大单元 整合练利用角平分线构造等腰三角形、全等三角形解题-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（湘教版 湖南专版）

II.F圳，)，AD是△A的中线，BD=D.,BE⊥AD,CF⊥AD ∠D-∠F, 0E-0F,(B+C+A9-位”△A的圆长为0.六A+BC+ ADF+DE-AE+DE-(2DEP.DE-23. △OP等四 “,∠ED=∠F-9.在△D和△CFD中，∠DE=∠CDF.,△BDa AC-0.∴5--0F·3m∴0F-3 32 AD-(D. 1.C1.D美.125 +.在明：过点C作FLAB于点F,AC半分∠且1D,AD⊥DE,F⊥ △FmAS,iE-C.在R△E和R△CF中，BE-CF, BG-CA. 4,证明：：BD是∠A队的平分线.·∠ABD-∠《BD,在△ABD和 AB,,∠AC-∠AF=90,CD=CF.:AC=AC,,阳△AC A=CH. RE△AFCY HL.二AD-AR同理可等BF-BE,AB-AF十BF-AD R△GE☑R1△CAF(HL1.GE=AF,GE-AE-AF-AE.印AG △D中.∠A山m∠CBD,÷,△ABDa△出D(5AS,,∠ADB 十BB, -ER.由（I)知△ED2△CFD,DE-DF-是EE.&AG-EF-2D呢 BD-BD. 【变式题·一超多解】法：证用：在△BE和△FCE中， C-FC. 1.4角平分线的柱圆 ∠CD成，.∠AD-∠CDP,再DP平分∠ACPM⊥AD,PN1CD, ∠CE-∠FCE,△CEO△EsAS).·∠B-∠CFE:AD∥ 第1第时角平余直的性减与判定 .PM=PN. 5.D 6.D7. CE-CE. 名师导学 C,∠A十∠Hm180,”∠CFE十∠DFE=18.∠A山∠DFE在 0相等8平分线 %,证期：？OP是∠AB的半分线，PD⊥，PE⊥明，六∠F ∠4=∠DFE, 【酬1C ∠BF,PD-PE.在R△0PD和△OPE中，PB-PE, P=P。 △ADEN△FDE中，∠ADE-∠FDE,.△ADE@△DE(AASI E-APFDe ，R△PD 【例2】证明：在R1△PFD和R△PGE中， DE-DE. 21△OPE(1IL).D=OE.在△ODF和△EF中. ADFD..CDFD+FCAD+HC R△PGE(HI.PD=PE,:P是OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB, OD-OE. MD-CD. 是∠AB的平分线 ∠XF=∠向F.△DF2△E(SAS).DF■EF 正法二.正明：在ADEM和△DEC中，∠MDE-∠CDE,,△DM 1.C2,B3.【变式题】34,5.35 0F=P, DE-DE. 6证用：BF⊥AC.CE上AB.∠ED=∠CFD=0,在△DE和 复.解如函，点P,,P:即为新求 △DECISA5,E=F,∠AM=∠CF,∠DE=∠以E,∠1M= ∠BED=∠CFD, ∠E,ADC,:∠AMAA=∠B.在△AME和△以E中 △DP中，∠BDE=∠CDF,,△IDEa△CDF(AAs1,,DE=DF. ∠M-∠BCB, BE-CF. ∠NAE-∠B,∴△AME☑△BCELAAS,AM=C:.CD=D= “,AD平分∠BAC. ME-CE. 7.A8,D9,2. 1,正明：I)过点D作DN⊥BE于点N,∠BAO-∠ODC,∠AOB= AD+M=AD十C 11)解：90°(2)证明：过点C作CP1AAf干点P,C的延长线交BW ∠IAC,∠A)■∠DDM⊥AC,DN⊥AB.∠DNB■∠DNC 天.正用，过点￡作EF⊥C于点F,期∠BPE=∠CFE=9只.，BD平分 于点H,过点C作CK⊥AB于点K,:ANBN.C月LBN..∠CPE =0.,D站=D,.△DNQ△UM{AAs).,DN=DM.AD平分 ∠AB.EA⊥AB.·EA-EF,∠HAE-∠BFE-90,在R△4BE和 =∠CHF=0.AC,分别举分∠BAM.∠ABN,.CP=CK.CK= AAHC的外角∠CAE,《2)品证R1△DNA≌RL△DMA-AN-AM.H HE一BE: ∠(PE=∠HF. 11,醇△DNB2△.BN=CM..AC-AB=AAf+M-(BW R△FE中，EA-EF .△AHER△FBE(H1.,.AH=FB,E月 CH.CP=CH,在△CPE和△(HF中，P=CH, △CP AN)2AM. -C,EFLC,,FB一下C.C-2FB=2A ∠P℃E=∠lLF. 大单元整合梦利用角平分线构边等摄三角形 第1章章术复习 △HFCASA.,里=P 全等三角形解墨【同归散材，通性通法】 思维异图 1I.41)解，=DB2)证明，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC,交 等顿 互金一半直角互余日1.相等相等 AC的延长线于点F,则∠F一∠DEB=0.,AD平分∠HAC,DE工AB, 1.4 核心囊点 DELAC..DE-DF,∠B+∠ACD-18,∠ACD+∠FCD=I80', 【变式题】解：过点D作DH⊥AB于点H,时∠DHE=9如，：AD平分 1.D2.Cs.B4.16 ∠F-∠DEB, ∠HAC,∴∠CAD-∠BAD.DE∥AC.∴.∠CAD-∠ADE.∠DEH- ∠B=∠FCD.在△DFC和△DEH中，〈∠FD=∠B.△DFC@ 解，5°2)∠AB-8,∠A-80.·BC-2A非-8.∠ABC- ∠AC=,∠BAD=∠ADE AE=DEAD半分∠BAC,∠C= DF=DE. 0,DH⊥A4,DHwD=3,在R△DEH中，∠DEH=30,AB 90-∠A=50,:aE平分∠AC,∠CBE-∠A4=30.rcH △DERAAS,x=DB DE-2D1=我 养？现时：角平分线的注魔海刺完的露用 2:1)i正明：：AE是∠BAD的平分餐，∠DAF=∠AF,:DFAB, 服.CH-是-4：∠aMH=∠DB-,∠Hw-90 名师导学 六∠下=∠BAF,∠DAF=∠，六AD=DF,△ADF是等展三角形， ∠CH-5-∠MH.&MH-CH-4 0三边8平分线 6.D7.D86 【例1】C 《2n:A=ACAD是△ABC伯中线∠BAD=号∠C=0,∠B 生解：(1)不坐(2)加阴，设木根下滑后的使置为 【例21DE明，0平分∠A',0D⊥AB,DF1C.:O0-OF.同理 “∠C-30,4D⊥BC·AD-AB=月：∠ADE-0.AE是∠AD(D.则BD-0,pm,银站题仓，得CD=A=名三m, 可得OE-F,.0D-(E.,A0平分∠BAC2)解：山41)知一0E (汕-1.5世，∠N=0,)=B+D=24m在 OF,3am-sams2:+8aa--ABD+C·OF+号AC· 的平分线六∠DAE=∠BAD-时六AE-2DE.在△4DE中， R6AB中，A=OB-t厘在R△CD 7 9大单元整合练 利用角平分线构造等腰三角形、 全等三角形解题【回归教材·通性通法】图 (整合内容:八上第2章《三角形》,八下第1章《直角三角形》) 目标整合1 利用角平分线构造等腰三角形解题 (2)若AB-12,求DE的长 (一)【基本模型回顾】角平分线十平行线→等 腰三角形 已知:如图,1一2, AC/OB. 结论:△AOC是 三角形,OA_AC. 【延伸运用】整合进直角三角形相关性质进行 考查 1.(教材P29复习题T7变 式)如图,AOE=15*, OE平分AOB,DE/o OB,交OA于点D,EC1OB,垂足为C.若 EC-2,则OD的长为. 【变式题】本质不变,背景复杂化 如图,在Rt△ABC中,/C=90*,BAC 30*},AD平分/BAC,交BC于点D,DE/ AC,交AB于点E,若CD=3,求AE的长, (二)【基本模型回顾】角平分线十垂直于这条 证全等,等腰三角形 角平分线的垂线 已知:如图,OP是 MON的平分线,PA1OF 于点P. #点B。 廷长AP,交 结论:△AOP ,△AOB是 角形. 3.如图,在△ABC中,AB< 2.如图,在\ABC中,AB=AC, /BAC=120* BC,BP平分ABC, AD是△ABC的中线,AE是BAD的平分 APBP于点P,连接 线,DF//AB,交AE的延长线于点F PC.若△ABC的面积 (1)求证:△ADF是等腰三角形; 为4,则△BPC的面积为 23 数学 八年级 下册 配XJ版 目标整合2 点在角平分线上,利用角平分线 证法二(补短法):延长DA到点M,使MD= 构造全等三角形解题 CD.连接EM.(请将证明过程补充完整) 模型呈现及分析: (1)如图,OP是 MON的平分线,PA|OM于点A 作PB1ON M 于点B 结论:PA=PB,AOP2/ABOP (2)如图,OP是 MON的平分线,A是射线OM上 任意一点. 在ON上截取 1- OB=OA,连接PB 04 B 结论:△AOPs△BOP 本质:“角平分线十截长补短法”构造全等三角形。 4.(教材P25练习T2原题呈现)如图,在 △ABC中,AD1DE,BE 1DE,AC,BC分 别平分 /BAD,ABE,点C在线段DE上 5.如图,在△ABC中,BD平分ABC,E是 求证:AB-AD+BE BD上一点,EA1AB于点A,且EB=EC 求证:BC-2AB 【变式题·一题多解】如图,AD//BC,点E 在线段AB上, ADE=CDE,DCE BCE.求证:CD-AD+BC 证法一(截长法):在CD上取点F,使FC BC,连接EF.(请将证明过程补充完整) 提示 请完成阶段数测试(二)[1.3~1.4] 第1章 直角三角形 24