第六讲 正比例和反比例（单元讲义）-2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（苏教版）学生版+教师版

2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（苏教版） 第六讲 正比例和反比例 （导图+知识精讲+易错点拨+6大考点讲练+易错压轴练+难度分层练 共64题） 目录 课前指导 讲义介绍 1 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 2 知识点梳理01：正比例 2 知识点梳理02：反比例 3 知识点梳理03：正比例与反比例的区别 3 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：正比例的易错知识点 3 易错知识点02：反比例的易错知识点 4 考点讲练 明确目标 4 考点讲练01：正比例的意义及辨识 4 考点讲练02：正比例图像的认识 6 考点讲练03：正比例的应用 8 考点讲练04：反比例的意义及辨识 9 考点讲练05：反比例的应用 10 考点讲练06：大叔有多高 12 易错真题 培优必刷 14 压轴专练 冲刺拔尖 14 培优巩固 拔尖冲刺 16 基础夯实优选题专练 19 培优优选题专练 21 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：正比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为y/x=k（一定），或y=kx（k一定）。 3. 图像：正比例关系的图像是一条经过原点的直线。 4. 应用：正比例关系在生活中随处可见，例如： 速度和时间的关系：当速度一定时，路程和时间成正比例。 工作量和工资的关系：在计件工资制下，工作总量和工资成正比例。 正方形的边长与周长：正方形的周长是边长的4倍，边长是周长的1/4，均为定值，所以正方形的边长与周长成正比例。 圆的周长和直径：因为圆周率是定值，所以圆的周长和直径成正比例。 长方形的面积与长：当长方形的长一定时，面积与宽成正比例（注意，这里说的是长一定时面积与宽的关系，不是面积与长和宽的关系）。 知识点梳理02：反比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（k一定），反比例的关系式可以表示为xy=k（一定）。 3. 图像：反比例关系的图像是一条曲线（通常是双曲线）。 4. 应用：反比例关系也广泛存在于自然界及生活中，例如： 路程、速度和时间的关系：在路程一定的情况下，速度和时间成反比例。 面积、长和宽的关系：在面积一定的情况下，长方形的长和宽成反比例。 总价、单价和数量的关系：在总价一定的情况下，单价和数量成反比例。 铺地面积、每块砖的面积与砖的数量：在铺地面积一定的情况下，每块砖的面积与所需砖的数量成反比例。 知识点梳理03：正比例与反比例的区别 1. 定义：正比例是两个量成正比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例增加；而反比例是两个量成反比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例减少。 2. 图像：正比例的图像是一条穿过原点的直线，斜率为正；反比例的图像是一条双曲线，斜率始终为负（在其定义域内）。 3. 应用：正比例常见于物理量、经济量等领域；反比例则在物理、工程、经济等领域也有广泛应用，如电阻和电流的关系、机械效率等。 易错知识点01：正比例的易错知识点 1. 混淆正比例与正数关系： 易错点：学生可能误以为所有正数之间的关系都是正比例关系。 原因：对正比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的正负，而忽略了比值是否恒定。 解决方法：强调正比例关系的定义，即两个量的比值恒定不变，而不仅仅是两个量都是正数。 2. 忽视比例常数的存在： 易错点：在解决正比例问题时，学生可能忘记或忽视比例常数的存在。 原因：对正比例关系式的理解不够透彻，没有意识到比例常数k在关系式中的重要性。 解决方法：在解题过程中，明确写出比例关系式，并标注出比例常数k，以提醒学生注意。 3. 错误地应用正比例关系： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地应用正比例关系。 原因：对正比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对正比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 易错知识点02：反比例的易错知识点 1. 混淆反比例与负数关系： 易错点：学生可能误以为所有负数之间的关系都是反比例关系。 原因：对反比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的负号，而忽略了乘积是否恒定。 解决方法：强调反比例关系的定义，即两个量的乘积恒定不变，而不仅仅是两个量都是负数。 2. 忽视反比例关系的图像特征： 易错点：在绘制反比例关系的图像时，学生可能无法准确描绘出双曲线的形状。 原因：对反比例关系图像的理解不够深入，缺乏绘制双曲线的经验。 解决方法：通过实例和练习，引导学生掌握绘制反比例关系图像的方法，并理解双曲线的特征。 3. 错误地判断反比例关系的存在： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地判断两个量之间存在反比例关系。 原因：对反比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在反比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对反比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在反比例关系。同时，强调反比例关系与正比例关系的区别，避免混淆。 考点讲练01：正比例的意义及辨识 【精讲题】（2024·安徽六安·小升初真题）下列说法正确的是（    ）。 ①被除数一定，商和除数成反比例； ②一个人的年龄和体重既不成正比例关系，也不成反比例关系； ③圆柱的底面积一定，体积和高成反比例关系； ④飞机的速度一定，飞行的时间与航程成正比例。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【精练题1】（2024·山西太原·小升初真题）有一种花布，如图反映了购买的米数和应付钱数的关系。 (1)由图可见，购买米数和应付的钱数成 比例关系。 (2)从图中可知，32元可买 米布；买5米布，应付 元。 【精练题2】（24-25六年级下·江苏·课后作业）下面各题中的两种量是否成比例？成比例的是成正比例还是成反比例？为什么？ （1）120名同学参加团体操表演，每排的人数和排数。 （2）小军每分钟浇树的棵数一定，浇树的时间和浇树总棵数。 （3）用同样大的正方形地砖铺地，地砖的块数和铺地的面积。 （4）一个商场每天的营业时间一定，每天接待顾客的数量与营业额。 （5）购买商品的总价一定，商品的单价和数量。 【精练题3】（24-25六年级下·江苏·课后作业）一种彩带每米售价5元，购买2米、3米……各需要多少元？ （1）把下表填写完整。 长度/米 1 2 3 4 5 总价/元 5 （2）根据表中的数据，在下图中描出彩带总价和长度所对应的点，再按顺序连接起来。 （3）购买彩带的总价和长度成正比例吗？你是根据什么判断的？ （4）根据图像判断，购买3.5米彩带需要多少元？ 考点讲练02：正比例图像的认识 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业） 路程/千米 60 120 150 180 240 时间/时 1 2 2.5 3 4 根据表中数据，先在下图中描出行驶路程和所需时间相对应的点，再依次连起来。 （1）根据图像判断，路程和时间成（    ）比例。 （2）根据图像估计，行驶200千米要多少小时？3.5小时能行驶多少千米？ 【精练题1】（2024六年级下·江苏·专题练习）小明和小芳沿同样的路线从学校到图书馆，所行的路程与时间的关系如图所示，根据图像可以判断，( )的路程与时间成正比例；小明追上小芳所需的时间为( )分钟，学校到图书馆的距离是( )米。 【精练题2】（2020六年级下·江苏·专题练习）某车间为了提高质量，准时完成一批齿轮订单，对车间工人提前进行了加工齿轮效率测试，经过统计测算，平均每个工人加工齿轮效率的情况如图。 （1）根据图像判断，加工齿轮的个数和天数成（    ）比例。 （2）加工小齿轮的效率比大齿轮高百分之几？ （3）已知这个车间有工人85人，1个大齿轮和3个小齿轮配为一套，为了使大、小齿轮能成套出厂，如果你是车间主任，怎样安排85名工人最合理？ （4）如果一大一小两个齿轮通过链条传动，在同一时间内，大小齿轮转齿数相同，小齿轮的齿数为28个，大齿轮的齿数为35个，当小齿轮运转5圈时，大齿轮转动了多少圈？ 【精练题3】（（18-19六年级下·江苏·课后作业）利用正比例图象解决问题时，想找出已知量所在的数轴及位置，然后在另一数轴上找出已知量相 的数值。 考点讲练03：正比例的应用 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）一种花布每米售价8元，购买2米、3米……分别需要多少元？ 长度/米 1 2 3 4 5 6 7 8 … 总价/元 8 … （1）把上面的表格填写完整。 （2）根据表中数据，先在图中描出长度和总价所对应的点，再把这些点依次连起来。 （3）购买这种花布的总价和长度成正比例吗？为什么？ 【精练题1】（（23-24六年级下·河南平顶山·期末）李叔叔想开车去武汉旅游，他从某导航软件左下角看到该地图的比例尺是，量得地图上从家到武汉的距离是7.5厘米。已知李叔叔的汽车每行驶100千米耗油7.5升，按这个耗油量，他出发前加满40升汽油，去的途中还需要加油吗？请说说你的理由。（用比例解答） 【精练题2】（23-24六年级下·江苏连云港·期末）用数学的眼光看成语“立竿见影”，是应用了比例知识，即同一时间、同一地点，竿高和影长成( )比例。如果一棵小树的高度是1.5米，影长是0.8米，同一时间、同一地点，测得一棵大树的影长是4.8米，那么这棵大树的高度是( )米。 【精练题3】（20-21六年级下·江苏徐州·期末）小明在操场上插几根长短不同的竹竿，在同一时间里测量竹竿长和相应的影长，情况如下表：这时，小明身边的王强测量出了旗杆的影长是6米，可推算出旗杆的实际高度是( )米。 影长（米） 0.5 0.7 0.8 0.9 1.1 1.5 竹竿长（米） 1 1.4 1.6 1.8 2.2 3 考点讲练04：反比例的意义及辨识 【精讲题】（2024·山西大同·小升初真题）去年的时候妈妈的年龄是芳芳年龄的3倍，芳芳的年龄和妈妈的年龄这两个量（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【精练题1】（24-25六年级下·江苏·课后作业）根据每个表中对应数量之间的关系，判断哪些量成正比例，哪些量成反比例，哪些量既不成正比例，也不成反比例。 圆柱底面积/ 3 5 6 圆柱的高/ 15 9 7.5 钢材体积/ 1 5 8 钢材质量/ 7.8 39 62.4 小明的年龄/岁 10 11 12 小明的身高/ 140 143 150 圆的直径/ 1 2 3 圆的周长/ 3.14 6.28 9.42 【精练题2】（24-25六年级下·江苏·随堂练习）糖果厂生产一批水果糖。把这些水果糖平均分装在若干个袋子里，每袋装的粒数和装的袋数如下表： 每袋装的粒数 12 15 20 24 30 装的袋数 500 400 300 250 200 （1）写出几组相对应的每袋粒数和袋数的积，比较积的大小。 （2）每袋装的粒数和袋数成反比例吗？为什么？ 【精练题3】（23-24六年级下·江苏·单元测试）给一间房屋的地面铺方砖，每块方砖的数据与所需数量如下，请将下表补充完整。 每块方砖的边长/米 0.2 0.3 0.4 0.6 … 每块方砖的面积/平方米 0.04 0.36 … 所需方砖的数量/块 360 40 … （1）每块方砖的（    ）与所需方砖的数量成（    ）比例。 （2）如果每块方砖的面积是0.05平方米，铺这间房屋的地面需多少块方砖？ （3）铺这间房屋的地面用了500块方砖，你知道这样的方砖每块面积是多少吗？ 考点讲练05：反比例的应用 【精讲题】（20-21六年级下·江苏盐城·期中）甲、乙两个圆柱形容器，底面积的比为5∶3，原来甲容器中有10厘米深的水，乙容器中没有水，现在往这两个容器中各注入同样多的水，使得这两个容器中的水深相等，这时水深( )厘米。 【精练题1】（23-24六年级下·广西桂林·期末）从春蕾小学到某研学基地，不同的交通工具的速度和行驶所需时间如下。 车辆 小客车 中巴车 小轿车 大巴车 平均速度（千米/时） 80 75 90 60 时间（时） 1.5 1.6 2 （1）如果用s表示学校到研学基地的路程，用v表示车辆的平均速度，t表示驶完全程所需的时间。v与t成什么比例关系？写出这个关系式。 （2）春蕾小学部分师生准备下周一早上8：00从学校开车去该研学基地，想在当天上午9：40前到达，开车的平均速度不能低于多少千米/时？ 【精练题2】（23-24六年级下·江苏泰州·期末）机械手表中不同的齿轮以不同的速度旋转，驱动指针显示时间。如图，大齿轮的齿数是54个，小齿轮的齿数是36个，大、小两个齿轮的齿数比是( )。旋转时，大齿轮和小齿轮相互咬合的齿数是一定的。大齿轮旋转2周，小齿轮需要旋转 ( )周。如果一个手表中大齿轮的直径是6毫米，将它画在比例尺是20∶1的图纸上，图纸中大齿轮的直径是 ( )厘米，图纸中大齿轮的齿数是( )个。 【精练题23（22-23六年级下·山西晋中·期末）杠杆原理背后隐藏着数学原理。如果在左边刻度6上放2个棋子，下面在右边刻度上放棋子不能平衡的是（    ）。 A．在4的刻度上放3个棋子 B．在3的刻度上放5个棋子 C．在2的刻度上放6个棋子 考点讲练06：大叔有多高 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·期末）判断下列每组中的两个量成什么比例。 A．成正比例    B．成反比例    C．不成比例 (1)给一个房间铺地，每块地砖的面积和所用的块数( )。 (2)同一时间同一地点，物体的高度和它的影长( )。 (3)小芳的年龄与妈妈的年龄情况如下表，小芳的年龄与妈妈的年龄( )。 小芳的年龄/岁 2 4 6 8 妈妈的年龄/岁 28 30 32 34 【精练题1】（（23-24六年级下·安徽合肥·期中）学了比例的知识后，根据同一时间同一地点的物体高度和影子长度的比值是相等的，奇思想到了一个办法，测量一幢大楼的高度。她现在大楼旁边立了一根2米的木杆，测量杆子的影长是30厘米，再测量出教学楼的影长150厘米，教学楼的高度是多少米？ 【精练题2】（2024六年级下·江苏·专题练习）如图所示，某一时刻，同学们在校园里测得6米高的大树的影长是4.5米。同一时刻测得教学楼的影长是9米，则教学楼的实际高度是多少米？（用方程解） 【精练题3】（20-21六年级下·广西桂林·期中）实践活动：大树有多高？ 操场上，同学们在阳光下测量木棒、竹竿的高度以及它们影子的长度，测量数据如下表： 木棒或竹竿 实际高度 影长 实际高度与影长的比值 木棒1 1 0.25 ( ) 木棒2 1.2 0.3 ( ) 竹竿1 1.6 0.4 ( ) 竹竿2 2 0.5 ( ) （1）请填写完整上面的表格。 （2）仔细观察表格中木棒、竹竿的实际高度与影长的比值，发现实际高度与影长之间成 比例。 （3）根据你的发现想一想，如果这时同学们测出大树的影长是4.6米，那么大树的实际高度应是 米。 1．（2024春•正定县期中）关于比例关系的判断，以下说法正确的有　　个。 （1）订同一份杂志的钱数和份数成正比例关系。 （2）正方形的面积和它的边长成正比例关系。 （3）圆的面积和它的直径成反比例关系。 （4）三角形的面积一定，它的底和高成反比例关系。 A．3 B．2 C．1 D．4 2．（2024•慈利县）一本书的总页数一定，已经看到的页数和未看的页数　　 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 3．（2024春•沾化区期中）圆的周长与圆的半径成　 　比例，圆的面积与半径　 　比例． 4．（2024•虞城县）下表中，如果和成正比例，“？”处填　　；如果和成反比例，“？”处填　　． 4 ？ 12 24 5．（2024•宿豫区模拟）如果，那么和成 　　比例，若，则与成 　　比例． 6．（2024秋•甘谷县期末）小新跳高的高度和身高不成比例．　　．（判断对错） 7．下面的图象表示小强从甲地到乙地不同的速度和所对应的时间。 （1）在这个过程中，哪种量没有变？ （2）速度和所对应的时间成什么比例关系？ （3）不计算，观察图象，如果每小时行，那么从甲地到乙地大约需要多少小时？ 8． （2024春•法库县期中）明明3岁时体重12千克，11岁时体重44千克，于是小张就说：“明明的体重和身高成正比例．”你认为小张的说法正确吗？为什么？ 9．（2024春•法库县期中）一位工人师傅生产零件的时间和数量情况如表： 时间时 1 2 3 4 5 6 生产零件数量个 12 24 36 48 60 72 表中两种相关联的量是 　　和 　　； 　　随着 　　的变化而变化；表中第三组这两种量相对应的两个数的比是 　　，比值是 　　，第五组这两种量相对应的两个数的比是 　　，比值是 　　。这个比值表示的意义是 　　，生产的时间和生产零件的个数的 　　是一定的，所以生产的时间和生产零件的个数成 　　。 10．（2024春•礼泉县期中）礼泉县建县已有2200多年，境内拥有古文化遗址21处、古建筑5处，是陕西省18个重点文物旅游大县之一。某“礼泉一日游”旅行团的游客人数与收费情况如表所示。 游客人数人 0 1 2 3 4 5 6 收费元 0 100 200 300 400 （1）把表格填写完整。 （2）收费与游客人数成正比例吗？为什么？ （3）先根据表中信息描点，再顺次连接各点。 （4）点在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 11．（2024•石柱县）把一个长方形的框架拉成平行四边形，变化过程中平行四边形的面积和高　　 A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例关系 D．无法确定 12．（2024•昌邑市）有两个相关联的量，它们的关系如图所示。这两个量可能是　　 A．正方形的面积和它的边长。 B．坐高铁从潍坊到济南，火车行驶的速度和时间。 C．聪聪读《夏洛的网》，已读的页数和未读的页数。 D．购买《数学万花筒》的总价和数量。 13．（2024春•平舆县期中）下列各项中，两种量成反比例关系的是　　 A．时间一定，速度与路程。 B．圆的面积与半径的平方。 C．一块布料，用去的米数和剩下的米数。 D．行驶的路程一定，车轮直径和车轮的转数。 14．（2024•东阳市）若平行四边形的面积一定，底和高成 　　比例；如果，均不为，则和成 　　比例。 15．（2024春•兰溪市期中）下面的两个量，是否成正比例、反比例或不成比例？ 从兰溪到杭州，火车行驶的平均速度和所需时间。 　　 16．（2024春•瑞金市期中）下面几组相关联的量中，成正比例关系的是 　　。 总价一定，单价和数量。 正方体的底面积一定，体积和高。 圆的周长和半径。 儿童的年龄和身高。 17．（2021•兴义市）在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形面积与所需小正方形的数量如表： 每个小正方形的面积 4 9 16 所需小正方形的数量个 216 96 54 （1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成 　　比例关系。 （2）如果采用面积是的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？（用比例方法解答） 18．（2024•鲅鱼圈区）买笔记本的数量和总价的关系如表： 数量（本 1 2 3 4 5 6 7 总价（元 1.5 3 6 （1）将表格补充完整。 （2）根据表中的数据，在图中描点再顺次连接。 （3）数量和总价之间成 　　比例。 （4）如果买9本笔记本，需要 　　元钱，19.5元能买 　　本笔记本。 19．（2023•紫阳县）一根弹簧挂上物体（质量不超过 20千克）后长度会伸长。如表是挂上物体的质量和弹簧伸长的长度的变化情况。 挂上物体的质量千克 0 2 4 6 8 10 12 弹簧伸长的长度厘米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 （1）判断挂上物体的质量与弹簧伸长的长度成什么比例？并说明理由。 （2）根据表中数据，在如图中描出挂上物体的质量和弹簧伸长的长度所对应的点，再把这些点依次连接起来。 （3）如果挂上9千克的物体，那么弹簧伸长 　　厘米。 20．（2020春•峄城区期末）一列火车每小时行驶200千米． （1）把下表填写完整． 时间小时 1 2 3 4 5 路程千米 200 　　 　　 　　 　　 （2）根据表中数据，在如图中描出时间和路程所对应的点，再把点按顺序连起来． （3）时间和路程成正比例吗？为什么？ （4）利用图象估计一下，2.5小时行多少千米？行360千米需要多少小时？ 基础夯实优选题专练 1．（23-24六年级下·江苏·单元测试）表示m和n成正比例的关系式是（    ）。 A．m＋n＝k（一定） B．m×n＝k（一定） C．（一定） 2．（22-23六年级下·湖南邵阳·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．自然数都有倒数 B．分子一定，分数值与分母成反比例 C．分母是100的分数叫百分数 D．钟面上分针的运动是平移 3．（22-23六年级下·江苏南通·期中）下面成反比例的是（    ）。 A．用同样大的正方形地砖铺地，地砖的块数和铺地的面积 B．一个人的年龄和体重 C．练习本的单价一定，总价和数量 D．圆柱侧面积一定，底面直径和高 4．（2024·福建宁德·小升初真题）上午11：00在操场上，小红测得50厘米的一根木棒影长是25厘米，同时，小刚测得旗杆的影长是4.5米，那么学校旗杆的高度是 米。 5．（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个长方形的面积是48平方米。（先填表，再答题） 宽/米 1 2 3 4 5 … 长/米 48 24 … 表中（    ）和（    ）是两种相关联的量，长和宽的乘积总是（    ）平方米。因为（    ）×（    ）＝（    ）（一定），所以（    ）和（    ）成（    ）比例。 6．（23-24六年级下·江苏·课后作业）下面每题中的两个量是否成比例？如果成比例，成什么比例？ (1)电脑的单价一定，购置电脑的数量和总价。( ) (2)购置电脑的数量一定，电脑的单价和总价。( ) (3)工作总量一定，工作效率和工作时间。( ) 7．（23-24六年级下·江苏·课后作业）绳子的长度一定，剪去的绳子和剩下的绳子成正比例。( )（判断对错） 8．（19-20六年级下·江苏·单元测试）解比例。 3∶x＝9∶15    x∶4＝9∶6 ∶＝x∶16    ＝ 9．（24-25六年级下·江苏·课后作业）在计算器上按下面的程序操作。 把每次输入的数与相应的计算结果记录在下面的表里。 x … y … （1）你能用一个式子表示表中y和x之间的关系吗？ （2）y和x成正比例吗？为什么？ 10．（24-25六年级下·江苏·课后作业）六年级各班订阅《趣味数学》杂志的情况如下表： 班级 一班 二班 三班 四班 五班 订阅数量/份 6 8 12 10 9 总价/元 180 240 360 300 270 订阅《趣味数学》的总价和数量成正比例吗？为什么？ 培优优选题专练 11．（19-20六年级下·江苏·单元测试）甲、乙是两个成反比例的量，当甲减少20%时，乙（    ）。 A．增加20% B．减少20% C．增加25% D．减少25% 12．（18-19六年级下·江苏·单元测试）若甲和乙成正比例,乙和丙成反比例,则甲和丙(　　)． A．成反比例 B．成正比例 C．不成比例 13．（23-24六年级下·山西大同·期末）下面各题的两种量，成反比例的有（    ）个。 ①花生的出油率一定，花生的质量和榨出油的质量。 ②已知ab＝36，a和b。 ③长方形的周长一定，它的长和宽。 ④在没有余数的除法算式中，被除数一定，除数和商。 A．1 B．2 C．3 14．（24-25六年级下·安徽合肥·开学考试）一座大楼共20层，每层一样高，甲上楼的速度比乙快一倍，当乙到达第9层时，甲在第( )层。 15．（2020·江苏苏州·小升初真题）甲、乙、丙三人进行百米赛跑，甲到终点时，乙离终点5米，丙离终点10米，乙到终点时，丙离终点还有( )米。 16．（20-21六年级下·江苏无锡·期末）在下面长方形ABCD中，三角形ABO的面积是5平方厘米，三角形DEO的面积与三角形DEC的面积比是1∶2。三角形ABO的面积比三角形BEO的面积大 平方厘米。 17．（19-20六年级下·江苏·单元测试）甲和乙成反比例，乙和丙成反比例，所以甲和丙也成反比例。( )（判断对错） 18．（22-23六年级下·江苏·单元测试）解比例。 7.5∶x＝2.5∶12    ∶＝x∶15         2.25＋3x＝        3.5∶x＝0.7∶1.2   ∶x∶ 19．（21-22六年级下·江苏连云港·期末）有一个两层水箱，如图所示。（单位：分米） （1）第一层水箱容积是（    ）升，第二层的容积是（    ）升。 （2）如果注满第一层需要7.2分钟，照这样的流速，注满整个水箱需要多少分钟？ （3）在注满整个水箱的过程中，注水的高度随着时间的延长而增加，下面哪幅图表示正确的注水情况，请在图上打“√”。 20．（19-20六年级下·江苏·单元测试）小红中午在家门口测量一棵树的高度时发现，这棵树在阳光下的影长是2.5米，同一时间，同一地点，测得一根直立在地面上，长为2米的竹竿的影长是0.5米，这棵树高多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（苏教版） 第六讲 正比例和反比例 （导图+知识精讲+易错点拨+6大考点讲练+易错压轴练+难度分层练 共64题） 目录 课前指导 讲义介绍 1 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 2 知识点梳理01：正比例 2 知识点梳理02：反比例 3 知识点梳理03：正比例与反比例的区别 3 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：正比例的易错知识点 3 易错知识点02：反比例的易错知识点 4 考点讲练 明确目标 4 考点讲练01：正比例的意义及辨识 4 考点讲练02：正比例图像的认识 8 考点讲练03：正比例的应用 11 考点讲练04：反比例的意义及辨识 15 考点讲练05：反比例的应用 18 考点讲练06：大叔有多高 21 易错真题 培优必刷 24 压轴专练 冲刺拔尖 30 培优巩固 拔尖冲刺 38 基础夯实优选题专练 38 培优优选题专练 43 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：正比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为y/x=k（一定），或y=kx（k一定）。 3. 图像：正比例关系的图像是一条经过原点的直线。 4. 应用：正比例关系在生活中随处可见，例如： 速度和时间的关系：当速度一定时，路程和时间成正比例。 工作量和工资的关系：在计件工资制下，工作总量和工资成正比例。 正方形的边长与周长：正方形的周长是边长的4倍，边长是周长的1/4，均为定值，所以正方形的边长与周长成正比例。 圆的周长和直径：因为圆周率是定值，所以圆的周长和直径成正比例。 长方形的面积与长：当长方形的长一定时，面积与宽成正比例（注意，这里说的是长一定时面积与宽的关系，不是面积与长和宽的关系）。 知识点梳理02：反比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（k一定），反比例的关系式可以表示为xy=k（一定）。 3. 图像：反比例关系的图像是一条曲线（通常是双曲线）。 4. 应用：反比例关系也广泛存在于自然界及生活中，例如： 路程、速度和时间的关系：在路程一定的情况下，速度和时间成反比例。 面积、长和宽的关系：在面积一定的情况下，长方形的长和宽成反比例。 总价、单价和数量的关系：在总价一定的情况下，单价和数量成反比例。 铺地面积、每块砖的面积与砖的数量：在铺地面积一定的情况下，每块砖的面积与所需砖的数量成反比例。 知识点梳理03：正比例与反比例的区别 1. 定义：正比例是两个量成正比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例增加；而反比例是两个量成反比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例减少。 2. 图像：正比例的图像是一条穿过原点的直线，斜率为正；反比例的图像是一条双曲线，斜率始终为负（在其定义域内）。 3. 应用：正比例常见于物理量、经济量等领域；反比例则在物理、工程、经济等领域也有广泛应用，如电阻和电流的关系、机械效率等。 易错知识点01：正比例的易错知识点 1. 混淆正比例与正数关系： 易错点：学生可能误以为所有正数之间的关系都是正比例关系。 原因：对正比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的正负，而忽略了比值是否恒定。 解决方法：强调正比例关系的定义，即两个量的比值恒定不变，而不仅仅是两个量都是正数。 2. 忽视比例常数的存在： 易错点：在解决正比例问题时，学生可能忘记或忽视比例常数的存在。 原因：对正比例关系式的理解不够透彻，没有意识到比例常数k在关系式中的重要性。 解决方法：在解题过程中，明确写出比例关系式，并标注出比例常数k，以提醒学生注意。 3. 错误地应用正比例关系： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地应用正比例关系。 原因：对正比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对正比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 易错知识点02：反比例的易错知识点 1. 混淆反比例与负数关系： 易错点：学生可能误以为所有负数之间的关系都是反比例关系。 原因：对反比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的负号，而忽略了乘积是否恒定。 解决方法：强调反比例关系的定义，即两个量的乘积恒定不变，而不仅仅是两个量都是负数。 2. 忽视反比例关系的图像特征： 易错点：在绘制反比例关系的图像时，学生可能无法准确描绘出双曲线的形状。 原因：对反比例关系图像的理解不够深入，缺乏绘制双曲线的经验。 解决方法：通过实例和练习，引导学生掌握绘制反比例关系图像的方法，并理解双曲线的特征。 3. 错误地判断反比例关系的存在： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地判断两个量之间存在反比例关系。 原因：对反比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在反比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对反比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在反比例关系。同时，强调反比例关系与正比例关系的区别，避免混淆。 考点讲练01：正比例的意义及辨识 【精讲题】（2024·安徽六安·小升初真题）下列说法正确的是（    ）。 ①被除数一定，商和除数成反比例； ②一个人的年龄和体重既不成正比例关系，也不成反比例关系； ③圆柱的底面积一定，体积和高成反比例关系； ④飞机的速度一定，飞行的时间与航程成正比例。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此判断。 【规范解答】①商×除数＝被除数（一定），所以商和除数成反比例；原题说法正确； ②一个人的年龄和体重既不成比例关系，说法正确； ③圆柱的底面积＝圆柱的体积÷圆柱的高，所以圆柱的底面积一定，体积和高成正比例关系，原题说法错误； ④因为速度＝路程÷时间，所以飞机的速度一定，飞行的时间与航程成正比例，说法正确。 所以说法正确的有①②④。 故答案为：B 【精练题1】（2024·山西太原·小升初真题）有一种花布，如图反映了购买的米数和应付钱数的关系。 (1)由图可见，购买米数和应付的钱数成 比例关系。 (2)从图中可知，32元可买 米布；买5米布，应付 元。 【答案】(1)正 (2) 8 20 【思路点拨】（1）两个相关联的量，若它们的乘积一定，则成反比例；若它们的比值一定，则成正比例； （2）横轴代表米数，纵轴代表总价，通过折线统计图，找到32元所对应的米数即可；根据总价÷数量＝单价，求出花布的价钱，然后再乘5即可。 【规范解答】（1）由图可见，购买米数和应付的钱数成正比例关系。 （2）从图中可知，32元可买8米布。 （元） 买5米布，应付20元。 【精练题2】（24-25六年级下·江苏·课后作业）下面各题中的两种量是否成比例？成比例的是成正比例还是成反比例？为什么？ （1）120名同学参加团体操表演，每排的人数和排数。 （2）小军每分钟浇树的棵数一定，浇树的时间和浇树总棵数。 （3）用同样大的正方形地砖铺地，地砖的块数和铺地的面积。 （4）一个商场每天的营业时间一定，每天接待顾客的数量与营业额。 （5）购买商品的总价一定，商品的单价和数量。 【答案】（1）成反比例， 因为参加团体操表演的总人数一定，即乘积一定； （2）成正比例，小军每分钟浇树的棵数一定，即比值一定； （3）成正比例，每块方砖的面积一定，即比值一定； （4）不成比例，每天接待顾客的数量与营业额的乘积不是一定的，比值也不是一定的； （5）成反比例，因为购买商品的总价一定，即乘积一定。 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答即可。 【规范解答】（1）每排的人数×排数＝参加团体操表演的总人数，参加团体操表演的总人数是120人，即乘积一定，所以每排的人数和排数成反比例。 （2）浇树总棵数÷浇树的时间＝每分钟浇树的棵数，因为小军每分钟浇树的棵数一定，即比值一定，所以浇树的时间和浇树总棵数成正比例。 （3）铺地面积÷地砖的块数＝每块方砖的面积，因为用每块正方形地砖面积一定，也就是比值一定，所以地砖的块数和铺地的面积成正比例。 （4）每天接待顾客的数量与营业额的乘积不是一定的，比值也不是一定的，所以一个商场每天营业时间一定，每天接待顾客的数量与营业额不成比例。 （5）单价×数量＝总价，因为购买商品的总价一定，即乘积一定，所以商品的单价和数量成反比例。 【精练题3】（24-25六年级下·江苏·课后作业）一种彩带每米售价5元，购买2米、3米……各需要多少元？ （1）把下表填写完整。 长度/米 1 2 3 4 5 总价/元 5 （2）根据表中的数据，在下图中描出彩带总价和长度所对应的点，再按顺序连接起来。 （3）购买彩带的总价和长度成正比例吗？你是根据什么判断的？ （4）根据图像判断，购买3.5米彩带需要多少元？ 【答案】（1）10；15；20；25 （2）图见详解 （3）成正比例；见详解 （4）17.5元 【思路点拨】（1）观察表格可知，1米彩带5元（即单价），根据单价×数量＝总价，分别求出购买2米、3米、4米、5米彩带的总价，据此填表。 （2）根据统计表中的数据，先描出对应的点，再连线即可。 （3）根据正比例的意义可知：总价÷数量＝单价（一定），所以购买彩带的总价和长度成正比例。 （4）用单价乘3.5米即可求出购买3.5米彩带需要多少元。 【规范解答】（1）5×2＝10（元） 5×3＝15（元） 5×4＝20（元） 5×5＝25（元） 长度/米 1 2 3 4 5 总价/元 5 10 15 20 25 （2）如图： （3）答：购买这种彩带的总价和长度成正比例，因为总价÷数量＝单价（一定）。 （4）5×3.5＝17.5（元） 答：购买3.5米彩带需要17.5元。 考点讲练02：正比例图像的认识 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业） 路程/千米 60 120 150 180 240 时间/时 1 2 2.5 3 4 根据表中数据，先在下图中描出行驶路程和所需时间相对应的点，再依次连起来。 （1）根据图像判断，路程和时间成（    ）比例。 （2）根据图像估计，行驶200千米要多少小时？3.5小时能行驶多少千米？ 【答案】图见详解 （1）正 （2）小时；210千米 【思路点拨】根据统计表提供的数据，绘制统计图；（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。（2）根据时间＝路程÷速度、路程＝速度×时间，分别计算出这辆汽车行驶200千米需要多少小时和3.5小时能行驶多少千米。 【规范解答】如图： 60÷1＝60（千米/时） 120÷2＝60（千米/时） 150÷2.5＝60（千米/时） 180÷3＝60（千米/时） 240÷4＝60（千米/时） 60÷1＝120÷2＝150÷2.5＝180÷3＝240÷4＝60（一定），路程和时间成正比例。 （2）200÷60＝（小时） 60×3.5＝210（千米） 答：行驶200千米要小时，3.5小时能行驶210千米。 【精练题1】（2024六年级下·江苏·专题练习）小明和小芳沿同样的路线从学校到图书馆，所行的路程与时间的关系如图所示，根据图像可以判断，( )的路程与时间成正比例；小明追上小芳所需的时间为( )分钟，学校到图书馆的距离是( )米。 【答案】 小芳 5 840 【思路点拨】表示小芳的路程与时间之间的关系图像是从学校出发的，所以这个图像成正比例；小明在小芳出发后3分钟后出发，到小芳出发8分钟时追上小芳，据此可以求出小明追上小芳所需的时间；小芳3分钟走了210米，用210÷3求出小芳一分钟走多少米，再根据到图书馆用了12分钟，用速度×时间，求出学校到图书馆的距离即可。 【规范解答】根据图像可以判断，小芳的路程与时间成正比例； （分钟） （米） 小芳的路程与时间成正比例；小明追上小芳所需的时间为5分钟，学校到图书馆的距离是840米。 【精练题2】（2020六年级下·江苏·专题练习）某车间为了提高质量，准时完成一批齿轮订单，对车间工人提前进行了加工齿轮效率测试，经过统计测算，平均每个工人加工齿轮效率的情况如图。 （1）根据图像判断，加工齿轮的个数和天数成（    ）比例。 （2）加工小齿轮的效率比大齿轮高百分之几？ （3）已知这个车间有工人85人，1个大齿轮和3个小齿轮配为一套，为了使大、小齿轮能成套出厂，如果你是车间主任，怎样安排85名工人最合理？ （4）如果一大一小两个齿轮通过链条传动，在同一时间内，大小齿轮转齿数相同，小齿轮的齿数为28个，大齿轮的齿数为35个，当小齿轮运转5圈时，大齿轮转动了多少圈？ 【答案】（1）正 （2）25% （3）加工大齿轮的人数：25人；加工小齿轮的人数：60人 （4）4圈 【思路点拨】（1）正比例图像是一条经过原点的直线，据此解答； （2）平均每天加工小齿轮和大齿轮的个数差除以大齿轮的个数； （3）设加工小齿轮的人数是x人，则加工大齿轮的人数为（85－x）人，等量关系式为：大齿轮的个数×3＝小齿轮的个数，然后列方程解答求出加工小齿轮的人数，进而求出加工大齿轮的人数； （4）大小齿轮，在同一时间内，转过的总齿数相等。大齿轮的转数＝小齿轮的齿数×小齿轮的转数÷大齿轮的齿数。 【规范解答】（1）根据图象判断，加工齿轮的个数和天数成正比例。 （2）50÷5＝10（个） 40÷5＝8（个） （10－8）÷8 ＝2÷8 ＝25% 答：加工小齿轮的效率比大齿轮高25%。 （3）设加工小齿轮的人数是x人。 8×（85－x）×3＝10x 24×85－24x＝10x 34x＝24×85 x＝60 85－60＝25（人） 答：加工大齿轮的人数是25人，加工小齿轮的人数是60人。 （4）28×5÷35 ＝140÷35 ＝4（圈） 答：大齿轮转动了4圈。 【精练题3】（（18-19六年级下·江苏·课后作业）利用正比例图象解决问题时，想找出已知量所在的数轴及位置，然后在另一数轴上找出已知量相 的数值。 【答案】对应 【规范解答】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 即：利用正比例图象解决问题时，想找出已知量所在的数轴及位置，然后在另一数轴上找出已知量相对应的数值。 考点讲练03：正比例的应用 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）一种花布每米售价8元，购买2米、3米……分别需要多少元？ 长度/米 1 2 3 4 5 6 7 8 … 总价/元 8 … （1）把上面的表格填写完整。 （2）根据表中数据，先在图中描出长度和总价所对应的点，再把这些点依次连起来。 （3）购买这种花布的总价和长度成正比例吗？为什么？ 【答案】（1）16、24、32、40、48、56、64； （2）见详解； （3）购买这种花布的总价和长度成正比例，因为总价÷数量＝单价（一定）。 【思路点拨】（1）根据题意，结合总价＝单价×数量这一公式，可以求出答案； （2）根据表格的数据，描出对应的点，再把这些点连起来即可； （3）根据题意，正比例的意义可知，总价÷数量＝单价（一定），所以购买这种花布的总价和长度成正比例。 【规范解答】（1）2×8＝16（元）； 3×8＝24（元）； 4×8＝32（元）； 5×8＝40（元）； 6×8＝48（元）； 7×8＝56（元）； 8×8＝64（元）； （2）如图： （3） 答：购买这种花布的总价和长度成正比例，因为总价÷数量＝单价（一定）。 【精练题1】（（23-24六年级下·河南平顶山·期末）李叔叔想开车去武汉旅游，他从某导航软件左下角看到该地图的比例尺是，量得地图上从家到武汉的距离是7.5厘米。已知李叔叔的汽车每行驶100千米耗油7.5升，按这个耗油量，他出发前加满40升汽油，去的途中还需要加油吗？请说说你的理由。（用比例解答） 【答案】不用加油 【思路点拨】根据比例尺可知，图上1厘米的距离表示实际距离60千米，据此用60乘7.5即可求出李叔叔从家到武汉的实际距离。根据题意，汽车行驶的路程÷耗油量＝每升汽油可以显示的路程（一定），则汽车行驶的路程和耗油量的商一定，则汽车行驶的路程和耗油量成正比例关系。设汽车行驶450千米耗油x升，根据比例关系可列出比例：100∶7.5＝450∶x，解出比例求出李叔叔从家到武汉需要多少升汽油，据此判断中途是否需要加油。 【规范解答】60×7.5＝450（千米） 解：设汽车行驶450千米耗油x升。 100∶7.5＝450∶x 100x＝7.5×450 100x＝3375 100x÷100＝3375÷100 x＝33.75 40＞33.75 答：去的途中不用加油。 【精练题2】（23-24六年级下·江苏连云港·期末）用数学的眼光看成语“立竿见影”，是应用了比例知识，即同一时间、同一地点，竿高和影长成( )比例。如果一棵小树的高度是1.5米，影长是0.8米，同一时间、同一地点，测得一棵大树的影长是4.8米，那么这棵大树的高度是( )米。 【答案】 正 9 【思路点拨】根据两个相关联的量如果比值一定，则这两个相关联的量成正比例关系；如果两个相关联的量的乘积一定，则这两个相关联的量成反比例关系；由于同一时间，同一地点，竿子越高，影子越长，即竿高∶影长＝固定值；所以竿高和影长成正比例关系；可以设这棵大树的高度是x米，由于竿子的高度和影长的比值一定，可以列比例方程：1.5∶0.8＝x∶4.8，据此即可解方程。 【规范解答】由分析可知：竿高和影长成正比例关系。 解：设这棵大树的高度是x米。 1.5∶0.8＝x∶4.8 0.8x＝1.5×4.8 0.8x＝7.2 x＝7.2÷0.8 x＝9 用数学的眼光看成语“立竿见影”，是应用了比例知识，即同一时间、同一地点，竿高和影长成正比例。如果一棵小树的高度是1.5米，影长是0.8米，同一时间、同一地点，测得一棵大树的影长是4.8米，那么这棵大树的高度是9米。 【精练题3】（20-21六年级下·江苏徐州·期末）小明在操场上插几根长短不同的竹竿，在同一时间里测量竹竿长和相应的影长，情况如下表：这时，小明身边的王强测量出了旗杆的影长是6米，可推算出旗杆的实际高度是( )米。 影长（米） 0.5 0.7 0.8 0.9 1.1 1.5 竹竿长（米） 1 1.4 1.6 1.8 2.2 3 【答案】12 【思路点拨】利用影长÷竹竿长算出结果，发现结果一样，从而得出竹竿长和影长成正比例关系，同样条件下，竹竿的长度与它的影长的比值是一定的，旗杆的实际高度与其影长的比值也是一定的，且这两个比值是相等的，据此可列比例，求出旗杆的实际高度。 【规范解答】由分析可得：＝＝＝＝＝ 由此可得出竹竿长和影长成正比例关系，那么旗杆的实际高度与其影长也成正比例关系。 解：设旗杆的实际高度是x米， 1∶0.5＝x∶6 0.5x＝6 0.5x÷0.5＝6÷0.5 x＝12 旗杆的实际高度是12米。 考点讲练04：反比例的意义及辨识 【精讲题】（2024·山西大同·小升初真题）去年的时候妈妈的年龄是芳芳年龄的3倍，芳芳的年龄和妈妈的年龄这两个量（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【答案】C 【思路点拨】正比例关系的两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小（0除外），比值不变；反比例关系的两种相关联的量的变化规律是一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩小而另一种量则扩大，积不变。假设去年的时候妈妈的年龄30岁，芳芳的年龄是30÷3＝10（岁），今年妈妈的年龄是30＋1＝31（岁），芳芳的年龄是10＋1＝11（岁），据此分别求出去年芳芳的年龄和妈妈的年龄的比值及乘积，再判断。 【规范解答】假设去年的时候妈妈的年龄30岁，则芳芳的年龄是30÷3＝10（岁），今年妈妈的年龄是30＋1＝31（岁），芳芳的年龄是10＋1＝11（岁）。 30÷10＝3 31÷11＝ ≠3，所以芳芳的年龄和妈妈的年龄这两个量不成正比例。 30×10＝300 31×11＝341 341≠300，所以芳芳的年龄和妈妈的年龄这两个量不成反比例。 去年的时候妈妈的年龄是芳芳年龄的3倍，芳芳的年龄和妈妈的年龄这两个量不成比例。 故答案为：C 【精练题1】（24-25六年级下·江苏·课后作业）根据每个表中对应数量之间的关系，判断哪些量成正比例，哪些量成反比例，哪些量既不成正比例，也不成反比例。 圆柱底面积/ 3 5 6 圆柱的高/ 15 9 7.5 钢材体积/ 1 5 8 钢材质量/ 7.8 39 62.4 小明的年龄/岁 10 11 12 小明的身高/ 140 143 150 圆的直径/ 1 2 3 圆的周长/ 3.14 6.28 9.42 【答案】圆柱底面积和圆柱的高成反比例，钢材体积和钢材质量成正比例，小明的年龄和身高即不成正比例也不成反比例，圆的直径和周长成正比例。 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答即可。 【规范解答】（1）3×15＝5×9＝6×7.5＝45，圆柱的底面积和圆柱的高的积一定，则圆柱的底面积和圆柱的高成反比例。 （2）7.8÷1＝39÷5＝62.4÷8＝7.8，钢材质量和钢材体积的比值一定，所以钢材质量和钢材体积成正比例。 （3）小明的年龄和小明的身高这两种量的比值和乘积都不一定，所以小明的年龄和小明的身高既不成正比例，也不成反比例。 （4）3.14÷1＝6.28÷2＝9.42÷3＝3.14，圆的周长和圆的直径的比值一定，所以圆的周长和圆的直径成正比例。 【精练题2】（24-25六年级下·江苏·随堂练习）糖果厂生产一批水果糖。把这些水果糖平均分装在若干个袋子里，每袋装的粒数和装的袋数如下表： 每袋装的粒数 12 15 20 24 30 装的袋数 500 400 300 250 200 （1）写出几组相对应的每袋粒数和袋数的积，比较积的大小。 （2）每袋装的粒数和袋数成反比例吗？为什么？ 【答案】（1）见详解；相等 （2）成反比例；见详解 【思路点拨】（1）根据统计表中的数据，写出几组相对应的每袋粒数和袋数的积，再比较积的大小。 （2）结合上一题的结论，根据反比例的意义进行判断。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 【规范解答】（1）12×500＝6000（粒） 15×400＝6000（粒） 20×300＝6000（粒） 24×250＝6000（粒） 30×200＝6000（粒） 它们的积都相等。 （2）答：每袋装的粒数和袋数成反比例。因为每袋装的粒数×装的袋数＝水果糖的总粒数（一定），乘积一定，则每袋装的粒数和袋数成反比例。 【精练题3】（23-24六年级下·江苏·单元测试）给一间房屋的地面铺方砖，每块方砖的数据与所需数量如下，请将下表补充完整。 每块方砖的边长/米 0.2 0.3 0.4 0.6 … 每块方砖的面积/平方米 0.04 0.36 … 所需方砖的数量/块 360 40 … （1）每块方砖的（    ）与所需方砖的数量成（    ）比例。 （2）如果每块方砖的面积是0.05平方米，铺这间房屋的地面需多少块方砖？ （3）铺这间房屋的地面用了500块方砖，你知道这样的方砖每块面积是多少吗？ 【答案】（1）填表见详解；面积；反 （2）288块 （3）0.0288平方米 【思路点拨】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，成反比例。根据方砖面积＝边长×边长，房屋面积＝每块方砖的面积×所需方砖的数量，计算填表即可。 （2）房屋面积不变，根据房屋面积÷每块方砖的面积＝所需方砖的数量，代入数据计算即可。 （3）房屋面积不变，根据房屋面积÷所需方砖的数量＝每块方砖的面积，代入数据计算即可。 【规范解答】（1）（1）0.04×360＝0.36×40＝14.4（平方米） 因为每块方砖的面积×所需方砖的数量＝铺地面积（一定），铺地面积即这间房屋的面积，所以每块方砖的面积与所需方砖的数量成反比例。 0.3×0.3＝0.09（平方米）   14.4÷0.09＝160（块） 0.4×0.4＝0.16（平方米）   14.4÷0.16＝90（块） 每块方砖的边长/米 0.2 0.3 0.4 0.6 … 每块方砖的面积/平方米 0.04 0.09 0.16 0.36 … 所需方砖的数量/块 360 160 90 40 … （2）14.4÷0.05＝288（块） 答：铺这间房屋的地面需288块方砖。 （3）14.4÷500＝0.0288（平方米） 答：这样的方砖每块面积是0.0288平方米。 考点讲练05：反比例的应用 【精讲题】（20-21六年级下·江苏盐城·期中）甲、乙两个圆柱形容器，底面积的比为5∶3，原来甲容器中有10厘米深的水，乙容器中没有水，现在往这两个容器中各注入同样多的水，使得这两个容器中的水深相等，这时水深( )厘米。 【答案】25 【思路点拨】由于甲乙两个容器的底面积之比是5∶3，那么注入同样多的水，高度之比应该是3∶5，可以设甲上升的高度是厘米，那么乙上升的高度就是厘米，最后甲乙的高度相等。列方程解答即可。 【规范解答】由于甲乙两个容器的底面积之比是5∶3，那么注入同样多的水，高度之比应该是3∶5。 解：设甲上升的高度是厘米，那么乙上升的高度就是厘米，则： 10＋＝ ＝10 ＝5 此时甲乙的水深都是10＋＝10＋3×5＝10＋15＝25（厘米） 【考点评析】理解体积相等、圆柱的底面积和高成反比，底面积是5∶3，那入注入的水的深度就是3∶5。理解底面积和高之间成反比是解答本题的关键。 【精练题1】（23-24六年级下·广西桂林·期末）从春蕾小学到某研学基地，不同的交通工具的速度和行驶所需时间如下。 车辆 小客车 中巴车 小轿车 大巴车 平均速度（千米/时） 80 75 90 60 时间（时） 1.5 1.6 2 （1）如果用s表示学校到研学基地的路程，用v表示车辆的平均速度，t表示驶完全程所需的时间。v与t成什么比例关系？写出这个关系式。 （2）春蕾小学部分师生准备下周一早上8：00从学校开车去该研学基地，想在当天上午9：40前到达，开车的平均速度不能低于多少千米/时？ 【答案】（1）反比例；s＝vt或者vt＝120   （2）72千米/时 【思路点拨】（1）根据“速度×时间＝路程”可知，路程一定时，速度与时间成反比例关系，据此用字母表示出这个关系式。 （2）根据题意，从早上8：00开车出发，当天上午9：40前到达，用到达时刻减去出发时刻，求出开车的时间；根据速度×时间＝路程（一定），则车辆的平均速度和行驶时间成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【规范解答】（1）80×1.5＝75×1.6＝90×＝60×2＝120（一定） 乘积一定，则车辆的平均速度与时间成反比例关系。 答：v与t成反比例关系，关系式：s＝vt或者vt＝120。 （2）9时40分－8时＝1小时40分 1小时40分＝小时 解：设开车的平均速度不能低于千米/时。 ＝80×1.5 ＝120 ＝120÷ ＝120× ＝72 答：开车的平均速度不能低于72千米/时。 【精练题2】（23-24六年级下·江苏泰州·期末）机械手表中不同的齿轮以不同的速度旋转，驱动指针显示时间。如图，大齿轮的齿数是54个，小齿轮的齿数是36个，大、小两个齿轮的齿数比是( )。旋转时，大齿轮和小齿轮相互咬合的齿数是一定的。大齿轮旋转2周，小齿轮需要旋转 ( )周。如果一个手表中大齿轮的直径是6毫米，将它画在比例尺是20∶1的图纸上，图纸中大齿轮的直径是 ( )厘米，图纸中大齿轮的齿数是( )个。 【答案】 3∶2 3 12 54 【思路点拨】求大、小两个齿轮的齿数比，用54∶36，再根据比的性质化简即可；无论是大齿轮还是小齿轮，由于相互咬合的齿数是一定的，所以转过的总齿数相同，大齿轮转2圈的齿数为（2×54）个，小齿轮也要转（2×54）个齿，需要转（2×54÷36）圈；根据图上距离＝实际距离×比例尺，计算出图纸中大齿轮的直径；按一定比例放大或缩小，只改变图形的大小，不改变形状。 【规范解答】①54∶36 ＝（54÷18）∶（36÷18） ＝3∶2 ②2×54÷36 ＝108÷36 ＝3（周） ③6×20＝120（毫米） 120毫米＝12厘米 ④按一定比例放大或缩小，只改变图形的大小，不改变形状，图纸中大齿轮的齿数是54个。 因此大、小两个齿轮的齿数比是3∶2；小齿轮需要旋转3周；如果一个手表中大齿轮的直径是6毫米，将它画在比例尺是20∶1的图纸上，图纸中大齿轮的直径是12厘米，图纸中大齿轮的齿数是54个。 【精练题23（22-23六年级下·山西晋中·期末）杠杆原理背后隐藏着数学原理。如果在左边刻度6上放2个棋子，下面在右边刻度上放棋子不能平衡的是（    ）。 A．在4的刻度上放3个棋子 B．在3的刻度上放5个棋子 C．在2的刻度上放6个棋子 【答案】B 【思路点拨】根据杠杆原来，左边刻度上的数字×棋子的个数＝右边刻度上的数字×棋子的个数，据此解答。 【规范解答】左边：6×2＝12； A．4×3＝12，乘积与左边相等，平衡； B．3×5＝15；乘积与左边不相等，不平衡； C．2×6＝12；乘积与左边相等，平衡。 杠杆原理背后隐藏着数学原理。如果在左边刻度6上放2个棋子，下面在右边刻度上放棋子不能平衡的是在3的刻度上放5个棋子。 故答案为：B 考点讲练06：大叔有多高 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·期末）判断下列每组中的两个量成什么比例。 A．成正比例    B．成反比例    C．不成比例 (1)给一个房间铺地，每块地砖的面积和所用的块数( )。 (2)同一时间同一地点，物体的高度和它的影长( )。 (3)小芳的年龄与妈妈的年龄情况如下表，小芳的年龄与妈妈的年龄( )。 小芳的年龄/岁 2 4 6 8 妈妈的年龄/岁 28 30 32 34 【答案】(1)B (2)A (3)C 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，成反比例。据此解答。 【规范解答】（1）因为每块地砖的面积×所用的块数＝房间面积（一定），所以每块地砖的面积和所用的块数成反比例。 故答案为：B （2）因为同时同地，物体高度与影长的比值一定，所以同一时间，物体的高度和影长成正比例。 故答案为：A （3）28－2＝30－4＝32－6＝34－8＝26（岁） 因为年龄差不变，所以小芳的年龄和妈妈的年龄不成比例。 故答案为：C 【精练题1】（（23-24六年级下·安徽合肥·期中）学了比例的知识后，根据同一时间同一地点的物体高度和影子长度的比值是相等的，奇思想到了一个办法，测量一幢大楼的高度。她现在大楼旁边立了一根2米的木杆，测量杆子的影长是30厘米，再测量出教学楼的影长150厘米，教学楼的高度是多少米？ 【答案】10米 【思路点拨】先单位换算，低级单位转化为高级单位用除法，即30厘米＝0.3米，150厘米＝1.5米。在相同的时间里面，实际的高度和影子的长度成正比例。即依据教学楼的高度∶教学楼的影长＝木杆的高度∶木杆的影长，列比例，解比例。 【规范解答】30厘米＝0.3米 150厘米＝1.5米 解：设教学楼的高度是x米。 x∶1.5＝2∶0.3 0.3x＝1.5×2 0.3x＝3 x＝3÷0.3 x＝10 答：教学楼的高度是10米。 【精练题2】（2024六年级下·江苏·专题练习）如图所示，某一时刻，同学们在校园里测得6米高的大树的影长是4.5米。同一时刻测得教学楼的影长是9米，则教学楼的实际高度是多少米？（用方程解） 【答案】12米 【思路点拨】根据题意知道，同一时间物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可。 【规范解答】解：设教学楼的实际高度是米。 答：教学楼的实际高度是12米。 【考点评析】解答此题的关键是：先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。 【精练题3】（20-21六年级下·广西桂林·期中）实践活动：大树有多高？ 操场上，同学们在阳光下测量木棒、竹竿的高度以及它们影子的长度，测量数据如下表： 木棒或竹竿 实际高度 影长 实际高度与影长的比值 木棒1 1 0.25 ( ) 木棒2 1.2 0.3 ( ) 竹竿1 1.6 0.4 ( ) 竹竿2 2 0.5 ( ) （1）请填写完整上面的表格。 （2）仔细观察表格中木棒、竹竿的实际高度与影长的比值，发现实际高度与影长之间成 比例。 （3）根据你的发现想一想，如果这时同学们测出大树的影长是4.6米，那么大树的实际高度应是 米。 【答案】 4 4 4 4 正 18.4 【思路点拨】（1）写出实际高度与影长的比，再求出比值即可。 （2）仔细观察表格中竹竿、木棒的实际高度与影长的比值，发现比值是一定的，所以实际高度与影长之间成正比例； （3）根据实际高度与影长成正比例，列式4.6×4计算解答即可。 【规范解答】（1） 填表如下： 木棒或竹竿 实际高度 影长 实际高度与影长的比值 木棒1 1 0.25 4 木棒2 1.2 0.3 4 竹竿1 1.6 0.4 4 竹竿2 2 0.5 4 （2）仔细观察表格中木棒、竹竿的实际高度与影长的比值，发现比值一定，所以实际高度与影长之间成正比例。 （3）（米） 【考点评析】此题重点考查学生对正比例意义的理解与运用。 1．（2024春•正定县期中）关于比例关系的判断，以下说法正确的有　　个。 （1）订同一份杂志的钱数和份数成正比例关系。 （2）正方形的面积和它的边长成正比例关系。 （3）圆的面积和它的直径成反比例关系。 （4）三角形的面积一定，它的底和高成反比例关系。 A．3 B．2 C．1 D．4 【思路点拨】两种相关联的量，如果比值一定，就成正比例关系，如果乘积一定，就成反比例关系； （1）订同一份杂志时，钱数和份数的比值一定，据此分析； （2）正方形的面积边长边长，即正方形的面积与它的边长的比值不一定，据此分析； （3）圆的面积直径直径，由此判断； （4）三角形的底高面积，由此判断。 【规范解答】解：（1）订杂志的钱数份数每份的钱数，订同一份杂志时，每份的钱数不变，则订同一份杂志的钱数和份数成正比例关系； （2）正方形的面积边长边长，因此正方形的面积和它的边长不成正比例关系； （3）圆的面积和它的直径不成反比例关系； （4）三角形的底高面积，则三角形的面积一定时，它的底和高成反比例关系。 综上所述，正确的是（1）（4），共2个。 故选：。 【考点评析】本题考查的是正比例和反比例的应用。 2．（2024•慈利县）一本书的总页数一定，已经看到的页数和未看的页数　　 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【思路点拨】判断已经看到的页数和未看的页数之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【规范解答】解：因为已经看到的页数未看的页数一本书的总页数（一定）， 是和一定，既不符合正比例的意义，也不符合反比例的意义， 所以已经看到的页数和未看的页数不成比例； 故选：． 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 3．（2024春•沾化区期中）圆的周长与圆的半径成　正　比例，圆的面积与半径　 　比例． 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【规范解答】解：因为圆的周长半径（一定），所以圆的周长与圆的半径成正比例； 因为圆的面积，所以圆的面积与半径不成比例； 故答案为：正，不成． 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 4．（2024•虞城县）下表中，如果和成正比例，“？”处填　8　；如果和成反比例，“？”处填　　． 4 ？ 12 24 【思路点拨】（1）如果与成正比例，那么与的比值一定，即，由此设？出为，列出比例即可求出此处的值； （2）如果与成反比例，那么与的乘积一定，即，由此列出比例，即可求出？的值． 【规范解答】解：设如果与成正比例，那么“？”是， ， ， ， ； （2）如果与成反比例，那么“？”是， ， ， ； 故答案为：8，2． 【考点评析】此题主要根据正反比例的意义来列出比例式解决问题． 5．（2024•宿豫区模拟）如果，那么和成 　反　比例，若，则与成 　　比例． 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【规范解答】解：如果，则（一定），那么和成反比例， 若，则（一定），与成正比例． 故答案为：反，正． 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 6．（2024秋•甘谷县期末）小新跳高的高度和身高不成比例．　　．（判断对错） 【思路点拨】判定两种相关联的量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定就成正比例；如果是乘积一定就成反比例；如果比值或乘积不一定，就不成比例． 【规范解答】解：小新跳高的高度和身高这两种相关联的量，它们的比值或乘积都不一定，所以不成比例； 故答案为：． 【考点评析】此题属于根据正、反比例的意义，判断两种相关联的量是成正比例还是成反比例，就看两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出解答． 7．下面的图象表示小强从甲地到乙地不同的速度和所对应的时间。 （1）在这个过程中，哪种量没有变？ （2）速度和所对应的时间成什么比例关系？ （3）不计算，观察图象，如果每小时行，那么从甲地到乙地大约需要多少小时？ 【思路点拨】（1）图中标出5个点：速度是100时时间是1，速度是50时时间是2，速度是20时时间是5，速度是10时时间是10，速度是5时时间是20，由此得出路程没有变化。 （2）观察图象发现速度和时间的关系是反比例关系。 （3）观察图象，如果每小时行，那么从甲地到乙地大约需要2.5小时。 【规范解答】解：（1）图中标出5个点：速度是100时时间是1，速度是50时时间是2，速度是20时时间是5，速度是10时时间是10，速度是5时时间是20，由此得出路程没有变化。 （2）观察图象发现速度和时间的关系是反比例关系。 （3）观察图象，如果每小时行，那么从甲地到乙地大约需要2.5小时。 【考点评析】此题主要考查反比例的意义。解题的关键是掌握反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 8．（2024春•法库县期中）明明3岁时体重12千克，11岁时体重44千克，于是小张就说：“明明的体重和身高成正比例．”你认为小张的说法正确吗？为什么？ 【思路点拨】判定两种相关联的量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定就成正比例；如果是乘积一定就成反比例；如果不是乘积或比值一定，就不成比例． 【规范解答】解：人的身高和体重虽是两种相关联的量，但是它们的乘积或比值都不一定，所以不成比例； 答：小张的说法不正确． 【考点评析】此题属于根据正、反比例的意义，判断两种相关联的量是成正比例还是成反比例，就看两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出解答． 9．（2024春•法库县期中）一位工人师傅生产零件的时间和数量情况如表： 时间时 1 2 3 4 5 6 生产零件数量个 12 24 36 48 60 72 表中两种相关联的量是 　时间　和 　　； 　　随着 　　的变化而变化；表中第三组这两种量相对应的两个数的比是 　　，比值是 　　，第五组这两种量相对应的两个数的比是 　　，比值是 　　。这个比值表示的意义是 　　，生产的时间和生产零件的个数的 　　是一定的，所以生产的时间和生产零件的个数成 　　。 【思路点拨】依据题意结合表中数据，看看两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。 【规范解答】解：表中两种相关联的量是时间和生产零件数量；生产零件数量随着时间的变化而变化；表中第三组这两种量相对应的两个数的比是，比值是，第五组这两种量相对应的两个数的比是，比值是。这个比值表示的意义是生产一个零件需要的时间，生产的时间和生产零件的个数的比值是一定的，所以生产的时间和生产零件的个数成正比例。 故答案为：时间，生产零件数量，生产零件数量，时间，，，，，生产一个零件需要的时间，比值，正比例。 【考点评析】此题属于辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出判断。 10．（2024春•礼泉县期中）礼泉县建县已有2200多年，境内拥有古文化遗址21处、古建筑5处，是陕西省18个重点文物旅游大县之一。某“礼泉一日游”旅行团的游客人数与收费情况如表所示。 游客人数人 0 1 2 3 4 5 6 收费元 0 100 200 300 400 （1）把表格填写完整。 （2）收费与游客人数成正比例吗？为什么？ （3）先根据表中信息描点，再顺次连接各点。 （4）点在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 【思路点拨】（1）1人游客收费100元，用乘法分别列式计算5人，6人的收费； （2）收费游客人数，两种相关量中相对应的两个数的商一定，就成正比例，由此解答本题； （3）依据（1）去作图； （4），由此解答本题。 【规范解答】解：（1）（元 （元，如图： 游客人数人 0 1 2 3 4 5 6 收费元 0 100 200 300 400 500 600 （2）收费与游客人数成正比例，收费与游客人数是商一定，两种相关量中相对应的两个数的商一定，就成正比例。 （3）如图：； （4）点在这条直线上，表示7人游客收费700元。 故答案为：500；600。 【考点评析】本题考查的是统计图表的应用。 11．（2024•石柱县）把一个长方形的框架拉成平行四边形，变化过程中平行四边形的面积和高　　 A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例关系 D．无法确定 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】解：平行四边形的面积高底（一定），商一定，所以平行四边形的面积和高成正比例关系。 故选：。 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断即可。 12．（2024•昌邑市）有两个相关联的量，它们的关系如图所示。这两个量可能是　　 A．正方形的面积和它的边长。 B．坐高铁从潍坊到济南，火车行驶的速度和时间。 C．聪聪读《夏洛的网》，已读的页数和未读的页数。 D．购买《数学万花筒》的总价和数量。 【思路点拨】由图像可知，两个相关联的量成正比例关系。两种相关联的量，如果这两种量的比值一定，这两种量成正比例关系；如果这两种量的乘积一定，这两种量成反比例关系。据此解答。 【规范解答】解：由图像可知，两个相关联的量成正比例关系。 正方形的面积边长边长，正方形的面积和它的边长不成比例，不符合题意； 速度时间路程（一定），乘积一定，火车行驶的速度和时间成反比例关系，不符合题意； 已读页数未读页数总页数（一定），和一定，已读页数和未读页数不成比例，不符合题意； 总价数量单价（一定），商一定，王老师购买《数学万花筒》的总价和数量成正比例关系，符合题意。 故选：。 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，关键看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定。 13．（2024春•平舆县期中）下列各项中，两种量成反比例关系的是　　 A．时间一定，速度与路程。 B．圆的面积与半径的平方。 C．一块布料，用去的米数和剩下的米数。 D．行驶的路程一定，车轮直径和车轮的转数。 【思路点拨】判断成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】解：、路程速度时间（一定），所以路程和速度成正比例； 、圆的面积半径的平方（一定），所以圆的面积和它的半径的平方成正比例； 、用去的米数剩下的米数总米数，用去的米数和剩下的米数不成比例； 、时间速度路程（一定），所以时间和速度成反比例。 故选：。 【考点评析】本题是一道有关反比例、正比例意义的题目，掌握正比例、反比例的意义是解题的关键。 14．（2024•东阳市）若平行四边形的面积一定，底和高成 　反　比例；如果，均不为，则和成 　　比例。 【思路点拨】读题可知：如果两种相关联的量的乘积一定，两者成反比例关系；如果两种相关联的量的商一定，两者则成正比例关系，据此作答。 【规范解答】解：底高平行四边形的面积（一定） 即平行四边形的面积一定，底和高成反比例。 （一定） 即则和成正比例。 故答案为：反；正。 【考点评析】本题考查了正反比例关系的判定问题，解答此类问题时一定要清楚：两种相关联的量，凡是和、差一定的，这两种数量不成比例关系；凡是商（比值）一定的，这两种数量就成正比例关系，凡是积一定的，这两种数量就成反比例关系。 15．（2024春•兰溪市期中）下面的两个量，是否成正比例、反比例或不成比例？ 从兰溪到杭州，火车行驶的平均速度和所需时间。 　成反比例　 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】解：火车行驶的平均速度所需时间从兰溪到杭州的路程（一定），所以从兰溪到杭州，火车行驶的平均速度和所需时间成反比例。 故答案为：成反比例。 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 16．（2024春•瑞金市期中）下面几组相关联的量中，成正比例关系的是 　　。 总价一定，单价和数量。 正方体的底面积一定，体积和高。 圆的周长和半径。 儿童的年龄和身高。 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】解：因为数量单价总价（一定），两个数的乘积一定，所以单价和数量成反比例，本选项不符合题意； 正方体的底面积一定，说明高和体积是个定值，不存在变量，所以高和体积不成比例。本选项不符合题意； 圆的周长半径，两个数的比值一定，所以圆的周长和半径成正比例，本选项符合题意； 儿童的年龄和身高不成比例，本选项不符合题意。 故答案为：。 【考点评析】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，还是对应的其它量一定，再做出判断。 17．（2021•兴义市）在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形面积与所需小正方形的数量如表： 每个小正方形的面积 4 9 16 所需小正方形的数量个 216 96 54 （1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成 　反　比例关系。 （2）如果采用面积是的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？（用比例方法解答） 【思路点拨】（1）每个小正方形的面积小正方形的数量长方形彩纸的面积；长方形彩纸的面积一定，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系。 （2）长方形彩纸的面积需要小正方形个数，由此解答。 【规范解答】解：（1）长方形彩纸的面积一定，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系。 （2）设需要多个小正方形。 答：（1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系。 （2）需要24个小正方形。 故答案为：反，24。 【考点评析】解决此题关键是根据比值一定或乘积一定，先列出比例，进而根据比例的性质先把比例式转化为乘积式来解比例得解；注意等号要对齐。 18．（2024•鲅鱼圈区）买笔记本的数量和总价的关系如表： 数量（本 1 2 3 4 5 6 7 总价（元 1.5 3 6 （1）将表格补充完整。 （2）根据表中的数据，在图中描点再顺次连接。 （3）数量和总价之间成 　正　比例。 （4）如果买9本笔记本，需要 　　元钱，19.5元能买 　　本笔记本。 【思路点拨】（1）根据表格中的数据规律，相对应数的商相等填表即可； （2）根据表格中的数据描点画图即可； （3）根据两个数量相对应的数的商一定，再根据正比例的意义可进行判断； （4）利用单价一定，总价与数量成正比例解答即可。 【规范解答】解：（1） 数量（本 1 2 3 4 5 6 7 总价（元 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 （2）； （3），，， 所以数量和总价之间成正比例； （4）设需要元。 设可以买本。 所以如果买9本笔记本，需要13.5元钱，19.5元能买13本笔记本。 故答案为：（1）4.5；7.5；9；10.5；（3）正；（4）13.5；13。 【考点评析】本题考查的是正反比例的相关知识，关键是看这两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例；会运用正反比例知识解决问题。 19．（2023•紫阳县）一根弹簧挂上物体（质量不超过 20千克）后长度会伸长。如表是挂上物体的质量和弹簧伸长的长度的变化情况。 挂上物体的质量千克 0 2 4 6 8 10 12 弹簧伸长的长度厘米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 （1）判断挂上物体的质量与弹簧伸长的长度成什么比例？并说明理由。 （2）根据表中数据，在如图中描出挂上物体的质量和弹簧伸长的长度所对应的点，再把这些点依次连接起来。 （3）如果挂上9千克的物体，那么弹簧伸长 　2.25　厘米。 【思路点拨】（1）根据物体的质量与弹簧伸长的长度是两种相关联的量，求出每个相对应的物体的质量与弹簧伸长的长度的比值，挂上物体的质量：弹簧伸长的长度（比值一定），就可以得出结论。 （2）根据题干给出的数据描出物体的质量和弹簧伸长的长度所对应的点，再把它们连接起来即可。 （3）先求出物体的质量与弹簧伸长的长度的比值，再根据它们之间的关系，用物体的质量除以质量与弹簧伸长的长度的比值，列式求解即可。 【规范解答】解：（1）挂上物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例。因为，，，，，，挂上物体的质量：弹簧伸长的长度（比值一定），所以挂上物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例。 （2）根据表中数据，在下图中描出挂上物体的质量和弹簧伸长的长度所对应的点，再把这些点依次连接起来。（如图） （3） （厘米） 所以如果挂上9千克的物体，那么弹簧应伸长2.25厘米。 故答案为：2.25。 【考点评析】此题考查了绘制单式折线统计图，考查了学生分析数据的能力，还考查了正比例的知识的应用。 20．（2020春•峄城区期末）一列火车每小时行驶200千米． （1）把下表填写完整． 时间小时 1 2 3 4 5 路程千米 200 　400　 　　 　　 　　 （2）根据表中数据，在如图中描出时间和路程所对应的点，再把点按顺序连起来． （3）时间和路程成正比例吗？为什么？ （4）利用图象估计一下，2.5小时行多少千米？行360千米需要多少小时？ 【思路点拨】（1）根据速度时间路程，列式计算； （2）根据统计表中的数据，先在图中描出时间和路程所对应的点，再把它们按顺序连起来即可； （3）因为火车行驶的速度一定，是路程和时间的比值一定，所以时间和路程成正比例； （4）图象是一条经过原点的直线，从图象中可看出火车2.5小时行500千米；行驶360千米用1.8小时． 【规范解答】解：（1）（千米），（千米），（千米），（千米） 时间小时 1 2 3 4 5 路程千米 200 400 600 800 1000 （2）根据数据连线后如图： （3）时间和路程成正比例；因为汽车在公路上行驶的速度一定，是路程和时间的比值一定，所以时间和路程成正比例． （4）图象是一条经过原点的直线，从图象中可看出火车2.5小时行500千米；行驶360千米用1.8小时； 答：2.5小时行驶500千米．行驶360千米用1.8小时． 【考点评析】此题考查根据统计表中的信息，绘制成正比例关系的两种量的图象，再根据观察图象得出2.5小时行多少千米和行360千米需要多少小时． 基础夯实优选题专练 1．（23-24六年级下·江苏·单元测试）表示m和n成正比例的关系式是（    ）。 A．m＋n＝k（一定） B．m×n＝k（一定） C．（一定） 【答案】C 【思路点拨】判断m和n成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【规范解答】A．m＋n＝k（一定），是和一定，所以m和n不成比例； B．m×n＝k（一定），是乘积一定，所以m和n成反比例； C． （一定），是比值一定，所以m和n成正比例。 故答案为：C。 2．（22-23六年级下·湖南邵阳·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．自然数都有倒数 B．分子一定，分数值与分母成反比例 C．分母是100的分数叫百分数 D．钟面上分针的运动是平移 【答案】B 【思路点拨】根据0是自然数，但0没有倒数判断A选项；根据反比例的定义进行判断B选项；根据百分数是一种特殊的分数形式，通常不写成分数的形式，而采用符号“%”（叫做百分号）来表示进行判断C选项；根据平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动进行判断D选项即可。 【规范解答】A．因为0是自然数，但0没有倒数，所以自然数都有倒数是错误的； B．因为如果是乘积一定，则成反比例，所以分子一定，分数值与分母成反比例是正确的； C．因为百分数是一种特殊的分数形式，通常不写成分数的形式，而采用符号“%”（叫做百分号）来表示，所以分母是100的分数叫百分数是错误的； D．由分析可知，钟面上分针的运动是旋转，不符合平移的定义，所以钟面上分针的运动是平移是错误的。 故答案为：B 【考点评析】此题考查对自然数、倒数、百分数、反比例、平移等知识要点，掌握相关定义性质是解题的关键。 3．（22-23六年级下·江苏南通·期中）下面成反比例的是（    ）。 A．用同样大的正方形地砖铺地，地砖的块数和铺地的面积 B．一个人的年龄和体重 C．练习本的单价一定，总价和数量 D．圆柱侧面积一定，底面直径和高 【答案】D 【思路点拨】一个量变化，另一个量也随之变化，并且这两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例关系，据此解答。 【规范解答】A．每块方砖的面积（一定）＝铺地的面积÷地砖的块数，地砖的块数和铺地的面积的比值一定，成正比例，不成反比例； B．一个人的年龄和体重的乘积不确定，所以一个人的年龄和体重不成反比例； C．单价（一定）＝总价÷单价，总价和数量比值一定，所以成正比例，不成反比例； D．，圆柱的侧面积一定，也是定值，那么底面直径和高的乘积一定，所以底面直径和高成反比例。 故答案为：D 【考点评析】本题考查反比例的辨别，关键要理解反比例的意义。 4．（2024·福建宁德·小升初真题）上午11：00在操场上，小红测得50厘米的一根木棒影长是25厘米，同时，小刚测得旗杆的影长是4.5米，那么学校旗杆的高度是 米。 【答案】9 【思路点拨】根据题意可知，在同一时间、同一地点，影长与实际长度的比值一定，那么影长与实际长度成正比例关系，由此列出正比例方程，并求解。 【规范解答】解：设学校旗杆的高度是米。 25∶50＝4.5∶ 25＝50×4.5 25＝225 ＝225÷25 ＝9 学校旗杆的高度是9米。 5．（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个长方形的面积是48平方米。（先填表，再答题） 宽/米 1 2 3 4 5 … 长/米 48 24 … 表中（    ）和（    ）是两种相关联的量，长和宽的乘积总是（    ）平方米。因为（    ）×（    ）＝（    ）（一定），所以（    ）和（    ）成（    ）比例。 【答案】填表见详解； 长；宽；48；长；宽；面积；长；宽；反 【思路点拨】根据长方形面积＝长×宽，可以推出长方形的长＝面积÷宽，将长方形的面积是48平方米这个数据代入，求出当宽等于3、4、5米时，分别对应的该长方形的长，据此填表即可。 两种相关联的量，若两种量的比值一定，两种量成正比例，若两种量的乘积一定，则两种量成反比例，因为长×宽＝长方形面积，并且本题中面积等于48平方米，面积是一定的，据此判断成什么比例即可。 【规范解答】48÷3＝16（米） 48÷4＝12（米） 48÷5＝9.6（米） 填表如下： 宽/米 1 2 3 4 5 … 长/米 48 24 16 12 9.6 … 表中长和宽是两种相关联的量，长和宽的乘积总是48平方米。因为长×宽＝面积（一定），所以长和宽成反比例。 6．（23-24六年级下·江苏·课后作业）下面每题中的两个量是否成比例？如果成比例，成什么比例？ (1)电脑的单价一定，购置电脑的数量和总价。( ) (2)购置电脑的数量一定，电脑的单价和总价。( ) (3)工作总量一定，工作效率和工作时间。( ) 【答案】(1)成比例；正比例 (2)成比例；正比例 (3)成比例；反比例 【思路点拨】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。 【规范解答】（1）总价÷数量＝单价，电脑的单价一定，购置电脑的数量和总价成比例，成正比例。 （2）总价÷单价＝数量，购置电脑的数量一定，电脑的单价和总价成比例，成正比例。 （3）工作效率×工作时间＝工作总量，工作总量一定，工作效率和工作时间成比例，成反比例。 7．（23-24六年级下·江苏·课后作业）绳子的长度一定，剪去的绳子和剩下的绳子成正比例。( ) 【答案】× 【思路点拨】绳子的长度一定时，剪去的绳子和剩下的绳子不成正比例。‌这是因为剪去的绳子长度和剩下的绳子长度之和是固定的，即绳子的总长度一定。这种关系不符合正比例的定义（即两种量的比值一定）。据此判断即可。 【规范解答】绳子的长度一定，剪去的绳子和剩下的绳子不成正比例。所以原题说法错误。 故答案为：× 8．（19-20六年级下·江苏·单元测试）解比例。 3∶x＝9∶15    x∶4＝9∶6 ∶＝x∶16    ＝ 【答案】x=5；x=6；x=36；x= 【思路点拨】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，据此解答。 【规范解答】3∶x＝9∶15 解：9x＝3×15 9x＝45 x＝5 x∶4＝9∶6 解：6x＝4×9 6x＝36 x＝6 ∶＝x∶16 解：x＝×16 x＝12 x＝36 ＝ 解：3x＝2×5 3x＝10 x＝ 【考点评析】此题考查解比例，根据比例的基本性质细心解答即可。 9．（24-25六年级下·江苏·课后作业）在计算器上按下面的程序操作。 把每次输入的数与相应的计算结果记录在下面的表里。 x … y … （1）你能用一个式子表示表中y和x之间的关系吗？ （2）y和x成正比例吗？为什么？ 【答案】（1）y＝4x （2）成正比例；y÷x＝4（一定），商一定 【思路点拨】（1）任意输入一个数（x），再按键×4，表示x×4，字母和数字相乘，数字在前，字母在后，所以y＝x×4＝4x； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。据此判断。 【规范解答】（1）由分析可知：y和x之间的关系是：y＝4x； （2）成正比例；由y＝4x可得：y÷x＝4（一定），商一定，所以y和x成正比例。 10．（24-25六年级下·江苏·课后作业）六年级各班订阅《趣味数学》杂志的情况如下表： 班级 一班 二班 三班 四班 五班 订阅数量/份 6 8 12 10 9 总价/元 180 240 360 300 270 订阅《趣味数学》的总价和数量成正比例吗？为什么？ 【答案】成正比例；见详解 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答即可。 【规范解答】180÷6＝30（元） 240÷8＝30（元） 360÷12＝30（元） 300÷10＝30（元） 270÷9＝30（元） 所以订阅《趣味数学》的总价和数量的商一定，即比值一定，成正比例。 答：订阅《趣味数学》的总价和数量成正比例，因为订阅《趣味数学》的总价和数量的商一定，即比值一定。 培优优选题专练 11．（19-20六年级下·江苏·单元测试）甲、乙是两个成反比例的量，当甲减少20%时，乙（    ）。 A．增加20% B．减少20% C．增加25% D．减少25% 【答案】C 【思路点拨】甲和乙是两个成反比例的量，那么它们的乘积一定，即符合xy＝k（一定），当甲减少20%时，可知乙一定是增加了，又（1－20%）x＝x，由于k一定，所以这里的y得变为y，进而确定乙是增加了25%； 【规范解答】1－20%＝，1÷＝ （5－4）÷4＝25% 故答案为：C 【考点评析】此题考查正反比例意义的运用，解题时要明确成正比例的两个量是比值一定，成反比例的两个量是乘积一定。 12．（18-19六年级下·江苏·单元测试）若甲和乙成正比例,乙和丙成反比例,则甲和丙(　　)． A．成反比例 B．成正比例 C．不成比例 【答案】A 【规范解答】略 13．（23-24六年级下·山西大同·期末）下面各题的两种量，成反比例的有（    ）个。 ①花生的出油率一定，花生的质量和榨出油的质量。 ②已知ab＝36，a和b。 ③长方形的周长一定，它的长和宽。 ④在没有余数的除法算式中，被除数一定，除数和商。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】①榨出油的质量÷花生的质量×100%＝出油率（一定），花生的质量和榨出油的质量成正比例； ②已知ab＝36（一定），a和b成反比例； ③周长＝（长＋宽）×2；长＋宽＝周长×（一定），和一定，长和宽不成比例； ④被除数÷除数＝商；除数×商＝被除数（一定），在没有余数的除法算式中，被除数一定，除数和商成反比例。 成反比例的是②④，有2个。 故答案为：B 14．（24-25六年级下·安徽合肥·开学考试）一座大楼共20层，每层一样高，甲上楼的速度比乙快一倍，当乙到达第9层时，甲在第( )层。 【答案】17 【思路点拨】“甲上楼的速度比乙快一倍”也就是说“甲上楼的速度是乙的倍”，则甲的路程是乙的2倍，当乙到达第9层时，说明爬了（层），则甲应爬了（层），则到了（层），据此解答。 【规范解答】 （层） 一座大楼共20层，每层一样高，甲上楼的速度比乙快一倍，当乙到达第9层是，甲在第17层。 【考点评析】所到楼层＝所爬楼层＋1，时间相同时，速度与路程成正比例，即甲的速度是乙的2倍，则甲的路程是乙的2倍。 15．（2020·江苏苏州·小升初真题）甲、乙、丙三人进行百米赛跑，甲到终点时，乙离终点5米，丙离终点10米，乙到终点时，丙离终点还有( )米。 【答案】 【思路点拨】根据速度×时间＝路程可知，时间一定时，路程和速度成正比，速度之比＝路程之比，甲到终点时，乙和丙跑的路程分别是100－5＝95米，100－10＝90米，则甲乙的速度之比＝95∶90，因为速度比是不变的，所以可以设乙到终点时，丙离终点还有x米，则乙跑了5米的时间内，丙跑了10－x米，进而求出乙、丙的速度比＝5∶（10－x），据此列出方程：（100－5）∶（100－10）＝5∶（10－x），再依据比例的基本性质求出x的值即可。 【规范解答】解：设乙到终点时，丙离终点还有x米 （100－5）∶（100－10）＝5∶（10－x） 95∶90＝5∶（10－x） 950－95x＝450 95x＝500 x＝ 所以乙到终点时，丙离终点还有米。 【考点评析】依据速度之比不变的规律，找准等量关系式并依据等量关系式列出方程是解题的关键，时间一定时，路程和速度成正比，速度之比＝路程之比。 16．（20-21六年级下·江苏无锡·期末）在下面长方形ABCD中，三角形ABO的面积是5平方厘米，三角形DEO的面积与三角形DEC的面积比是1∶2。三角形ABO的面积比三角形BEO的面积大 平方厘米。 【答案】/3 【思路点拨】根据平行四边形定理和长方形的对角线平分长方形面积可知，S△ABO＋S△CDO＝S长方形ABCD，S△CBO＋S△CDO＝S长方形ABCD，即S△CBO＝S△ABO＝5。根据高一定，三角形面积和底成正比例可知，OE∶EC＝1∶2，所以S△BEO∶S△BEC＝1∶2，则S△BEO占S△ABO的，据此用S△ABO乘求出三角形BEO的面积。最后求出三角形ABO与三角形BEO的面积差值。 【规范解答】在长方形ABCD中， 因为S△ABO＋S△CDO＝S长方形ABCD，S△CBO＋S△CDO＝S长方形ABCD， 所以S△CBO＝S△ABO＝5（平方厘米）， 因为S△DEO∶S△CDE＝1∶2， 则OE∶EC＝1∶2， 所以S△BEO∶S△BEC＝1∶2， 则S△BEO＝5×＝（平方厘米）， 所以S△ABO比S△BEO大：5－＝（平方厘米）。 【考点评析】本题主要考查三角形面积与底的正比例关系：即根据“三角形面积＝×底×高”可知，当高相同时，三角形的面积和底成正比例关系。 17．（19-20六年级下·江苏·单元测试）甲和乙成反比例，乙和丙成反比例，所以甲和丙也成反比例。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据正反比例的意义，分析数量关系，找出一定的量，然后看那两个变量是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系。 【规范解答】假设甲×乙＝a（a为定值且a≠0），乙×丙＝b（b为定值且b≠0）；则有＝乙＝，即＝；再根据比例的基本性质可得：甲∶丙＝，又因为a、b均为定值，所以为定值；综上可得：甲∶丙＝（比值一定），甲和丙成正比例。 故答案为：× 【考点评析】本题考查正、反比例的意义及运用，将已知条件转化为甲和丙的关系式是解题的关键。 18．（22-23六年级下·江苏·单元测试）解比例。 7.5∶x＝2.5∶12    ∶＝x∶15         2.25＋3x＝        3.5∶x＝0.7∶1.2   ∶x∶ 【答案】x＝36；x＝40；x＝39.2 x＝3；x＝6；x 【思路点拨】（1）根据比例的基本性质，把原式化为2.5x＝7.5×12，然后等式的两边同时除以2.5； （2）根据比例的基本性质，把比例化为方程x＝15×，两边再同时乘6。 （3）先根据比例基本性质：两内项之积等于两外项之积，化简方程，再依据等式的性质，方程两边同时除以4求解； （4）依据等式的性质，方程两边同时减2.25，再同时除以3求解； （5）根据比例的基本性质，把比例化为方程0.7 x＝3.5×1.2，两边再同时除以0.7。 （6）根据比例的基本性质，把比例化为方程x＝×，两边再同时乘5。 【规范解答】（1）7.5∶x＝2.5∶12       解：2.5x＝7.5×12            2.5x＝90 x＝90÷2.5 x＝36 （2）∶＝x∶15 解：x＝15× x＝ x＝÷ x＝×6 x＝40 （3） 解： 4x＝22.4×7 4x＝156.8 x＝156.8÷4 x＝39.2 （4）2.25＋3x＝ 解：3x＝－2.25 3x＝11.25－2.25 3x＝9 x＝9÷3 x＝3 （5）3.5∶x＝0.7∶1.2 解：0.7x＝3.5×1.2 0.7x＝4.2 x＝4.2÷0.7 x＝6 （6）∶x∶ 解：x＝× x＝ x＝÷ x＝×5 x＝ 19．（21-22六年级下·江苏连云港·期末）有一个两层水箱，如图所示。（单位：分米） （1）第一层水箱容积是（    ）升，第二层的容积是（    ）升。 （2）如果注满第一层需要7.2分钟，照这样的流速，注满整个水箱需要多少分钟？ （3）在注满整个水箱的过程中，注水的高度随着时间的延长而增加，下面哪幅图表示正确的注水情况，请在图上打“√”。 【答案】（1）60；100； （2）19.2分钟； （3）见详解 【思路点拨】（1）利用长方体体积＝长×宽×高，代入数值，即可解答。 （2）根据水流速度不变，列比例式解答。 （3）根据注水的高度和时间成正比例关系，据此解答。 【规范解答】（1）6×5×2＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 （6＋2＋2）×5×2 ＝10×5×2 ＝100（立方分米） 100立方分米＝100升 （2）解：设注满整个水箱需要x分钟，得： 7.2∶60＝x∶（100＋60） 60x＝7.2×160 60x÷60＝1152÷60 x＝19.2 注满整个水箱需要19.2分钟。 （3） 【考点评析】本题考查了容积的求法、列比例解决问题、正比例关系图像的判断，需灵活掌握并会应用。 20．（19-20六年级下·江苏·单元测试）小红中午在家门口测量一棵树的高度时发现，这棵树在阳光下的影长是2.5米，同一时间，同一地点，测得一根直立在地面上，长为2米的竹竿的影长是0.5米，这棵树高多少？ 【答案】10米 【思路点拨】根据题意知道，同一时间，同一地点测得物体的高度与影子的长度的比值一定，即物体的高度与影子的长度成正比例，由此先假设出这棵树在地面上的影子对应的树的实际高度，根据比例关系，列出比例求出地面上的影子对应的树的高度。 【规范解答】解：设这棵树高x米。 2.5∶x＝0.5∶2 0.5x＝5 x＝10 答：这棵树高10米。 【考点评析】明确同一时间，同一地点测得物体的高度与影子的长度的比值一定是解决本题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$