第1章 直角三角形 章末复习-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（湘教版 湖南专版）

第1章 章末复习 9思维导图 一直角三角形两个锐角 性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 勾股定理 一有一个角是 的三角形是直角三角形 判定 有两个角 的三角形是直角三角形 三角形 勾股定理的逆定理 全等判定方法一SAS,ASA,AAS,SSS, 角的平分线上的点到角的两边的距离 角平分线 角的内部到角的两边距离 的点在角的平分线上 入核心考点 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A= 30°，∠ABC的平分线交AC于点E,D为 核心考点①直角三角形的性质和判定 AB上一点，且AD=AC,CD,BE交于 1.(2024·岳阳云溪区期中)在一个直角三角 点M. 形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的 (1)∠DMB的度数为 度数是 (2)若CH⊥BE于点H,AB=16,求MH的长. A.75 B.60 C.45 D.30° 2.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D,下 列结论错误的是 ( A.∠A=∠2 B.∠1和∠B都是∠A的余角 C.∠1=∠2 D.图中有3个直角三角形 3.(2024·娄底月考)如图，一棵树在一次强台 风中于离地面3m处折断倒下，倒下部分与 地面成30°角，则这棵树在折断前的高度为 () A.6 m B.9m C.12m D.15m 核心考点2勾股定理及其应用 6.(2024·益阳期末)下列各组数中，是勾股数 的是 ( 30 A.1,2,5 B.0.6,0.8,1 (第3题图) (第4题图) 4.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC= c写 D.9,40,41 90°，∠BAD=45°，连接AC,BD,M是AC的 7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC 中点，连接BM,DM.若△BMD的面积为 的三个顶点都在格点上，则下列结论错误 32,则AC的长为 的是 () 25数学八年级下册配X灯版 A.AB=/5 B.AC=5 11.如图，AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°，D是 C.BC=25 D.∠ACB=30° EF上一点，AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点 F,AE=CF.求证：△ADE≌△CDF (第7题图) (第8题图) 8.如图，在△ABC中，分别以点A,C为圆心， 大于分AC的长为半径作弧，两弧相交于M, N两点，直线MN分别与边BC,AC相交于 点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5, 则AB的长为· 9.如图，一根长2.5m的木棍AB斜靠在与地 面垂直的墙上，此时墙角O与木棍B端的距 核心考点4角平分线的性质和判定 离为1.5m,设木棍的中点为P,此时木棍A 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A= 端沿墙下滑，B端沿地面向右滑行. 30°，BH平分∠ABC,BH=6.已知P是边 (1)木棍在滑动的过程中，线段OP的长度 AB上的动点，则点H,P之间的最小距 ;(填“改变”或“不变”) 离为 (2)如果木棍的底端B向右滑出0.9m,那么 A.2 木棍的顶端A沿墙下滑了多少米？ B.3 C.4 D.6 13.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与 △ABC的外角∠ACE的平分线交于点P, PD⊥AC于点D,PH⊥AB于点H. (1)若PH=8cm,求点P到直线BC的距离； (2)求证：点P在∠HAC的平分线上. 核心考点3直角三角形全等的判定 10.如图，FD⊥BC于点D,DE⊥ AB于点E,BD=CF,BE= CD.若∠AFD=145°，则 ∠EDF的度数为 第1章直角三角形26II.1E明，(ID:AD是△AC的中线，，BD■CD.:BE⊥AD,CF⊥AD OE=OF,(AB+BC+AO=i,”△MHC的周长为0，iAB+B+ ,AD+D=A,∴F+D=2DE).∴，DE=2 ∠HED-∠F, △.BOP等腰 ,∠ED-∠F-9在△BED和△CFD中，∠DE=∠CDF,,△BEDa AC-30.5-20F.30.0F-3 3.2 BD-CD. 1.C2.D3.125 4,旺明：过点C作CF⊥AB于点F,AC平分∠BAD,AD⊥DE,CF⊥ △CFDCAAS.∴BE-F.在R1△BGE和R△CAF中，BE-CF, (BG-CA. 4,证明：：BD是∠ABC的半分线.一∠ABD-∠CBD在△ABD和 AB,∠ADC-∠AFC-90.CD=CF.AC-AC,R△ADCa AB=CB. RL△AFC(HL入.，AD=AE.同理可得BF=BE,,AB-AF十BF=AD Rt△BG≌R△CAFCHL).GE-AF.GE-AE-AF-AE,pAG △CBD中， ∠ABD=∠CBD,,△ABDa△CBD(SAS),,∠ADB= 十BE -EE.由(I)知△BED☑△CFD,DE-DF-是EE.AG-EF-2DE BD-BD. 【变式题·一题多解】证法一：任明：在△BE和△P℃E中： BC-FC. 1.4角平分线的柱质 ∠CDB.∠ADP-∠CDP,即DP平分∠ADC.'PM⊥AD,PNLCD, ∠BCE=∠FCE,“,△BCE@△FCE(SAS).,∠B-=∠CFE.,ADA 第1采时角中拿直的性嘴与判之 .PM=PN. CE-CE. 名师导学 5D6,D7 BC,∠A十∠B=1O,∠CFE十∠DFE=10,∠A=∠DFE,在 0等0平分线 8.正明：OP是∠AO那的半分线，PD LOA,PE⊥OB,∠DOF= ∠A-∠DFE, 【例1C joP=OP.R△OPD ∠EOF,PD-PE.在R△0PD框△OPE中，PD-PE, AADE和△FDE中，∠ADE-∠FDE,.△ADE②AFDE(AAS). 【酬2】证图：在R1△PFD和RtAPGE中， F-C△PFDa DE-DE. @R1△OPE《HL)..OD=OE.在△ODF和△OEF中， .AD=FD.CD=FD+FCAD++BC R△PGE(HI).PD=PE:P是OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB. ODOF. MD-CD. OC是∠AOB的平分线 ∠DUF=∠EF.△ODF2△(EF(SAS).DF=EF 正法二，正明，在△DEM和△DEC中，∠MDE=∠CDE.,△DEMa 1.C2,B3.C【变式1434,35,35 OF-OF. DE-DE. 6证明，BF⊥AC,CE⊥AB,∠HED=∠CFD=0.在△DE和 9.解：如图，点P,P原为所求 △DEC(SAS),ME=CE,∠N=∠DCE,”∠DE=∠BCE,∠M= ∠BED=∠CFD ∠E,:AD∥BC,÷∠MAE=∠B.在△ME和△CE中， △CDF中，∠BDE=∠CDP,,△BDEa△CDF(AAs1.,DE=DF ∠M-∠BCE, BE-CF, ∠MAE-∠B,.△AME☑△BCE(AAS)..AM=BC∴CD=MD= ,AD平分∠BAC ME-CE. 7.A8.D.2.5 10,证界：(1)过点D作DN⊥BB于点N.∠BAO-∠WDC,∠AOB= AD+AM-AD-+BC. 1m,(I)解：90”(2)证谢：过点C作CP LAM于点P,PC的延长线交BN ∠C,i∠ABO=∠DCO.DM⊥AC,DN⊥AB,∠DNB■∠DC 5.证明，过点E作EF⊥BC于点E,则∠BFE=∠CFE-90”.:BD平分 于点H,过点C作CK⊥AB于点K,:AM∥BN,CH⊥BN.∠CPE =0°.D站=C.△DNB2△DMC(AAS).,DN-DM,AD平分 ∠ABC,EA⊥AB,EA-EF,∠BAE-∠BEE-90在R△ABE和 =∠CHF=90.AC,C分别半分∠BAM.∠ABN,.CP=CK.CK= △ABC的外角∠CAE.《2)悬正Rt△DNA@R1△DMA,·AN-AM由 BE-BE, ∠CPE=∠CHF, R1△FBE中， R:△ABE☑R△FBE(HL.,AB=FB.EH (I).得△DNB☑△DMC,BN-CM.AC-AB-AN十CM-(BN EA-EF. CH,CP CH,在△CPE和△CHF中，CP■CH, △CPE≌ AN)AM. -EC.EFLBC.PB-FC.RC-2FB-ZAB ∠PCE=∠HCF. 大单元整合练利用龟平分线构造等保三角形， 第1章章末术复习 △CHPCASA).,CE=CP 全琴三角形解【包归敏材，通性通法】 思维导图 11.(1)解.DC-DB(2证明，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC,交 等 互余一半直角互念H比.相等相等 AC的延长线于点F,则∠F一∠DEB=.￥AD平分∠BAC,DE⊥AB, 1.4 核心考点 DF LAC,.DE-DF.∠B+∠ACD-18',∠ACD+∠FCD=180', 【变式题】解，过点D作DH⊥AB干点H,则∠DHE-90:AD平分 1.D2.C3B4.14 I∠F-∠DEB, ∠BAC,∠CAD-∠BAD.'DEA∥AC.∠CAD-∠ADE,∠DEH- ∠B=∠下D.在△DFC和△DEB中，∠FCD-∠B,∴.△DFC☑ 5.解，(145°(2)∠ACB-90,∠A-30,BC-2AB-8,∠ABC- ∠HAC=30°，∠BAD=∠ADE.AE=DE.AD米分∠BAC,∠C DF-DE. 90,DH⊥AB,DH-CD=3.在R△DEH申，∠DEH=30,AE= 90°-∠A-50,BE平分∠ABC,∠CBE-号∠ABC-0,CHL △DEB(AA,DC=DB DE-2D月=6. 第2课时角平分线的社质寿判瓷的路用 2.(I)证明：'AE是∠BAD的平分线，∠DAF=∠BAF,DFAB, BE,CH-}BC4y∠CH-∠DMB-45,∴∠HCM-9g- 名师厚学 ∠F=∠BAF,∠DAF=∠F,AD=DF,△ADF是等限三角形， ∠CMH=45=∠CMH,.AH=CH-4 0三边0平分线 6.D7,D8.6 【例1】C C2解：AB=AC,AD是△ABC的中授∠BAD=号∠BAC=0,∠B 9.解：(1)不座(2)如图，设本程下滑后的位置为 【例21(1)E明，，0平分∠ABC,0D⊥AB,F⊥BC,,0D-OF.同圆 -∠C-30,AD1BC,5AD-AB-6,∠ADE-0."AE是∠BAD CD,雨D=0,9m限据题查，得CD=AH=2.5m: 可得OE-OF,.D-0E.A0平分∠BAC(2)解：由1)知OD-OE G地=1.5m,∠N-可，六CD-O+D=24鱼在 OE,Sa-SEw+SAx+SaAr-7AB·OD+2C·OF+AC: 的平分线，∠DLE=亏∠BAD-D.六AE一DE.在△ADE中， R△AOB中，OA-VB-OB-2m.在RtACOD 8 9 中.C=CD-(D=0.7m..AC=4一=1.3m.答，术程的颗编 15”=24,5X24=120(m》.答，小明一其走了120胜(2)(24一2)×180°= 第2果时平行用边彩的对角找的性嘴 A粉精下滑了1,3m 3960.答，这个多近形的内角和是360， 名师导学 14.55 12.解：如图乐示. 平分 II.任明，连接D.在R1△ABD和R△CBD中， BD-BD:R△AD 【例11解：(1)EF⊥AC,AE-13,0A-12,0E=VAE-O-5 AB-CB. :四边彩ACD是平行四边形，，OD=O沿，C∥BA.∠FDO aR△，CBD(H1X.AD-CD.￥AE⊥EF,CF⊥EF,∠E-∠F=90 ∠FB0义'∠FOD=∠BOB,△FDO2△FHO(ASA,.∴OF=0E (AD-CD. 在RL△ADE和R1△CDF中， AE-CF. ,RL△ADE☑R△CDFCHIL. EF-20E-10.(2)过点F作FH⊥AB于点H,”5e-专AE,FH 13,解：(1)“多边忌的内角和是180的正整数倍，面20药不是180的整 120 12.B 数倍.小明说不国能.(2)2025÷10°=11一45，多加的一个外 2EF0M,2×13XFH=7X10X12,FH= 13 ,口ACD边 13.《1)解：过点P作PQ⊥BE于点Q.:BP平分∠ABC,PHLAB,PQ⊥ 角是45,11+2=13,225”一5=150，六，小华求的是十三边形的内 BE.PQ-PH-8cm.∴点P到直线BC的距离为8cm.《2)证明：？CP 角和，内角和是1如”，多加的那个外角是的. AB上的商为器 平分∠AE,PD⊥AC,PQ⊥BE.1PD=PQ又IPH■PQ,PD■ 2.2平行四边彩 【例2C PH.点P在∠HAC的平分线上， 2,2.1平行四边形的性质 1.82B3,A4.12510 第2衰四边形 第1课时平行调动形边，角的注州 6.正圳，四边形AD是平行四边形，，0A=OC,OB=OD.,AM= 名师异学 CN,QA一AM=C一CN,甲OM■ON,在△BN和△DON中， 2.1多边形 OB-0D. 第1课时多边形及其内角和 0平行移相享。相等 名师导学 【倒IK1D证明：：国边形ABCD是平行国边形，ADC,AD-BC ∠BM=∠DN,△BN≌△D0N(SAs,∠OBM=∠ODN 0多边形边对角战内角相等，制等0{n一2)·180° ∠D=∠ECF, OM-ON: 【例1】6份 ∠D-∠ECF,在△ADEN△FCE中，〈DE-CE, L△ADEa .BM/DN. 【例2】D ∠AED=∠FE, 7.D8B9y四 1C2.A384D5A △E(ASA).{2)解：108 6解：(1)根摆图表可知，x360一150一0一70=A()根整图形可如，x 【例23我7 10,(1)解：l20°(2)证期：连接AC,安BD于点0.因边形ABCD是平 行四边彩，.0M=OC,0沿=OD.在△AOE和△COF中 +(x十30)+60+x十(x一10)m(5一2)×180，解得z■115， 1.C2.A支.B4.0 ∠1-∠2， 7.C8.C9.81°10.80 S.证明：，四边形ABCD最平行国边形，.AB∥CD,AB=CD.,∠BAE ∠AOE=∠C0F,△AO0E2△COF(AAs》.,0E=OF.,.OE+0D= 11.解，延长AB,D交于点C.,AE⊥EC,”∠E=0,∠G=360一 AB-CD. 04=0C. (∠A+∠E+∠C9一35≠40.演候版不合格. ∠DCF.在△ABE种△CDF中，∠BAE=∠DCF,.△ABE≌△CDF OF+OB,界DE=BF, AESCF I2.解，(1)，∠BDE-∠B+∠B4D,∠CDE-∠C+∠CAD.,∠BDC 1I,解：(I)△OC与△DE下的面积相等，理由如下：？因边形ACD是军 ∠BDE+∠CDE=∠B+∠BAD中∠C+∠CAD=∠B+∠C+∠BAC, (SAS).BE-DF p∠BDC-∠A+∠B+∠C.(2)D180°【解析】设BD,CE变于点下.由 6.37.108C9.B10.(1)45°〔2)32-1 行边形O4-0C,0B-OD,AB∥CP.5-Sm,8c (I)得∠CFD∠A+∠C+∠D,∠BFE-∠CFD=∠A十∠C+∠D 11解，：四边ACD是平行国边形，ABCD,∠A十∠ADC= 5w.河班5er一5w,Snm=5四290 '∠BFE+∠H+∠E-180.占∠A+∠H+∠C+∠D+∠E-180 18,∠AFD=∠CDF.∠A=40.:∠ADC=140.￥DF平分∠ADC 12.(1)证用，四边形ACD是平行四边带，六ADBC,O从=OC ②36矿【解析】数CE,DF交于点H,由(1》荐∠DHE=∠A十∠D+ ∠CDF=克∠ADC-0∠FD=o,:sE∥DE,i∠ABE ∠EM=∠FD. ∠E,∠CHF=∠DHEm∠A+∠D+∠E,∠F+∠B+∠C+ ∠AFD=70° ,∠BAO-∠P0在△AOE和△Q0F中，OM=OC, .△A0E☑ ∠CHF=3G0°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=30'. 12,解：1)6《2)：四边形A批D与四边形DCFE是平行四边形， ∠AE=∠OF, 第2课时多边形的的角和 ∠BAD=60,∠F=110,∠ADC=180'-∠BAD=120,∠CDE=∠F △QDF(ASA).,AE=CF.(2)解：结论依格成义再由如下，与(1)同周可 名师异早 =110°，∠ADEm360°-∠ADC-∠CDE=10,,回ABCD与 证△A(E△CF,∴AE=CF, 03600不路定 12.2平行四边形的判定 I例1】B 可DCFE的周长相等，AD=D呢.·∠DAE=宁I8阳-∠ADE)=5 第1采时平行w边形的判完完理1,2 【例21解：”∠C一110，∴与∠C相邻的外角的度数为70.∠a=360一 1表.(1》正用：图边形ACD是平行图边形，，.AB∥CD.∠CDE一 名用骨学 120°-120°-70°=50° ∠F.DF平分∠ADC,.∠ADE=∠CDB∠F=∠ADE.AD= 0平行糊等8糊等 1.C2,D3,B44 AF,(2)解：过点D作DH⊥AF,交FA的延长线于点H,?AD-AF=6, 【例1】证明：(1)：四边形ACD是平行马边形，”AB=CD,AB∥CD 5.解：授这个多边形约一个外角为，则其相知内角为3如十20，由题意，得 AH=3,BF=AF-AB=3,∠BAD=120°，∠D,AH=60° I∠BF=∠DE, 十0+。=15四，解特。=0这个多边带的边数为梁= ∴∠ABF=∠CDE,在△AF和△CDE中，AAB=CD, △ABF☑ ∠ADH-30.4AH-是AD-3&DH-VAD-AF-3E ∠BAF=∠DE, 4.稳定不稳定7.C8.A9.B145° △CDE(ASA).AF=CE,(2》由(1得△AHF☑△DE,AF=E 11.解：(1)片所经过的路线正好构酸一个外角是15的正多边形，二360÷ a=交AFDH=9V ∠AFB一∠CED.,AF∥CE.,-四边形AECF为平行四边形. 一10 -12