17.2 勾股定理的逆定理（逆定理，勾股数，阅读理解型问题）讲义 2024--2025学年人教版八年级数学下册

第二节 勾股定理的逆定理 ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第一课时：勾股定理的逆定理 1.填空 （1）已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为 （2）如图，已知∠C=90°，AB=12，BC=3，CD=4，AD=13，则∠ABD= （3）如图，在△ABC中，AB=4，BC=2，DB=1，CD=，则AC=　　　　　　 （4）在△ABC中，AB=20，BC=16，AC=12，点D为AB边中点，则CD的长为　 （5）在正方形网格中，A、B、C、D、E均为格点，则∠BAC-∠DAE= 2.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC=6，AC=8，AB=10．求CD的长． 3.如图，在△ABC中，AB=25，BC=30，BC边上的中线AD=20，求AC． 4.如图，已知CD=3，AD=4，BC=12，AB=13，∠ADC=90°， ( 时间： min )试求阴影部分的面积． ( 日期： ) ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第二课时：勾股数 1.填空 （1）三个正整数a，b，c，如果满足a2+b2=c2，那么我们称这三个数a，b，c叫 做一组勾股数．如32+42=52，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与3，4，5不 同的一组勾股数 （2）下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13； ③8，15，17；④4，5，6．其中 是勾股数的组数为_____________． （3）探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）， （9，40，41）…请写出下一数组：______________． （4）观察下列几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…按此规律，当直角 三角形的最小直角边长是11时，则较长直角边长是 ；当直角三角形的最小直角边长是 2n+1时，则较长直角边长是_____． 2.法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2=z2的关系式，显然，满足这个关系式的 x，y，x有无数组．当x，y，x都为正整数时，我们把这样的三个数x，y，z叫做勾股数． 如，3，4，5就是一组勾股数． （1）请你再写出两组勾股数： ， ； （2）古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2-1，z=n2+1， 那么，x，y，z为勾股数，请你加以证明． 3.勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速判断、解答题目有很大帮助， 观察下列几组勾股数： a b c 1 3=1+2 4=2×1×2 5=2×2+1 2 5=2+3 12=2×2×3 13=4×3+1 3 7=3+4 24=2×3×4 25=6×4+1 4 9=4+5 40=2×4×5 41=8×5+1 …… …… …… …… n a= b= c= （1）你能找出它们的规律吗？（填在上面的横线上） （2）你能发现a，b，c之间的关系吗？ （3）对于偶数，这个关系 （填“成立”或“不成立”）． （4）你能用以上结论解决下题吗？ 20192+20202×10092-（2020×1009+1）2 ( 日期： ) ( 时间： min ) ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第三课时：阅读理解型问题 1.【知识背景】据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根 直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就 等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角 形的三个正整数，称为勾股数． 【应用举例】观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且 勾为3时，股4=（9-1），弦5=（9+1）； 勾为5时，股12=（25-1），弦13=（25+1）； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1） 如果勾为7，则股24= 弦25= （2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦， 则股= ，弦= ． 【解决问题】观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；… 根据应用举例获得的经验进行填空： （3）如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a=2m（m表示大于1的整数）， 则b= ，c= ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式． （4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列） 第一组： 、24、 ：第二组： 、 、37． 2.阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如：5、12、13； 9、40、41；…但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3、4、5； 是三个连续正整数组 成的勾股数． 解决问题：（1）在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？ 答： ，若存在，试写出一组勾股数： ． （2）在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数？若存在， 求出勾股数，若不存在，说明理由． （3）在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？若存在，求出勾股 数，若不存在，说明理由． ( 日期： ) ( 时间： min ) ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第四课时：勾股定理的证明 1.教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推 导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大 的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可 以表示为4×ab+（a-b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b， 斜边长为c，则a2+b2=c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x 的值． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中， 并标出字母a，b所表示的线段． 2.（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式， 俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a， 较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+ （a-b）2，所以4×ab+（a-b）2=c2，即a2+b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角 形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2． 图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高 为 ． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a-2b）2=a2-4ab+4b2，画在上面的网格中，并标 出字母a，b所表示的线段． ( 时间： min ) ( 日期： ) ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )3.[阅读理解] 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．她反映了直角三角形的三边关系即直角三角形两 直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦“边长的平方．也就是说，设直角三角形 两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有 400种．如：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个 直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为（a+b）2或者是2×ab+c2，因此得到 （a+b）2=2×ab+c2，运用乘法公式展开整理得到a2+b2=c2． [尝试探究] （1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个直角三角形拼成正方形，中间 也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边分别为a、b，斜边长为c，请你根据古人的拼图完 成证明． （2）图3是2002年在中国北京召开的国际数学家大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其 中四个直角三角形直角边分别为a、b，斜边长为c，请你帮助完成． [实践应用] 已知a、b、c为Rt△ABC的三边（c＞b＞a），试比较代数式a2c2+a2b2与c4-b4的大小关系． 4.如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c， 请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． （1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理； （2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种 能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明） ( 日期： ) 第一课时：勾股定理的逆定理 参考答案 1.填空 （1）根据勾股定理分两种情况： ①当第三边为斜边时，第三边长= ②当斜边为6时，第三边长= 综上所述，第三边长为或 （2）解：在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=25 由于BD2+AB2=169=AD2 ∴△ABD是直角三角形 ∴∠ABD=90° （3）解：∵BC=2，DB=1，CD=， ∴DB2+CD2=1+3=4=BC2， ∴△CDB是直角三角形，∠CDB=90°， ∴∠CDA=90°， ∵AB=4，BD=1， ∴AD=3， ∴AC= （4）解：∵在△ABC中，AB=20，BC=16，AC=12， ∴AB2=202=400，AC2+BC2=256+144=400， 即AC2+BC2=AB2， ∴△ABC为以AB为斜边的直角三角形， 又D为AB的中点，即CD为斜边上的中线， 则CD=AB=10． （5）解：连接AF、EF，则∠CAB=∠FAD， ∵∠FAB-∠DAE=∠FAE， ∴∠BAC-∠DAE=∠FAE， 设小正方形的边长为1，则AF=，EF=，AE=， ∴AF2+EF2=AE2， ∴△AFE是等腰直角三角形， ∴∠FAE=45°，即∠BAC-∠DAE=45° 2.解：∵在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10， ∴BC2+AC2=AB2， ∴∠ACB=90°， ∵由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CD， ∴6×8=10×CD， 解得：CD=4.8． 3.解：∵BC=30，AD是BC边中线， ∴BD=CD=12BC=15． 又∵AB=25，AD=20， ∴AD2+BD2=202+152=625，AB2=625． ∴AD2+BD2=AB2， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∴AC=AB=25． 4.解：由勾股定理可知：AC=＝5， 又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2， ∴△ABC是直角三角形 故所求面积=S△ABC-S△ACD=×5×12-×3×4=30-6=24， 第二课时：勾股数 参考答案 （1） 解：与3，4，5不同的一组勾股数可以为6，8，10．故答案为6，8，10（答案不唯一）． （2） 解：①0.62+0.82=12，不是整数，不是勾股数；②52+122=132，是勾股数；③82+152=172，是勾股数；④42+52≠62，不是勾股数；其中是勾股数的组为2．故答案为：2． （3） 解：∵（3，4，5）：3=2×1+1，4=2×12+2×1，5=2×12+2×1+1； （5，12，13）：5=2×2+1，12=2×22+2×2，13=2×22+2×2+1； （7，24，25）：7=2×3+1，24=2×32+2×3，25=2×32+2×3+1； （9，40，41）：9=2×4+1，40=2×42+2×4，41=2×42+2×4+1； ∴下一组数为：11=2×5+1，60=2×52+2×5，61=2×52+2×5+1，故答案为：（11，60，61）． （4） 解：设直角三角形的最小直角边长是a，则较长直角边长是b，x斜边是c， ∵几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41， 于是得到规律为a2=b+c，c=b+1， ∴a2=b+c，a=11， ∴b+c=121， ∵b=c-1， ∴b=60，c=61； 当直角三角形的最小直角边长是11时，则较长直角边长是60； 当直角三角形的最小直角边长是2n+1时，则较长直角边长是2n2+2n，故答案为：60，2n2+2n． 2.解：（1）两组勾股数：6，8，10；9，12，15； （2）证明：x2+y2=（2n）2+（n2-1）2=4n2+n4-2n2+1=n4+2n2+1=（n2+1）2， ∴x，y，z为勾股数． 3.解：（1）由表中数据可得：a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1， （2）a2+b2=c2，理由是： ∵a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1， ∴a2+b2=（2n+1）2+[2n（n+1）]2=[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1 c2=[2n（n+1）+1]2=[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1 ∴a2+b2=c2； （3）对于偶数，这个关系不成立； （4）当2n+1=2019时，n=1009， ∴当n=1009时，a2=20192，b2=[2n（n+1）]2=20202×10092， c2=[2n（n+1）+1]2=[2020×1009+1]2， ∵a2+b2=c2； ∴20192+20202×10092-（2020×1009+1）2=0． 第三课时：阅读理解型问题 参考答案 1.解：（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24=（49-1），弦25=（49+1） （2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股=（n2-1），弦=（n2+1） （3）根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a=2m（m表示大于1的整数），则b=m2-1，c=m2+1； （4）依据柏拉图公式， 若m2-1=24，则m=5，2m=10，m2+1=26； 若m2+1=37，则m=6，2m=12，m2-1=35. 2.解：（1）存在三个连续偶数能组成勾股数，如6，8，10， （2）答：不存在， 理由是：假设在无数组勾股数中，还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数，设这三个正整数为n-1，n，n+1，则（n-1）2+n2=（n+1）2， n1=4，n2=0（舍）， 当n=4时，n-1=3，n+1=5， ∴三个连续正整数仍然是3，4，5， ∴不存在其它的三个连续正整数能组成勾股数； （3）答：不存在， 理由是：在无数组勾股数中，存在三个连续奇数能组成勾股数， 设这三个奇数分别为：2n-1，2n+1，2n+3（n＞1的整数）， （2n-1）2+（2n+1）2=（2n+3）2， n1=72，n2=-12， ∴不存在三个连续奇数能组成勾股数 第四课时：勾股定理的证明 参考答案 解：（1）梯形ABCD的面积为(a+b)(a+b)＝a2+ab+b2，也可以表示为ab+ab+c2， ∴ab+ab+c2＝a2+ab+b2，即a2+b2=c2； （2）在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2=42-x2=16-x2； 在Rt△ADC中，AD2=AC2-DC2=52-（6-x）2=-11+12x-x2； 所以16-x2=-11+12x-x2， 解得x＝； （3）如图， 由此可得（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2． 解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）=a2+ab+b2，也利用表示为ab+c2+ab，∴a2+ab+b2=ab+c2+ab，即a2+b2=c2； （2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4， ∴斜边为5， ∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4=×5×h， ∴h=，故答案为； （3）∵图形面积为：（a-2b）2=a2-4ab+4b2， ∴边长为a-2b，由此可画出的图形为： 3.解：[尝试探究]（1）图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4（ab），即（a+b）2=c2+4（ab），∴a2+b2=c2； （2）图中大正方形的面积可表示为c2，也可表示为（b-a）2+4（ab），即（b-a）2+4（ab）=c2， ∴a2+b2=c2； [实践应用]∵a2c2+a2b2=a2（c2+b2），c4-b4=（c2+b2）（c2-b2）=（c2+b2）a2， ∴代数式a2c2+a2b2与c4-b4的大小关系是相等． 4.解：（1）如图所示，是梯形； 由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=（a+b）（a+b）． 从上图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积，即ab+ab+c2． 两者列成等式化简即可得：a2+b2=c2； （2）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边． 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