训练03 计数原理51道期中期末真题训练-2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019）

2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 训练03 计数原理51道期中期末真题训练 一、单选题 1．（2023·24高二下·广东深圳·期中）（    ） A．56 B．32 C．50 D．48 2．（2023·24高二下·广东珠海·期中）将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是（    ） A． B．120 C．240 D．720 3．（2024·新疆·三模）某校学生志愿者服务团队由3名男同学和2名女同学组成，若从这5名同学中随机选出3人参加社区志愿者活动，且每人被选到的可能性相等，则恰有2名男同学被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·24高二下·吉林长春·期末）社会劳动实践期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻，则不同的站法有（    ） A．240种 B．192种 C．144种 D．48种 5．（2024·福建泉州·二模）若二项式展开式中的第5项是常数，则自然数的值为 A．10 B．12 C．13 D．14 6．（2023·吉林延边·二模）某市在文明城市建设中，鼓励市民“读书好，好读书，读好书”．在各阅览室设立茶座，让人们在休闲中阅读有用有益图书．某阅览室为了提高阅读率，对于周末前来阅读的前三名阅读者各赠送一本图书，阅读者从四种不同的书籍中随意挑选一本，则他们有且仅有2名阅读者挑选同一种书的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·24高三上·广东汕尾·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·24高三上·北京顺义·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·24高二下·山东烟台·阶段练习）给出下列四个关系式： ①    ②    ③    ④ 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2023·24高二下·上海黄浦·期末）将4名新老师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，则不同的安排方案的种数是（    ） A．54 B．36 C．24 D．18 11．（2023·24高二下·安徽宿州·开学考试）从3男3女共6名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有2名女医生参加的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·湖北武汉·模拟预测）某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（    ） A．72 B．84 C．90 D．96 13．（2024·25高三上·安徽·开学考试）用数字组成没有重复数字的五位数，在所组成的五位数中任选一个，则这个五位数中数字按从小到大的顺序排列的概率为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 15．（2023·24高二上·安徽亳州·阶段练习）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 16．（2024·25高二上·甘肃白银·阶段练习）的展开式中含项的系数为（    ） A．8 B．12 C． D． 17．（2023·24高二下·北京丰台·期中）把名新生安排到某个班级，要求每个班级至少有一名新生，则不同的安排方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 18．（2023·24高三下·湖南永州·阶段练习）考古时在埃及金字塔内发现“142857”这组神秘的数字，其神秘性表现在具有这样的特征：，，…，．且．这类数因其“循环”的特征，常称为走马灯数．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数构成一个三位数x，则是剩下的3个数字构成的一个三位数的概率为（    ） A． B． C． D． 19．（2024·四川资阳·三模）现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张. 则不同的取法共有（   ） A．135 B．172 C．189 D．216 20．（2023·24高二下·吉林·期末）的展开式中的系数是常数项的（    ） A．130倍 B．140倍 C．150倍 D．160倍 21．（2023·24高二下·江苏南京·期中）10张奖券中只有2张中奖，从中任取张，至少有一张中奖的概率大于0.5，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（2023·24高二下·江苏南通·阶段练习）若，且能被17整除，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．15 D．16 二、多选题 23．（2023·24高二下·广东河源·阶段练习）某影院在2024年春节档引入了4部电影，包含2部喜剧电影、2部动画电影，其中《熊出没·逆转时空》是一部动画电影．该影院某天预留了A，B两个影厅用于放映这4部电影，这4部电影当天全部放映，每部电影固定在一个影厅内放映，每个影厅当天至少放映一部电影，则下列选项正确的是（    ） A．若B影厅仅放映1部电影，有4种安排方法 B．一共有16种安排方法 C．若将《熊出没·逆转时空》安排至A影厅，有7种安排方法 D．若将2部动画电影安排至不同影厅，有4种安排方法 24．（2023·24高三上·山东济南·期末）下列各式中与排列数相等的是（　　） A． B． C． D． 25．（2023·24高二下·湖北鄂州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 26．（2023·24高二上·重庆北碚·期末）的展开式中（    ） A．的系数为40 B．的系数为32 C．常数项为16 D．常数项为8 27．（2023·24高二下·江苏常州·期中）展开式中，下列说法正确的有(    ) A．二项式系数和 B．第2项是105 C．第8项与第9项的二项式系数相等 D．第9项的系数最小 28．（2023·24高二下·宁夏吴忠·阶段练习）将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中（　　） A．有240种放法 B．每盒至多一球，有24种放法 C．恰有一个空盒，有144种放法 D．把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有12种放法 29．（2023·24高二下·山东青岛·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．的最大值为 30．（2023·24高二下·广东清远·期末）现有数字下列说法正确的是（    ） A．可以组成个没有重复数字的六位数 B．可以组成个没有重复数字的六位偶数 C．可以组成个六位数 D．可以组成个相邻两个数字不相同的八位数 三、填空题 31．（2023·24高二下·天津南开·阶段练习）若，则 . 32．（2023·24高三上·上海青浦·开学考试）已知展开式各项系数之和为，则展开式中第项的二项式系数是 . 33．（2023·24高二下·浙江·阶段练习）已知的展开式的二项式系数之和为64，则的系数是 . 34．（2023·四川宜宾·模拟预测）若展开式中的系数为，则 . 35．（2024·25高二上·上海·阶段练习）用 “行”、“知”、“中”、“学”、“顶”、“呱”、“呱”这七个字可以组成 种不同的七字短语. (不考虑短语的含义) 36．（2024·黑龙江·模拟预测）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法共有 种. 37．（2023·24高二下·广东潮州·期末）某市安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者到三个基层社区开展党的二十大精神宣讲活动，每个社区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为 ． 38．（2023·24高二下·山东青岛·阶段练习）若，则 39．（2023·24高三上·江西宜春·阶段练习）的展开式中的系数是 ． 40．（2023·24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 ； （用含的式子表示，）. 四、解答题 41．（2023·24高三上·福建厦门·期末）求证：（1）； （2）. 42．（2023·24高二下·江苏·阶段练习）求解下列方程和不等式. (1)（）； (2)（）. 43．（2023·24高二下·江苏·阶段练习）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课. (1)如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？ (2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？ (3)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 44．（2023·24高二下·山东菏泽·阶段练习）高二（1）班、（48）班、（62）班分别有7，5，9人参加创新技能大赛笔试． (1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？ (2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ (3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 45．（2024·25高二上·上海·期末）已知，其中，为正整数. (1)若，求的值； (2)若，且，，依次成等差数列，求的值. 46．（2023·24高二下·江苏连云港·期中）已知. (1)当时，记的展开式中的系数为，求的值 (2)当的展开式中含项的系数为12，求展开式中含项的系数最小时的值. 47．（2023·24高二下·湖北孝感·期末）已知（且）的展开式中前三项的系数成等差数列. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项. 48．（2024·25高三上·上海嘉定·期中）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是. (1)从中取出2粒颜色不同的概率是多少？ (2)其中黑白棋子各有多少粒？ 49．（2023·24高二下·江苏南通·期中）已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数1:3. (1)求n的值； (2)求展开式中含的项. 50．（2024·25高二下·江苏南通·阶段练习）已知在的展开式中满足，且常数项为，求： (1)二项式系数最大的项 (2)系数绝对值最大的是第几项 (3)从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法． 51．（2024·25高二下·河北沧州·阶段练习）图1是我国数学史上的一个伟大成就——杨辉三角，利用它我们可以将展开， 如：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为； ，它有四项，系数分别为； …… 将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角，如图2所示. (1)求的值； (2)记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为，求的值； (3)证明：莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 训练03 计数原理51道期中期末真题训练 一、单选题 1．（2023·24高二下·广东深圳·期中）（    ） A．56 B．32 C．50 D．48 【答案】A 【详解】. 故选：A. 2．（2023·24高二下·广东珠海·期中）将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是（    ） A． B．120 C．240 D．720 【答案】D 【详解】由题设，相当于3个元素排10个位置，有种不同的分法． 故选：D． 3．（2024·新疆·三模）某校学生志愿者服务团队由3名男同学和2名女同学组成，若从这5名同学中随机选出3人参加社区志愿者活动，且每人被选到的可能性相等，则恰有2名男同学被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知：恰有2名男同学被选中的选法有种，而总选法有种， ∴恰有2名男同学被选中的概率为. 故选：D. 4．（2023·24高二下·吉林长春·期末）社会劳动实践期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻，则不同的站法有（    ） A．240种 B．192种 C．144种 D．48种 【答案】A 【详解】由题意可得，，所以不同的站法有种. 故选：A 5．（2024·福建泉州·二模）若二项式展开式中的第5项是常数，则自然数的值为 A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【详解】因为二项式展开式中的第5项是， 因为第5项是常数，所以，即. 故选B 【点睛】本题主要考查二项式定理，熟记二项展开式的通项公式，即可求解，属于基础题型. 6．（2023·吉林延边·二模）某市在文明城市建设中，鼓励市民“读书好，好读书，读好书”．在各阅览室设立茶座，让人们在休闲中阅读有用有益图书．某阅览室为了提高阅读率，对于周末前来阅读的前三名阅读者各赠送一本图书，阅读者从四种不同的书籍中随意挑选一本，则他们有且仅有2名阅读者挑选同一种书的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】三人挑四种书，每人有4种选法，共有种方法， 恰有2人选同一种书的方法有种，即36种方法， 故恰有2人选同一种的概率． 故选：D． 7．（2023·24高三上·广东汕尾·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 易知皆为负值，皆为正值， 令，则， 故． 故选：C 8．（2023·24高三上·北京顺义·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，解得. 因此，的展开式中的常数项为. 故选：A. 9．（2023·24高二下·山东烟台·阶段练习）给出下列四个关系式： ①    ②    ③    ④ 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】①根据阶乘公式判断.②根据排列数公式判断③根据排列数公式判断.④根据排列数公式判断. 【详解】①因为，故正确. ②，故正确. ③，正确. ④因为，所以，故不正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查阶乘公式和排列数公式，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 10．（2023·24高二下·上海黄浦·期末）将4名新老师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，则不同的安排方案的种数是（    ） A．54 B．36 C．24 D．18 【答案】B 【详解】将4名新教师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，分配方案是：， 学校有两名新老师：； 学校有两名新老师：； 学校有两名新老师： 所以共有种情况， 故选：B. 11．（2023·24高二下·安徽宿州·开学考试）从3男3女共6名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有2名女医生参加的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意从3男3女共6名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，共有种选法， 如果至少有2名女医生参加，则有种选法， 所以至少有2名女医生参加的概率为. 故选：B. 12．（2024·湖北武汉·模拟预测）某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（    ） A．72 B．84 C．90 D．96 【答案】B 【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有种； 第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人， 当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法； 当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有种选择，再将剩余3人分为两组，有种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法； 若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有种分配方法，再将CD和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法， 综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式 故选：B 13．（2024·25高三上·安徽·开学考试）用数字组成没有重复数字的五位数，在所组成的五位数中任选一个，则这个五位数中数字按从小到大的顺序排列的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：组成没有重复数字的五位数有个； 若这个五位数中数字按从小到大的顺序，所以符合题意的五位数有个， 所以所求的概率为. 故选：C. 14．（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 【答案】B 【详解】先求展开式中含，的项， 易知，显然其不含， 含的项分别为：，， 所以在的展开式中， 的系数为. 故选：B. 15．（2023·24高二上·安徽亳州·阶段练习）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以， 所以的展开式的通项 令，得. 所以展开式中的系数为. 故选：A 16．（2024·25高二上·甘肃白银·阶段练习）的展开式中含项的系数为（    ） A．8 B．12 C． D． 【答案】B 【详解】的展开式的通项公式为， 令，可得二项式的展开式中的系数为； 令，可得二项式的展开式中的系数为． 的展开式中的系数为. 故选：B 17．（2023·24高二下·北京丰台·期中）把名新生安排到某个班级，要求每个班级至少有一名新生，则不同的安排方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【详解】解：把名新生安排到某个班级，要求每个班级至少有一名新生， 从人的个数有组分法，即，，和，，两种分法. 若分成人，人，人，则共有分组方法， 若分成人，人，人，则共有分组方法， 将分好的三组安排到三个班级中共有种排法， 所以所有的安排方法共有种安排方法. 故选：. 18．（2023·24高三下·湖南永州·阶段练习）考古时在埃及金字塔内发现“142857”这组神秘的数字，其神秘性表现在具有这样的特征：，，…，．且．这类数因其“循环”的特征，常称为走马灯数．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数构成一个三位数x，则是剩下的3个数字构成的一个三位数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数构成一个三位数x，共有个这样的数． 注意到1，4，2，8，5，7这6个数字中，，将它们分成三组：．易知满足“是剩下的3个数字构成的一个三位数”的x为每组中取1个数的不同排列，其个数为． 故所求概率为． 故选：C. 19．（2024·四川资阳·三模）现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张. 则不同的取法共有（   ） A．135 B．172 C．189 D．216 【答案】C 【详解】依题意，从12张卡片中任取3张有种， 其中一种颜色的卡片取3张，有4种取法，含2张蓝色卡片的两种颜色卡片，有种取法， 所以所求的不同取法共有（种）. 故选：C 20．（2023·24高二下·吉林·期末）的展开式中的系数是常数项的（    ） A．130倍 B．140倍 C．150倍 D．160倍 【答案】A 【详解】由题设，的系数为， 而常数项为， 所以的系数是常数项的. 故选：A 21．（2023·24高二下·江苏南京·期中）10张奖券中只有2张中奖，从中任取张，至少有一张中奖的概率大于0.5，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】当或时，至少有一张中奖的概率为， 当时， 至少有一张中奖的概率为， 由题意可得，即， 即，整理得， 解得，所以， 又，所以， 所以， 所以至少有一张中奖的概率大于0.5，则的最小值为. 故选：C. 22．（2023·24高二下·江苏南通·阶段练习）若，且能被17整除，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．15 D．16 【答案】D 【详解】 ， 因为能被17整除， 所以上式中能被17整除即可满足题意， 所以， 即， 所以的最小值为16， 故选：D. 二、多选题 23．（2023·24高二下·广东河源·阶段练习）某影院在2024年春节档引入了4部电影，包含2部喜剧电影、2部动画电影，其中《熊出没·逆转时空》是一部动画电影．该影院某天预留了A，B两个影厅用于放映这4部电影，这4部电影当天全部放映，每部电影固定在一个影厅内放映，每个影厅当天至少放映一部电影，则下列选项正确的是（    ） A．若B影厅仅放映1部电影，有4种安排方法 B．一共有16种安排方法 C．若将《熊出没·逆转时空》安排至A影厅，有7种安排方法 D．若将2部动画电影安排至不同影厅，有4种安排方法 【答案】AC 【详解】对于A，按影厅仅放映1部电影，有种安排方法，故A正确； 对于B，按影厅放映的电影，有种安排方法，故B错误； 对于C，按影厅放映的电影一定有《熊出没逆转时间》，则有种安排方法，故C正确； 对于D，按影厅放映的电影一定有1部动画电影，有种安排方法，故D错误． 故选：AC． 24．（2023·24高三上·山东济南·期末）下列各式中与排列数相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，由排列数公式知，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 25．（2023·24高二下·湖北鄂州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】令，得，故A错误；令得，即，故B正确；令，得，故C正确；展开式的通项为，令得，所以．故D正确． 故选:BCD． 26．（2023·24高二上·重庆北碚·期末）的展开式中（    ） A．的系数为40 B．的系数为32 C．常数项为16 D．常数项为8 【答案】AC 【解析】首先化简为，再分别根据和两部分计算常数项和含的系数. 【详解】，展开式中的系数分为两部分，一部分是中含的系数，另一部分是中含项的系数，所以含的系数是，故A正确；展开式中常数项只有展开式的常数项，故C正确. 故选：AC 27．（2023·24高二下·江苏常州·期中）展开式中，下列说法正确的有(    ) A．二项式系数和 B．第2项是105 C．第8项与第9项的二项式系数相等 D．第9项的系数最小 【答案】AC 【详解】A：展开式二项式系数之和，故A正确； B：二项式展开式的第二项为：，故B错误； C：第8项二项式系数为，第9项二项式系数为，，故C正确； D：二项展开式的通项为，当r取奇数时，系数为负数，当r=7或8时，二项式系数最大，故当r=7时，项的系数最小，此时为第8项，故D错误. 故选：AC. 28．（2023·24高二下·宁夏吴忠·阶段练习）将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中（　　） A．有240种放法 B．每盒至多一球，有24种放法 C．恰有一个空盒，有144种放法 D．把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有12种放法 【答案】BCD 【详解】对于A，每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子， 共有种放法，所以A错误， 对于B，由题意可知每盒恰好一个球，所以共有（种）放法，所以B正确， 对于C，先选出一个空盒，然后将4个球分成3份放入剩下的3个盒子，所以共有（种）放法，所以C正确， 对于D，（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题， 故共有（种）放法. （方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法， 第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法， 由分步计数原理得，共有（种）放法.所以D正确. 故选：BCD 29．（2023·24高二下·山东青岛·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】A选项，根据二项展开式的通项，，A选项正确； B选项，取代入等式，得到，B选项正确； C选项，取代入等式，得到， 结合B选项， 两式相加得，故C选项错误； D选项，根据二项展开式的通项，，令，即， 解得，又，故，即最大，D选项正确. 故选：ABD 30．（2023·24高二下·广东清远·期末）现有数字下列说法正确的是（    ） A．可以组成个没有重复数字的六位数 B．可以组成个没有重复数字的六位偶数 C．可以组成个六位数 D．可以组成个相邻两个数字不相同的八位数 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意，可选取的数字为：0，1，2，3，4，5， 且首位不能为0， 第一步，先排首位有种不同排法， 第二步，再排其他5位数，有种排法， 所以由分步乘法计数原理可知， 可以组成个没有重复数字的六位数，故A正确； 对于B，由题意，末位只能为：0，2，4， 当末位为0时，有种排法； 当末位为2时，有种排法； 当末位为4时，有种排法， 所以由分类加法计数原理可知， 可以组成312个没有重复数字的六位偶数，故B错误； 对于C，由题意，六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况. 当六位数中有1个1时，由A选项知有600种排法； 当六位数中有2个1时，分为有0与无0两种情况， 有0时，有种排法， 无0时，有种排法； 当六位数中有3个1时，分为有0与无0两种情况， 有0时，有种排法， 无0时，有种排法， 所以由分类加法计数原理可知， 可以组成个六位数，故C错误； 对于D，因为相邻两个数字不相同，即3个1不能相邻，故用插空法： 第一步，先排，除1外的5个数字，有，每种排法留出6个空位， 第二步，再将3个1插入6个空位，有种排法， 所以由分步乘法计数原理可知，共有2400种排法， 又因为0不能在首位，而0在首位时，有种排法， 所以可以组成个相邻两个数字不相同的八位数，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查有限制条件的排列、组合和不相邻问题，解题关键是遵循特殊位置优先排、不相邻问题插空排. 三、填空题 31．（2023·24高二下·天津南开·阶段练习）若，则 . 【答案】15 【详解】令，得 令得 两式子相加除以2得： 令，得到， 所以． 故答案为： 32．（2023·24高三上·上海青浦·开学考试）已知展开式各项系数之和为，则展开式中第项的二项式系数是 . 【答案】15 【详解】取代入二项式得，解得 第项的二项式系数为． 故答案为：15 33．（2023·24高二下·浙江·阶段练习）已知的展开式的二项式系数之和为64，则的系数是 . 【答案】 【详解】解：因为的展开式的二项式系数之和为64，所以，解得， 所以展开式的通项公式为， 所以的展开式中的系数是， 故答案为：. 34．（2023·四川宜宾·模拟预测）若展开式中的系数为，则 . 【答案】 【详解】由题意知，， 展开式的通项公式为， 所以含的项的系数为， 则，即，解得. 故答案为：2. 35．（2024·25高二上·上海·阶段练习）用 “行”、“知”、“中”、“学”、“顶”、“呱”、“呱”这七个字可以组成 种不同的七字短语. (不考虑短语的含义) 【答案】 【详解】先将七个字进行排列，有种选择， 由于七个字中有两个相同的“呱”，故均重复计算了一次， 所以共有种不同的七字短语(不考虑短语的含义). 故答案为： 36．（2024·黑龙江·模拟预测）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法共有 种. 【答案】40 【详解】1、选1名医生和3名护士的方法数为种； 2、由第一步得到两组医护人员，将其安排到2所学校的方法数为种. 所以不同的分配方法共有种. 故答案为：40 37．（2023·24高二下·广东潮州·期末）某市安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者到三个基层社区开展党的二十大精神宣讲活动，每个社区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为 ． 【答案】84 【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，有2种分组方式，三组人分配到三个社区进行排列，则分配方式共有种； 第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人， 当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法； 当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有种选择，再将剩余3人分为两组，有种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法； 若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有种分配方法，再将CD和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法， 综上共有12＋12＋36＋24＝84种不同的分配方式． 故答案为：84. 38．（2023·24高二下·山东青岛·阶段练习）若，则 【答案】392 【详解】依题意，令，得， 展开式的项是5个多项式中，取1个用，再从余下4个中取1个用，另3个都用2， 或者是5个多项式中，取3个用，另2个都用2， 因此， 所以. 故答案为：392 39．（2023·24高三上·江西宜春·阶段练习）的展开式中的系数是 ． 【答案】126 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式中的系数为： ． 故答案为：. 40．（2023·24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 ； （用含的式子表示，）. 【答案】 【详解】当时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为、， 根据乘法原理和加法原理得到. 在维向量中，范数为奇数，则的个数为奇数， 即的个数为、、、、， 根据乘法原理和加法原理得到， ， ， 两式相减得到. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题考查了向量的新定义，乘法原理，加法原理，二项式定理，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用和的展开式求数列通项是解题的关键，需要灵活掌握. 四、解答题 41．（2023·24高三上·福建厦门·期末）求证：（1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）右式左式， 故等式成立； （2）左式右式， 故等式成立. 42．（2023·24高二下·江苏·阶段练习）求解下列方程和不等式. (1)（）； (2)（）. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 化简得，解得，① 又，所以，② 由①②及得. （2）由题意，， ，即， 化简得，解得（舍去）或. 故方程的解为. 43．（2023·24高二下·江苏·阶段练习）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课. (1)如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？ (2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？ (3)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 【答案】(1)480 (2)504 (3)504 【详解】（1）先排其它四科，共有种方法，再把数学和物理插入空中，有种方法，共有种. （2）第一节安排数学，则其余科目没有要求，共有种方法； 第一节不安排数学，先排第一节有种方法，再排第四节有种方法，最后安排其它节有种方法， 所以共有种方法. （3）九科随机排列共有种排法，六科在其中的排法有种，所以共有种. 44．（2023·24高二下·山东菏泽·阶段练习）高二（1）班、（48）班、（62）班分别有7，5，9人参加创新技能大赛笔试． (1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？ (2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ (3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 【答案】(1)21种； (2)315种； (3)143种． 【详解】（1）事件选一人当组长可分三类方案完成， 第一类，组长从（1）班选出，有7种选法、 第二类，组长从（48）班选出，有5种选法、 第三类，组长从（62）班选出，有9种选法， 根据分类加法计数原理，选一人当组长有种选法， （2）如果老师任组长，每班选一名副组长，则需要分三步， 第一步，从（1）班选一名同学担任副组长，有7种选法， 第二步，从（48）班选一名同学担任副组长，有5种选法， 第三步，从（62）班选一名同学担任副组长，有9种选法， 根据分步乘法计数原理，每班选一名副组长共有种选法； （3）事件推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，可分为三类方案， 第一类，若两人来自（1）班和（48）班，有种选法， 第二列，若两人来自（1）班和（62）班，有种选法， 第三类，若两人来（48）班和（62）班，有种选法， 综上可知，这两人来自不同的班级的不同的选法有种． 45．（2024·25高二上·上海·期末）已知，其中，为正整数. (1)若，求的值； (2)若，且，，依次成等差数列，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，， 令，则 （2）的展开式的通项为， 故 根据，，依次成等差数列，得 故， 解得或（舍去）， 因此 46．（2023·24高二下·江苏连云港·期中）已知. (1)当时，记的展开式中的系数为，求的值 (2)当的展开式中含项的系数为12，求展开式中含项的系数最小时的值. 【答案】(1)46 (2) 【详解】（1）由题意. ，                                       ，                        所以； （2）由已知，，         所以的系数为 ，                                        易知时，取得最小值. 47．（2023·24高二下·湖北孝感·期末）已知（且）的展开式中前三项的系数成等差数列. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1) (2)有理项为， 【详解】（1）前3项的系数分别为，，， 由题意知：，且 ∴. 所以 ， ∴时，二项式系数最大， 即二项式系数最大项为. （2）由，知或8， ∴有理项为，. 【点睛】二项式系数最大项的确定方法 ①如果是偶数，则中间一项(第 项)的二项式系数最大； ②如果是奇数，则中间两项第项与第项的二项式系数相等并最大. 48．（2024·25高三上·上海嘉定·期中）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是. (1)从中取出2粒颜色不同的概率是多少？ (2)其中黑白棋子各有多少粒？ 【答案】(1) (2)黑棋子有4粒，白棋子有6粒. 【详解】（1）由题意，任取2粒棋子，不考虑先后顺序，一共有3种情况， 即2粒都是黑子，2粒都是白子和2粒颜色不同， 设事件：取出2粒都是黑子，事件：取出2粒都是白子，事件：取出2粒颜色不同， 则， 因为两两互斥，故， 故； 故从中取出2粒颜色不同的概率是. （2）设散落的黑白棋子中，黑子有粒，白子有粒， 则， 得，得， 即，解得， 故黑棋子有4粒，白棋子有6粒. 49．（2023·24高二下·江苏南通·期中）已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数1:3. (1)求n的值； (2)求展开式中含的项. 【答案】(1)7 (2)2835 【详解】（1）因为二项式的展开式中第2项、第3项二项式系数分别为、， 所以，即，解得. （2）因为展开式通项， 当时，解得， 所以展开式中含项的系数为. 50．（2024·25高二下·江苏南通·阶段练习）已知在的展开式中满足，且常数项为，求： (1)二项式系数最大的项 (2)系数绝对值最大的是第几项 (3)从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法． 【答案】(1) (2)8 (3)135 【详解】（1）根据展开式的通项可得 令，解得 即时，常数项， 解得 所以二项式系数最大的项 （2）系数绝对值最大的项等价于系数最大的项； 设第项系数最大， 则 即，又， 所以， 即第8项系数最大，也即展开式中第8项系数绝对值最大. （3）令，，解得， 即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项； 所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有种； 51．（2024·25高二下·河北沧州·阶段练习）图1是我国数学史上的一个伟大成就——杨辉三角，利用它我们可以将展开， 如：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为； ，它有四项，系数分别为； …… 将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角，如图2所示. (1)求的值； (2)记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为，求的值； (3)证明：莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 【答案】(1)219 (2) (3)证明见解析 【详解】（1） （2） . （3）即证明，， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$