻不计。现把开关拨到1，导体杆开始加速，经过足够长时间，速度达到稳定值v1。再把开关拨到2，导体杆开始减速，经过足够长时间，速度达到稳定值v2。下列说法正确的是（　　） A．开关拨到1瞬间，导体杆的加速度大小为 B． C．开关拨到2瞬间，导体杆的加速度大小为 D． [例题12] （2024春•苏州期中）如图所示，竖直向上的匀强磁场中水平放置两足够长的光滑平行金属导轨，导轨的左侧接有电容器，不计电阻的金属棒ab静止在导轨上，棒与导轨垂直。t＝0时，棒在重物的牵引下开始向右运动，t＝t时，重物落地且不反弹，则棒的速度大小v、电容器所带的电荷量q、棒中安培力的冲量大小I、棒克服安培力做的功W与时间t的关系图像正确的是（　　） A． B． C． D． 题型五：竖直平面内的导轨滑杆模型 [例题13] （多选）（2024•河南模拟）如图，间距为L的光滑平行导轨竖直固定放置，导轨上端接有阻值为R的定值电阻，矩形匀强磁场的宽度为d，磁场的磁感应强度大小为B。一根质量为m、电阻为R的金属棒由静止释放，释放的位置离磁场的上边界距离为2d，金属棒进入磁场后穿出，金属棒运动过程中始终保持水平且与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．金属棒穿过磁场的过程中，回路中产生逆时针的电流 B．金属棒穿过磁场的过程中，回路中产生顺时针的电流 C．金属棒刚进入磁场时的速度大小为 D．金属棒穿过磁场后，流经电阻R的电荷量为 [例题14] （多选）（2023秋•湖北期末）如图（a）所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R的电阻，垂直导轨平面存在变化规律如图（b）所示的匀强磁场，t＝0时磁场方向垂直纸面向里。在t＝0到t＝2t0的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L处；t＝2t0时，释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则（　　） A．在时，金属棒受到安培力的大小为 B．在t＝t0时，金属棒中电流的大小为 C．在时，金属棒受到安培力的方向竖直向下 D．在时，金属棒中电流的方向向左 [例题15] （2024秋•望花区校级期末）如图1所示，竖直平面内固定有足够长，光滑“∏”形金属导轨QPMN，导轨宽为L，电阻不计；现有质量为m，单位长度电阻为r0的（单位：Ω/m）长直导体棒，通过锁具固定在PM下方，与PM平行且距离也为L；如松开锁具，导体棒可沿导轨滑动，滑动过程中，与导轨接触良好，且导体棒始终保持与PM平行；整个装置处在垂直于纸面向里，均匀分布且磁感应强度大小随时间变化的磁场中，变化规律如图2所示；t0时刻磁感应强度大小为B0（重力加速度为g）。 （1）0到t0时间内导体棒不动，求通过导体棒的电流方向、电流大小； （2）t0时刻松开锁具，导体棒开始运动，求导体棒能达到最大速度vm； （3）松开锁具后，若当导体棒达到时，通过导体棒的电量恰与（1）问中电量相等，求运动所用的时间t； （4）若将导轨换成单位长度电阻也为r0的材料，t0时刻释放导体棒的同时外加一个变力F，让其向下做加速度为g的匀加速运动，求此过程变力的最大值Fmax。 题型六：倾斜平面内的导轨滑杆模型 [例题16] （2025•滨海新区校级开学）两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计，斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。质量为m、电阻可不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂直的恒力作用下沿导轨匀速上滑，并上升h高度，如图所示，在这过程中，下列说法中不正确的是（　　） A．恒力F与安培力的合力所做的功等于金属棒重力势能的增加量 B．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热 C．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于金属棒机械能的增加量 D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热 [例题17] （2024秋•长春期末）如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ＝30°的绝缘斜面上，两导轨间距为L＝2m，M、P两点间接有阻值为R＝9Ω的电阻，一根质量为m＝1kg、长度也为L的金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，金属杆的电阻为r＝1Ω，整套装置处于磁感应强度为B＝1T的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，导轨电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。（重力加速度g＝10m/s2） （1）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值； （2）若杆在下滑距离d＝19.625m时已经达到最大速度，求此过程中通过电阻R的电荷量q。 [例题18] （2025•南充模拟）如图所示，两平行金属直导轨ab、a′b′固定于同一水平绝缘桌面上，两导轨之间的距离为L，a、a′端与倾角为30°的倾斜金属导轨平滑连接，倾斜导轨上端连接阻值为R的定值电阻，b、b′端与位于竖直面内、半径相同的半圆形金属导轨平滑连接，所有金属导轨的电阻忽略不计。仅水平导轨abb′a′所围矩形区域存在方向竖直向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一根质量为m、电阻为R、长度为L的细金属棒M与导轨垂直，静置于aa′处，另一根与M长度相同、质量为2m的细绝缘棒N由倾斜导轨上与aa′距离为L处静止释放，一段时间后N与M发生弹性碰撞，碰撞时间极短。碰撞后，M和N先后恰好运动到半圆形导轨的最高点（抛出后立即撤去），运动过程中棒与导轨始终垂直且接触良好。不计一切摩擦，重力加速度为g。求： （1）半圆形金属导轨的半径r； （2）整个过程中定值电阻R产生的焦耳热Q； （3）绝缘棒N通过abb′a′区域的时间t。 [练习1] （2024秋•洛阳期末）如图1所示，两根间距为L＝1.0m、电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角θ＝30°，导轨底端接入一阻值为R＝2.0Ω的定值电阻，所在区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面向上，在导轨上垂直于导轨放置一质量为m＝0.2kg、电阻为r＝1.0Ω的金属杆，开始时使金属杆保持静止，某时刻开始给金属杆一个沿斜面向上F＝2.0N的恒力，金属杆由静止开始运动，图2为运动过程的v﹣t图像，重力加速度g＝10m/s2。则在金属杆向上运动的过程中，求： （1）匀强磁场的磁感应强度； （2）前2s内金属杆通过的位移； （3）前4s内电阻R产生的热量。 [练习2] （2024秋•广州校级期末）如图所示，两平行金属导轨间距l＝1m，导轨与水平面成θ＝37°，导轨电阻不计。导轨上端连接有E＝6V、r＝1Ω的电源和滑动变阻器R．长度也为l的金属棒ab垂直导轨放置且与导轨接触良好，金属棒的质量m＝0.2kg、电阻R0＝2Ω，整个装置处在竖直向上磁感应强度为B＝1.5T的匀强磁场中，金属棒一直静止在导轨上。g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8求： （1）当金属棒刚好与导轨间无摩擦力时，接入电路中的滑动变阻器的阻值R1多大？ （2）当滑动变阻器接入电路的电阻为R2＝5Ω时金属棒受到的摩擦力。 [练习3] （2024秋•福田区校级期末）如图所示，电阻不计的平行金属导轨倾角为θ，间距为L，处在竖直向下的匀强磁场中，导轨中接入电动势为E、内电阻为r的直流电源，外电路中除电阻R外其余电阻不计。质量为m、长度L电阻不计的导体棒静止在轨道上，与轨道垂直。 （1）若导轨光滑，求磁感应强度为B； （2）若导轨与导体棒摩擦因数为μ（μ＜tanθ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力），求磁感应强度B的取值范围。 [练习4] （2022秋•常州期末）如图，宽度为L的足够长光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨左端接有阻值为R的定值电阻，质量为m、电阻为r的导体棒ab垂直放置在导轨上，导体棒右侧存在垂直纸面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场。现有一粘性绝缘材料做成的子弹以水平向右的初速度v0击中导体棒的中间位置，与导体棒粘合在一起后共同进入磁场。子弹质量为m，不计导轨电阻，导体棒ab与导轨始终垂直且接触良好。求： （1）电路最大电流； （2）导体棒在磁场过程中，电阻R上产生的焦耳热。 [练习5] 如图所示，水平放置的两平行金属导轨相距l＝0.50m，左端接一电阻R＝0.20Ω，磁感应强度B＝0.40T的匀强磁场方向垂直于导轨平面向下，导体棒ac（长为l）垂直放在导轨上，并能无摩擦地沿导轨滑动，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。当棒ac以v＝4.0m/s的速度水平向右匀速滑动时，求： （1）ac棒中感应电动势的大小； （2）回路中感应电流的大小； （3）维持ac棒做匀速运动的水平外力的大小。 [练习6] 类比是研究问题的常用方法。 （1）情境1：物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反的空气阻力f＝kv（k为常量）的作用。其速度v和速度的变化率满足方程Ⅰ：G﹣kv＝m，其中m为物体质量，G为其重力。求物体下落的最大速率vm。 （2）情境2：如图所示，电源电动势为E，导体棒的质量为m，定值电阻的阻值为R，忽略电源内阻及导体棒、轨道的电阻，整个装置处于垂直于导轨向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，间距为L的水平导轨光滑且足够长。闭合开关S，导体棒开始加速运动，闭合开关瞬间开始计时。 a.求t＝0时导体棒的加速度的大小； b.推导导体棒的速度v和速度的变化率满足的方程Ⅱ； c.分析说明导体棒的运动特点，并画出情境2中导体棒运动的v﹣t图像。 （3）比较方程Ⅰ和方程Ⅱ，发现情境2中导体棒的速度变化规律与情境1中物体的速度变化规律完全一致。已知情境1中物体速度v随时间t变化的表达式为v，通过类比写出情境2中导体棒的速度v随时间t变化的表达式。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错点08 电磁感应中的单杆模型 一、易错点分析 1、运动过程分析易错 运动性质判断错误：单杆运动因受力变化，运动性质复杂。学生常简单认为是匀变速运动，忽略安培力随速度变化而改变。如单杆在恒定外力作用下从静止开始运动，安培力增大，加速度减小，实际做加速度减小的加速运动，判断错运动性质会使后续速度、位移计算出错。 多过程衔接混乱：单杆可能经历多个运动过程，如先加速后匀速。学生分析时，不能准确把握过程间衔接点的速度、加速度变化，在列方程求解各过程物理量时出错，无法完整描述单杆运动情况。 2、能量转化分析易错 单杆运动涉及机械能、电能、内能转化。 3、电路分析易错 等效电路判断错误：单杆相当于电源，学生在分析电路时，不能正确画出等效电路，确定不了内、外电路电阻，无法准确计算电流、电压等电学量，影响对安培力及单杆运动的分析。 电流方向判断失误：根据右手定则判断感应电流方向，进而确定安培力方向。学生因右手定则运用错误，判断错电流方向，导致安培力方向判断错误，对单杆运动趋势分析错误。 二、力学对象和电学对象的相互关系 三、能量转化及焦耳热的求法 (1)能量转化 (2)求解焦耳热Q的三种方法(纯电阻电路) 四、单杆模型 初态 v0≠0 v0＝0 示意图 质量为m、电阻不计的单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为l 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定 运动分析 导体杆做加速度越来越小的减速运动，最终杆静止 当E感＝E时，v最大，且vm＝，最后以vm匀速运动 当a＝0时，v最大，vm＝，杆开始匀速运动 Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝CBlΔv 电流I＝＝CBl＝CBla 安培力F安＝IlB＝CB2l2a F－F安＝ma，a＝， 所以杆以恒定的加速度匀加速运动 能量分析 动能转化为内能，mv＝Q 电能转化为动能和内能，E电＝mv＋Q 外力做功转化为动能和内能，WF＝mv＋Q 外力做功转化为电能和动能，WF＝E电＋mv2 题型一：单杆在导轨上无外力作用下切割磁场的运动问题 [例题1] （2024春•临沂期末）如图所示，整个空间中存在方向垂直导轨平面向里的匀强磁场B，导轨间距为L且足够长，左端接阻值为R的定值电阻，导轨电阻不计，现有一长为2L、电阻为2R的均匀金属棒OA垂直放在导轨上，金属棒的下端O在导轨上，沿着导轨以恒定的速度v0向右运动，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，则（　　） A．通过定值电阻的电流方向由b到a B．通过定值电阻的电流大小为 C．金属棒OA两端的电压为2BLv0 D．金属棒受到的安培力大小为 【解答】解：A.金属棒向右运动切割磁感线产生感应电动势，由右手定则可知感应电流方向由a到b，故A错误； B.金属棒向右运动切割磁感线产生感应电动势为 E＝BLv0 根据闭合电路欧姆定律得 I 解得通过定值电阻的电流大小 I 故B正确； C.根据闭合电路欧姆定律得 U＝IR 解得金属棒OA两端的电压为 U′＝U+EBLv0 故C错误； D.金属棒受到的安培力大小为 F＝BIL 解得 F 故D错误。 故选：B。 [例题2] （2024春•拉萨期末）如图所示，两根平行的光滑金属导轨MN、PQ，距离为L，与左侧从M，P间连接的电阻R构成一个固定的水平U形导体框架，导轨电阻不计且足够长。框架置于一个方向竖直向下，范围足够大的匀强磁场中，磁感应强度为B，磁场左侧边界是OO′。质量为m、电阻为r、长度为L的导体棒垂直放置在两导轨上，并与导轨接触良好，给导体棒一个水平向右的初速度v0进入磁场区域，求： （1）导体棒进入磁场瞬间安培力F的大小； （2）导体棒在磁场中运动的位移x。 【解答】解：（1）导体棒进入磁场瞬间产生的感应电动势为 E＝BLv0 根据闭合电路的欧姆定律得 根据安培力公式得 F＝BIL 联立解得导体棒进入磁场瞬间安培力的大小为 （2）最终导体棒的速度减为零，对整个过程，取向右为正方向，由动量定理得 又因为 联立解得： 解得： [例题3] （2024春•顺义区期末）如图1所示，固定在水平桌面上的光滑金属框架cdef处在竖直向下的匀强磁场中，将金属棒ab放置在框架上并锁定，此时adcb构成一个边长为L＝0.1m的正方形，金属棒ab的电阻r＝0.1Ω，不计金属框架电阻。求： （1）若磁感应强度B随时间t的变化规律如图2所示 a.t＝0时刻金属棒ab中的感应电流I； b.t＝3.0s时金属棒ab受到的安培力的大小F。 （2）若从t＝0时刻起，对金属棒ab解除锁定，并使金属棒ab以速度v＝0.1m/s在金属框架cdef上匀速向左运动，发现金属棒ab中不产生感应电流，已知t＝0时磁感应强度B1＝1.0T，请写出这个过程中金属框架所处区域的磁感应强度B0与时间t应满足的关系式。 【解答】解：（1）a.感应电动势大小为 ES0.12V＝0.01V t＝0时刻金属棒ab中的感应电流 I 解得 I＝0.1A b.当t＝3.0s时B＝4.0T，t＝3.0s时金属棒ab受到的安培力的大小 F＝BIL＝4×0.1×0.1N＝0.04N （2）无感应电流，即磁通量不发生变化，则 B1L2＝B0（L﹣vt）L 解得 B0 题型二：单杆在导轨上有外力作用下切割磁场的运动问题 [例题4] （2024秋•无锡校级期末）如图所示，一对间距L＝1m、足够长的平行光滑金属导轨固定于绝缘水平面上，导轨左端接有R＝0.5Ω的电阻，长度与导轨间距相等的金属棒ab垂直放置于导轨上，其质量m＝0.1kg，电阻也为R，整个区域内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝1T。水平向右的恒力F＝4N作用ab棒上，当t＝2s时金属棒ab的速度达到最大，随后撤去F力，棒最终静止在导轨上。重力加速度g＝10m/s2，求： （1）金属棒ab运动的最大速度vm； （2）撤去拉力F前通过定值电阻R的电荷量； （3）撤去拉力F后金属棒ab继续沿水平轨道运动的位移。 【解答】解：（1）当金属棒ab所受合力为零时，速度达到最大，对ab棒，由平衡条件得 F＝F安 又F安＝BIL＝BL 联立解得金属棒ab运动的最大速度为 vm＝4m/s （2）撤去拉力F前即前2s内，取向右为正方向，对ab棒，根据动量定理得 Ft﹣BLt＝mv﹣0 其中qt 解得通过定值电阻R的电荷量为 q＝7.6C （3）撤去拉力后，对棒ab，取向右为正方向，由动量定理得 ﹣BL•t′＝0﹣mvm 此过程通过定值电阻R的电荷量为 q′•t′C＝0.4C 根据法拉第电磁感应定律有 由闭合电路的欧姆定律有 联立可得q′ 解得撤去拉力F后金属棒ab继续沿水平轨道运动的位移为x＝0.4m [例题5] （2024秋•锡山区校级期末）如图所示，一对间距L＝1m、足够长的平行光滑金属导轨固定于绝缘水平面上，导轨左端接有R＝0.5Ω的电阻，长度与导轨间距相等的金属棒ab垂直放置于导轨上，其质量m＝0.1kg，电阻也为R，整个区域内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝1T。水平向右的恒力F＝4N作用ab棒上，当t＝2s时金属棒ab的速度达到最大，随后撤去F力，棒最终静止在导轨上。重力加速度g＝10m/s2，求： （1）金属棒ab运动的最大速度vm； （2）撤去拉力F前通过定值电阻R的电荷量q； （3）整个过程中金属棒ab上产生的焦耳热Q。 【解答】解：（1）当金属棒ab所受合力为零时，速度达到最大，对ab棒，由平衡条件得：F＝F安 又F安＝BIL 联立解得金属棒ab运动的最大速度为：vm＝4m/s； （2）撤去拉力F前即前2s内，取向右为正方向，对ab棒，根据动量定理得：Ft﹣BLt＝mvm﹣0 其中qt 解得通过定值电阻R的电荷量为：q＝7.6C； （3）设拉力作用的距离为x，根据电荷量的计算公式可得：qt 解得：x＝7.6m 全过程根据动能定理可得：Fx﹣W安＝0 解得克服安培力做的功为：W安＝30.4J 根据功能关系可得全过程中回路中产生的热为：Q总＝W安＝30.4J 根据焦耳定律可得整个过程中金属棒ab上产生的焦耳热：Q 解得：Q＝15.2J。 [例题6] （2025•海陵区校级一模）如图甲所示，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面内，导轨间距L＝1.0m，左端连接阻值R＝4.0Ω的电阻，匀强磁场磁感应强度B＝0.5T方向竖直向下。质量m＝0.2kg、长度L＝1.0m、电阻r＝1.0Ω的金属杆置于导轨上，向右运动并与导轨始终保持垂直且接触良好，从t＝0时刻开始对杆施加一平行于导轨方向的外力F，杆运动的v﹣t图像如图乙所示，其余电阻不计。求： （1）在t＝2.0s时，电路中的电流I和金属杆PQ两端的电压UPQ； （2）在t＝2.0s时，外力F的大小； （3）若0～3.0s内克服外力F做功1.8J，求此过程流过电阻R的电荷量和电阻R产生的焦耳热。 【解答】解：（1）根据乙图可知，t ＝2.0s时，v＝2m/s，则此时PQ产生的感应电动势为 E＝BLv＝0.5×1.0×2V＝1V 电路中的电流为 IA＝0.2A 金属杆PQ两端的电压为外电压，即 UPQ＝IR＝0.2×4.0V＝0.8V （2）由乙图可知v−t图像的斜率表示加速度，则 am/s2＝2m/s2 对金属杆PQ进行受力分析，由牛顿第二定律得 F+BIL＝ma 解得 F＝0.3N 方向与运动方向相反。 （3）此过程流过电阻R的电荷量为 v﹣t图像与横轴围成的面积表示位移大小，则 解得 q＝0.9C 根据能量守恒定律可得 解得 Q＝1.8J 电阻R产生的焦耳热为 题型三：有电源存在的导轨滑杆模型 [例题7] （2023秋•李沧区校级月考）福建舰是我国完全自主设计建造的首艘配置电磁弹射的航空母舰。其原理可简化为，两根平行长直金属导轨沿水平方向固定，导轨平面内具有垂直于导轨平面的匀强磁场。电磁弹射车垂直横跨两金属导轨，且始终保持良好接触。已知磁场的磁感应强度大小为B，电源的内阻为r，两导轨间距为L，电磁弹射车和飞机的总质量为m，轨道电阻不计，电磁弹射车的电阻为R。通电后，飞机随电磁弹射车滑行距离s后刚好能获得最大的速度为v。若不计空气阻力和摩擦，下列说法正确的是（　　） A．飞机在轨道上做变加速直线运动 B．将电源的正负极调换，战斗机仍然能实现加速起飞 C．电磁弹射车达到最大速度时电流不为零 D．电源的电动势为 【解答】解：A、电磁弹射车在轨道上运动受安培力作用而加速运动，当飞机的速度为v1时，根据牛顿第二定律有 F＝BIL＝ma 由闭合电路欧姆定律有 解得 可知，随着速度增大，加速度减小，所以飞机做加速度减小的变加速直线运动，故A正确； B、将电源的正负极调换，安培力反向，战斗机不能实现加速起飞，故B错误； CD、电磁弹射车达到最大速度v时，加速度减小为0，则有 可得E＝BLv 电磁弹射车达到最大速度时电流为I0，故CD错误。 故选：A。 [例题8] 如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道左端MP间接一电动势为E、内阻为r的电源，并联电阻的阻值为R。不计轨道和导体棒的电阻，闭合开关S后导体棒从静止开始，经t秒以v匀速率运动，则下列判断正确的是（　　） A．速率 B．从0～t秒电源消耗的电能 C．t秒后通过电阻R的电流为零 D．t秒末导体棒ab两端的电压为E 【解答】解：ACD、闭合开关S后导体棒从静止开始运动，经t秒以v匀速率运动，此时导体棒不受安培力作用，导体棒中的电流为0，则导体棒ab产生的感应电动势与电阻R两端电压相等，则有：U＝BLv 导体棒中的电流为0，相当于断路，此时通过电阻R的电流为： 且有：U＝IR 联立解得：，t秒末导体棒 ab两端的电压为：，故A正确，CD错误； B、从0～t秒，根据能量守恒可知，电源消耗的电能转化为导体棒的动能、电阻R和内阻r的焦耳热，且通过电阻R的电流并不是一直为，因此电源消耗的电能，故B错误。 故选：A。 [例题9] 有些物理问题可以从宏观和微观两个角度来认识。 如图所示，导体棒MN与电源、开关、导线及平行导轨构成的回路，放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于回路所在平面。已知导体棒的长度为L，横截面积为S，导体棒中单位体积内自由电子数为n，电子电荷量为e，质量为m。 （1）闭合开关，保持导体棒静止，导体棒中电子定向移动的速率为v。 a．求导体棒中的电流I； b．导体棒受到磁场的安培力作用，一般认为安培力是磁场对运动电荷作用力的矢量和的宏观表现．请你根据安培力的表达式F＝BIL，推导磁场对定向移动的电子作用力f的表达式。 （2）仅将回路中的电源换成一个电流计，请你设计方案使电流计的指针发生偏转，并说明其原理。 【解答】解：（1）a.t时间内通过导体棒横截面电量q＝neSvt根据电流的定义式q＝It 得I＝neSv b.根据题意有F＝Nf＝nSLf，结合F＝BIL 得f＝evB （2）方案列举如下： 开关闭合，令MN沿导轨向右或向左做切割磁感线运动，可在回路中产生感应电流，电流计指针发生偏转。 原理：导体棒切割磁感线，回路磁通量发生变化，磁场力提供非静电力，导体棒相当于电源对回路供电。 题型四：含有电容器的导轨滑杆模型 [例题10] （多选）（2025•湖南模拟）如图1所示，水平面内间距为d的固定光滑平行金属导轨间接一电阻R，质量为m的金属棒垂直置于导轨上，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中。t＝0时，静止的金属棒在水平向右的拉力F作用下开始运动，拉力F的功率P0恒定不变；图2所示为仅将电阻更换为电容为C的电容器。金属棒和导轨的电阻均忽略不计，下列说法正确的是（　　） A．在图1中，最终稳定时电阻两端的电势差是 B．在图1中，最终稳定时金属棒的速度大小 C．在图2中，金属棒做加速度与速度成线性关系的加速运动 D．在图2中，若已知某位置速度为v，则金属棒运动到该处的时间为 【解答】解：AB、在图1中，最终稳定时金属棒受力平衡，根据平衡条件可得：BId＝F，即： 解得： 最终稳定时电阻两端的电势差是：，故A正确、B错误； C、在图2中，对金属棒由牛顿第二定律可得： 电容器的充电电流为： 所以由： 解得加速度大小为：，故C错误； D、由可知，图像为直线，类比v﹣t图像可知面积为所用时间，故时间为：t，故D正确。 故选：AD。 [例题11] （多选）（2025•长沙校级开学）如图，空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。水平光滑且足够长的平行导轨间距为L，电源电动势为E，内阻为r，电容器电容为C，开始不带电。一长度略大于L的导体杆垂直导轨放置，与两导轨接触良好，开始处于静止状态。导体杆质量为m，导体杆在导轨间的电阻为R，导轨电阻不计。现把开关拨到1，导体杆开始加速，经过足够长时间，速度达到稳定值v1。再把开关拨到2，导体杆开始减速，经过足够长时间，速度达到稳定值v2。下列说法正确的是（　　） A．开关拨到1瞬间，导体杆的加速度大小为 B． C．开关拨到2瞬间，导体杆的加速度大小为 D． 【解答】解：A、开关拨到1瞬间，导体杆的速度为零，还没有产生动生电动势，回路电流： 根据安培力的公式，导体杆受到的安培力： 导体杆加速度大小为：，故A正确； B、导体杆做加速度逐渐减小的加速运动过程中，当加速度减小到零时，速度达到稳定值 此时导体杆产生的动生电动势等于电源电动势E，根据动生电动势公式有：BLv1＝E 变形可得：，故B错误； C、开关拨到2，导体杆相当于电源，开始给电容充电。开关拨到2的瞬间，电容带电荷量为零，设此时电流为I2，可得： 导体杆受到的安培力： 根据牛顿第二定律，导体杆加速度大小为：，故C错误； D、导体杆做加速度逐渐减小的减速运动过程中，当速度达到稳定值时，电容器充电的电荷量达到Q。导体杆产生的动生电动势等于电容器两端电压U2，由以上分析有： 当导体杆速度为v时，设电流为i，取一段时间微元Δt，速度变化Δv。对此过程，以向中为正，由动量定理知：﹣BiLΔt＝mΔv 全过程求和可得：﹣BLQ＝m（v2﹣v1） 结合以上其他结论联立，可得：，故D正确。 故选：AD。 [例题12] （2024春•苏州期中）如图所示，竖直向上的匀强磁场中水平放置两足够长的光滑平行金属导轨，导轨的左侧接有电容器，不计电阻的金属棒ab静止在导轨上，棒与导轨垂直。t＝0时，棒在重物的牵引下开始向右运动，t＝t时，重物落地且不反弹，则棒的速度大小v、电容器所带的电荷量q、棒中安培力的冲量大小I、棒克服安培力做的功W与时间t的关系图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在极短一段时间Δt内，金属棒中的感应电流为： 根据电容的定义式可得：Δq＝CΔU 在Δt时间内有：ΔU＝ΔE＝BLΔv； 联立可得：I＝BLCa 设重物质量为m0，金属棒质量为m，则在任意时刻，对金属棒和重物组成的整体，根据牛顿第二定律有： m0g﹣BIL＝（m+m0）a 联立上式可得： 可见加速度为恒定值，则在重物落地之前金属棒一直做匀加速运动，重物落地后，因金属棒两端的电压等于电容器两板间的电压，回路中无电流，金属棒不受安培力，则金属棒做匀速运动。 A、由以上分析可知，金属棒先做匀加速直线运动，后做匀速运动，故A正确； B、电容器所带的电荷量开始时有：q＝CU＝CBLat，随时间均匀增加，当重物落地后导体棒匀速运动时，电容器两板间电压保持不变，故B错误； C、棒中安培力的冲量大小为： 则在重物落地之前，棒中安培力的冲量大小随时间均匀增加，故C错误； D、棒克服安培力做的功W＝F安x＝BIL•at2 则在重物落地之前W﹣t图像为抛物线，重物落地后安培力为零，则安培力的功为零，故D错误。 故选：A。 题型五：竖直平面内的导轨滑杆模型 [例题13] （多选）（2024•河南模拟）如图，间距为L的光滑平行导轨竖直固定放置，导轨上端接有阻值为R的定值电阻，矩形匀强磁场的宽度为d，磁场的磁感应强度大小为B。一根质量为m、电阻为R的金属棒由静止释放，释放的位置离磁场的上边界距离为2d，金属棒进入磁场后穿出，金属棒运动过程中始终保持水平且与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．金属棒穿过磁场的过程中，回路中产生逆时针的电流 B．金属棒穿过磁场的过程中，回路中产生顺时针的电流 C．金属棒刚进入磁场时的速度大小为 D．金属棒穿过磁场后，流经电阻R的电荷量为 【解答】解：AB、根据右手定则可知，金属棒穿过磁场的过程中，回路中产生逆时针的电流，故A正确，B错误； C、金属棒进入磁场前做自由落体运动，由v﹣x公式得：v2＝2g×2d 解得，金属棒刚进入磁场时的速度大小：，故C错误； D、由法拉第电磁感应定律得：E 由欧姆定律得：I 由电流的定义可知，电荷量：q＝IΔt 解得：q，故D正确。 故选：AD。 [例题14] （多选）（2023秋•湖北期末）如图（a）所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R的电阻，垂直导轨平面存在变化规律如图（b）所示的匀强磁场，t＝0时磁场方向垂直纸面向里。在t＝0到t＝2t0的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L处；t＝2t0时，释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则（　　） A．在时，金属棒受到安培力的大小为 B．在t＝t0时，金属棒中电流的大小为 C．在时，金属棒受到安培力的方向竖直向下 D．在时，金属棒中电流的方向向左 【解答】解：AB.由图可知在0∼t0时间段内产生的感应电动势为，根据闭合电路欧姆定律有此时间段的电流均为； 在时的磁感应强度为，此时安培力为，故A错误，B正确； C.由图可知在时，磁场方向垂直纸面向外并逐渐增大，根据楞次定律可知产生顺时针方向的电流，再由左手定则，可知金属棒受到的安培力方向竖直向上，故C错误； D.由图可知在时，磁场方向垂直纸面向外，金属棒受重力向下掉的过程中，闭合线圈内的磁通量增加，根据楞次定律，可知金属棒中的感应电流方向向左，故D正确。 故选：BD。 [例题15] （2024秋•望花区校级期末）如图1所示，竖直平面内固定有足够长，光滑“∏”形金属导轨QPMN，导轨宽为L，电阻不计；现有质量为m，单位长度电阻为r0的（单位：Ω/m）长直导体棒，通过锁具固定在PM下方，与PM平行且距离也为L；如松开锁具，导体棒可沿导轨滑动，滑动过程中，与导轨接触良好，且导体棒始终保持与PM平行；整个装置处在垂直于纸面向里，均匀分布且磁感应强度大小随时间变化的磁场中，变化规律如图2所示；t0时刻磁感应强度大小为B0（重力加速度为g）。 （1）0到t0时间内导体棒不动，求通过导体棒的电流方向、电流大小； （2）t0时刻松开锁具，导体棒开始运动，求导体棒能达到最大速度vm； （3）松开锁具后，若当导体棒达到时，通过导体棒的电量恰与（1）问中电量相等，求运动所用的时间t； （4）若将导轨换成单位长度电阻也为r0的材料，t0时刻释放导体棒的同时外加一个变力F，让其向下做加速度为g的匀加速运动，求此过程变力的最大值Fmax。 【解答】解：（1）0到t0时间内，根据法拉第电磁感应定律可得：E 根据闭合电路的欧姆定律可得：I，其中：R＝Lr0 解得：I 根据楞次定律可知感应电流方向为逆时针； （2）导体棒速度最大时受力平衡，根据平衡条件可得：mg＝B0I1L 其中：I1 解得：vm； （3）设（1）问中0到t0时间内通过导体棒的电量为q，则有：q＝It0 取向下为正方向，由动量定理可知：mgt﹣B0Lt＝m•vm﹣0 其中：t＝q 解得：t； （4）设t0后有外力F以加速度g匀加速运动，动生产生的感应电动势E1、电流I1、总电阻R'、导体棒所受安培力F1、速度v1、位移x1，则有： E1＝B0Lv1 I1 F1＝B0I1L R′＝r0（4L+2x1） 由牛顿第二定律可知：F+mg﹣F1＝mg 所以：F＝F1 由匀变速规律可知：x1，v1＝gt 解得：F 由均值不等式可知，当时，即t＝2时，力F最大 解得力F的最大值为：Fmax。 题型六：倾斜平面内的导轨滑杆模型 [例题16] （2025•滨海新区校级开学）两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计，斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。质量为m、电阻可不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂直的恒力作用下沿导轨匀速上滑，并上升h高度，如图所示，在这过程中，下列说法中不正确的是（　　） A．恒力F与安培力的合力所做的功等于金属棒重力势能的增加量 B．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热 C．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于金属棒机械能的增加量 D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热 【解答】解：A、金属棒匀速上滑的过程中，合力为零，根据动能定理可得 WG+W安+WF＝0 则WF+W安＝﹣WG＝ΔEp 即恒力F与安培力的合力所做的功等于金属棒重力势能的增加量，故A正确； B、金属棒ab的电阻不计，则金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热，故B正确； C、根据动能定理，作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于金属棒动能的变化量。根据功能关系，恒力F与安培力的合力所做的功等于金属棒机械能的增加量，故C错误； D、恒力F与重力的合力所做的功等于金属棒克服安培力所做的功，也等于电阻R上产生的焦耳热，故D正确。 本题选不正确的，故选：C。 [例题17] （2024秋•长春期末）如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ＝30°的绝缘斜面上，两导轨间距为L＝2m，M、P两点间接有阻值为R＝9Ω的电阻，一根质量为m＝1kg、长度也为L的金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，金属杆的电阻为r＝1Ω，整套装置处于磁感应强度为B＝1T的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，导轨电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。（重力加速度g＝10m/s2） （1）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值； （2）若杆在下滑距离d＝19.625m时已经达到最大速度，求此过程中通过电阻R的电荷量q。 【解答】解：（1）当金属杆匀速运动时，杆的速度最大，由平衡条件得mgsinθ 解得最大速度vm12.5m/s （2）电路中的平均平均感应电动势 平均电流： 通过电阻R的电量：q•Δt 代入数据解得：q＝3.925C [例题18] （2025•南充模拟）如图所示，两平行金属直导轨ab、a′b′固定于同一水平绝缘桌面上，两导轨之间的距离为L，a、a′端与倾角为30°的倾斜金属导轨平滑连接，倾斜导轨上端连接阻值为R的定值电阻，b、b′端与位于竖直面内、半径相同的半圆形金属导轨平滑连接，所有金属导轨的电阻忽略不计。仅水平导轨abb′a′所围矩形区域存在方向竖直向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一根质量为m、电阻为R、长度为L的细金属棒M与导轨垂直，静置于aa′处，另一根与M长度相同、质量为2m的细绝缘棒N由倾斜导轨上与aa′距离为L处静止释放，一段时间后N与M发生弹性碰撞，碰撞时间极短。碰撞后，M和N先后恰好运动到半圆形导轨的最高点（抛出后立即撤去），运动过程中棒与导轨始终垂直且接触良好。不计一切摩擦，重力加速度为g。求： （1）半圆形金属导轨的半径r； （2）整个过程中定值电阻R产生的焦耳热Q； （3）绝缘棒N通过abb′a′区域的时间t。 【解答】（1）M、N碰前过程，对绝缘棒N，由动能定理得 解得 绝缘棒N与金属棒M发生弹性碰撞，由动量守恒定律可得 2mvN＝2mv′N+mv′M 由机械能守恒定律得 解得 ， 因M和N恰好均能通过半圆形轨道的最高点，则M和N通过bb′时速度大小相等，设为v 则 M在半圆形轨道最高点时有 M由半圆形轨道最低点到最高点，由动能定理得 解得 （2）M从aa′运动到bb′，由能量守恒得 Q总 定值电阻R产生的焦耳热 解得 （3）设N由aa′运动到bb′的位移为x，对M，由动量定理得 电荷量 平均感应电动势 平均感应电流 又 解得 [练习1] （2024秋•洛阳期末）如图1所示，两根间距为L＝1.0m、电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角θ＝30°，导轨底端接入一阻值为R＝2.0Ω的定值电阻，所在区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面向上，在导轨上垂直于导轨放置一质量为m＝0.2kg、电阻为r＝1.0Ω的金属杆，开始时使金属杆保持静止，某时刻开始给金属杆一个沿斜面向上F＝2.0N的恒力，金属杆由静止开始运动，图2为运动过程的v﹣t图像，重力加速度g＝10m/s2。则在金属杆向上运动的过程中，求： （1）匀强磁场的磁感应强度； （2）前2s内金属杆通过的位移； （3）前4s内电阻R产生的热量。 【解答】解：（1）由图乙可知金属杆先做加速度减小的加速运动，2s后做匀速直线运动；当t＝2s时，速度为：v＝3m/s，此时感应电动势为：E＝BLv 感应电流为：I 根据受力平衡可得：F＝F安+mgsinθ＝BIL+mgsinθ 联立解得：B＝1T； （2）前2s内，取沿导轨向上为正方向，根据动量定理有：（F−mgsinθ）Δt−BLΔt＝mv−0 又：qΔt 联立解得：q＝1.4C 设前2s内金属杆通过的位移为x，根据电荷量的计算公式可得：qt 代入数据解得：x＝4.2m； （3）2～4s内金属杆通过的位移为：x'＝vt＝3×2m＝6m 前4s内，由能量守恒可得：F（x+x′）mg（x+x′）sinθ+Q 解得：Q＝9.3J 则前4s内电阻R产生的热量为：QR9.3J＝6.2J。 [练习2] （2024秋•广州校级期末）如图所示，两平行金属导轨间距l＝1m，导轨与水平面成θ＝37°，导轨电阻不计。导轨上端连接有E＝6V、r＝1Ω的电源和滑动变阻器R．长度也为l的金属棒ab垂直导轨放置且与导轨接触良好，金属棒的质量m＝0.2kg、电阻R0＝2Ω，整个装置处在竖直向上磁感应强度为B＝1.5T的匀强磁场中，金属棒一直静止在导轨上。g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8求： （1）当金属棒刚好与导轨间无摩擦力时，接入电路中的滑动变阻器的阻值R1多大？ （2）当滑动变阻器接入电路的电阻为R2＝5Ω时金属棒受到的摩擦力。 【解答】解：（1）当金属棒刚好与导轨间无摩擦力时，金属棒受重力mg、安培力F和支持力FN如图。 根据平衡条件可得，mgsinθ＝F1cosθ 又F1＝BI1l I1 联立上式，解得：R＝3Ω （2）当滑动变阻器的电阻为R2＝5Ω时，电流：I2AA 又：F2＝BI2l mgsinθ＞F2cosθ，故金属棒受到沿导轨平面向上的摩擦力Ff 根据平衡条件可得，mgsinθ＝F2cosθ+Ff 联立解得 Ff＝mgsinθ﹣F2cosθ 解得：Ff＝0.3N [练习3] （2024秋•福田区校级期末）如图所示，电阻不计的平行金属导轨倾角为θ，间距为L，处在竖直向下的匀强磁场中，导轨中接入电动势为E、内电阻为r的直流电源，外电路中除电阻R外其余电阻不计。质量为m、长度L电阻不计的导体棒静止在轨道上，与轨道垂直。 （1）若导轨光滑，求磁感应强度为B； （2）若导轨与导体棒摩擦因数为μ（μ＜tanθ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力），求磁感应强度B的取值范围。 【解答】解：（1）对导体棒受力分析，正交分解如图所示： 沿斜面方向，受力平衡得mgsinθ＝Fcosθ， 导体棒所受安培力为F＝BIL， 由闭合回路欧姆定律可得：导体棒中的电流为， 联立解得磁感应强度大小为：； （2）当摩擦力等于最大静摩擦力，方向沿导轨向上时，安培力Fmin最小，所以磁感应强度Bmin最小， 沿导轨方向，根据受力平衡有mgsinθ＝Fmincosθ+μFN， 垂直导轨方向，根据受力平衡有FN＝mgcosθ+Fminsinθ 此时导体棒所受的安培力大小为Fmin＝BminIL， 联立解得磁感应强度的最小值为； 当摩擦力等于最大静摩擦力，方向沿导轨向下时，安培力Fmax最大，所以磁感应强度Bmax最大， 沿导轨方向，根据受力平衡有mgsinθ+μFN′＝Fmaxcosθ， 垂直导轨方向，根据受力平衡有FN′＝mgcosθ+Fmaxsinθ， 此时导体棒所受的安培力大小为Fmax＝BmaxIL， 联立解得磁感应强度的最大值为； 综上所述，磁感应强度的取值范围为。 [练习4] （2022秋•常州期末）如图，宽度为L的足够长光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨左端接有阻值为R的定值电阻，质量为m、电阻为r的导体棒ab垂直放置在导轨上，导体棒右侧存在垂直纸面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场。现有一粘性绝缘材料做成的子弹以水平向右的初速度v0击中导体棒的中间位置，与导体棒粘合在一起后共同进入磁场。子弹质量为m，不计导轨电阻，导体棒ab与导轨始终垂直且接触良好。求： （1）电路最大电流； （2）导体棒在磁场过程中，电阻R上产生的焦耳热。 【解答】解：（1）子弹与导体棒ab碰撞过程动量守恒：mv0＝2mv，解得导体棒进入磁场的最大速度为：， 最大感应感应电动势：E＝BLv，故电路中最大感应电流：，联立解得：； （2）导体棒与子弹一起进入磁场后，根据能量守恒可得：Q， 由焦耳定律可得，电阻R上产生的焦耳热：，联立解得：QR。 [练习5] 如图所示，水平放置的两平行金属导轨相距l＝0.50m，左端接一电阻R＝0.20Ω，磁感应强度B＝0.40T的匀强磁场方向垂直于导轨平面向下，导体棒ac（长为l）垂直放在导轨上，并能无摩擦地沿导轨滑动，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。当棒ac以v＝4.0m/s的速度水平向右匀速滑动时，求： （1）ac棒中感应电动势的大小； （2）回路中感应电流的大小； （3）维持ac棒做匀速运动的水平外力的大小。 【解答】解：（1）根据法拉第电磁感应定律，ac棒中的感应电动势为E＝Blv＝0.40×0.50×4.0V＝0.8V； （2）感应电流大小为： ； （3）由于ab棒受安培力F安＝BIl， 根据平衡条件得：F＝F安 联立解得：F＝0.8N； [练习6] 类比是研究问题的常用方法。 （1）情境1：物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反的空气阻力f＝kv（k为常量）的作用。其速度v和速度的变化率满足方程Ⅰ：G﹣kv＝m，其中m为物体质量，G为其重力。求物体下落的最大速率vm。 （2）情境2：如图所示，电源电动势为E，导体棒的质量为m，定值电阻的阻值为R，忽略电源内阻及导体棒、轨道的电阻，整个装置处于垂直于导轨向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，间距为L的水平导轨光滑且足够长。闭合开关S，导体棒开始加速运动，闭合开关瞬间开始计时。 a.求t＝0时导体棒的加速度的大小； b.推导导体棒的速度v和速度的变化率满足的方程Ⅱ； c.分析说明导体棒的运动特点，并画出情境2中导体棒运动的v﹣t图像。 （3）比较方程Ⅰ和方程Ⅱ，发现情境2中导体棒的速度变化规律与情境1中物体的速度变化规律完全一致。已知情境1中物体速度v随时间t变化的表达式为v，通过类比写出情境2中导体棒的速度v随时间t变化的表达式。 【解答】解：（1）当物体下落速度达到最大时，速度的变化率为零，则有G＝kvm 解得vm （2）a.t＝0时通过导体棒的电流为I 导体棒所受安培力大小为F＝BIL 导体棒的加速度大小为a，解得a 根据左手定则可知加速度方向水平向右。 b.当导体棒速度大小为v时，其切割磁感线产生的感应电动势大小为E′＝BLv 感应电动势与电源电动势方向相反，所以此时通过导体棒的电流为I' 导体棒所受安培力大小为F'＝BI'L 对导体棒根据牛顿第二定律有F'＝m 解得方程Ⅱ为 c.导体受到水平向右的安培力，由F安＝BIL＝BL＝ma 可知，导体棒做加速运动，速度增大，安培力减小，加速度减小，导体棒做加速度减小的加速运动，直至E＝BLv，即v 加速度等于0，导体棒接下来将做匀速直线运动。情境2中导体棒运动的v﹣t图像如图 （3）类比题给表达式，可得情境2中导体棒的速度v随时间t变化的表达式为v 学科网（北京）股份有限公司 $$