3.2复数的四则运算同步练习-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

3.2　复数的四则运算 基础过关练 题组一　复数的加减运算 1.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2= (　　) A.8i　　　　 B.6　　 C.6+8i　　　　D.6-8i 2.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于 (　　) A.0　　　　B.2i　　 C.6　　　　D.6-2i 3.设m∈R,复数z=(2m2+3i)+(m-m2i)+(-1+2mi),若z为纯虚数,则m等于 (　　) A.-1　　　　B.3　　 C.　　　　 D.-1或3 4.已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=4,则a+b=　　　　.  题组二　复数的乘除、乘方运算 5.若z是复数,且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z= (　　) A.-3+i　　　　B.3+i C.-3-i　　　　D.3-i 6.(2022四川泸州模拟)复数的虚部为 (　　) A.1　　　　 B.-i　　 C.-1　　　　D.- 7.(2022四川绵阳模拟)设i是虚数单位,若复数z满足z·i=z+6i,则复数z的虚部为　　　　.  8.计算: (1)(1-2i)(3+4i)(-2+i); (2)(3+4i)2; (3); (4). 题组三　复数范围内的解方程问题 9.若1+3i是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根,则方程的另一个根为 (　　) A.3+i　　　　B.1-3i C.3-i　　　　D.-1+3i 10.在复数范围内,方程3x2+2x+1=0的根为　　　　.  11.在复数范围内解下列方程. (1)x2+5=0; (2)x2+4x+6=0. 能力提升练 题组一　复数的四则运算及其应用 1.(2022山西临汾模拟)已知a,b∈R,i是虚数单位.若a+i=3-bi,则(b-ai)2= (　　) A.10+6i　　　　B.-8+6i C.9-6i　　　 　D.8-6i 2.(2022山东淄博模拟)若复数z=的实部与虚部相等,则实数a的值为 (　　) A.-3　　B.-1　　C.1　　D.3 3.(2022河北保定模拟)已知i是虚数单位,复数z满足1+2i=,则z的实部为 (　　) A.-1　　B.0　　C.1　　D.2 4.已知复数z=-1+i,则z2 019的值为 (　　) A.-1　　B.-22 019　　C.1　　D.22 019 5.(2022天津南开中学模拟)已知复数z为纯虚数,若(2-i)z=a+i(其中i为虚数单位),则实数a的值为　　　　.  6.计算: (1)+; (2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i). 题组二　复数范围内的解方程问题 7.已知a,b∈R,且2+ai,b+3i是一个实系数一元二次方程的两个根,则a,b的值分别是 (　　) A.a=-3,b=2　　　　B.a=3,b=-2 C.a=-3,b=-2　　　　D.a=3,b=2 8.(多选)下列关于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c∈R,a≠0)的说法正确的是 (　　) A.两根x1,x2满足x1+x2=-,x1x2= B.两根x1,x2满足|x1-x2|= C.若判别式Δ=b2-4ac≠0,则该方程有两个相异的根 D.若判别式Δ=b2-4ac=0,则该方程有两个相等的实数根 9.(2022湖北黄冈期末)已知1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,其中i为虚数单位. (1)求p,q的值; (2)记复数z=p+qi,求复数. 答案全解全析 基础过关练 1.B　z1+z2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6. 2.D　z=3-i-(i-3)=6-2i. 3.C　根据题意,得z=(2m2+m-1)+(3-m2+2m)i. 因为z为纯虚数,所以解得m=. 4.答案　3 解析　z1-z2=a+(a+1)i-[-3b+(b+2)i]=+(a-b-1)i=4, 由复数相等的定义,得 解得∴a+b=3. 5.C　由(3+z)i=1,得3+z==-i,所以z=-3-i,故选C. 6.C　因为==-i,所以复数的虚部为-1.故选C. 7.答案　-3 解析　因为z·i=z+6i,所以(-1+i)z=6i, 所以z====3-3i, 所以复数z的虚部为-3. 8.解析　(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i) =-20+15i. (2)(3+4i)2=9+24i+(-16)=-7+24i. (3)====+i. (4) = = ==i. 9.B　根据复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式知,两个虚数根的实部相等,虚部互为相反数,所以另一个根为1-3i. 10.答案　-±i 解析　因为判别式Δ=4-4×3×1=-8<0, 所以方程的根为x==-±i. 11.解析　(1)因为x2+5=0, 所以x2=-5, 又因为(i)2=(-i)2=-5, 所以x=±i, 所以方程x2+5=0的根为x=±i. (2)解法一:由x2+4x+6=0,知判别式Δ=42-4×1×6=-8<0, 所以方程x2+4x+6=0的根为x==-2±i. 解法二:因为x2+4x+6=0, 所以(x+2)2=-2, 因为(i)2=(-i)2=-2, 所以x+2=i或x+2=-i, 所以x=-2+i或x=-2-i, 所以方程x2+4x+6=0的根为x=-2±i. 解法三:由x2+4x+6=0,知判别式Δ=42-4×1×6=-8<0, 所以方程x2+4x+6=0无实数根. 在复数范围内,设方程x2+4x+6=0的根为x=a+bi(a,b∈R且b≠0), 则(a+bi)2+4(a+bi)+6=0, 所以a2+2abi-b2+4a+4bi+6=0, 整理得(a2-b2+4a+6)+(2ab+4b)i=0, 所以 又因为b≠0, 所以解得 所以x=-2±i, 故方程x2+4x+6=0的根为x=-2±i. 能力提升练 1.B　因为a+i=3-bi,a,b∈R,所以a=3,b=-1, 所以(b-ai)2=(-1-3i)2=(-1)2+(-3i)2+2×(-1)×(-3i)=-8+6i.故选B. 2.A　z===, 因为复数z=的实部与虚部相等, 所以2a+1=a-2,解得a=-3.故选A. 3.B　∵1+2i=,∴z===-2i, ∴z的实部为0.故选B. 4.D　z=-1+i=2, ∵=-+3××i+3××+=1. ∴z2 019=22 019×=22 019×=22 019. 5.答案　 解析　由(2-i)z=a+i可得z====+i, 若z=+i为纯虚数,则 解得a=. 6.解析　(1)+=+=i(1+i)+=-1+i+(-i)1 009=-1+i-i=-1. (2)原式=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=22-14i+25-25i=47-39i. 7.A　由题意得,这两个根的实部相等,虚部互为相反数,故a=-3,b=2. 8.ACD　由一元二次方程根与系数的关系,可得x1+x2=-,x1x2=,当x1,x2是复数时,此关系式仍然成立,故A正确; 当x1,x2为虚根时,|x1-x2|≠,故B错误; 当判别式Δ=b2-4ac>0时,该方程有两个相异的实数根,当判别式Δ=b2-4ac<0时,该方程有两个虚数根,且它们的实部相等,虚部互为相反数,故C正确; 若判别式Δ=b2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根,D正确. 9.解析　(1)已知1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根, 所以(1+2i)2+p(1+2i)+q=0, 整理得(p+q-3)+(4+2p)i=0, 所以解得 (2)由(1)得复数z=-2+5i,所以===. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$