第15节 二次函数的应用（课件PPT）-【练客中考】2025年浙江数学总复习新思路

数学 课堂精讲本 2025版 1 第15节 二次函数的应用 2 1 题型精讲 攻重难 2 浙江真题 随堂测 3 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值（新增），能 解决相应的实际问题.（改动） . . 返回目录 4 01 题型精讲 攻重难 5 题型 一 抛物线型问题 例1 （2023温州22题）一次足球训练中，小明从球门正前方的 处射 门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为 时，球达到最 高点，此时球离地面.已知球门高为，现以 为原点建立如 图所示直角坐标系. 例1题图 返回目录 6 （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门 （忽略其他因素）； 例1题图 返回目录 7 例1题图 解：不能.计算如下： ， 抛物线的顶点坐标为 ， 设抛物线的函数表达式为 ， 把点代入，得，解得 ， 抛物线的函数表达式为 . 当时， ， 球不能射进球门； 返回目录 8 （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变， 则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点 正上方 处？ 例1题图 返回目录 9 例1题图 解：设小明带球向正后方移动 米， 则移动后的抛物线表达式为 ， 把点 代入，得 ， 解得（舍去）或 ， 当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点 正上方 处. 返回目录 10 变式1-1 （2024广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点 处）的高 度是 ，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距 离是，高度是.若实心球落地点为，则_ __ . 变式1-1题图 返回目录 11 若题目中未给出坐标系,则需要建立坐标系求解,建立的原则如下： （1）所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单； （2）使已知点所在的位置适当（如在轴、 轴、原点、抛物线上等）,方 便求二次函数表达式和之后的计算求解. 返回目录 12 变式1-2题图 变式1-2 （2024陕西）一条河上横跨着一座 宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索与缆索 均呈抛物线型，桥塔与桥塔 均垂直于 桥面，如图所示，以为原点，以直线 为轴，以桥塔所在直线为 轴，建立平面直角坐标系. 已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，桥塔 与桥 塔之间的距离，，缆索的最低点 到 的距离 . （桥塔的粗细忽略不计） 返回目录 13 变式1-2题图 （1）求缆索 所在抛物线的函数表达式； 解：， . 又，缆索的最低点到 的 距离， 抛物线的顶点 的坐标 为 . 故可设抛物线的函数表达式为 . 将点坐标代入抛物线的函数表达式可得，解得 ， 缆索 所在抛物线的函数表达式为 ； 返回目录 14 （2）点在缆索上，，且，，求 的长. 变式1-2题图 返回目录 15 变式1-2题图 解： 缆索所在抛物线与缆索 所在抛 物线关于 轴对称， 又缆索 所在抛物线的函数表达式为 ， 缆索 所在抛物线的函数表达式为 . 又令 ， ，或 . 又， ， 的长为 . 返回目录 16 题型 二 最值问题 例2 （2023湖州）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水 鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量（千克）与销售价格 （元/千克） 存在一次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格 （元/千克） 50 40 日销售量 （千克） 100 200 返回目录 17 （1）试求出关于 的函数表达式； 解：设关于的函数表达式为 . 将，和， 分别代入， 得，解得 ， 关于的函数表达式是 ； 返回目录 （2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为 元，如果不考虑其他 因素，求当销售价格为多少时，日销售利润 最大？最大的日销售利润 是多少元？ 解： . 当时，在的范围内， 能取到最大值，最大 值是2 250. 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是 2 250元. 返回目录 19 解决最值应用题要注意两点 （1）设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某 某”要设为自变量，“什么”要设为函数； （2）在求解最值时，一定要考虑顶点（横坐标）的取值是否在自变量的 取值范围内. 返回目录 20 变式2题图 变式2 （2024新疆）某公司销售一批产品，经 市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间 时，销售额（万元）与销售量 （吨）的函 数解析式为；成本 （万元）与销售 量 （吨）的函数图象是如图所示的抛物线的 一部分，其中， 是其顶点. （1）求出成本关于销售量 的函数解析式； 返回目录 21 变式2题图 解： 顶点坐标为， ， 可设关于 的函数解析式为 . 由图象可知，函数图象过 ， ， ， ； 返回目录 22 变式2题图 （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ 解：由题意知，当销售量时，成本最低为 ， 又销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额 （万元） 与销售量（吨）的函数解析式为 ， 当时，销售额为 ， 此时利润为 . 答：当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万 元； 返回目录 23 变式2题图 （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？ 最大利润是多少？ （注：利润 销售额-成本） 解：由题意，利润 . ，且销售量在0.4吨至3.5吨之间， 当 时，利润取最大值，最大值为7. 答：当销售量是3吨时，可获得最大利润，最 大利润是7万元. 返回目录 24 题型 三 几何图形面积问题 例3题图 例3 （2024泰安）如图，小明的父亲想用长为60米 的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已 知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 _____平方米. 450 二次函数在几何图形中的实际应用是数形结合思想的应用，融代数与几何 为一体.把代数问题与几何问题相互转化，运用几何知识求表达式是解题 的关键.二次函数与三角形、圆等几何图形结合，涉及最大面积、最小距 离等问题时，往往需要建立函数表达式并运用函数的性质解题. 返回目录 25 变式3 （2023天津）如图，要围一个矩形菜园，其中一边 是墙， 且的长不能超过，其余的三边，， 用篱笆，且这三边的 和为，有下列结论：的长可以为； 的长有两个不同的 值满足菜园的面积为 ； ③菜园面积的最大值为 .其中，正确结论的个数是( ) 变式3题图 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 返回目录 26 易错点 利用二次函数性质解决实际问题 例 新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140 元，一天可以销售20套.为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定 采取降价措施.若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套.设每套书降价 元时，书店一天可获利润 元.当每套书销售定价为_____元时，书店一天 可获得利润为1 200元. 120 【错因分析】本题容易出错的地方在于只考虑利润为1 200元时的定价， 没考虑到实际情况是为了减少库存，导致多解. 【思考总结】____ 返回目录 27 02 浙江真题 随堂测 28 （建议用时：20分钟） 命题点 一 抛物线型问题 第1题图 1.（2022台州）如图1，灌溉车沿着 平行于绿化带底部边线 的方向行驶， 为绿化带浇水.喷水口 离地面竖直高 度为单位： .如图2，可以把灌 溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象； 把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度 ，竖直高度为 的长.下边缘抛物线由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高 返回目录 1 2 3 29 点离喷水口的水平距离为 ，高 出喷水口，灌溉车到 的距离 为单位： . 第1题图 返回目录 1 2 3 （1）若， . 第1题图 ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 ； 返回目录 1 2 3 31 解：由题意，得 是上边缘抛物线的顶点，设 ， 又 上边缘抛物线过点 ， ， ， 上边缘抛物线的函数解析式为 . 当时， ， 解得， （舍去）， 喷出水的最大射程为 ； 返回目录 1 2 3 32 ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点 的坐标； 解： 上边缘抛物线的对称轴为直线 ， 点的对称点坐标为 ， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 点 的坐标为 ； 第1题图 返回目录 1 2 3 33 ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 的取值范围； 解：， 点的纵坐标为 ， ， 解得 . ， ，当时，随 的增大而减小， 当时，要使，则 . 当时，随的增大而增大，且时， ， 当时，要使，则 . 第1题图 返回目录 1 2 3 34 ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为 . 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2. 综上所述，的取值范围是 ； 返回目录 1 2 3 （2）若 ，要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请 直接写出 的最小值. 第1题图 解：的最小值为 . 返回目录 1 2 3 36 命题点 二 最值问题 2.（2022宁波22题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生 进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量 千克与每平方米种植的 株数，且为整数 构成一种函数关系.每平方米种植2株时，平 均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株， 单株产量减少0.5千克. （1）求关于 的函数表达式； 解： 每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， . 答：关于的函数表达式为，且为整数 ； 返回目录 1 2 3 37 （2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 解：设每平方米小番茄产量为 千克， 根据题意，得 . ， 当时， 取最大值，最大值为12.5. 答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克. 返回目录 1 2 3 38 命题点 三 几何图形面积问题 第3题图 3.（2024杭州上城区一模）某校开展劳动实践活动，九 （1）班分配得到一块如图所示的边长为8米的正方形菜 地 ，由于场地调整，现将菜地改成周长不变的长 方形菜地，两块菜地的重叠部分为矩形 ， 不重叠两块是矩形和矩形，设长为 米，长为 米. 返回目录 1 2 3 39 （1）求关于 的函数表达式； 解：根据长方形的周长公式，得 ，即 ， 关于的函数表达式为 ； 第3题图 返回目录 1 2 3 （2）求矩形 面积的最大值； 第3题图 解： ， ， ， 当时，矩形 面积最大，最大值为16平方米； 返回目录 1 2 3 41 第3题图 （3）九（1）班的亮亮同学说：“矩形 的面积一定 不小于矩形 的面积”，请你判断他的说法是否正 确？并说明理由. 解：他的说法正确.理由如下： ， ， ， ， . 返回目录 1 2 3 42 请完成《课后作业本B》P18～19习题 返回目录 1 2 3 43 44 $$