专题2 勾股定理与面积问题&专题3 勾股定理中的方程思想-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（湘教版 湖南专版）

15m,在R:△ACD中，CD=17-1×了=I0(m.,AD=,CD-C= 14.解，1》n一12w+1〔2)以a,,e为边长的三角形是直角三角 思.证明如下：g十6={x一1)十知)计-w+22十1，山4w+1■ 7智米13 年，六HDmA一AD=9m,答：船向岸边移动了9m, I.解：过点P作P⊥AB于点C.?∠PAC-0-45”=.六∠AC- m+2+1,,+=.,以￥，动，：为边长的三角形是直角三角感： a,幅：(1)CH是从时庄C到河边的量复路线，在△CH出中，CH+ BH=24十1.8=9，以3=5，CH+4H=5,六△CHB是直 90°-∠PAC=4.÷C=AC.:→AmAP护.AP=10 n mile, 专题二勾般定理与面积罚篮 2PC=100..AC=PC=5 n mile,PC:90-6n30PB 1,解：连接ACA#=BC=1,∠B=时，AC■√沿+C■Z义 角三角彩，且∠CH日一0H⊥A从.，CH是从村庄C到河边的最短 路线，(g)设AC一AB-xkm-则AH一(x一I,8)km,在Rt△HA中，由 =2PC=02nmie,∴C=√PB一PC=iw月nmie,ABAC :AD=.CD=.A形十AC=,△ACD是直角三角形，且 勾股定理，得A=AH十H,=一1,8》+2,4'，解得=虫5 C=(3v2+5nmia客：A港口与B港口相距(5,3十58)n6 ∠Dac可，in+5m=7A:度+A0:e里 ,AC-之.5k监∴，夏来的将线AC的长为25k肚. 2 1,解：1)，551(2)登做于AD的长为xm.则AB=AD=xm,AC 1,解：如图，作点A关于小润「的对称点D,连接BD,交直没于点F,端 -(一1)mC⊥A,:∠ACB-0.在R1△AC中，A十BC- 【变式题】期，15m=5x-吉×2×4-是×1X2-×3X4-4 接AF.南最规路径为AF十BF=D+BF=BD,由题意，得AC=7km: A伊，.一1)中-了，解得一6，按千AD的长为3m.9)当F一 吉×1X7-要2连接BD.山每教定理，得-1+2一i,批一g十 BC-8km,AD=4×2=8(km》:∠C=0°，CD=AD+A=1nhm.雀 2.5m时，CE-2.5mDE-0.5m,.CD=CE-DE-2m.由2)可组， R△BCD中，D一√DFC-13km.∴，他行走的最短路程为1子km. 45=20,B厅=P+=25,,CD+-BD厅..∠D=0月 AD=AB=5m-.A=AD一CTD=言L在R1△AC中，C- 2,解：(1延长AD,BC.交于点E∠B=0,∠A-0”.∠E-90一 √一心一m,需要将秋千AD往用雅送4m ∠A=0,∠ACm0,∠DE0,在R△DE中，D4. 第器保时身脱定厘的丝光理 E=2D=&IE=C+CE=14,在R△ABE.:∠E=0, 名师异绿 AE-AB设AB-,则AE-2.限据匀意建用，得ABF十BE一AE, 0直角0正楚数 一（羊 r+1=2,解得F=山正（负值已含数）.AB区(2易得 1,3直角三角形全辱的判定 【例1】1)任明：由匀量是理，得AH=2+下=√1丽，C一√+矿- 名师异学 2行，AC=+Tm√品.FAF+C=6i,A=63,A+9 DE=v国-而=4v.5nm=5w-5m-专AB·E- 氧边一条直角边HL AC,·△AC为直角三角形.(2)解：设点B到A:的距离为，”5山 CD.DE-I8 【例1】解：(1)R△ADE2R:△BC理h如下：：∠1=∠2，.DE=CE -号A·C-ACh-B,度_画点B我AC的距离为 ∠A-∠B-0',AE-C,R△ADER△4ECHL.x.(2△CDE AC 3D4,B52而 是直角三角形.厘由I下：：R△ADER1△BC..∠ADE=∠BC '∠ADE+∠AED■0，∠BC+∠AD=0,:∠DEC15- 专题三幻股定提中的方程思燃【回归校材·通性通法】 (∠BC+∠AED)=0,六△CDE是直角三角形. I例C 1E183华+号506年7号【变武胆 【例21A L.B2.B3.C+是 1.D2.B3.40 5.解：这个琴件符合要求，用由如下：：BDP一1子-25+A厅十A于=1安 8,解：设BE=rkm.期CE=BC-BE=后一r)mAB⊥，Dx⊥， 4.E明：AB⊥下，DE⊥CF.∠ABC=∠EF=0,在民：△A料 +9-225,,AD+AB-.,△A8D是直角三角形，月∠A=0同 ∠ABE=∠DE=0.A=A+B,DE=LF+C.AE AC-DF. 厘，得D+C=DY,,么D是直角三角形，且∠DC-U,这个 DE.士A十E■7D)十CE,”8十x=12十16一x).解算x=10 R△DEF中.AB-DE,六RLAANCRL△DEFL.÷BC-EF ,E=0.5km.“,此时满话清E到村庄非的距离为1Q5k肚 零件符合要求. 4D7.B发.C9.12010.北编东50° 专题四利用勾限定理求最阳路径问聪【通性通法】 六C一BE=EF-BE,即CE=F 5.解，如图.R1△DEF即为所求， I【点我】蓝长AD到点T,连接T,可得△A了是直角三角形，日 1.C2D美B+.1月8.1o ∠T一，由BT一DT,可得∠BDT一15，根据外角的料使甲可求解. 6,解：由避意，得BE-立C=寸风一m分三种情况计论：中如答诺 12.解，(1)C=1=169,B)+F=+12=1,C=r+ ①，将长方体惜装开.果A5一AB+FG++7-27(m: C伊.，△BC是直角三角形，且∠BC一U(2)山I),得∠DC=0', ,∠ADC-90.段AB-AC=,期AD=ABBD-r=B.在Rt△ADx 如答用②，将长方体沿XB腰开，制AE一√AP+E一 (第5题9) (第B整国) 6C7.B【变式题】I3.5减10 中，山匀股定理，得A(=AD+U,,=(x一》+，解得r=6身. 、干干于-8m,励如答图③.将长方体册B服开，谢AE- 失解：已：线段a,求作，R1△AC,整C-4:∠C一时∠A=0,作法 ,AC=169. +AET-w++2T=百，2《m).:5E<√5217，.小h 1)作∠CN-0:2)在CN上藏取CB,使CB=a:(a)以点B为图心， 3.1证明，连接CE.,D是C的中点，DE⊥C,CE-EB一 尼行的量灯路程为5v经m a为半径黄弧，交M于点A,连接AB,离△AC即W所象 A=A.六CE一A上mA,即A+A时C上，△ACE是直角园 1B.11证明：∠ABC=0°，∠BF=150°∠A队=0，在R:△ABE 角形，且∠A=D0,(2)解，D是以的中点，，2D=1Q∠A AF-CF. 0,AC=6,AB=-A可=8，段AE=4期CE=BE=B一王在 和R△CEF中.AB-CB.K△ABER:△CBF(IL.BE-BF R△CE中，：A5十AC-CE,心广+-8-x解得r-子4AE ()解：ABm(图，∠AC=0°，∠BAC=∠BCA=4,∠且ME■ ∠BAC-∠CA-15,h(1)知R1△A4EaRt△CBF,.∠BCF=∠A且 图 -I5.∠ACF-∠BCF+∠CA-0☑能力提升 13.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥ BC,交AB于点E,且BE-AE=AC. 8.若三角形的三边长a,b,c满足(a十c)2一 (1)求证：∠A=90°； =2ac,则此三角形是 ( A.等腰三角形 (2)若AC=6,BD=5,求AE的长. B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.无法判断形状 9.一个三角形的三边长之比是5：12：13，且 周长是60，则它的面积是 10.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上， 甲，乙两艘轮船同时离开港口，各自沿一固 定方向航行，每小时分别航行12 n mile和 16 n mile,1h后两船分别位于点A,B处， 且相距20 n mile..若甲船沿北偏西40°方向 航行，则乙船沿 方向航行。 (第10题图) (第11题图) 11.(2024·浏阳期中)如图，在正方形网格中， D,A,B是网格线交点，则∠DAB+∠DBA 思维拓展 的度数为 14.注重规律探究张老师在一次“探究性学 12.如图，已知等腰三角形ABC的底边BC=13, 习”课中，设计了如下数表 D是腰AB上一点，且CD=12,BD=5. 3 4 5 (1)求∠BDC的度数： 22-1 32-1 42-1 5-1 (2)求AC的长. 分 少 10 e 2+1 3°+1 42+1 52+1 (1)请你探究a,b,c与n之间的关系，并用 含n(n>1,且n为整数)的式子分别表 示：a ,b= (2)猜想以a,b,c为边长的三角形是否为直 角三角形，并证明你的猜想. 第1章直角三角形12 专题二 勾股定理与面积问题 类型1利用割补法求面积 (2)求四边形ABCD的面积. 1.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=AD 1,CD=3,且∠B=90°，求四边形ABCD的 面积 类型2利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积 【变式题】改变背景，放入网格中 3.如图，已知所有的四边形都是正方形，所有 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边 的三角形都是直角三角形，其中最大的正方 长都为1. 形E的边长为7，则正方形A,B,C,D的面 (1)求四边形ABCD的面积； 积和为 (2)求∠BCD的度数. A.7 B.14 C.28 D.49 B (第3题图)（第4题图） (第5题图) 4.(2024·南通中考)“赵爽弦图”巧妙地利用 面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵 爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间 的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三 2.如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B 角形的两条直角边长分别为m,n(m>n).若 ∠D=90°，BC=6,CD=4. 小正方形的面积为5，(m+n)2=21,则大正 (1)求AB的长： 方形的面积为 ( A.12 B.13 C.14 D.15 5.如图，正方形ABCD的边长为a,其面积标 记为S,以CD为斜边作等腰直角三角形， 以该等腰直角三角形的一条直角边为边向 外作正方形，其面积标记为S2…按此规 律，则S22的值为 ·(用含a的式子 表示) 13数学八年级下册配X灯版 专题三 勾股定理中的方程思想【回归教材·通性通法】 类型1单勾股列方程 类型2双勾股列方程 名师点拨：单勾殿列方程：在同一个三角形中，已知 名师点拨：双勾服列方程：当两个直角三角形具有公共 一边长和另外两边之间的关系时，据此关系设未知 边或相等的边时，利用其为中间桥梁构建方程（如图）. 数，并分别表示出另外两边长，利用勾股定理构造方 程解题. (一)非折叠问题（教材P12例2变式） 1.如图，在△ABC中，∠C=90°.若∠A=30°， AB:-BD-AC-CD b=3√2，则a的值为 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AB 17,AC=10.若BC=21,则CD的长为 B D C (第1题图) (第2题图) (第6题图)（第7题图）（变式题图） 2.在“综合与实践”课—测量旗杆高度的活 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC上 动中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还 一点.若AB=8,AD=BD=5,则CD的长 多出了2m.如图，当把绳子向外拉直并使绳 为 子底端刚好碰地时，经过测量，此时绳子底 【变式题】如图，在△ABC中，AB=20,AC= 端距离旗杆底部6m,则旗杆的高度为 m. 15,BC=7,则点A到BC的距离为 (二)折叠问题 8.如图，直线1为一条公路，A,D处有两个村庄， 名师点拨：寻找重合的直线和角，利用勾股定理设未 AB⊥l于点B,DC⊥I于点C,AB=8km,BC= 知数构造方程解题.特别地，在四边形的折叠问题 16km,CD=12km.现需要在BC上建立一 中，需要注意角平分线十平行·等腰三角形，从而找 个物资调运站E,使得调运站E到A,D两 到边的关系 个村庄的距离相等，求出此时调运站E到村 3.如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C= 庄B的距离. 90°，AC=6cm,BC=8cm.将△ABC折叠， 使点B与点A重合，折痕为DE,则BD的长 为 cm. (第3题图)（第4题图）（第5题图）》 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB 5,D为边BC上一点.沿AD将△ACD翻 折，使点C落在边AB上的点E处，则BD 的长为 5.如图，在长方形ABCD中，AB=8,BC=4. 将长方形沿AC折叠，点D落在点D'处，则 重叠部分△AFC的面积为 第1章直角三角形14