1.1.1 集合及其表示方法（第一课时集合的含义）同步练-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

同步练1　集合的含义 一、单项选择题 1．下列说法正确的有(　　) ①1∈N；②∈N*；③∈Q；④2＋∈Q；⑤∉Z． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列给出的对象能构成集合并且为无限集(含有无限个元素的集合)的是(　　) A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式＜2的所有整数解组成的集合 C．所有大于－4的偶数组成的集合 D．所有到x，y轴距离均为1的点组成的集合 3．若集合A由元素a2－a，2a构成，则下列说法中正确的是(　　) A．a可取全体实数 B．a可取除去0以外的所有实数 C．a可取除去3以外的所有实数 D．a可取除去0和3以外的所有实数 4．若a，b，c，d为集合A的4个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　) A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形 5．已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是(　　) A．－1∉A B．－11∈A C．3k2－1∈A D．－34∉A 二、多项选择题 6．给出下列说法，其中正确的有(　　) A．中国的所有直辖市可以构成一个集合 B．高一(1)班较高的同学可以构成一个集合 C．正偶数的全体可以构成一个集合 D．大于2 011且小于2 023的所有整数不能构成集合 7．已知x，y为非零实数，代数式＋的值所组成的集合为M，则下列判断错误的是(　　) A．0∉M B．1∈M C．－2∈M D．2∈M 三、填空题 8．下列说法：①集合N与集合N＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________．(填序号) 9.若不等式x2－x＋a≥0的解集为集合A，且5∉A，则实数a的取值范围_____________ 10.设A是实数集，满足：若a∈A，则∈A，a≠1，且1∉A．若2∈A，写出集合A的另一个元素为______ 四、解答题 11．集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由． 12． 由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，求a2 023＋b2 023的值． 13．已知集合A是无限集且集合A中的元素为12，22，32，42，…，若m∈A，n∈A，则mn∈A．其中“”表示的运算可以是(　　) A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 14．具有下述性质的x都是集合M中的元素，即x＝a＋b，其中a，b∈Q．则①，②3＋π，③中是集合M的元素的是______(填序号)． 15．若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A．则称集合A是“好集”． (1)判断集合A＝{－1，0，1}是否是“好集”，并说明理由； (2)设集合A是“好集”，求证：若x，y∈A，则x＋y∈A； (3)对任意的一个“好集”A，证明：若x，y∈A，则必有2xy∈A． 同步练1《集合的含义》答案详解 1.答案B 解析：1是自然数，故①正确；不是正整数，故②错误；是有理数，故③正确；2＋不是有理数，故④错误；＝2是整数，故⑤错误．故正确的有2个． 2.答案C 解析：“很大的实数”的标准不确定，故不能组成集合，A错误；满足不等式＜2的所有整数解为－1，0，1，2，B错误；所有大于－4的偶数组成的集合为无限集，C正确；所有到x，y轴距离均为1的点组成的集合中只有4个元素，D错误． 3.答案D 解析：由集合中元素的互异性可知2a≠a2－a，即3a≠a2，故a≠0，a≠3，因此a可取除去0和3以外的所有实数． 4.答案C 解析：因为a，b，c，d为集合A的四个元素，所以a，b，c，d两两都不相等，因为菱形、正方形的四边相等，所以A，D错误；平行四边形的对边相等，所以B错误． 5.答案C 解析：令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A． 令3k－1＝－11，解得k＝－∉Z，∴－11∉A． ∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A． 令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z， ∴－34∈A．故选C． 6.答案AC 解析：中国的所有直辖市可以构成一个集合，A正确；高一(1)班较高的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误；正偶数的全体可以构成一个集合，C正确；大于2 011且小于2 023的所有整数能构成集合，D错误． 7.答案AB 解析：当x，y都大于零时，＋＝1＋1＝2；当x，y中一个大于零，另一个小于零时，＋＝0；当x，y都小于零时，＋＝－1－1＝－2．根据元素与集合的关系，可知0∈M，1∉M，－2∈M，2∈M． 8.答案②④ 解析：因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确． 9.答案a＜－20. 解析：∵5∉A，∴52－5＋a＜0，∴a＜－20. 10.答案－1． 解析：∵2∈A，∴＝＝－1∈A，＝＝∈A，＝＝2∈A，因此A中至少还有两个元素－1和．(答案不唯一，写出一个即可) 11.解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9． 若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去． 若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去． 当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意． 综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3． 12.解：由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得或解得或(不满足集合中元素的互异性，舍去)．所以a2 023＋b2 023＝(－1)2 023＋0＝－1． 13.答案C 解析：因为两个正整数的平方的乘积是一个正整数的平方，故选C． 14.答案①③ 解析：由题可知，若x＝a＋b，其中a，b∈Q，则x是集合M中的元素，对于①，x＝＝0＋×1，则a＝0∈Q，b＝1∈Q，故∈M；对于②，x＝3＋π＝a＋b，a，b不能同时为有理数，故3＋π∉M；对于③，由x＝＝3＋2，则a＝3∈Q，b＝2∈Q，故∈M． 15.（1）解：集合A不是“好集”，理由是－1∈A，1∈A，而－1－1＝－2∉A， 所以A不是“好集”． （2）证明：因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A， 所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A． （3）证明：对任意一个“好集”A，任取x，y∈A． 若x，y中有0和1时，显然xy∈A． 若x，y均不含0，1，由定义得x－1，，∈A， 所以－＝∈A，所以x(x－1)∈A， 由(2)得x(x－1)＋x＝x2∈A，同理y2∈A，则x2＋y2∈A． 若x＋y＝0或x＋y＝1，显然(x＋y)2∈A； 若x＋y≠0，且x＋y≠1，则(x＋y)2∈A； 所以2xy＝(x＋y)2－(x2＋y2)∈A． 学科网（北京）股份有限公司 $$