精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学前滩学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试卷

2024-2025学年度第二学期初中数学九年级三月素质评估 试卷 一、单选题（共24分） 1. 如果与是同类项，则的值为（ ） A B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列说法正确的是（ ） A. |-2|与2互为相反数 B. 与互为倒数 C. ＞ D. 是无理数 3. 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是（ ） A B. C. D. 5. 某校足球社团有50名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，对于不同的m（m为0~14的整数），下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 17 频数（单位：名） 12 15 m 9 A. 平均数、中位数 B. 平均数、方差 C. 众数、中位数 D. 众数、方差 6. 如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是（ ） A 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 二、填空题（共48分） 7 求值：___________． 8. 如果将抛物线向左平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是___________． 9. 化简：（）＝__． 10. 若和互为相反数，则的值为_______． 11. 如果抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，那么的取值范围是______． 12. 如果把正三角形旋转一个角度后，与初始图形重合，那么这个旋转角最小是____________度． 13. 解关于x的方程时，如果设，那么原方程变形为关于y的整式方程是_________． 14. 张亮、王明两名同学参加课外社团，运动类的有篮球、足球和乒乓球三种社团可供选择，若每人只能选择参加一种运动类的社团，则两人恰好选中同个社团的概率是______． 15. 关于的方程有实数根，则的取值范围是____________． 16. 如图，一段东西向限速公路长米，在此公路的南面有一监测点，从监测点观察，限速公路的端点在监测点的北偏西方向，端点在监测点的东北方向，那么监测点到限速公路的距离是______米（结果保留根号）． 17. 如图，边长为3的正方形ABCD在正六边形外部做顺时针方向的滚动运动，滚动一周回到初始位置时停止，点A在滚动过程中到出发点的最大距离是______． 18. 如图，在矩形中，为对角线上的一点（不与点重合），连接，过点作交边于点，连接．若，则的长为______． 三、解答题（共78分） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解不等式组将其解集在数轴上表示出米，并写出这个不等式组的整数解． 21. 如图，分别是边上的高和中线，已知，，． （1）求的长； （2）求的值． 22. 综合与实践 如图，某校数学兴趣小组取一根长为的匀质木杆，把细绳绑在木杆的中点处并将其吊起．在中点左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点的距离（单位：），观察弹簧秤的示数（单位：）有什么变化，得到下表： 5 10 15 20 25 30 35 40 16 指导老师发现其中有一组数据明显是错误的． （1）当 时，所对应的的值明显是错误的； （2）写出与之间的函数关系式，并求当弹簧秤的示数是时，弹簧秤与中点之间的距离． 23. 如图，已知在直角三角形中，，，分别以、为底边向三角形外侧做等腰三角形和等腰三角形，且，，连接，交于点． （1）求的值． （2）求的值． 24. 如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求这条抛物线的表达式； （2）如果将抛物线向下平移个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段上，求的值； （3）如果点是抛物线位于第一象限上的点，联结，交线段于点，当时，求点的坐标． 25. 已知四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF∥DB交AB延长线于点F，联结EF交BC于点H． （1）如图1，当EF⊥BC时，求AE的长； （2）如图2，以EF为直径作⊙O，⊙O经过点C交边CD于点G（点C、G不重合），设AE的长为x，EH的长为y； ①求y关于x的函数关系式，并写出定义域； ②联结EG，当△DEG是以DG为腰的等腰三角形时，求AE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期初中数学九年级三月素质评估 试卷 一、单选题（共24分） 1. 如果与是同类项，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此求出m、n的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2. 下列说法正确的是（ ） A. |-2|与2互为相反数 B. 与互为倒数 C. ＞ D. 是无理数 【答案】B 【解析】 【分析】根据实数的运算法则进行计算即可判定． 【详解】解：A、|﹣2|＝2与2不互为相反数，故选项错误； B、，故选项正确； C、，，故选项错误； D、是分数，是有理数，故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数，倒数，比较大小和无理数的定义，熟练化简和理解定义是关键． 3. 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数轴可得，，再结合有理数的加法与减法法则及不等式的性质，绝对值的含义逐一分析即可． 【详解】解：∵，，故D不符合题意； ∴，，故A，B不符合题意； ∵， ∴，故C符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，有理数的加法与减法法则的应用，绝对值的含义，不等式的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 4. 如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象、正比例函数的图象，根据得到反比例函数的图象、正比例函数的图象所在的象限即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数的图象经过第二、四象限，函数的图象位于第二、四象限， 故选项C中图像符合题意， 故选：C． 5. 某校足球社团有50名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，对于不同的m（m为0~14的整数），下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 17 频数（单位：名） 12 15 m 9 A. 平均数、中位数 B. 平均数、方差 C. 众数、中位数 D. 众数、方差 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解平均数，众数与中位数，再根据方差受到平均数的影响，从而可得答案． 【详解】解：总人数为：人， 平均数为： ， ∴变化，平均数变化， ∵50个数据，排在最中间的两个数据分别为第25个，第26个，都为14岁， ∴中位数为：， ∴中位数不会变化； ∵， ∴出现次数最多的数据是14岁，则众数是14岁， ∴众数不会变化； ∵方差受到平均数的影响，平均数变化， ∴方差会变化， 故A，B，D不符合题意；C符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的含义与计算，理解题意，熟记概念是解本题的关键． 6. 如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两圆圆心距，和的一半为两圆的半径，利用半径之和和两圆的圆心距的大小关系求解． 【详解】解：∵分别以、为直径作圆， ∴两圆的圆心分别是、的中点， ∴两圆心的连线是梯形的中位线． ∵，， ∴两圆的圆心距为， ∵，， ∴两圆的半径分别为3和2， ∵， ∴两圆外离， 故选：D． 【点睛】本题考查了梯形的中位线，以及圆与圆的位置关系，解题的关键是分别求得两圆的圆心距和两圆的半径． 二、填空题（共48分） 7. 求值：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分数指数幂，解题的关键是熟练掌握分数指数幂的运算法则，准确计算． 8. 如果将抛物线向左平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：“左加右减”的法则即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 9. 化简：（）＝__． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的加减运算法则计算即可. 【详解】解：（） ＝（）（1） ． 故答案是：． 【点睛】此题考查了平面向量的知识，实数的加减运算法则同样适用于平面向量的加减计算． 10. 若和互为相反数，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性、求代数式的值，先根据相反数的定义得出，再根据绝对值的非负性得出，，求出的值，代入计算即可得出答案． 【详解】解：和互为相反数， ， ，， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 11. 如果抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴左侧呈上升趋势， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 【点睛】本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下． 12. 如果把正三角形旋转一个角度后，与初始图形重合，那么这个旋转角最小是____________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转图形，熟练掌握旋转图形的旋转角是解题的关键．根据正三角形的内角是以及旋转角即可得到答案． 【详解】解：正三角形的内角是， 如果把正三角形旋转一个角度后，与初始图形重合，那么这个旋转角最小是． 故答案为：． 13. 解关于x的方程时，如果设，那么原方程变形为关于y的整式方程是_________． 【答案】 【解析】 【分析】如果设，则，代入进一步整理即可． 【详解】解：已知方程，如果设，则原方程为， 整理得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用换元法解分式方程，换元法又称辅助元素法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化． 14. 张亮、王明两名同学参加课外社团，运动类的有篮球、足球和乒乓球三种社团可供选择，若每人只能选择参加一种运动类的社团，则两人恰好选中同个社团的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用树状图的方式求解即可． 【详解】解：画树状图如下：（用A，B，C分别表示篮球、足球、乒乓球）． 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一社团的结果为3种， ∴两人恰好选中同一社团的概率， 故答案为：． 【点睛】本题考查用树状图或表格法求概率，正确列出树状图或表格是解题关键． 15. 关于的方程有实数根，则的取值范围是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，当时，原方程为一元一次方程，解方程可知有实数根；当时， 原方程为一元二次方程，利用根的判别式求解即可． 【详解】解；当，即时，原方程为，解得，此时方程有实数根； 当，即时，则， 解得，即此时且， 综上所述，， 故答案为：． 16. 如图，一段东西向的限速公路长米，在此公路的南面有一监测点，从监测点观察，限速公路的端点在监测点的北偏西方向，端点在监测点的东北方向，那么监测点到限速公路的距离是______米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方向角，正确作辅助线，构造直角三角形是解答本题的关键． 过点作于点，则，设米，通过证明是等腰直角三角形，得到米，再由勾股定理得到米，再由，求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， 设米， 由题意得： ，， 是等腰直角三角形， 米， 在中， ， ， 又， （米）， ， ， 解得：， 即监测点到限速公路的距离是米， 故答案为：． 17. 如图，边长为3的正方形ABCD在正六边形外部做顺时针方向的滚动运动，滚动一周回到初始位置时停止，点A在滚动过程中到出发点的最大距离是______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，点A的运动轨迹是图中弧线，延长AE交弧线于H，线段AH的长即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离． 【详解】解：如图，点A的运动轨迹是图中弧线，延长AE交弧线于H，线段AH的长即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离． ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∴点A在滚动过程中到出发点的最大距离是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转变换、正方形的性质、正六边形的性质、解直角三角形等，解题的关键是理解题意，找到点A的运动轨迹． 18. 如图，在矩形中，为对角线上的一点（不与点重合），连接，过点作交边于点，连接．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关判定及性质，适当添加辅助线解决问题是解题的关键． 过点作于，延长交于，则，根据矩形的性质，可证，从而得出，，，，再根据可得，进而可得． 【详解】解：过点作于，延长交于，则，如图： 四边形为矩形， ，，， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（共78分） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】对分母进行分解因式，再利用除法法则变形，约分计算后利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，将m的值代入计算并进行分母有理化即可求解． 【详解】解：原式 当时， 原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则及二次根式的分母有理化是解本题的关键． 20. 解不等式组将其解集在数轴上表示出米，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】，图见解析，整数解为0，1，2 【解析】 【分析】分别对不等式组中不等式进行求解，取两个不等式的交集即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 取①和②的交集得， 故不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上如图： ∴该不等式组的整数解为：0，1，2． 【点睛】本题考查不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法． 21. 如图，分别是边上高和中线，已知，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是边上的高得到，由，，得到则，即可得到答案； （2）过点E作于点F，由分别是边上的中线，得到，由得到，勾股定理求出，再由勾股定理得到，即可得到的值． 【小问1详解】 解：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴； 【小问2详解】 解：过点E作于点F， ∵分别是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴. 【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 22. 综合与实践 如图，某校数学兴趣小组取一根长为的匀质木杆，把细绳绑在木杆的中点处并将其吊起．在中点左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点的距离（单位：），观察弹簧秤的示数（单位：）有什么变化，得到下表： 5 10 15 20 25 30 35 40 16 指导老师发现其中有一组数据明显是错误的． （1）当 时，所对应的的值明显是错误的； （2）写出与之间的函数关系式，并求当弹簧秤的示数是时，弹簧秤与中点之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，理解题目中数量的关系，掌握反比例函数的计算是解题的关键． （1）根据表格信息，结合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”即可求解； （2）根据杠杆原理，把代入即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，对应的的值错误； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，， ∴， 当时，（）， ∴弹簧秤的示数 是时，弹簧秤与中点 之间的距离 ． 23. 如图，已知在直角三角形中，，，分别以、为底边向三角形外侧做等腰三角形和等腰三角形，且，，连接，交于点． （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，得出，即可得到答案； （2）过点作，延长交于点，连接，证明四边形是平行四边形，得出，即可求出答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 小问2详解】 解：过点作，延长交于点，连接， ， ， ， ， ， ， ，点为的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 24. 如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求这条抛物线的表达式； （2）如果将抛物线向下平移个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段上，求的值； （3）如果点是抛物线位于第一象限上的点，联结，交线段于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为；（2）；（3）点 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）求出平移前后的顶点坐标，即可求解； （3）通过证明，可证，即可求解． 【详解】解：（1）与轴交于点，与轴交于点． ， 解得：， 抛物线解析式为； （2）， 顶点坐标为，， 与轴交于点，点， ， ，， 点， 设直线解析式为， ， 解得：， 直线解析式为， 当时，， ； （3）如图，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ， ，， ，， 点，，点，， ，， ， ， 点． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平移的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 25. 已知四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF∥DB交AB延长线于点F，联结EF交BC于点H． （1）如图1，当EF⊥BC时，求AE的长； （2）如图2，以EF为直径作⊙O，⊙O经过点C交边CD于点G（点C、G不重合），设AE的长为x，EH的长为y； ①求y关于x函数关系式，并写出定义域； ②联结EG，当△DEG是以DG为腰的等腰三角形时，求AE的长． 【答案】（1）；（2）①y=（＜x＜10）；②或． 【解析】 【分析】（1）由菱形性质知DC∥AB、AB=DC、DB和AC互相垂直平分，证平行四边形DBFC得BF=DC=AB=10及∠CAB=∠BCA，由EF⊥BC知∠CAB=∠BCA=∠CFE，据此知△AFC∽△FEC，从而得出FC2=CE•AC，即FC2=2AE2，据此可得答案； （2）①联结OB，由AB=BF、OE=OF知OB∥AC、OB=AE=EC=x，据此得==及EH=EO，根据EO2=BE2+OB2=-x2+100可得答案；②分GD=GE和DE=DG两种情况分别求解可得． 【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴DC∥AB、AB=DC、DB和AC互相垂直平分， ∵CF∥DB， ∴四边形DBFC是平行四边形， ∴BF=DC=AB=10， ∴∠CAB=∠BCA， 当EF⊥BC时，∠CAB=∠BCA=∠CFE， ∴Rt△AFC∽Rt△FEC， ∴FC2=CE•AC，即FC2=2AE2， Rt△ACF中，CF2+AC2=AF2，2AE2+4AE2=400， 解得：AE=； （2）①如图，联结OB， 则AB=BF、OE=OF， ∴OB∥AC，且OB=AE=EC=x， ∴==， ∴EH=EO， 在Rt△EBO中，EO2=BE2+OB2=（）2+（x）2=﹣x2+100， ∴y=EO=（＜x＜10）； ②当GD=GE时，有∠GDE=∠GED， ∵AC⊥DB，∠DEC=90°， ∴∠GCE=∠GEC， ∴GE=GC， ∴GD=GC，即G为DC的中点， 又∵EO=FO， ∴GO是梯形EFCD的中位线， ∴GO==DE， ∴y=， ∴=， 解得：x=； 如图2，当DE=DG时，联结OD、OC、GO， 在△GDO和△EDO中， ∵， ∴△GDO≌△EDO（SSS）， ∴∠DEO=∠DGO， ∴∠CGO=∠BEO=∠OFC， ∴∠CGO=∠OCG=∠OFC=∠OCF， ∴GC=CF， ∴DC=DG+GC=DE+2DE=10， 即3=10， 解得：x=， 综上，AE的长为或． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握掌握菱形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形和全等三角形的判定与性质等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$