第20节 相似三角形及其应用（课件PPT）-【练客中考】2025年浙江数学总复习新思路

数学 课堂精讲本 2025版 1 第20节 相似三角形及其应用 2 1 知识梳理 夯基础 2 题型精讲 攻重难 3 浙江真题 随堂测 3 01 知识梳理 夯基础 4 知识点 一 比例及比例线段 1.比例线段 一般地，在四条线段<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>中，如果<m></m>与<m></m>的比等于<m></m>与<m></m>的比，即 <m></m>，那么这四条线段<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>叫作成比例线段，简称比例线段. 2.比例中项 一般地，如果三个数<m></m>，<m></m>，<m></m>满足比例式<m></m>（或<m></m>），那么<m></m>就 叫作<m></m>，<m></m>的比例中项. 返回目录 5 3.比例的性质 （1）基本性质：_________ ； （2）合分比性质：如果，那么____ ； （3）等比性质：如果 ，那么 ③_____________. 返回目录 6 4.黄金分割 如果点把线段分成两条线段和，且 ，那么称 线段被点黄金分割，点叫作线段 的黄金分割点，所分成的较长一 条线段与整条线段的比叫作黄金比，即_____ （一条线段有两个黄金分割点且它们关于线段中点对称）. 返回目录 7 5.平行线分线段成比例 （1）基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应 线段成比例； （2）推论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相 交，截得的对应线段成比例. 返回目录 8 1.已知，点在线段上，是，的比例中项，则 的长 为( ) A. B. C. D. 2.若，则 ( ) A. B. C. D. √ √ 返回目录 9 第3题图 3.大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图， 为的黄金分割点，如果的长度为 ，那么 的长度是_________. 第4题图 4.如图，直线，直线分别交，， 于点 ，，，直线分别交，，于点，， .已知 ，则 __. 返回目录 10 知识点 二 相似三角形的性质与判定 1.性质 （1）相似三角形的对应角⑤______，对应边成比例； （2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）的比都等于 ⑥________； （3）相似三角形的周长比等于⑦________，面积比等于⑧______________. 相等 相似比 相似比 相似比的平方 返回目录 11 2.判定 （1）预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三 角形与原三角形相似； （2）定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似； （3）定理2：两边对应成比例，且夹角⑨______的两个三角形相似； （4）定理3：三边对应⑩________的两个三角形相似. 相等 成比例 返回目录 12 3.相似三角形的判定思路 ①有一平行截线——用预备定理 <m> </m>有一对等角——找<m></m> <m> </m>有两边对应成比例——找<m></m> 返回目录 13 ④直角三角形——找<m></m> ⑤等腰三角形——找<m></m> 返回目录 5.已知，，若的长度为12，则 的长度 为( ) A.9 B.12 C.16 D.20 第6题图 6.如图，已知是的边 上一点，根据下列条件， 不能判定 的是( ) A. B. C. D. √ √ 返回目录 15 第7题图 7.如图，在中， ，于点 ， 若，，则 的值为( ) A. B. C. D. √ 返回目录 16 知识点 三 相似多边形的性质 1.相似多边形的对应角⑪______，对应边⑫________. 2.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于⑬______________. 相等 成比例 相似比的平方 8.两个相似多边形的面积之比为 ，则它们的对应高之比为( ) A. B. C. D. √ 返回目录 17 知识点 四 相似三角形的应用 1.利用光的反射定律求物体的高度. 2.利用影子计算建筑物的高度（同一时刻，物高与影长成比例，即 ）. 3.构造相似三角形计算不能直接测量的物体高度. 9.在上午的某一时刻身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，小明测 得校园中旗杆在地面上的影子长16米，还有2米影子落在墙上，根据这些 条件可以知道旗杆的高度为____米. 10 返回目录 18 知识点 五 图形的位似 1.位似图形 一般地，如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线都相交 于同一点；这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形叫 作位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫作位似中心.位似中心到两 个对应点的距离之比叫作位似比. 2.坐标系中的位似变换 当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为<m></m>,位似图形与原 图形的位似比为<m></m>，则位似图形上的对应点的坐标为<m></m>或 <m></m>. 返回目录 19 第10题图 10.如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别 为，，，现以原点 为位似中心， 在第一象限内作与 的位似比为2的位似图形 ，则顶点 的坐标是( ) A. B. C. D. √ 返回目录 20 02 题型精讲 攻重难 21 题型 一 相似三角形的计算与证明 例1题图 例1 （2022杭州19题）如图，在中，点，， 分别在边，，上，连接， .已知四边形 是平行四边形， . （1）若，求线段 的长； 解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， . ， ； 返回目录 22 （2）若的面积为1，求平行四边形 的面积. 例1题图 返回目录 23 例1题图 解：由（1）知 ， . 的面积为1， 的面积是16. 四边形 是平行四边形， ,, ， ， , ， 的面积为9， 平行四边形的面积为 . 返回目录 24 变式1-1题图 变式1-1 （2024杭州钱塘湖区模拟）如图，在四边形 中，平分， ． （1）求证： ； 证明：平分 ， . ， ， ， ； 返回目录 25 （2）点在边上，连接，，交于点，若 . 求证：为 的中点. 变式1-1题图 证明： ， . 平分 ， ， ， . ， ， ， ， ， ，即为 的中点. 返回目录 26 变式1-2题图 变式1-2 （2024浙江模拟）如图，在和 中，，，，点 在线 段上，，交于点，连接 . 返回目录 27 （1）求证：平分 ； 证明： ， . ， ， 即 . 在和中， ， ， ， ，平分 ； 变式1-2题图 返回目录 变式1-2题图 （2）若，求 的值. 解：，， ， , 又, . 又， ， ， ， （负值已舍）. 返回目录 29 题型 二 相似三角形的应用 例2题图 例2 （2023湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树 的高度，采用以下方法：如图，把支架（ ）放在离 树（）适当距离的水平地面上的点 处，再把镜子 水平放在支架（）上的点处，然后沿着直线 后 退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，再用皮尺分别测量 ， ，，观测者目高（ ）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度. 已知于点，于点，于点， 米， 米，米，米，则这棵树的高度的长 是_____米. 返回目录 30 变式2-1题图 变式2-1 （2024金华三模）如图，某零件的外径为 ， 用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径 .若 ，且量得 ，则零件的厚 度 为( ) A. B. C. D. √ 返回目录 31 变式2-2题图 变式2-2 （2022温州）如图是某风车示意图， 其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点 在旋转中心 的正下方.某一时刻，太阳光线 恰好垂直照射叶片， ，此时各叶片影子 在点右侧成线段，测得 ， 10 ，垂直于地面的木棒与影子的比为，则点， 之间 的距离等于____米. 转动时，叶片外端离地面的最大高度等于__________米. 返回目录 32 变式2-2题解图 [解析] 如解图，过点作，交于 ，过作于 ，则 ， ，， ，， ， ，，； ， ， ，即， .以点 为圆心，的长为半径作圆，当与 共线时，叶片外端离地面的高度最大， 其最大高度等于 米. 返回目录 33 易错点 相似三角形的应用 例题图 例 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点 为坐 标原点，边在轴上，在轴上，如果矩形 与矩形关于点位似，且矩形 的面积等于矩 形面积的，那么点 的坐标为( ) A. B. C.或 D.或 √ 【错误分析】本题易错的地方在于考虑不周全. 【思考总结】____ 返回目录 34 03 浙江真题 随堂测 35 （建议用时：25分钟） 命题点 一 比例线段 第1题图 1.（2022丽水5题）如图，五线谱是由等距离、等长度的五 条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，， 都在 横线上.若线段，则线段 的长是( ) A. B.1 C. D.2 2.（2023丽水14题改编）小慧同学在学习了九年级 上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个 2 逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习 过程，横线处的数值为___. √ 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 36 命题点 二 与相似三角形有关的计算与证明 第3题图 3.（2023嘉兴、舟山9题）如图，点是 的重心，点 是边的中点，交于点，交 于 点.若四边形的面积为6，则 的面积为( ) A.12 B.14 C.18 D.24 √ 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 37 4.（2023绍兴10题）如图，在中，是边上的点（不与点， 重合）.过点作交于点；过点作交于点， 是 线段上的点，，是线段上的点， .若已知 的面积，则一定能求出( ) 第4题图 A.的面积 B.的面积 C.的面积 D. 的面积 √ 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 38 第4题解图 [解析] 如解图所示，连接， ，， ，，, . ，， ，，, . ，, ，， ，故若已知 的面积，则一定能求出 的面积. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 39 第5题图 5.（2020杭州9题）如图，在中，点，， 分 别在，，边上，， . （1）求证： ； 证明： ， . ， ， ； 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 40 第5题图 （2）设 . ①若，求线段 的长； 解： ， . , ， ， 解得 ； 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 41 ②若的面积是20，求 的面积. 解：， . ， ， ， . 第5题图 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 42 命题点 三 相似三角形的应用 6.（2024浙江模拟）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛 通过凸透镜 所成的虚像，已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜 的水 平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像 的高 为____ . 12 第6题图 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 43 第7题图 7.（2022杭州14题）某项目学习小组为了测量直立在水 平地面上的旗杆的高度，把标杆 直立在同一水平 地面上（如图）.同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的 影长分别是，.已知， ， ，在同一直线上，， ， ，则______ . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 44 第8题图 8.（2020温州16题）如图，在河对岸有一矩形场地 ， 为了估测场地大小，在笔直的河岸上依次取点，， ， 使，，点，，在同一直线上.在 点观测 点后，沿方向走到点，观测点发现 .测得 米，米，米， ，则 场地的边为______米， 为______米. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 45 第8题解图 [解析] ，， ， 和 都是等腰直角三角形，， ， 米，米， 米， （米）， （米）， （米）， （米）， （米）； 如解图，过作于，过作交于，交于 ， ， 四边形和四边形 是矩形， ，， ， 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 46 ， ，， 设 ，，， ， ， ，， ， ，， ， （米）. 第8题解图 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第9题图 9.（2022衢州16题）希腊数学家海伦给出了挖掘直 线隧道的方法：如图，， 是两侧山脚的入口，从 出发任作线段，过作 ，然后依次作 垂线段，，，，直到接近 点，作 于点 .每条线段可测量，长度如图所示.分 别在，上任选点，，作 ， （1）_____ ; [解析] ； ，使得，此时点，，， 共线.挖隧道时始终能 看见， 处的标志即可. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 48 （2） _ __. 第9题图 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 49 第9题解图 [解析] 如解图，连接，过点作，交 的延长线于点 .由矩形性质得 ， 点， ， ，共线， .又 ， ， . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 50 命题点 四 图形的位似（2024.6） 第10题图 10.（2024浙江6题3分）如图，在平面直角坐标系 中，与是位似图形，位似中心为点 . 若点的对应点为，则点 的 对应点 的坐标为( ) A. B. C. D. 第11题图 11.（2021温州6题）如图，图形甲与图形乙是位似图 形，是位似中心，位似比为，点， 的对应点 分别为点，.若，则 的长为( ) A.8 B.9 C.10 D.15 √ √ 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 51 请完成《课后作业本A》P26～27习题 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 52 53 $$