精品解析：江苏省盐城市响水县2024～2025学年上学期期末考试 九年级数学试题

江苏省盐城市响水县2024～2025学年第一学期期末考试 九年级数学试题 注意：1．本次考试时间为120分钟，满分150分； 2．所有答题一律在答题卡相应题号的区域内完成，超出无效！ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只 有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（　　） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：8 D. 1：16 2. 下列事件是不可能事件的是（ ） A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 从一个只装有红球的袋子里摸出白球 D. 明天会下雨 3. 若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与⊙O的位置关系是（ ） A. 点A在圆外 B. 点A在圆上 C. 点A在圆内 D. 不能确定 4. 如图，是直径，是的弦，连接，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在坡角为的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离为6m，坡比，则这两棵树之间的坡面的长为（ ） A. 1m B. 9m C. m D. m 7. 二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（其中n为任意实数）．中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 8. 在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约________． 9. 已知，则的值为_____． 10. 若圆锥底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为______（结果保留）． 11. 如图，，请补充—个条件：___________，使（只写一个答案即可）． 12. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则______． 13. 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）． 14. 如图，直线和抛物线都经过点和点，当时，的取值范围是_______． 15. 如图，在中，，，，点F是边上一动点（不与A，B重合），以为直径的交于点D，连 接交于点E，连接，当点F在边上移动时，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x 的方程：． （1）若该方程有一个根是3，求该方程的另一个根； （2）证明：无论k 取何值，该方程总有实数根． 18. “低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统计图： （1）填空：样本中的总人数为 ；开私家车的人数m= ；扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角为 度； （2）补全条形统计图； （3）该单位共有2000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开私家车改为骑自行车．若步行，坐公交车上下班的人数保持不变，问原来开私家车的人中至少有多少人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数？ 19. 某校组织学生进行视力检查，共开设了 A，B，C 三个检查窗口，每位同学随机选择其中一个窗口进行检查． （1）甲同学选择A 窗口检查的概率是______； （2）甲同学和乙同学选择同一个窗口检查的概率是多少？ 20. 如图，在中，D为 边上一点，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 21. 掷实心球是南京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1，一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，已知掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据南京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 22. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一 处、已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 23. 如图，在中，，点E是边上的点，点O是边上的点，过点E作与边分别相交于点D，F，． （1）求证：为的切线； （2）当，时，求的长． 24. 【项目式学习】 项目主题：学科融合一用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离v 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 项目素材： 素材一：凸透镜成像规律：表示凸透镜的焦距，表示物体到凸透镜的距离，表示像到凸透镜的距离，规律如表． 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴 的光线经过折射后光线经过焦点． 项目任务： （1）任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为， 离透镜中心O的距离是时，请你利用所学的知识填空： ①_________； ②______； ③_______． （2）任务二：某实验小组取焦距为凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距（）时，测量蜡烛的成像的高， ①以u为自变量，h为因变量，写出h与u 的关系式？ ②当时，h随u 的增大而_____（选填“增大”或“减小”）． 25. 综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，动点P 在直线上方的抛物线上，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，过原点0作直线I交抛物线于E、F两点，点E的横坐标为e，点F的横坐标为f，求证：是一个定值． 26. 【阅读思考】 在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别且，点F是平面内一点，连接．定义：在上述条件下，若，则称点F是M，N的慧心点，记作． 【初步探究】 （1）如图1，M，N分别在x 轴、y 轴的正半轴上． ①若，求证：点F是M，N的慧心点； ②若，用含m，n的式子表示点F 的坐标．（直接写出答案） 【理解应用】 （2）若，，且，求n的值． 【拓展迁移】 （3）若，点，且，求点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省盐城市响水县2024～2025学年第一学期期末考试 九年级数学试题 注意：1．本次考试时间为120分钟，满分150分； 2．所有答题一律在答题卡相应题号的区域内完成，超出无效！ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只 有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（　　） A 1：2 B. 1：4 C. 1：8 D. 1：16 【答案】B 【解析】 【分析】根据周长比等于相似比进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为1：4， ∴两个相似三角形的相似比为1：4， ∴它们的周长比是1：4， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的相似比，熟知相似三角形的周长比＝相似比是解本题的关键． 2. 下列事件是不可能事件的是（ ） A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 从一个只装有红球的袋子里摸出白球 D. 明天会下雨 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，故本选项不符合题意； B、三角形两边之和大于第三边是必然事件，故本选项不符合题意； C、从一个只装有红球的袋子里摸出白球是不可能事件，故本选项符合题意； D、明天会下雨是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与⊙O的位置关系是（ ） A. 点A在圆外 B. 点A在圆上 C. 点A在圆内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离大于圆的半径即可得到点在圆外． 【详解】解：：∵的半径为，点A到圆心O的距离为，， ∴点A在圆外； 故选：A． 4. 如图，是的直径，是的弦，连接，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理．根据直径所对的圆周角为直角得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，利用直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 所得新抛物线的解析式为，即：， 故选：A． 6. 如图，在坡角为的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离为6m，坡比，则这两棵树之间的坡面的长为（ ） A. 1m B. 9m C. m D. m 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，连接，由题意，可知，根据坡比得到，进而求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接，由题意，可知， ∵坡比， ∴， ∴； 故选D． 7. 二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（其中n为任意实数）．中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系．根据抛物线开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据时，即可判断②；根据函数对称，与时，的值相等，即，即可判断③；由，即可判断④；根据时，函数的值最大，即可判断⑤． 【详解】解：∵开口向下， ， ∵抛物线和y轴的正半轴相交， ， ∵对称轴为， ， ，故①正确； 当时，，则， ，故②正确； 函数的对称轴为， 所以与时，的值相等，即， ，故③正确； ∵，，则， ∴， ∴，故④错误； ∵当时，二次函数有最大值， 当m为任意实数时，有， ，故⑤错误； 综上，正确的是①②③， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 8. 在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，设这两景点实际距离为，利用比例尺的定义得到，求出x的值后，把单位化为即可． 【详解】解：设这两景点实际距离为， ， 解得， ， 故答案为：60． 9. 已知，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键，根据合比性质进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积的计算公式． 11. 如图，，请补充—个条件：___________，使（只写一个答案即可）． 【答案】∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE（填一个即可）． 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法，已知一组角相等则再添加一组相等的角或夹该角的两个边对应成比例即可推出两三角形相似． 【详解】∵∠DAB=∠CAE， ∴∠DAE=∠BAC， ∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时两三角形相似． 故答案为：∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE(填一个即可)． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定： ①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； ②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似． 12. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，两根之和等于、两根之积等于．根据一元二次方程根和系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程得两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算．根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形的内角和， ， ， 故答案为：． 14. 如图，直线和抛物线都经过点和点，当时，的取值范围是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合． 由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象上方对应的所有的的取值，然后数形结合求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象上方对应的所有的的取值， ∵图象交于点，点， ∴当时，或， 故答案为：或． 15. 如图，在中，，，，点F是边上一动点（不与A，B重合），以为直径的交于点D，连 接交于点E，连接，当点F在边上移动时，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 连，，，得为定角，由此可得在以为弦所对圆心角为的圆弧上运动，设该圆圆心为，连，，，，由两点之间线段最短知：，进而可求的最小值． 【详解】解：在中，，，， ∴，， 连，，， 为的直径， ， ， 为定角， 在以为弦所对圆心角为圆弧上运动， 设该圆圆心为，连，，，，则，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 又， 由两点之间线段最短知：， ， 当、、在一直线时．有最小值为：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值及配方法解一元二次方程方程，熟练掌握特殊角的三角函数值及配方的方法是解答本题的关键． （1）代入特殊角的三角函数值，计算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， 即：，， 解得，． 17. 已知关于x 的方程：． （1）若该方程有一个根是3，求该方程的另一个根； （2）证明：无论k 取何值，该方程总有实数根． 【答案】（1）0 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，根的判别式，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入方程中得到关于的一元一次方程，解方程求出的值，再把的值代入原方程求出原方程的解即可； （2）根据根的判别式进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵方程有一个根是3， ∴， 解得：． ∴原方程为，即， 解得，． ∴该方程的另一个根为0； 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴无论取何值，该方程总有实数根． 18. “低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统计图： （1）填空：样本中的总人数为 ；开私家车的人数m= ；扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角为 度； （2）补全条形统计图； （3）该单位共有2000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开私家车改为骑自行车．若步行，坐公交车上下班的人数保持不变，问原来开私家车的人中至少有多少人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数？ 【答案】（1）80，20，72；（2）16，补图见解析；（3）原来开私家车的人中至少有50人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数． 【解析】 【分析】（1）用乘公交车的人数除以所占的百分比，计算即可求出总人数，再用总人数乘以开私家车的所占的百分比求出m，用360°乘以骑自行车的所占的百分比计算即可得解. （2）求出骑自行车的人数，然后补全统计图即可. （3）设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车，表示出改后骑自行车的人数和开私家车的人数，列式不等式，求解即可． 【详解】解：（1）80，20，72. （2）骑自行车的人数为：80×20%=16人， 补全统计图如图所示； （3）设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车， 由题意得，，解得x≥50. 答：原来开私家车的人中至少有50人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数． 考点：1.条形统计图；2.扇形统计图；3.频数、频率和总量的关系；4.一元一次不等式的应用． 19. 某校组织学生进行视力检查，共开设了 A，B，C 三个检查窗口，每位同学随机选择其中一个窗口进行检查． （1）甲同学选择A 窗口检查的概率是______； （2）甲同学和乙同学选择同一个窗口检查的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择同一窗口的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有3个窗口，每个窗口被选择的概率相同， ∴甲同学选择A 窗口检查的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲同学和乙同学选择同一个窗口检查的结果数有3种， ∴甲同学和乙同学选择同一个窗口检查的概率为 20. 如图，在中，D为 边上一点，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． （1）根据相似三角形的判定即可求出答案； （2）根据相似三角形的性质即可求出的长度． 【小问1详解】 证明：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 21. 掷实心球是南京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1，一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，已知掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据南京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】（1）y关于x的函数表达式为； （2）该女生在此项考试中是得满分，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法． （1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数表达式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处， ∴设， ∵经过点， ∴， 解得： ∴， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶ ∵对于二次函数，当时，有， ∴， 解得∶，(舍去)， ∵， ∴该女生在此项考试中是得满分． 22. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一 处、已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 （2）线段的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案； （2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴（）， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； 【小问2详解】 如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则（），（）， ∵， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（）， 答：线段的长度为． 23. 如图，在中，，点E是边上的点，点O是边上的点，过点E作与边分别相交于点D，F，． （1）求证：为的切线； （2）当，时，求长． 【答案】（1）见解析； （2）的长为． 【解析】 【分析】此题考查垂径定理、圆周角定理、切线的判定定理、锐角三角函数等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接， 由是的直径，得，由，得垂直平分，再证明，则，即可证明为的切线； （2）由勾股定理求出，设，则，由，进一步求得即可求得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 24. 【项目式学习】 项目主题：学科融合一用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离v 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 项目素材： 素材一：凸透镜成像规律：表示凸透镜的焦距，表示物体到凸透镜的距离，表示像到凸透镜的距离，规律如表． 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴 的光线经过折射后光线经过焦点． 项目任务： （1）任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为， 离透镜中心O的距离是时，请你利用所学的知识填空： ①_________； ②______； ③_______． （2）任务二：某实验小组取焦距为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距（）时，测量蜡烛的成像的高， ①以u为自变量，h为因变量，写出h与u 的关系式？ ②当时，h随u 的增大而_____（选填“增大”或“减小”）． 【答案】（1）①，②，③ （2）①，②减小 【解析】 【分析】本题考查了，相似三角形的性质与判定，画反比例函数，反比例函数的性质． （1）任务一：由矩形，得到的长，由，得到，即：，设，用含的代数式，表示出、，由，得到，解出，即可求解， （2）任务二：①由，整理得到，根据描点法，画出函数图象， ②类比反比例函数的增减性，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得矩形， ∴， 根据题意得：与平行， 则， ∴， ∴，即：， 设，则，， 由题意得，， ∴， ∴ ∴，即：，解得：， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 ①依题意得：四边形为矩形，，，， ， 由任务一可知：，，， ， 即， 解得：； ②类比反比例函数的性质，可知当 时，随的增大而减小， 故答案为：减小． 25. 综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P 在直线上方的抛物线上，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，过原点0作直线I交抛物线于E、F两点，点E的横坐标为e，点F的横坐标为f，求证：是一个定值． 【答案】（1）； （2）面积的最大值是，点的坐标为； （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，联立可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【小问1详解】 解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 26. 【阅读思考】 在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别且，点F是平面内一点，连接．定义：在上述条件下，若，则称点F是M，N的慧心点，记作． 【初步探究】 （1）如图1，M，N分别在x 轴、y 轴的正半轴上． ①若，求证：点F是M，N的慧心点； ②若，用含m，n的式子表示点F 的坐标．（直接写出答案） 【理解应用】 （2）若，，且，求n的值． 【拓展迁移】 （3）若，点，且，求点F的坐标． 【答案】（1）①见解析②点的坐标为或（2）或（3）或 【解析】 【分析】（1）①根据新定义，证明，即可；②根据新定义，推出，，得到点在一三象限的角平分线上，点的坐标为，根据，进行求解即可； （2）根据新定义，求出，分在内部和点在外部，两种情况进行求解即可； （3）根据，得到，设，，则：，根据两点间的距离公式，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴点的坐标分别，， ∵， ∴轴，， ∴， ∴， ∴点F是M，N的慧心点； ② M，N分别在x 轴、y 轴的正半轴上， ，， ∵点F是M，N的慧心点； ∴， ∴，， ， ， ∴当点在内部时，点在第一象限的角平分线，当点在外部时，点在第一象限的角平分线的反向延长线上， ∴点的横纵坐标相同， ∴可设点的坐标为， ∴， 解得：， ∴点的坐标为或； （2）解：，， ，， ∵点F是M，N的慧心点， ∴， ∴，， 当点在内部时，点在第四象限角平分线，当点在外部时，点在第四象限的角平分线的反向延长线上，， ∴点的横纵坐标互为相反数， 如图，当点在内部时，点在第四象限的角平分线， ∴设点的坐标为， 则， 解得：， ， ∴轴 ， （正值舍去）； 当点在外部时，点在第二象限的角平分线， 设点的坐标为， 同理可得：， ， 作于，则， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ∴（正值舍去）， 综上所述，值为或； （3）解：， ，， ， ，，， ∵， ， ∴， 设，，则：， ∴， 解得：或； ∴或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想，是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$