2025年九年级中考数学复习 几何最值之瓜豆原理 知识精讲

专题4 几何最值之瓜豆原理 初中数学有一类动态问题叫做主从联动，这类问题应该说是非常出题，好多优秀老师都在研究它，原因是它在很多名校模考的时候经常出现，有的老师叫他瓜豆原理，个人理解可能是种瓜得瓜种豆得豆的意思吧，主动点运动的轨迹是什么，则从动点的轨迹就是什么。也有的老师叫他旋转相似，或者手拉手。我感觉这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题，但在解答问题时，要符合解不超纲的原则，所以最后解决问题还是用到了旋转相似的知识，也就是动态手拉手模型，下面整理一些题目来集中训练一下这类题目，希望对你能有所帮助. 涉及的知识和方法： 知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值。 方法：第一步：找主动点的轨迹 ；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值 在此类题目中，题目或许先描述的是主动点P，但最终问题问的可以是另一点Q（从动点），根据P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值。 一、轨迹之线段篇 引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 分析当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 引例如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 分析当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形． 当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段． 模型总结 必要条件： 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． 结论： P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角） P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN） 确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）； ②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）； ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； 例1．如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 例2．如图，四边形为矩形，对角线与相交于点，点在边上，连接，过做，垂足为，连接，若，，则的最小值为 ． 模型二、运动轨迹为圆弧 模型2-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型2-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型2-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型2-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例3.如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 例4．如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结AF，则AF的最小值是 ．    【巩固练习】 1. 如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F，有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D，若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（ ） A．甲乙丙 B．甲丙乙 C．乙丙甲 D．丙甲乙 2. 如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______． 3. 如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________． 4. 如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值． 5. △ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为_____________． 6. 如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝－x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________． 7. 点A是双曲线在第一象限上的一个动点，连接AO并延长交另一交令一分支点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但始终在某函数图像上运动，则这个函数的解析式为 . 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝8，BC＝6，点D是以A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM的长度的最大值为 . 9. 如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 . 10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠A＝30º，BC＝2，D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90º，连接BE，则线段BE的最小值为 . 11. 如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值． 12. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，求CG的最小值是多少？ 13. 如图，已知在扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120º，C是在上的动点，以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，求点D运动的路径长？ 14. 如图，A（－1，1），B（－1，4），C（－5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，求点Q的轨迹形成的封闭图形面积是多少？ 15. 如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点M，交直线于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30º，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，求点B的运动路径长？ 16．如图，矩形中，，，点E在线段上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接． (1) 当点E在上时，作，垂足为M，求证：；(2)连接，点E从点B运动到点C的过程中，试探究是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 17．（1）问题提出：如图①，在矩形中，，，是上一动点，则的最小值为_________ （2）问题探究：如图②，在正方形中，，点是平面上一点，且，连接，在上方作正方形，求的最大值． （3）问题解决：为迎接2021年9月在西安举办的第14届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正方形区域进行设计改造，方使大家锻炼运动．如图③，在正方形内设计等腰直角为健身运动区域，直角顶点E设计在草坪区域扇形的弧上．设计铺设和这两条不同造价鹅卵石路，已知米，米，，，若铺设路段造价为每米200元，铺设路段的造价为每米100元，请求出铺设和两条路段的总费用的最小值．    18．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时，易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 参考答案 例1．如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3， ∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA， 又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1， ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3， ∴CG的最小值＝，故选B． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键． 例2．如图，四边形为矩形，对角线与相交于点，点在边上，连接，过做，垂足为，连接，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，先根据面积法可计算的长为，根据三角形的三边关系可得：是一个定点，的轨迹为中垂线上的一部分，所以垂线段最短，可知的长是的最小值，最后由等边三角形三线合一的性质可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，， ，，，， ，， 是一个定点，的轨迹为中垂线上的一部分，如下图所示，过点作于，过点作于，过点作于，所以垂线段最短，则的最小值为的值， ，，，中，， ，，，， 即的最小值为．故答案为：． 例3.如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理，连接交于，连接，由题意得出是的中位线，则，从而得到当最小值，最小，即当运动到时，最小，此时也为最小，求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ∵，，∴，，∴， ， ∵点是的中点，∴，∴是的中位线，∴， ∴当最小值，最小，∴当运动到时，最小，此时也为最小， ∵，∴的最小值为，故选：A． 例4．如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结AF，则AF的最小值是 ．    【答案】 【分析】通过证可得，由勾股定理可得，根据三角形三边关系求AF的最小值即可； 【详解】解：如图，取CD中点G，连接AE、GF、AG，    ∵ED⊥DF，∴∠EDF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠GDA=90°， ∵∠GDF+∠FDA=90°，∠FDA+∠ADE=90°，∴∠GDF=∠ADE， ∵，∴，∴， 又AE=1，解得，由勾股定理可得，， 由三边的关系可得，AF的最小值为：AG-GF=；故答案为：. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键. 【巩固练习】 1. 如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F，有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D，若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（ ） A．甲乙丙 B．甲丙乙 C．乙丙甲 D．丙甲乙 【解答】B 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°， 甲行走的距离是AB＋BF＋CF＝AB＋BC＝2AB； 乙行走的距离是AF＋EF＋EC＋CD； 丙行走的距离是AF＋FC＋CD， ∵∠B＝∠ECF＝90°，∴AF＞AB，EF＞CF， ∴AF＋FC＋CD＞2AB，AF＋FC＋CD＜AF＋EF＋EC＋CD， ∴甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙，故选B． 2. 如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______． 【解答】1.5 【解析】由题意可知M点为主动点，C点为从动点，B点为定点． ∵C是BM中点，可知C点轨迹为取BP中点F，以F为圆心，FC为半径作圆，即为点C轨迹，如图所示： 由题中数据可知OP＝5，又∵点A、F分别是OB、BP的中点，∴AF是△BPO的中位线，∴AF＝2.5， 当M运动到如图位置时，AC的值最小，此时A、C、O三点共线，∴AC＝2.5－1＝1.5. 3. 如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________． 【解答】π 【解析】当点P位于弧AB的中点时，M为AB的中点， ， 设分别为AC、BC的中点，连接交CP于点O，如图所示： ∵， 当点P沿半圆从点A运动至点B时 ，点M的运动路径是以O为圆心，1为半径的半圆，如图蓝色半圆， ∴点M的运动路径长为π. 4. 如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值． 【解答】 【解析】法一、∵OE＝2，∴点E可以看成是在以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA至点P，使得AP＝OC，连接PE，如图所示： ∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF，∴△PAE≌△OCF，∴PE＝OF， 当O、E、P三点共线时，PE的值最小， ， ， ∴OF的最小值是. 法二、E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO＝2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆． 考虑DE⊥DF且DE＝DF，故作DM⊥DO且DM＝DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆． 直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值． 5. △ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为_____________． 【解答】 【解析】如图，以AO为直角边作等腰直角三角形AOF，且∠AOF＝90º，则AO＝FO，， ∵四边形BCDE是正方形，∴BO＝CO，∠BOC＝90º， ∵∠BOC＝∠AOF＝90º，∴∠AOB＝∠COF，∴△AOB≌△FOC，∴CF＝AB＝4， 若点A、C、F三点不共线时 ，AF＜AC＋CF， 若点A、C、F三点共线时，AF＝AC＋CF， ∴AF≤AC＋CF＝2＋4＝6，∴AF的最大值是6， ∵，∴AO的最大值是； 法二、考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB，将AC看成动线段，由此引发正方形BCED的变化，求得线段AO的最大值． 根据AC＝2，可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆． 接下来题目求AO的最大值，所以确定O点轨迹即可，观察△BOC是等腰直角三角形，锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以O点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点O轨迹圆圆心． 连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO． 6. 如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝－x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________． 【解答】 【分析】根据∠PAB＝90°，∠APB＝30°可得：AP:AB＝，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为，P点轨迹长ON为，故B点轨迹长为． 7. 点A是双曲线在第一象限上的一个动点，连接AO并延长交另一交令一分支点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但始终在某函数图像上运动，则这个函数的解析式为 . 【分析】动点C可看作是由主动点A绕着原点O逆时针旋转90º得到的，所说点C所在的图像必然也是双曲线. 【解答】 【解析】连接OC，作CD⊥轴于点D，AE⊥轴于点E，如图所示： 设点A的坐标为，∵A、B两点是正比例函数图像与反比例函数图像的交点， ∴点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB， ∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC＝OA，OC⊥OA， ∴∠DOC＋∠AOE＝90º， ∵∠DOC＋∠DCO＝90º，∴∠DCO＝∠AOE， 在△COD与△OAE中，，∴△COD≌△OAE（AAS）， ， ，∴点C在反比例函数的图像上. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝8，BC＝6，点D是以A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM的长度的最大值为 . 【分析】本题即可用中点模型处理（详见本专辑的专题02中点模型），也可以用瓜豆原理得到点M的轨迹，将问题转化为点到圆的距离问题，然后求解. 【解答】7 【解析】法一、中点模型 取AB的中点E，连接EM、CE，如图所示： 在Rt△ABC中，， ∵E是Rt△ABC斜边上的中点，∴CE＝5， ∵M是BD的中点，E是AB的中点，， ∴在△CEM中，，即， ∴CM的长度最大值为7. 法二、瓜豆原理 由M为BD的中点，结合瓜豆原理内容可得点M的轨迹是一个圆，如图所示，M点的轨迹就是由圆A以定点B为位似中心，以为位似比缩小来的. ∴圆E的半径为2， 当C、E、M三点共线时，CM的长度最大， ∵E是Rt△ABC斜边的中点，∴CE＝5，∴CM＝CE＋EM＝5＋2＝7. 9. 如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 . 【解答】6 【解析】法一、连接AM、CM，如图所示： ∵△ACD为等边三角形，∴AC＝AD，∠DAC＝60º， ∵四边形DCFE是矩形，点M是DF的中点，∴DM＝CM， 在△ADM与△ACM中，，∴△ADM≌△ACM（SSS）， ∴∠DAM＝∠CAM， ∵∠DAC＝60º，∴∠ACM＝30º，∴当BM⊥AM时，MB有最小值， 此时. 法二、如图所示 ∵∠FCB＝30º，∴F的路径是定射线DF， 又∵点M是DF的中点，∴， ∵D点为定点，F点为主动点，M点为从动点，由瓜豆原理内容可知M点的路径亦是一条射线， 取CD的中点N，连接NM并延长，则射线NM就是M点的路径，且NM∥CF， 作BG⊥NM于点G，交CF于点H，则BG⊥CF，故BG＝BH＋HG＝BH＋CN＝4＋2＝6， ∴线段BM的最小值即为BG，最小值为6. 10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠A＝30º，BC＝2，D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90º，连接BE，则线段BE的最小值为 . 【解答】 【解析】由题意可知C为定点，D点为主动点，路径为线段AB，点E为从动点， ∵△DCE是等腰直角三角形，∴∠DCE＝45º，， 结合瓜豆原理内容可知从动点E的路径为一条线段，可以看成是由线段AB先绕着定点C逆时针旋转45º，再以定点C为位似中心，以为位似比缩小来的， 如图，将BE的最小距离转化为点到线的最小距离（点B到的最短距离）， 由旋转相似可得，， ，在中，有，则， ∴线段BE的最小值为. 11. 如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值． 【解答】 【解析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线． 取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹． 根据∠ABP＝60°可知：与y轴夹角为60°，作OP⊥，所得OP长度即为最小值，OP2＝OA＝3，所以． 12. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，求CG的最小值是多少？ 【解答】 【解析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹： 考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在位置，最终G点在位置（不一定在CD边），即为G点运动轨迹． CG最小值即当CG⊥的时候取到，作CH⊥于点H，CH即为所求的最小值． 根据模型可知：与AB夹角为60°，故⊥． 过点E作EF⊥CH于点F，则HF＝＝1，， 所以，因此CG的最小值为． 13. 如图，已知在扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120º，C是在上的动点，以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，求点D运动的路径长？ 【解答】 【解析】将圆O补充完整，延长BO交圆O于点F，取的中点H，连接FH、HB、BD，如图所示： 由题意可得△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90º， ∵∠FDB＝45º＝∠FHB，∴点D在圆H上运动，轨迹如图中蓝色虚线， ∴∠HFG＝∠HCF＝15º，∴∠FHG＝150º， ∴∠CHB＝120º，∴， ∴点D的运动路径长度为. 14. 如图，A（－1，1），B（－1，4），C（－5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，求点Q的轨迹形成的封闭图形面积是多少？ 【解答】3 【解析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ＝ ，可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为，故面积比为2:1，△ABC面积为1/2×3×4＝6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3． 15. 如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点M，交直线于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30º，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，求点B的运动路径长？ 【解答】 【解析】由题意可知，点N在直线上，于点M，则△OMN是等腰直角三角形，∴， 如图1，设动点P在O点（起点）时 ，点B的位置为，动点P在N点（终点）时，点B的位置为，连接， ， 又∵， ，相似比为， ， 如图2，当点P运动至ON上任意一点时，设其对应的点B为，连接AP、、， ∵， ∵， ，， 又，， ∴点在线段上，即线段就是点B运动的路径， 综上所述，点B运动的路径是线段，其长度为. 16．如图，矩形中，，，点E在线段上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接． (1)当点E在上时，作，垂足为M，求证：；(2)连接，点E从点B运动到点C的过程中，试探究是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)存在， 【分析】（1）利用旋转的性质，证明，即可得出结论； （2）过点作于点，于交点为，根据全等和勾股定理，得出，点在射线上运动，当点与点重合时，有最小值，证明，得出，，进而得到，再证明，求出的长，即可得到的最小值． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，，，， 在和中，，， （2）解：存在，理由如下：如图，过点作于点，于交点为， 在矩形中，，，，， ，，， ，点在射线上运动，当点与点重合时，有最小值， ，，，，， ，，， ，，，， ，即的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，最短线段等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 17．（1）问题提出：如图①，在矩形中，，，是上一动点，则的最小值为_________ （2）问题探究：如图②，在正方形中，，点是平面上一点，且，连接，在上方作正方形，求的最大值． （3）问题解决：为迎接2021年9月在西安举办的第14届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正方形区域进行设计改造，方使大家锻炼运动．如图③，在正方形内设计等腰直角为健身运动区域，直角顶点E设计在草坪区域扇形的弧上．设计铺设和这两条不同造价鹅卵石路，已知米，米，，，若铺设路段造价为每米200元，铺设路段的造价为每米100元，请求出铺设和两条路段的总费用的最小值．    【答案】（1）（2）的最大值是（3）铺设两条路段总费用的最小值为10000元 【分析】（1）以为斜边构造的直角三角形，则，求的值即可； （2）根据题意确定E点的运动轨迹，进而得出最大时点E的位置，求出即可； （3）根据费用的关系可求出线段的最小值即可． 【详解】解：（1）以为斜边构造的直角，且， 此时，则，则当P、B、E在同一直线上时有最小值为，如下图：    即的最小值为如图所示的长度，，， ，，，， 又四边形为矩形，，， ，； （2）为动点且，点E的运动轨迹为以C为圆心，半径为1的圆， 四边形为正方形，，即当最大时有最大值， 由图②知：当E在延长线上时的位置时，有最大值， 此时，，故的最大值是；      （3）由题意得：的费用为， 求费用最小值即为求的最小值，连接，，在上截取， 四边形时正方形，是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，， ，，，点F在以A为圆心，为半径的弧上， ，，，，即， ，当C、F、D三点共线时，有最小值， 在中，， 铺设和两条路段总费用的最小值为：（元）， 即铺设和两条路段总费用的最小值为：（元）． 【点睛】本题考查两点之间线段最短、正方形性质、圆的性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解题关键． 18．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时，易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 【答案】问题解决：证明过程见解析；结论应用：（1）；（2） 【分析】问题解决：延长至点，使，连接．当点在直线外时，证明得出；当点在直线上时，则，即可得解； 结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆，由此计算即可得出答案：（2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小；当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大；分别求出的值即可得解． 【详解】问题解决：证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 在和中，，∴，∴； 2°当点在直线上时，则． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆； 结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆， ∴点的运动路径长为； （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆， 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小，由题意得：，，，， ， ， ∴由勾股定理得：，∴线段长度的最小值为； 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大，由题意得：，， ∵，∴，∴，， ∵，∴、、在同一直线上，∴， ∴，∴线段长度的最大值为， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、求弧长、圆的相关知识点、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$