八年级数学期中模拟卷（沪科版八下第16～18章：二次根式、一元二次方程、勾股定理）-学易金卷：2024-2025学年初中数学下学期期中考试卷

2024-2025学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪科版八年级数学下册第16~18章（二次根式、一元二次方程、勾股定理）。 5．难度系数：0.6。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如果二次根式有意义，那么x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 解得， 故选：C 2．下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原式不是最简二次根式，不符合题意； B、，原式不是最简二次根式，不符合题意； C、，原式不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意， 故选D． 3．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．该方程中，当时，它不是一元二次方程，不符合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程不是整式方程，不符合题意； D．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选：D． 4．把下列长度的三条线段首尾依次相连，能构成一个直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．2，3，5 D．7，24，26 【答案】B 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 5．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】解：点到原点的距离为． 故选：A 6．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 7．化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ， 故选：A． 8．如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【详解】解：以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，如图： 由作图可知：是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴的最小值是． 故选：A． 9．如图，在四边形中，、、，，点是四边形边上的一个动点，若点到的距离为，则点的位置有（　　　）    A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】D 【详解】解：，，， ，， 在中，斜边上的高是：， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，斜边上的高是：， ，点是四边形边上的一个动点，点到的距离为， 点的位置在边上或者边上或者边上或者边上， 即满足条件的点有4处， 故选：D． 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 【答案】D 【详解】由，表明方程有实数根﹣1，表明一元二次方程有实数解，则，故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴方程有两个不相等的实根， 即a与c异号． ∴-ac>0， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根； 故②正确； ∵是方程的一个根， ∴， 即 当时，一定有成立； 当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则； 故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故选：D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知a，b是一元二次方程的两个根，则 . 【答案】 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， 根据根与系数的关系可知：， ， ． 故答案为：． 12．已知，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 【答案】10 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为， 故答案：． 14．定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为时，点的横坐标为 ． 【答案】 3 ，或 【详解】解：（1）∵，，， ∴点，，的“最佳间距”是3； 故答案为：3； （2）∵点，，， ∴，， 当时，或 若， ，，符合题意； 若， ，，符合题意； 当时，或， 若， ，，符合题意； 当时，无解， 综上，点的横坐标为，或． 故答案为：，或． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（8分）（1）计算：．    （2）计算：． 【详解】解：（1） ……（2分） ．……（2分） （2） ……（2分） ．……（2分） 16．（8分）解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：将原方程化简可得：，……（2分） ∴ ∴……（2分） （2）解：移项可得：， ∴……（2分） ∴，．……（2分） 17．（8分）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程有两个不相等的实数根，，且，求的值． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ，……（2分） 解得：． 的取值范围为：．……（2分） （2）解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ， 解得：．……（2分） ，即， ， 或，又， ．……（2分） 18．（8分）某水果店今年1月份的销售利润是2万元，2、3月份的销售利润均有所增长，3月份的销售利润达到4.5万元． (1)该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率； (2)如果按照这个月平均增长率增长，求月销售利润首次突破10万元的月份． 【详解】（1）解：设该水果店2、3月份月平均增长率为x，……（1分） 则，解得，（不合题意，舍去），……（2分） 答：该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率是；……（1分） （2）解：由（1）得4月份销售利润为，……（2分） 5月份销售利润为， 答：月销售利润首次突破10万元的是5月份．……（2分） 19．（10分）小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 【详解】（1）解：由题意，得，．……（1分） ∴在中，，……（2分） ∴． 答：此时风筝的铅直高度为．……（2分） （2）解：∵风筝沿方向下降，     ∴．……（1分） 在中，∵， ，……（2分） ∴． 答：他应该收线．……（2分） 20．（10分）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相同的长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长； (2)除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？ 【详解】（1）解：由题意可得，广场的周长为：，（4分） 广场的周长为米；……（1分） （2）解：铺地砖的面积为：（平方米），……（4分） 这个广场铺满地砖的费用为：（元）．……（1分） 21．（12分）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，计算：； (2)按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算：． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴；……（4分） （2）解：由题意知，， ∴用n（n为正整数）表示的等式为；……（4分） （3）解：由题意知，， ∴．……（4分） 22．（12分）已知四边形中，，，为边上一点且，． (1)如图，求证：≌． (2)如图，若，求的长． (3)如图，若，求此时的长． 【详解】（1）证明： ∴，……（1分） 在和中， ， ……（3分） （2）解：≌， ……（1分） ， ……（1分） ，， ……（2分） （3）解：过点作于点， ，， ∴……（1分） ， ……（1分） ，， 为等边三角形， ……（2分） 23．（14分）（1）【问题呈现】在学习等边三角形的知识时，老师提出了这样一个问题： 如图①，在中，，，那么和有何数量关系？ 请证明你的猜想． 在老师提出问题后，同学们都进行了积极的探索并试着进行证明．下面是小曼同学的部分解答． 猜想：． 证明：把沿着翻折，得到． ∴，，． ∴，即点，，在同一条直线上．（请补全小曼后面的证明过程） （2）【拓展变式】把（）中条件改为“如图②，在中，，”，则 ． （3）【能力迁移】通过以上问题的解决，我们发现：翻折可以探索一些图形的性质．请利用翻折解决下面的问题． 如图③，是内一点，且平分，若，，探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【详解】(1)证明∶把沿着翻折，得到． ∴，，． ∴，即点，，在同一条直线上． 又∵，， ∴为等边三角形． ∴．……（4分） (2)解：如图所示，把沿着翻折，得到，连接． 由折叠可得 ，，，． ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴．……（2分） ∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为：．……（3分） (3)．理由如下： 如图，把沿边翻折得到，连接，，则，， ，． ∵平分，， ∴． ∴． 又∵ ，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴．……（3分） 在中，， 又∵，， ∴．……（2分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期中模拟卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D B A A A A D D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 12. 13. 10 14. 3 ，或 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（8分）【详解】解：（1） ……（2分） ．……（2分） （2） ……（2分） ．……（2分） 16．（8分）【详解】（1）解：将原方程化简可得：，……（2分） ∴ ∴……（2分） （2）解：移项可得：， ∴……（2分） ∴，．……（2分） 17．（8分）【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ，……（2分） 解得：． 的取值范围为：．……（2分） （2）解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ， 解得：．……（2分） ，即， ， 或，又， ．……（2分） 18．（8分）【详解】（1）解：设该水果店2、3月份月平均增长率为x，……（1分） 则，解得，（不合题意，舍去），……（2分） 答：该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率是；……（1分） （2）解：由（1）得4月份销售利润为，……（2分） 5月份销售利润为， 答：月销售利润首次突破10万元的是5月份．……（2分） 19．（10分）【详解】（1）解：由题意，得，．……（1分） ∴在中，，……（2分） ∴． 答：此时风筝的铅直高度为．……（2分） （2）解：∵风筝沿方向下降，     ∴．……（1分） 在中，∵， ，……（2分） ∴． 答：他应该收线．……（2分） 20．（10分）【详解】（1）解：由题意可得，广场的周长为：，（4分） 广场的周长为米；……（1分） （2）解：铺地砖的面积为：（平方米），……（4分） 这个广场铺满地砖的费用为：（元）．……（1分） 21．（12分）【详解】（1）解：由题意知，， ∴；……（4分） （2）解：由题意知，， ∴用n（n为正整数）表示的等式为；……（4分） （3）解：由题意知，， ∴．……（4分） 22．（12分）【详解】（1）证明： ∴，……（1分） 在和中， ， ……（3分） （2）解：≌， ……（1分） ， ……（1分） ，， ……（2分） （3）解：过点作于点， ，， ∴……（1分） ， ……（1分） ，， 为等边三角形， ……（2分） 23．（14分）【详解】(1)证明∶把沿着翻折，得到． ∴，，． ∴，即点，，在同一条直线上． 又∵，， ∴为等边三角形． ∴．……（4分） (2)解：如图所示，把沿着翻折，得到，连接． 由折叠可得 ，，，． ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴．……（2分） ∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为：．……（3分） (3)．理由如下： 如图，把沿边翻折得到，连接，，则，， ，． ∵平分，， ∴． ∴． 又∵ ，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴．……（3分） 在中，， 又∵，， ∴．……（2分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪科版八年级数学下册第16~18章（二次根式、一元二次方程、勾股定理）。 5．难度系数：0.6。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如果二次根式有意义，那么x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 4．把下列长度的三条线段首尾依次相连，能构成一个直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．2，3，5 D．7，24，26 5．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A． B． C． D．5 6．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 7．化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 8．如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（    ） A． B．3 C．1 D． 9．如图，在四边形中，、、，，点是四边形边上的一个动点，若点到的距离为，则点的位置有（　　　）    A．处 B．处 C．处 D．处 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知a，b是一元二次方程的两个根，则 . 12．已知，，则的值为 ． 13．如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 14．定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为时，点的横坐标为 ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（8分）（1）计算：．    （2）计算：． 16．（8分）解方程： (1)； (2)． 17．（8分）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程有两个不相等的实数根，，且，求的值． 18．（8分）某水果店今年1月份的销售利润是2万元，2、3月份的销售利润均有所增长，3月份的销售利润达到4.5万元． (1)该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率； (2)如果按照这个月平均增长率增长，求月销售利润首次突破10万元的月份． 19．（10分）小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 20．（10分）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相同的长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长； (2)除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？ 21．（12分）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，计算：； (2)按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算：． 22．（12分）已知四边形中，，，为边上一点且，． (1)如图，求证：≌． (2)如图，若，求的长． (3)如图，若，求此时的长． 23．（14分）（1）【问题呈现】在学习等边三角形的知识时，老师提出了这样一个问题： 如图①，在中，，，那么和有何数量关系？ 请证明你的猜想． 在老师提出问题后，同学们都进行了积极的探索并试着进行证明．下面是小曼同学的部分解答． 猜想：． 证明：把沿着翻折，得到． ∴，，． ∴，即点，，在同一条直线上．（请补全小曼后面的证明过程） （2）【拓展变式】把（）中条件改为“如图②，在中，，”，则 ． （3）【能力迁移】通过以上问题的解决，我们发现：翻折可以探索一些图形的性质．请利用翻折解决下面的问题． 如图③，是内一点，且平分，若，，探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪科版八年级数学下册第16~18章（二次根式、一元二次方程、勾股定理）。 5．难度系数：0.6。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如果二次根式有意义，那么x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 4．把下列长度的三条线段首尾依次相连，能构成一个直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．2，3，5 D．7，24，26 5．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A． B． C． D．5 6．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 7．化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 8．如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（    ） A． B．3 C．1 D． 9．如图，在四边形中，、、，，点是四边形边上的一个动点，若点到的距离为，则点的位置有（　　　）    A．处 B．处 C．处 D．处 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知a，b是一元二次方程的两个根，则 . 12．已知，，则的值为 ． 13．如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 14．定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为时，点的横坐标为 ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（8分）（1）计算：．    （2）计算：． 16．（8分）解方程： (1)； (2)． 17．（8分）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程有两个不相等的实数根，，且，求的值． 18．（8分）某水果店今年1月份的销售利润是2万元，2、3月份的销售利润均有所增长，3月份的销售利润达到4.5万元． (1)该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率； (2)如果按照这个月平均增长率增长，求月销售利润首次突破10万元的月份． 19．（10分）小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 20．（10分）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相同的长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长； (2)除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？ 21．（12分）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，计算：； (2)按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算：． 22．（12分）已知四边形中，，，为边上一点且，． (1)如图，求证：≌． (2)如图，若，求的长． (3)如图，若，求此时的长． 23．（14分）（1）【问题呈现】在学习等边三角形的知识时，老师提出了这样一个问题： 如图①，在中，，，那么和有何数量关系？ 请证明你的猜想． 在老师提出问题后，同学们都进行了积极的探索并试着进行证明．下面是小曼同学的部分解答． 猜想：． 证明：把沿着翻折，得到． ∴，，． ∴，即点，，在同一条直线上．（请补全小曼后面的证明过程） （2）【拓展变式】把（）中条件改为“如图②，在中，，”，则 ． （3）【能力迁移】通过以上问题的解决，我们发现：翻折可以探索一些图形的性质．请利用翻折解决下面的问题． 如图③，是内一点，且平分，若，，探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年下学期期中考试卷 八年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题5分，共20分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 三 、解答题（共90分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 1 5 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6 ．（ 8 分） 1 7 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ． （ 8 分） 19 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ． （10 分 ） 2 1 ． （ 1 2 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ． （ 1 2 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ． （ 1 4 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$