专题4 利用勾股定理求最短路径问题-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（湘教版 湖南专版）

专题四 利用勾股定理求最短路径问题【通性通法】 类型1立体图形中的最短路径问题 4.如图，长方形地面的长AB=10m,宽AD= 基本模型： 5m,中间竖有一堵砖墙高MN=1m.一只 蚂蚱要从点A爬到点C,它必须翻过中间那 堵墙，则它至少要走 m. ①沿着外表面，从点A到点B②沿着内壁，从点4到点B 长方体： 厚详行冒 (第4题图) (第5题图) 5.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周 ① 3③ 展开方式多种，一般沿最长棱展开路径最短 长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处 有一滴蜂蜜.此时，一只蚂蚁正好在杯外壁 阶梯： 展开 上，它在离杯上沿1cm且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁点B处到内壁点A处所走 1.一个棱长为1的正方体纸盒如图所示，若 的最短路程为cm(杯壁厚度忽略不计) 只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A 6.如图，在长方体中，E是棱B'C的中点，已知 爬到顶点B处去觅食，则需要爬行的最短路 AB=3cm,BC=4cm,BB'=5cm.一只小 程是 虫从点A出发，沿长方体的表面到点E处觅 食，求小虫爬行的最短路程。 A.√3 B.2 C.√5 D.3 (第1题图) (第2题图) 2.如图，有一个圆柱形油罐，其底面周长为 12m,高AB为5m.现要以A为起点环绕 油罐表面建梯子，终点正好建在点A正上方 的点B处，则梯子最短需要 () A.10mB.11mC.12m D.13m 3.如图，三级台阶每一级的长、宽、高分别为 8dm,3dm,2dm,A,B是这个台阶上两个 相对的端点.点A处有一只蚂蚁想到点B处 去吃可口的食物，则蚂蚊沿着台阶面爬行到 点B的最短路程为 A.15 dm B.17 dm C.20 dm D.25 dm 15数学八年级下册配灯版 类型2平面图形中的最短路径问题 (2)求原来的路线AC的长. 基本横型：如图心，利用“垂线设最短”，易得点A到 直线L的最短路径为AB. 如图②，在直线l上找一点P,使AP十BP的值最 小，利用轴对称，将同侧两点转移到直线1两侧，构造 Rt△A'BC,利用勾股定理求A'B的长 图① 图② 4444444444444 7.木工师傅为了让尺子经久耐用，常常在尺子 的直角顶点A处与斜边BC之间加一根小 木条AD.如图，已知∠BAC=90°，AB= 5dm,AC=12dm,则小木条AD的最短长 度为 dm. 11.如图，一个牧童在小河l正南方向4km的 A处牧马，若牧童从点A向南继续前行 0 (第7题图) (第8题图) 7km到达点C,则此时牧童的家位于点C 8.如图，直线1是一条河，A,B两地到1的距离 正东方向8km的B处.牧童打算先把在A AC和BD的长分别为5km,7km,且CD= 处吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请 5km.现欲在l上的某点M处修建一个水泵 问他行走的最短路程是多少？请先在图上 站，向A,B两地供水，其中铺设的最短管道 作出最短路径，再进行计算。 的长是km. 东 9.如图，△ABC是等边三角形， 小河 AB=6,N是AB的中点，AD 是边BC上的中线，M是AD ·B(家) 上的一个动点，连接BM, MN,则BM+MN的最小值是 10.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 C,河边原有两个取水点A,B,其中AB= AC.由于某种原因，由村庄C到取水点A 的路现在已经不通，为方便村民取水，决定 在河边新建一个取水点H(,点A,H,B在同 一条直线上)，并新修一条路CH,测得 BC=3 km,CH=2.4 km,BH=1.8 km. (1)CH是否是从村庄C到河边的最短路 线？请通过计算加以说明 提示 情宠成阶段餐谢试（一）[1.1~1.2] 第1章直角三角形1615m,在R:△ACD中，CD=17-1×了=I0(m.,AD=,CD-C= 14.解，1》n一12w+1〔2)以a,,e为边长的三角形是直角三角 思.证明如下：g十6={x一1)十知)计-w+22十1，山4w+1■ 7智米13 年，六HDmA一AD=9m,答：船向岸边移动了9m, I.解：过点P作P⊥AB于点C.?∠PAC-0-45”=.六∠AC- m+2+1,,+=.,以￥，动，：为边长的三角形是直角三角感： a,幅：(1)CH是从时庄C到河边的量复路线，在△CH出中，CH+ BH=24十1.8=9，以3=5，CH+4H=5,六△CHB是直 90°-∠PAC=4.÷C=AC.:→AmAP护.AP=10 n mile, 专题二勾般定理与面积罚篮 2PC=100..AC=PC=5 n mile,PC:90-6n30PB 1,解：连接ACA#=BC=1,∠B=时，AC■√沿+C■Z义 角三角彩，且∠CH日一0H⊥A从.，CH是从村庄C到河边的最短 路线，(g)设AC一AB-xkm-则AH一(x一I,8)km,在Rt△HA中，由 =2PC=02nmie,∴C=√PB一PC=iw月nmie,ABAC :AD=.CD=.A形十AC=,△ACD是直角三角形，且 勾股定理，得A=AH十H,=一1,8》+2,4'，解得=虫5 C=(3v2+5nmia客：A港口与B港口相距(5,3十58)n6 ∠Dac可，in+5m=7A:度+A0:e里 ,AC-之.5k监∴，夏来的将线AC的长为25k肚. 2 1,解：1)，551(2)登做于AD的长为xm.则AB=AD=xm,AC 1,解：如图，作点A关于小润「的对称点D,连接BD,交直没于点F,端 -(一1)mC⊥A,:∠ACB-0.在R1△AC中，A十BC- 【变式题】期，15m=5x-吉×2×4-是×1X2-×3X4-4 接AF.南最规路径为AF十BF=D+BF=BD,由题意，得AC=7km: A伊，.一1)中-了，解得一6，按千AD的长为3m.9)当F一 吉×1X7-要2连接BD.山每教定理，得-1+2一i,批一g十 BC-8km,AD=4×2=8(km》:∠C=0°，CD=AD+A=1nhm.雀 2.5m时，CE-2.5mDE-0.5m,.CD=CE-DE-2m.由2)可组， R△BCD中，D一√DFC-13km.∴，他行走的最短路程为1子km. 45=20,B厅=P+=25,,CD+-BD厅..∠D=0月 AD=AB=5m-.A=AD一CTD=言L在R1△AC中，C- 2,解：(1延长AD,BC.交于点E∠B=0,∠A-0”.∠E-90一 √一心一m,需要将秋千AD往用雅送4m ∠A=0,∠ACm0,∠DE0,在R△DE中，D4. 第器保时身脱定厘的丝光理 E=2D=&IE=C+CE=14,在R△ABE.:∠E=0, 名师异绿 AE-AB设AB-,则AE-2.限据匀意建用，得ABF十BE一AE, 0直角0正楚数 一（羊 r+1=2,解得F=山正（负值已含数）.AB区(2易得 1,3直角三角形全辱的判定 【例1】1)任明：由匀量是理，得AH=2+下=√1丽，C一√+矿- 名师异学 2行，AC=+Tm√品.FAF+C=6i,A=63,A+9 DE=v国-而=4v.5nm=5w-5m-专AB·E- 氧边一条直角边HL AC,·△AC为直角三角形.(2)解：设点B到A:的距离为，”5山 CD.DE-I8 【例1】解：(1)R△ADE2R:△BC理h如下：：∠1=∠2，.DE=CE -号A·C-ACh-B,度_画点B我AC的距离为 ∠A-∠B-0',AE-C,R△ADER△4ECHL.x.(2△CDE AC 3D4,B52而 是直角三角形.厘由I下：：R△ADER1△BC..∠ADE=∠BC '∠ADE+∠AED■0，∠BC+∠AD=0,:∠DEC15- 专题三幻股定提中的方程思燃【回归校材·通性通法】 (∠BC+∠AED)=0,六△CDE是直角三角形. I例C 1E183华+号506年7号【变武胆 【例21A L.B2.B3.C+是 1.D2.B3.40 5.解：这个琴件符合要求，用由如下：：BDP一1子-25+A厅十A于=1安 8,解：设BE=rkm.期CE=BC-BE=后一r)mAB⊥，Dx⊥， 4.E明：AB⊥下，DE⊥CF.∠ABC=∠EF=0,在民：△A料 +9-225,,AD+AB-.,△A8D是直角三角形，月∠A=0同 ∠ABE=∠DE=0.A=A+B,DE=LF+C.AE AC-DF. 厘，得D+C=DY,,么D是直角三角形，且∠DC-U,这个 DE.士A十E■7D)十CE,”8十x=12十16一x).解算x=10 R△DEF中.AB-DE,六RLAANCRL△DEFL.÷BC-EF ,E=0.5km.“,此时满话清E到村庄非的距离为1Q5k肚 零件符合要求. 4D7.B发.C9.12010.北编东50° 专题四利用勾限定理求最阳路径问聪【通性通法】 六C一BE=EF-BE,即CE=F 5.解，如图.R1△DEF即为所求， I【点我】蓝长AD到点T,连接T,可得△A了是直角三角形，日 1.C2D美B+.1月8.1o ∠T一，由BT一DT,可得∠BDT一15，根据外角的料使甲可求解. 6,解：由避意，得BE-立C=寸风一m分三种情况计论：中如答诺 12.解，(1)C=1=169,B)+F=+12=1,C=r+ ①，将长方体惜装开.果A5一AB+FG++7-27(m: C伊.，△BC是直角三角形，且∠BC一U(2)山I),得∠DC=0', ,∠ADC-90.段AB-AC=,期AD=ABBD-r=B.在Rt△ADx 如答用②，将长方体沿XB腰开，制AE一√AP+E一 (第5题9) (第B整国) 6C7.B【变式题】I3.5减10 中，山匀股定理，得A(=AD+U,,=(x一》+，解得r=6身. 、干干于-8m,励如答图③.将长方体册B服开，谢AE- 失解：已：线段a,求作，R1△AC,整C-4:∠C一时∠A=0,作法 ,AC=169. +AET-w++2T=百，2《m).:5E<√5217，.小h 1)作∠CN-0:2)在CN上藏取CB,使CB=a:(a)以点B为图心， 3.1证明，连接CE.,D是C的中点，DE⊥C,CE-EB一 尼行的量灯路程为5v经m a为半径黄弧，交M于点A,连接AB,离△AC即W所象 A=A.六CE一A上mA,即A+A时C上，△ACE是直角园 1B.11证明：∠ABC=0°，∠BF=150°∠A队=0，在R:△ABE 角形，且∠A=D0,(2)解，D是以的中点，，2D=1Q∠A AF-CF. 0,AC=6,AB=-A可=8，段AE=4期CE=BE=B一王在 和R△CEF中.AB-CB.K△ABER:△CBF(IL.BE-BF R△CE中，：A5十AC-CE,心广+-8-x解得r-子4AE ()解：ABm(图，∠AC=0°，∠BAC=∠BCA=4,∠且ME■ ∠BAC-∠CA-15,h(1)知R1△A4EaRt△CBF,.∠BCF=∠A且 图 -I5.∠ACF-∠BCF+∠CA-0