17.1勾股定理分层作业2024-2025学年人教版数学八年级下册

人教版八年级下册 姓名： 班级： 分层 类别 第17章 勾股定理 17.1勾股定理分层作业 基础 巩固 （ABC） 1．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（　　） A．10 B．10或 C． D．或 2．如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，S1，S2，S3是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若S1＝36，S2＝64，则S3的值为（　　） A． B．10 C．100 D． 3．如图，每个四边形都是正方形，字母A所代表的正方形的边长为（　　） A．4 B．8 C．16 D．64 4．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边长为（　　） A．17 B．16 C．15 D．13 5．如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　） A． B． C． D．2.5 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，BC＝2，则AB的长是（　　） A． B． C．2 D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，分别以AC、AB、BC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S3＝12，则S1等于（　　） A．24 B．12 C． D．6 8．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣4）到原点的距离为（　　） A．2 B．4 C． D． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BP平分∠ABC交AC于点P，PE⊥AB于点E，若BC＝8，AC＝6，则△AEP的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 综合 应用 AB组 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点E是AB边的中点，BD＝BE，连接DE，若DE＝4，则AD＝　 　． 12．如图，一根筷子长17cm，斜放在半径为2.5cm的圆形水杯中，露出水杯外面的部分AD的长为4cm，则水杯的高AC＝ 　 　cm． 13．如图，在 Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则DC的长是 　 　． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AB的中点，连接DE，若BE＝BD，，则DE的长为 　 　． 15．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD⊥AB，∠ABC的平分线交CD于点E，则DE＝ 　 　． 16．如图，这是用面积为6的四个全等的直角△ABE，△BCF，△CDG和△DAH拼成的“赵爽弦图”，如果AB＝5，那么正方形EFGH的边长为 　 　． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，且CE＝DE． （1）求∠A的度数； （2）若CB＝1，求CE的长． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC． （1）若P是BC边上的中点，连接AP，求证：BP•CP＝AB2﹣AP2； （2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由． 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，求线段AD的长． 20．如图，等腰三角形ABC中AB＝AC，CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm． （1）求AD的长； （2）求△ABC的面积． 21．某滑雪台的截面示意图如图所示，已知滑雪台的高度AC为7米，滑雪台的长度AB为25米，则滑雪台水平距离BC长为多少米？ 22．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB． （1）若AB＝13，BC＝5，求CD的值； （2）证明：AC+BC＜AB+CD． 23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AB＝2CD，点F是CE中点． （1）求证：∠DCE＝∠ADF； （2）若∠BAC＝90°，AE＝6，AC＝8，求DF的长． 24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，作AD⊥AB交BC的延长线于点D． （1）若∠D＝20°，求∠BAC的度数． （2）求证：∠BAC＝2∠D． （3）已知∠D＝22.5°，AC，求BC2的值． 25．在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线． （1）如图①，过点D作DG∥BC交AB于点G，求证：△GBD是等腰三角形． （2）如图②，若AC＝8，BC＝6，求CD的长． 26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．在边BC上有一点P，连接AP，且PA＝PB，若AC＝2，CB＝5，求PA的长． 拓展 提高 （A组） 27．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若BC2＝56，AD：BD＝3：4，求AC的长． 28．如图，△ABC中，AC＝BC，CD平分∠ACB，交AB于点D，延长BC至点E，使CE＝BC，连接AE． （1）求证：CD∥AE； （2）连接DE，若AC＝5，AB＝6，求△DCE的面积． 29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M． （1）求证：△CDM是等腰三角形； （2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度． 30．阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN． 例如，如图1，M（3，1），N（1，﹣2），则MN． 【直接应用】 （1）已知P（2，﹣3），Q（﹣1，3），求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣3），OB，OB与x轴正半轴的夹角是45°． ①求点B的坐标； ②试判断△ABO的形状． 参考答案与试题解析 1．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（　　） A．10 B．10或 C． D．或 【分析】题目中没有说明两条边是否包含斜边，因此需分边长为8的边是直角和斜边两种情况，利用勾股定理分别求解． 【解答】解：当边长为8的边是直角边时， 第三边为斜边，边长为：； 当边长为8的边是斜边时， 第三边为直角边，边长为：； 因此第三边的长是10或， 故选：B． 【点评】本题主要考查勾股定理，正确分情况讨论是解题关键． 2．如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，S1，S2，S3是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若S1＝36，S2＝64，则S3的值为（　　） A． B．10 C．100 D． 【分析】分别计算大圆的面积S3，两个小圆的面积S1，S2，根据直角三角形中大圆小圆直径的关系即可求解． 【解答】解：设三个圆对应的半径分别为r1、r2、r3， 则依题得：，， ∴，， ∵根据勾股定理可得：， 即， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是勾股定理的正确运算，解题关键是熟练掌握勾股定理． 3．如图，每个四边形都是正方形，字母A所代表的正方形的边长为（　　） A．4 B．8 C．16 D．64 【分析】根据勾股定理，先得出字母A所代表的正方形的面积，再求出其边长即可． 【解答】解法一：由图可知，以长直角边为边长的正方形面积为225，则边长为15， 以斜边为边长的正方形面积为289，则斜边长为17， ∴字母A所代表的正方形的边长． 解法二：根据勾股定理以及正方形的面积公式知： 以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， 所以A＝289﹣225＝64． 字母A所代表的正方形的边长8． 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，难度不大． 4．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边长为（　　） A．17 B．16 C．15 D．13 【分析】根据勾股定理即可求解． 【解答】解：根据勾股定理得： 斜边长为． 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用． 5．如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　） A． B． C． D．2.5 【分析】由勾股定理求出OB的长，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形OABC是矩形， ∴∠OAB＝90°， ∴OB， ∴这个点表示的示数是， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，实数与数轴以及矩形的性质，由勾股定理求出OB的长是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，BC＝2，则AB的长是（　　） A． B． C．2 D． 【分析】根据勾股定理求解即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝1，BC＝2， ∴AB， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，分别以AC、AB、BC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S3＝12，则S1等于（　　） A．24 B．12 C． D．6 【分析】由题意可知S1+S2＝S3＝12，据此解答即可． 【解答】解：由勾股定理得，AB2+AC2＝BC2， 即S1+S2＝S3＝12， 又∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝AC， ∴2S1＝12， ∴S1＝6， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 8．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　） A． B． C． D． 【分析】先计算出AM的长度，AM的长度即为AC的长度，结合矩形的性质和直角三角形勾股定理即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝1， ∴BC＝AD＝1，∠ABC＝90°． ∵∠ABC＝90°，BC＝1，AB＝3， ∴AC， ∴AM＝AC， ∴点M所表示的数为1． 故选：D． 【点评】此题考查的是勾股定理，关键是分析题意，结合矩形的性质，利用数形结合的思想进行解答． 9．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣4）到原点的距离为（　　） A．2 B．4 C． D． 【分析】利用勾股定理计算可得结论． 【解答】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为： 2． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的内容是解决本题的关键． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BP平分∠ABC交AC于点P，PE⊥AB于点E，若BC＝8，AC＝6，则△AEP的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】由∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，可得到AB＝10，由BP平分∠ABC，可得到PC＝PE，进而得到△PBE≌△PBC，则可得BE＝BC＝8，AE＝2，进而可得C△AEP＝AE+AC，即可得解． 【解答】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6， ∴， ∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，PE⊥AB， ∴PE＝PC，∠PEB＝∠C＝90°， 在△PBE和△PBC中， ， ∴△PBE≌△PBC（HL）， ∴BE＝BC＝8， ∴AE＝AB﹣BE＝10﹣8＝2， ∴C△AEP＝AE+AP+PE＝AE+AP+PC＝AE+AC＝2+6＝8． 故选：C． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点E是AB边的中点，BD＝BE，连接DE，若DE＝4，则AD＝　　． 【分析】过点A作AH⊥DE于点H，过点B作BG⊥DE于点G，设∠CAD＝∠BAD＝x，则∠ADC＝90°﹣x，∠B＝90°﹣2x，根据等腰三角形的性质得出，则∠ADE＝180°﹣∠ADC﹣∠BDE＝45°，通过证明△AHE≌△BGE，得出GE＝EH＝2，进而得出AH＝DH＝DE+EH＝6，最后根据勾股定理得出． 【解答】解：过点A作AH⊥DE于点H，过点B作BG⊥DE于点G， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠BAD， 设∠CAD＝∠BAD＝x， ∵∠C＝90°， ∴∠ADC＝90°﹣x，∠B＝90°﹣2x， ∵BD＝BE， ∴， ∴∠ADE＝180°﹣∠ADC﹣∠BDE＝45°， ∴AH＝DH， ∵BD＝BE，BG⊥DE，DE＝4， ∴， ∵点E是AB边的中点， ∴AE＝BE， 在△AHE和△BGE中， ， ∴△AHE≌△BGE（AAS）， ∴GE＝EH＝2， ∴AH＝DH＝DE+EH＝6， 在直角三角形ADH中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 12．如图，一根筷子长17cm，斜放在半径为2.5cm的圆形水杯中，露出水杯外面的部分AD的长为4cm，则水杯的高AC＝ 　12　cm． 【分析】根据题意直接利用勾股定理得出AC的长，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：连接BC， 由题意可得：AB＝BD﹣AD＝17﹣4＝13（cm），BC＝5cm， ∴水杯的高AC12（cm）． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解决问题的关键． 13．如图，在 Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则DC的长是 　　． 【分析】由勾股定理得BC＝3，再由角平分线的性质得DC＝DE，设DC＝DE＝x，然后由三角形面积关系得出方程，解方程即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°， ∴BC3，DC⊥BC， 如图，过D作DE⊥AB于点E， ∵BD平分∠ABC， ∴DC＝DE， 设DC＝DE＝x， ∵S△BCD+S△ABD＝S△ABC， ∴BC•DCAB•DEAC•BC， 即3x5x4×3， 解得：x， 即DC的长为， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AB的中点，连接DE，若BE＝BD，，则DE的长为 　　． 【分析】过点D作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到DC＝DF，再根据已知条件得AE＝BE＝BD，然后设AE＝BE＝BD＝x，CD＝DF＝y，接下来根据等面积可知，可表示AC，再根据勾股定理求出y，即可求出x，可得DF，BE，BD，然后根据勾股定理求出BF，进而得出EF，最后根据勾股定理求出DE． 【解答】解：过点D作DF⊥AB于F，如图所示： ∵AD平分∠BAC，∠C＝∠AFD＝90°， ∴DC＝DF． ∵点E是AB的中点，且BE＝BD， ∴AE＝BE＝BD． 设AE＝BE＝BD＝x，CD＝DF＝y， ∵， ∴， 即， ∴AC＝2y． 根据勾股定理，得AD2＝AC2+CD2，且， ∴， 解得， ∴，， 根据勾股定理，得， 解得， 则，， 根据勾股定理，得， ∴， 根据勾股定理DE． 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD⊥AB，∠ABC的平分线交CD于点E，则DE＝ 　　． 【分析】过点E作EF⊥BC于点F，由角平分线的性质得DE＝EF，进而由等腰三角形的性质得BDAB＝3，再由勾股定理得CD＝4，然后由三角形面积求出DE的长即可． 【解答】解：如图，过点E作EF⊥BC于点F， ∵CD⊥AB，BE是∠ABC的角平分线， ∴DE＝EF， ∵AC＝BC，CD⊥AB， ∴BDAB6＝3， 在Rt△BDC中，由勾股定理得：CD4， ∴S△BDCBD•CD3×4＝6， ∵S△BDC＝S△BDE+S△BCEBD•DEBC•EFDE（BD+BC）DE×（3+5）＝4DE， ∴4DE＝6， ∴DE， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 16．如图，这是用面积为6的四个全等的直角△ABE，△BCF，△CDG和△DAH拼成的“赵爽弦图”，如果AB＝5，那么正方形EFGH的边长为 　1　． 【分析】根据正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4S△ABE＝1，求1的算术平方根即可得到结论． 【解答】解：∵正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积， ∴正方形EFGH的边长＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了算术平方根的应用，掌握算术平方根是解题关键． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，且CE＝DE． （1）求∠A的度数； （2）若CB＝1，求CE的长． 【分析】（1）根据∠C＝90°，DE⊥AB，CE＝DE证得BE平分∠ABC，根据垂直平分线的性质得到EA＝EB，进而得到∠ABE＝∠A，由角平分线的概念得到∠ABE＝∠CBE，证得∠CBE＝∠ABE＝∠A，根据∠C＝90°求出∠A即可； （2）根据含30°角直角三角形的性质得到BE＝2CE，然后利用勾股定理求出CE即可． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，DE⊥AB，CE＝DE， ∴BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠ABE， ∵DE的垂直平分AB， ∴EA＝EB， ∴∠ABE＝∠A． ∴∠CBE＝∠ABE＝∠A， ∵∠C＝90°， ∴∠CBE+∠ABE+∠A＝90°， 即3∠A＝90°， ∴∠A＝30°； （2）∵∠CBE＝∠ABE＝∠A＝30°，∠C＝90°， ∴BE＝2CE， 在Rt△BCE中，根据勾股定理得CE2+BC2＝BE2， ∵BC＝1， ∴CE2+12＝（2CE）2， 解得CE． 【点评】此题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理和含30°角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC． （1）若P是BC边上的中点，连接AP，求证：BP•CP＝AB2﹣AP2； （2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出AP⊥BC，BP＝PC，根据勾股定理得出AB2＝AP2+BP2，即可得出AB2﹣AP2＝BP2＝BP•CP； （2）过A作AM⊥BC于M，根据勾股定理得出AB2＝AM2+BM2，AP2＝AM2+MP2，利用平方差公式，结合图形，即可得出结论． 【解答】（1）证明：由等腰三角形的三线合一可得： ∴AP⊥BC，BP＝PC， ∵AB2＝AP2+BP2， ∴AB2﹣AP2＝BP2＝BP•CP； （2）解：成立， 过A作AM⊥BC于M， ∵AB＝AC， ∴BM＝CM， ∵AB2＝AM2+BM2，AP2＝AM2+MP2， ∴AB2﹣AP2＝BM2﹣MP2＝（BM+MP）（BM﹣MP）， ∵BM＝CM， ∴BM+MP＝CM+PM＝CP， ∴AB2﹣AP2＝BP•CP． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，平方差公式，熟练掌握勾股定理及平方差公式是解题关键． 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，求线段AD的长． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，易得，根据角平分线的性质得出CD＝DE，通过证明Rt△BCD≌Rt△BED（HL），得出BC＝BE＝6，则AE＝AB﹣BE＝4，设AD＝x，则CD＝DE＝8﹣x，在Rt△ADE中，DE2+AE2＝AD2，据此列出方程求解即可． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴， ∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE， 在Rt△BCD和Rt△BED中， ， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴BC＝BE＝6， ∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4， 设AD＝x，则CD＝DE＝8﹣x， 在Rt△ADE中，DE2+AE2＝AD2， 即（8﹣x）2+42＝x2， 解得：x＝5， ∴AD＝5． 【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，以及角平分线上的点到两边距离相等． 20．如图，等腰三角形ABC中AB＝AC，CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm． （1）求AD的长； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）设AD＝x cm，AB＝AC＝（x+3）cm，在Rt△ADC中，由勾股定理列出方程，解方程即可； （2）根据三角形的面积公式列式计算即可． 【解答】解：（1）设AD＝x cm，则AB＝AC＝（x+3）cm， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°， 在Rt△ACD中，根据题意得：x2+42＝（x+3）2， 解得：x， 答：AD的长为cm； （2）由（1）可知，AB＝AC3（cm）， ∵CD⊥AB， ∴S△ABCAB•CD4（cm2）， 答：△ABC的面积为cm2． 【点评】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 21．某滑雪台的截面示意图如图所示，已知滑雪台的高度AC为7米，滑雪台的长度AB为25米，则滑雪台水平距离BC长为多少米？ 【分析】直接运用勾股定理求解即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得： 24． 答：滑雪台整体的水平距离BC为24米． 【点评】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的应用是关键． 22．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB． （1）若AB＝13，BC＝5，求CD的值； （2）证明：AC+BC＜AB+CD． 【分析】（1）利用勾股定理及面积法即可解决问题． （2）将不等式两边的式子分别平方，再结合勾股定理及面积法即可进行证明． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5， ∴AC12， ∵CD⊥AB， ∴S△ABC， ∴CD； （2）证明：∵（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC，（AB+CD）2＝AB2+CD2+2AB•CD，且AC2+BC2＝AB2， ∴（AC+BC）2﹣（AB+CD）2＝（AB2+2AC•BC）﹣（AB2+CD2+2AB•CD）＝2AC•BC﹣CD2﹣2AB•CD． 又∵， ∴2AC•BC﹣CD2﹣2AB•CD＝﹣CD2＜0， ∴（AC+BC）2＜（AB+CD）2， ∴AC+BC＜AB+CD． 【点评】本题主要考查了勾股定理及三角形三边的关系，熟知勾股定理及三角形三边的关系是解题的关键． 23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AB＝2CD，点F是CE中点． （1）求证：∠DCE＝∠ADF； （2）若∠BAC＝90°，AE＝6，AC＝8，求DF的长． 【分析】（1）连结DE，证明CD＝DE得DF⊥EC，然后根据余角的性质即可证明∠DCE＝∠ADF； （2）由勾股定理求出EC＝10，从而求出CF＝5，由直角三角形斜边的中线得DE＝AE＝6，从而CD＝DE＝6，然后再利用勾股定理即可求出DF的长． 【解答】（1）证明：连结DE，如图， ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵CE是AB边上的中线， ∴E是AB边上的中点， ∴AB＝2DE， ∵AB＝2CD， ∴CD＝DE， ∵点F是CE中点， ∴DF⊥EC， ∴∠DFC＝90°， ∴∠FDC+∠DCF＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠FDC+∠ADF＝90°， ∴∠DCE＝∠ADF； （2）解：∵∠BAC＝90°， 在直角三角形ACE中，由勾股定理得：， ∵点F是CE中点， ∴CF＝5， ∵∠ADB＝90°，E是AB边上的中点， ∴DE＝AE＝6， ∴CD＝DE＝6， ∵∠DFC＝90°， 在直角三角形CDF中，由勾股定理得：． 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的角平分线、中线和高，熟练运用勾股定理是解答本题的关键． 24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，作AD⊥AB交BC的延长线于点D． （1）若∠D＝20°，求∠BAC的度数． （2）求证：∠BAC＝2∠D． （3）已知∠D＝22.5°，AC，求BC2的值． 【分析】（1）根据题意先求出∠B的度数，再根据AB＝AC得出∠ACB＝∠B，据此可解决问题． （2）根据题意，得出∠BAC与∠B的关系及∠D与∠B的关系，据此可解决问题． （3）过点C作AB的垂线，垂足为M，根据∠D度数，得出∠BAC的度数，再根据等腰三角形的性质及勾股定理及解决问题． 【解答】（1）解：∵AD⊥AB， ∴∠B+∠D＝90°． ∵∠D＝20°， ∴∠B＝90°﹣20°＝70°． ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣2×70°＝40°． （2）证明：∵AD⊥AB， ∴∠B+∠D＝90°．， 即∠B＝90°﹣∠D． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠BAC＝180°﹣2∠B， 即∠B＝90°∠BAC， ∴90°﹣∠D＝90°∠BAC， ∴∠BAC＝2∠D． （3）解：过点C作AB的垂线，垂足为M， ∵∠D＝22.5°， ∴∠BAC＝2×22.5°＝45°， ∴△AMC是等腰直角三角形． ∵AC， ∴AM＝MC＝1． ∵AB＝AC， ∴BM． 在Rt△BCM中， BC2＝BM2+MC2＝（）2+12＝4． 【点评】本题主要考查了勾股定理及等腰三角形的性质，熟知勾股定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 25．在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线． （1）如图①，过点D作DG∥BC交AB于点G，求证：△GBD是等腰三角形． （2）如图②，若AC＝8，BC＝6，求CD的长． 【分析】（1）先根据BD是△ABC的角平分线得出∠ABD＝∠DBC，再由DG∥BC得出∠DBC＝∠BDG，故可得出∠BDG＝∠ABD，据此得出结论； （2）先根据勾股定理求出AB的长，过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得出CD＝DE，故可得出Rt△BCD≌Rt△BED，故BE＝BC＝6，设CD＝x，则AD＝8﹣x，DE＝x，AE＝AB﹣BE，再利用勾股定理求出x的值即可． 【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵DG∥BC， ∴∠DBC＝∠BDG， ∴∠BDG＝∠ABD， ∴DG＝BG，即△GBD是等腰三角形； （2）解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， 过点D作DE⊥AB于点E， ∵BD是△ABC的角平分线． ∴CD＝DE， 在Rt△BCD与Rt△BED中， ， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴BE＝BC＝6， 设CD＝x，则AD＝8﹣x，DE＝x，AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4， 在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴CD＝3． 【点评】本题考查的是勾股定理，角平分线的定义，角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．在边BC上有一点P，连接AP，且PA＝PB，若AC＝2，CB＝5，求PA的长． 【分析】设PA＝x＝PB，则CP＝5﹣x，在Rt△APC中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【解答】解：设PA＝x＝PB，可得：CP＝5﹣x， ∵根据勾股定理可得：AC2+CP2＝PA2， ∴22+（5﹣x）2＝x2， ， ∴PA的长为． 【点评】本题主要考查了勾股定理，正确进行计算是解题关键． 27．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若BC2＝56，AD：BD＝3：4，求AC的长． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论； （2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可． 【解答】（1）证明：连接CD， ∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E， ∴CD＝DB， ∵BD2﹣DA2＝AC2， ∴CD2﹣DA2＝AC2， ∴CD2＝AD2+AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°； （2）解：∵BC2＝56，AD：BD＝3：4， 设AD＝3a，CD＝BD＝4a， ∴ACa， ∴AB＝7a， 由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2， 即， ∴AC． 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 28．如图，△ABC中，AC＝BC，CD平分∠ACB，交AB于点D，延长BC至点E，使CE＝BC，连接AE． （1）求证：CD∥AE； （2）连接DE，若AC＝5，AB＝6，求△DCE的面积． 【分析】（1）证出∠ACD＝∠CAE，则可得出结论； （2）求出AE＝8，由勾股定理求出AE＝8，根据三角形面积公式可得出答案． 【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵AC＝BC，CE＝BC， ∴AC＝CE， ∴∠E＝∠CAE， ∵∠ACB＝∠E+∠CAE， ∴∠ACD＝∠CAE， ∴CD∥AE； （2）解：∵AC＝BC，CD平分∠ACB， ∴AD＝BD，CD⊥AB， ∵CD∥AE， ∴AE⊥AB， ∴∠BAE＝90°， ∵AC＝5， ∴AC＝BC＝CE＝5， ∴BE＝10， ∴AE8， ∴24， ∴， ∴6． 【点评】本题考查了平行线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M． （1）求证：△CDM是等腰三角形； （2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度． 【分析】（1）根据题意和图形，可以求得∠CDM＝∠CMD，然后即可证明结论成立； （2）根据勾股定理可以求得BC的长，再根据等面积法和等腰三角形的性质，即可求得CM的长． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴∠CBD+∠CDB＝90°，∠ABD+∠BME＝90°， ∵∠BME＝∠CMD， ∴∠ABD+∠CMD＝90°， ∴∠CDB＝∠CMD， ∴CM＝CD， ∴△CDM是等腰三角形； （2）解：作DF⊥AB于点F，如图所示， ∵∠DCB＝90°，BD平分∠ABC， ∴DC＝DF， ∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8， ∴BC6， ∵S△ABC＝S△BCD+S△ADB， ∴， 即， 解得CD＝DF＝3， 由（1）知：CM＝CD， ∴CM＝3， 即CM的长度为3． 【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 30．阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN． 例如，如图1，M（3，1），N（1，﹣2），则MN． 【直接应用】 （1）已知P（2，﹣3），Q（﹣1，3），求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣3），OB，OB与x轴正半轴的夹角是45°． ①求点B的坐标； ②试判断△ABO的形状． 【分析】（1）由两点间的距离公式可求出答案； （2）①过点B作BF⊥y轴于点F，求出OF＝BF＝1，则可求出答案； ②求出OA和AB的长，由勾股定理的逆定理可得出结论． 【解答】解：（1）∵P（2，﹣3），Q（﹣1，3）， ∴PQ3； （2）①过点B作BF⊥y轴于点F， ∵OB与x轴正半轴的夹角是45°， ∴∠FOB＝∠OBF＝45°， ∵OB， ∴OF＝BF＝1， ∴B（1，﹣1）； ②∵A（﹣1，﹣3），B（1，﹣1）， ∴OA，AB2， ∵AB2+OB2＝8+2＝10，OA2＝10， ∴AB2+OB2＝OA2， ∴△ABO是直角三角形． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$